Κριτήριο διαίρεσης δια 7
Μ. Πόλης, εκπαιδευτικός.
Ποιοι αριθμοί διαιρούνται ακριβώς με το 7; Πώς μπορεί η ιδιότητα αυτή να
εξακριβωθεί από τα ψηφία του αριθμού χωρίς να κάνουμε την πράξη της διαίρεσης;
Αν ο αριθμός δεν διαιρείται ακριβώς με το 7 μπορούμε να βρούμε το υπόλοιπο της
διαίρεσης χωρίς να κάνουμε την πράξη;
Τα ερωτήματα που τέθηκαν ανωτέρω θα απαντηθούν στη μελέτη που ακολουθεί. Θα
εξηγηθεί με συντομία ο τρόπος και θα παρατεθούν πρακτικά παραδείγματα για να
γίνει απολύτως ξεκάθαρη η μέθοδος εφαρμογής του, που είναι τόσο απλή που μπορεί άνετα να γίνει κατανοητή από μαθητές
δημοτικού. Στο τέλος θα παρατεθεί και η μαθηματική απόδειξη που αποδεικνύει
την βασιμότητα της μεθόδου.
1. Ο Πολλαπλασιαστής
Ο εξαψήφιος αριθμός 546231, τον
οποίο θα ονομάσω πολλαπλασιαστή, θα με βοηθήσει να αποφασίσω τη διαιρετότητα
ενός αριθμού με το 7.
Η πορεία εξακρίβωσης της διαιρετότητας με το 7 είναι η ακόλουθη:
1. Γράφω τον αριθμό που θέλω να διερευνήσω
2. Βρίσκω το γινόμενο του ψηφίου των μονάδων του αριθμού με το ψηφίο των
μονάδων του πολλαπλασιαστή, το γινόμενο του ψηφίου των δεκάδων με το ψηφίο των
δεκάδων του πολλαπλασιαστή κ.ο.κ
3. Προσθέτω τα γινόμενα και διακριβώνω αν το άθροισμα τους διαιρείται δια
7.
4. Αν το άθροισμα διαιρείται δια 7 και ο υπό διερεύνηση αριθμός διαιρείται
δια 7.
5. Αν υπάρχει υπόλοιπο στη διαίρεση του αθροίσματος δια 7 τότε αυτό
αποτελεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του υπό διερεύνηση αριθμού δια 7. Βλέπετε και παραδείγματα 1,2,3,4.
6. Αν ο υπό διερεύνηση αριθμός έχει πέραν των 6 ψηφίων τότε τα ψηφία του
πολλαπλασιαστή επαναλαμβάνονται κυκλικά και χρησιμοποιούμε την ίδια διαδικασία.
Έτσι πολλαπλασιάζω το έβδομο ψηφίο του αριθμού με το 1, το όγδοο με το 3, το
ένατο με το δύο κ.ο.κ.Τα ανωτέρω θα διευκρινιστούν στα παραδείγματα 5,6,7,8.
Διευκρινιστική σημείωση
Η μαθηματική έκφραση α │β μπορεί
να διαβαστεί ως το α αποτελεί παράγοντα του β , δηλαδή ότι το υπόλοιπο της
διαίρεσης β : α είναι 0
Η έκφραση 846 = 6 ( mod 8
) σημαίνει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 846 με το 8 είναι 6. Ανάλογα
πρέπει να διαβάζονται παρόμοιες εκφράσεις που συναντούμε στα παραδείγματα 1 – 8
της εργασίας.
Παραδείγματα διερεύνησης
της διαιρετότητας ενός αριθμού με το 7
Παράδειγμα 1
Αποτελεί ο αριθμός 7 παράγοντα του 4 231;
|
Υπό διερεύνηση αριθμός
|
4
|
2
|
3
|
1
|
||
|
Πολλαπλασιαστής
|
5
|
4
|
6
|
2
|
3
|
1
|
|
Γινόμενα ψηφίων
|
|
|
24
|
4
|
9
|
1
|
|
Άθροισμα γινομένων
|
24 + 4 + 9 + 1 = 38
|
|||||
|
Υπόλοιπο αθροίσματος δια 7
|
3 αφού 38= (7. 5 ) + 3
|
|||||
Συμπέρασμα: 4 231 = 3 ( mod 7 ) . Ο αριθμός 4231 όταν διαιρείται με το 7 δίνει υπόλοιπο 3 . Πράγματι: 4231
= ( 604 . 7 ) + 3.
