Πρώτοι αριθμοί: Το DNA των φυσικών αριθμών

Το σύνολο των θετικών ακεραίων ονομάζεται και « άπειρο σύνολο των φυσικών αριθμών». Συμβολίζεται  με το κεφαλαίο αγγλικό γράμμα N. (N = Natural numbers ). Στη γλώσσα το συνόλων γράφεται

 Ν = { 1,2,3,4, … ν, ν+1, …}.

Οι τελείες μετά το ν+1 συμβολίζουν ότι δεν υπάρχει τελευταίο στοιχείο στο σύνολο, γιατί τον οποιοδήποτε φυσικό αριθμό ν, οσοδήποτε μεγάλο, ακολουθεί ο αριθμός ν+1 που είναι ακόμα μεγαλύτερος. Το πλήθος των στοιχείων  του συνόλου Ν δεν είναι πεπερασμένο, αλλά αναρίθμητο,(άπειρο) δηλαδή  μεγαλύτερο από οποιοδήποτε φυσικό αριθμό.

Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής δηλώνει ότι κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών με ένα και μοναδικό τρόπο. Στη Μαθηματική γλώσσα η «ταυτοπροσωπία» του οποιουδήποτε φυσικού αριθμού  γράφεται ως εξής:

Ο πιο πάνω τύπος είναι το « DNA των φυσικών αριθμών» Μπορούμε να ορίσουμε αυθαίρετα άπειρα υποσύνολα του συνόλου των φυσικών αριθμών όπως τους ορθογώνιους, στερεούς, αριθμούς τεσσάρων διαστάσεων. Κάθε υποσύνολο περιέχει επίσης άπειρους αριθμούς και το δικό του «DNA». Υπενθυμίζουμε κάποια από αυτά τα υποσύνολα πιο κάτω, όπως τα παρουσιάσαμε σε προηγούμενα σημειώματα:

Αριθμός διαιρετών φυσικού αριθμού

Οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να χωριστούν σε ατελείς, τέλειους και υπέρ-τελείς ανάλογα με το άθροισμα των γνησίων διαιρετών τους

1.       Ατελής ονομάζεται ο αριθμός του οποίου το άθροισμα των γνησίων διαιρετών  είναι μικρότερο από τον αριθμό. Παραδείγματα ατελών αριθμών είναι:

-          Το απειροσύνολο των πρώτων αριθμών.

-          Το απειροσύνολο των ορθογωνίων.

-          Το απειροσύνολο των στερεών αριθμών.

2.       Τέλειος είναι ο φυσικός αριθμός του οποίου το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του είναι ίσο με τον αριθμό.

-          Παράδειγμα 1^ο : Σύνολο παραγόντων αριθμού  6 ={ 1,2,3) , 1+2+3=6,  

-          Παράδειγμα 2^ο : Σύνολο παραγόντων αριθμού  28 = { 1,2,4,7,14 } ,   1+2+4+7+14 = 28

-          Παράδειγμα 3^ο : Σύνολο παραγόντων αριθμού  496 = { 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 } , 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496

3.       Υπέρ-τελείς: είναι οι φυσικοί αριθμοί των οποίων το άθροισμα των γνησίων διαιρετών τους είναι μεγαλύτερο από τους αριθμούς αυτούς.

Παράδειγμα υπερτελών αριθμών: τα πολλαπλάσια του 6, εκτός του 6

Ν = 6ν  με ν > 1

Μονάδα, η μάνα των φυσικών αριθμών

Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο της μονάδας και του εαυτού του. (Ν=1.Ν ) γι’ αυτό η μονάδα δεν θεωρείται ως πρώτος αριθμός. Αν το ένα ήταν πρώτος τότε κάθε φυσικός αριθμός θα μπορούσε να γραφεί ως γινόμενο πρώτων με δύο τρόπους αντί με ένα. Σε τέτοια περίπτωση δεν θα ίσχυε το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής. Π.χ. 10=2.5 = 1.2.5.

Ο Πυθαγόρας θεωρούσε ότι η μονάδα δεν είναι αριθμός αλλά το αρχέτυπο, η μάνα των αριθμών. Η μονάδα, με την πλήθυνση παράγει τους φυσικούς αριθμούς. Γι’ αυτό κάθε φυσικός αριθμός φέρει μέσα στο «DNA» του την μονάδα. Η μονάδα είναι παράγοντας όλων των φυσικών αριθμών.

Η πρόταση «Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων παραγόντων» αποδεικνύεται διαισθητικά ως εξής:

1.       Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να είναι πρώτος (αδιαίρετος)  ή σύνθετος δηλαδή μπορεί να γραφεί ως γινόμενο παραγόντων.

2.       Αν είναι πρώτος τότε η πρόταση ισχύει.

3.       Αν είναι σύνθετος τότε μπορεί να αναλυθεί περεταίρω ως γινόμενο παραγόντων.

4.       Αν οι παράγοντες του σύνθετου είναι πρώτοι τότε η πρόταση ισχύει.

5.       Αν οι παράγοντες του σύνθετου (κάποιοι ή όλοι )  είναι επίσης σύνθετοι τότε ο φυσικός αριθμός μπορεί να αναλυθεί περεταίρω σε γινόμενο μικρότερων παραγόντων.

6.       Αν η νέα ανάλυση του φυσικού αριθμού που εξετάζεται περιλαμβάνει μόνο πρώτους αριθμούς τότε η πρόταση ισχύει.

7.       Αν η νέα ανάλυση του φυσικού αριθμού περιλαμβάνει σύνθετους τότε προχωρούμε σε περεταίρω ανάλυση των σύνθετων παραγόντων σε μικρότερους παράγοντες.

8.       Σε κάθε περίπτωση, η ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων δεν μπορεί να συνεχιστεί για πάντα εφόσον ο υπό ανάλυση αριθμός είναι πεπερασμένος.

9.       Σε κάθε περίπτωση, η ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων σταματά υποχρεωτικά, όταν όλοι οι παράγοντες δεν μπορούν να αναλυθούν περεταίρω, δηλαδή είναι πρώτοι.

10.   Ως αποτέλεσμα, νομοτελειακά, κάθε πεπερασμένος φυσικός αριθμός μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων παραγόντων - Απόδειξη με την μέθοδο της μαθηματικής ή τελείας επαγωγής:

1.        Η πρόταση ισχύει για την αρχική τιμή ν=2 εφόσον είναι πρώτος αριθμός.

2.       Έστω ότι η πρόταση μας ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς μικρότερους του Κ, όπου Κ∈Ν δηλαδή:

3.       Επαγωγικός έλεγχος για Ν = Κ

1.        Αν Κ πρώτος η πρόταση μας ισχύει.

2.       Αν Κ σύνθετος τότε     Κ = μ. ν   , μ, ν < Κ άρα ισχύει αφού μ, ν ως μικρότεροι του Κ μπορούν να γραφούν ως γινόμενα πρώτων παραγόντων.

Αφού ισχύει για Ν=Κ ομοίως θα ισχύει επαγωγικά με την ίδια διαδικασία για Ν = Κ+1, Κ=2 και για κάθε Λ∈Ν

Η πρόταση «Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων παραγόντων με ένα και μοναδικό τρόπο» αποδεικνύεται επίσης με την εις άτοπο απαγωγή.

Υποχρεωτικά οι δύο αναλύσεις  ταυτίζονται.

Διατάγματα σκέψεις και απορίες στην Κύπρο της εποχής του Κορωνοϊού

1.       Στο απαντητικό SMS που παίρνω κάθε μέρα αναγράφεται «Εγκρίνεται… ισχύει για εύλογο χρονικό διάστημα».

-          Τι σημαίνει εύλογο χρονικό διάστημα;

-          Ποιος  το καθορίζει και με ποια κριτήρια; Εγώ ή ο αστυνομικός που θα με σταματήσει για έλεγχο;

-           Αν εγώ, για παράδειγμα, θεωρώ εύλογο χρονικό διάστημα για άσκηση τα 75 λεπτά και ο αστυνομικός τα 45 τι θα γίνει; Θα αποφύγω την καμπάνα των ∈300;

2.       Στο διάταγμα που εξέδωσε ο Υπουργός Υγείας το βράδυ της Πέμπτης (30/04/20), αναφέρεται ότι  «κατ’ εξαίρεση μετακίνηση προσώπων, σύμφωνα με τις πρόνοιες του Εντύπου Β,  περιορίζεται σε τρεις φορές την ημέρα, με εξασφάλιση άδειας μέσω  μηνύματος SMS στον αριθμό 8998».

-           Υπάρχει άραγε κάποιο ηλεκτρονικό σύστημα που καταγράφει τις ώρες και τους λόγους εξόδου πολιτών κάθε φορά που αιτούμαστε κατ’ εξαίρεση μετακίνηση στον αριθμό 8998;

-          Δεν είναι  παραβίαση της προσωπικής ζωής και των προσωπικών δεδομένων των πολιτών το γεγονός ότι πρέπει να καταγράφεται ο λόγος εξόδου του καθενός από εμάς;

-           Δεν είναι άραγε αρκετό για την εξασφάλιση της δημόσιας υγείας το γεγονός ότι από 4/5/2020  το  SMS μπορεί να περιορίσει τις εξόδους μας σε τρεις μόνο; 

-          Γιατί πρέπει ο «μεγάλος αδελφός» να γνωρίζει την ώρα που βγήκα για ψώνια ή για άσκηση, αν μπορεί να περιορίσει τις εξόδους μου σε τρεις;

3.       Στο ίδιο διάταγμα αναφέρεται ότι: «Απαγορεύεται η μετακίνηση προσώπων από τις 10.00 μ.μ., μέχρι τις 06.00 π.μ., πλην όσων κατέχουν το έντυπο Βεβαίωσης Κυκλοφορίας Εργαζομένου, Έντυπο Α…».

-          Γιατί ειδικά αυτές τις ώρες που έτσι κι’ αλλιώς οι περισσότεροι άνθρωποι κοιμούνται, απαγορεύεται καθολικά η κυκλοφορία;

-          Γιατί δεν ισχύουν απλώς τα περιοριστικά μέτρα που ισχύουν τις υπόλοιπες ώρες;

-          Αν προκύψει κάποια επείγουσα ανάγκη για λόγους υγείας η ώρα 11:00μ.μ. ή η ώρα 2:00 π.μ. ποιος αναλαμβάνει την ευθύνη;

4.       Στο διάταγμα του Υπουργού Υγείας στις 30/04/2020 αναφέρεται ότι: «Επιτρέπεται η μετάβαση προσώπων σε άλλη Επαρχία, πέραν αυτής που μόνιμα διαμένουν (πρώτη κατοικία), για σκοπούς κολύμβησης» αλλά όμως «οι μόνιμα διαμένοντες κάτοικοι (πρώτη κατοικία) σε Επαρχίες εις τις οποίες έχουν πρόσβαση για κολύμπι στη θάλασσα, δεν δύνανται να μεταβούν σε άλλη Επαρχία για σκοπούς κολύμβησης»

-         Δεν αποτελεί αυτό διάκριση υπέρ των κατοίκων της πρωτεύουσας νοουμένου ότι  μόνο οι Λευκωσιάτες μπορούν να πάνε σε όποια παραθαλάσσια επαρχία θέλουν για κολύμπι;

-         Η μετακίνηση στον υπεραστικό δρόμο από Λευκωσία προς Λεμεσό ή Λάρνακα δεν είναι από μόνη της ένας ευχάριστος περίπατος με το αυτοκίνητο, ένα προνόμιο για τους κατοίκους της Λευκωσίας που δεν το έχουμε οι υπόλοιποι;

-         Γιατί δεν αναγράφεται στο διάταγμα «επιτρέπεται η μετάβαση προσώπων στην πλησιέστερη παραθαλάσσια επαρχία, πέραν αυτής που μόνιμα διαμένουν» για σκοπούς ίσης μεταχείρισης με τους κατοίκους των άλλων επαρχιών;

-         Ο Λευκωσιάτης μπορεί να κάνει το μπάνιο του στην Λάρνακα, στη Λεμεσό, στην Αγία Νάπα ακόμα και στην Πάφο, ενώ οι κάτοικοι των άλλων πόλεων μόνο στην επαρχία διαμονής τους. Δεν αποτελεί αυτό άνιση μεταχείριση;

5.       Στο διάταγμα του Υπουργού Υγείας αναφέρεται ότι «επιτρέπεται η πρόσβαση σε πεζόδρομους και πεζόδρομους εντός πάρκων μόνο για σκοπούς ατομικής άθλησης».

-         Τι γίνεται με τα μονοπάτια μελέτης της φύσης εντός των κρατικών δασών; Να υποθέσουμε εύλογα ότι «επιτρέπεται η πρόσβαση στο κρατικό δάσος   μόνο για σκοπούς ατομικής άθλησης»;

-         Το γεγονός ότι τα κρατικά δάση δεν αναφέρονται ρητά στον κατάλογο των χώρων που απαγορεύεται η πρόσβαση, μπορεί εύλογα να ερμηνευτεί ότι επιτρέπεται η πρόσβαση σε αυτά;

6.       Στο διάταγμα του Υπουργού, αναφορικά με τις κατ’ εξαίρεση επιτρεπόμενες μετακινήσεις αναφέρεται ότι: « Έγγραφη δήλωση κατ’ εξαίρεση μετακίνησης προσώπων που εμπίπτουν στις πρόνοιες του Εντύπου Β, χρησιμοποιείται μόνο από πρόσωπα άνω των 65 ετών»

-         Να υποθέσουμε εύλογα ότι ένα άτομο άνω των 65 ετών που χρησιμοποιεί έγγραφη δήλωση κατ’ εξαίρεση μετακίνησης ( έντυπο Β ) απαγορεύεται να χρησιμοποιήσει μήνυμα SMS για τις μετακινήσεις του;

-         Αν η απάντηση στο πιο πάνω ερώτημα είναι ότι επιτρέπεται να χρησιμοποιούν και τα  SMS δεν είναι  φανερό ότι δημιουργείται διάκριση υπέρ των ενηλίκων ηλικίας άνω των 65;

-         Αν ένα άτομο 65 ετών χρησιμοποιήσει τρία έγγραφα Β την ίδια ημέρα και ακολούθως τρία SMS μπορεί κάποιος να ελέγξει την παρανομία του;

-         Τα μηνύματα που στέλνουμε στο 8998 για σκοπούς κατ’ εξαίρεση μετακίνησης καταγράφονται, εξ’ ου και τέταρτο αίτημα θα απορρίπτεται. Τα αιτήματα που γίνονται με έγγραφη δήλωση εντύπου Β ποιος τα καταγράφει;

-         Ας υποθέσουμε εύλογα ότι το 1% των πολιτών κάτω των 65 ετών δεν έχουν κινητό για διάφορους λόγους ( το έχουν χάσει, δεν έχουν κινητό εκ πεποιθήσεως, είναι πολύ φτωχοί κλπ.) Όλοι αυτοί οι άνθρωποι πώς θα μετακινούνται;

7.       Στο διάταγμα γράφεται πώς: «Επιτρέπεται η ατομική προσευχή σε εκκλησίες, τεμένη και άλλους θρησκευτικούς χώρους λατρείας, εκτός των ωρών που θα τελούνται θρησκευτικές τελετές (π.χ. Θεία Λειτουργία) και νοουμένου ότι, εντός του χώρου θρησκευτικής λατρείας δεν παρευρίσκονται πέραν των 10 ατόμων»

-         Δεδομένου ότι το μέγεθος κάθε ναού είναι διαφορετικό δεν θα έπρεπε ο αριθμός των ατόμων που επιτρέπεται να μπουν στο ναό για προσκύνημα να ήταν ανάλογος του εμβαδού του εσωτερικού χώρου κάθε ναού;

-         Με βάση πιο επιστημονικό λόγο καθορίστηκε ο ανώτατος αριθμός προσκυνητών που βρίσκονται ταυτόχρονα στον ναό να είναι δέκα και όχι εννιά ή έντεκα;