4231 = 3 (mod 7)
Παράδειγμα 2
Διαιρεί ο αριθμός 7 ακριβώς τον αριθμό 9 415;
|
Υπό διερεύνηση αριθμός
|
9
|
4
|
1
|
5
|
||
|
Πολλαπλασιαστής
|
5
|
4
|
6
|
2
|
3
|
1
|
|
Γινόμενα ψηφίων
|
|
|
54
|
8
|
3
|
5
|
|
Άθροισμα γινομένων
|
54 + 8 + 3 + 5 = 70
|
|||||
|
Υπόλοιπο αθροίσματος δια 7
|
0 αφού 70 : 7 = 0
|
|||||
Συμπέρασμα: 7│9 415
(Το 7 διαιρεί το 9415 ) . Πράγματι : 9415 = ( 1345 . 7 )
Παράδειγμα 3
Αποτελεί το 7 παράγοντα του αριθμού 72 450;
|
Υπό διερεύνηση αριθμός
|
|
7
|
2
|
4
|
5
|
0
|
|
Πολλαπλασιαστής
|
5
|
4
|
6
|
2
|
3
|
1
|
|
Γινόμενα ψηφίων
|
|
28
|
12
|
8
|
15
|
0
|
|
Άθροισμα γινομένων
|
28 + 12 + 8 + 15 = 63
|
|||||
|
Υπόλοιπο αθροίσματος δια 7
|
0 αφού 63 : 7 = 9
|
|||||
Συμπέρασμα: 7│72 450 . Πράγματι : 72450 : 7 = 10350
Παράδειγμα 4
Διαιρεί το 7 ακριβώς τον αριθμό 121508;
|
Υπό διερεύνηση αριθμός
|
1
|
2
|
1
|
5
|
0
|
8
|
|
Πολλαπλασιαστής
|
5
|
4
|
6
|
2
|
3
|
1
|
|
Γινόμενα ψηφίων
|
5
|
8
|
6
|
10
|
0
|
8
|
|
Άθροισμα γινομένων
|
5 + 8 + 6 + 10 +8 = 37
|
|||||
|
Υπόλοιπο αθροίσματος δια 7
|
2 37 = 2 (mod 7 ) δηλαδή:
37 = ( 5.7 ) + 2
|
|||||
Συμπέρασμα: 121 508 = 2 (mod 7). Το υπόλοιπο της
διαίρεσης του 121508 με το 7 είναι 2. Πράγματι: 121 508 = ( 17 358 . 7 ) + 2
Παράδειγμα 5
Ο αριθμός 7 458 356 διαιρείται με το 7;
|
Υπό διερεύνηση αριθμός
|
7
|
4
|
5
|
8
|
3
|
5
|
6
|
|
Πολλαπλασιαστής
|
1
|
5
|
4
|
6
|
2
|
3
|
1
|
|
Γινόμενα ψηφίων
|
7
|
20
|
20
|
48
|
6
|
15
|
6
|
|
Άθροισμα γινομένων
|
7 + 20 + 20 + 48 + 6 + 15 + 6 = 122
|
||||||
|
Υπόλοιπο αθροίσματος δια 7
|
3 122
= 3 (mod 7 )
122 = (7.17)+3
|
||||||
Συμπέρασμα: 7 458 356 = 3 (mod 7). Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 7458356 με το 7
είναι 3. Πράγματι: 7 458 356 = ( 1 065
479 . 7) + 3
Παράδειγμα 6
Ο αριθμός 10 606 652 διαιρείται με το 7;
|
Υπό διερεύνηση αριθμός
|
1
|
0
|
6
|
0
|
6
|
6
|
5
|
2
|
|
Πολλαπλασιαστής
|
3
|
1
|
5
|
4
|
6
|
2
|
3
|
1
|
|
Γινόμενα ψηφίων
|
3
|
0
|
30
|
0
|
36
|
12
|
15
|
2
|
|
Άθροισμα γινομένων
|
3 + 30 + 36 + 12 + 15 + 2 = 98
|
|||||||
|
Υπόλοιπο αθροίσματος δια 7
|
0 ( 98
= 14. 7 )
|
|||||||
Συμπέρασμα: 7│ 10606652. Ο
αριθμός 10 606 652 διαιρείται ακριβώς με το 7
Πράγματι: 10 606 652= ( 1 515 236 . 7)
Παράδειγμα 7
Ο αριθμός 16 558 352 615 διαιρείται με το 7;
|
Υπό διερεύνηση αριθμός
|
1
|
6
|
5
|
5
|
8
|
3
|
5
|
2
|
6
|
1
|
5
|
|
Πολλαπλασιαστής
|
4
|
6
|
2
|
3
|
1
|
5
|
4
|
6
|
2
|
3
|
1
|
|
Γινόμενα ψηφίων
|
4
|
36
|
10
|
15
|
8
|
15
|
20
|
12
|
12
|
3
|
5
|
|
Άθροισμα γινομένων
|
4 + 36 + 10 + 15 + 8 + 15 + 20 + 12 + 12 + 3+5 =140
|
||||||||||
|
Υπόλοιπο αθροίσματος δια 7
|
0 (
140 : 7 = 20 )
|
||||||||||
Συμπέρασμα: 7│ 16 558 352
615. Ο αριθμός 16 558 352
615 διαιρείται ακριβώς με το 7
Πράγματι: 16 558 352 615= ( 2 365 478 945 . 7)
Παράδειγμα 8
Ο αριθμός 12 320 521 104 631 διαιρείται με το 7;
|
Υπό διερεύνηση αριθμός
|
1
|
2
|
3
|
2
|
0
|
5
|
2
|
1
|
1
|
0
|
4
|
6
|
3
|
1
|
|
Πολλαπλασιαστής
|
3
|
1
|
5
|
4
|
6
|
2
|
3
|
1
|
5
|
4
|
6
|
2
|
3
|
1
|
|
Γινόμενα ψηφίων
|
3
|
2
|
15
|
8
|
0
|
10
|
6
|
1
|
5
|
0
|
24
|
12
|
9
|
1
|
|
Άθροισμα γινομένων
|
3 + 2 + 15 + 8 + 10 +6 + 1+ 5 + 24 + 12 +9 + 1=96
|
|||||||||||||
|
Υπόλοιπο αθροίσματος δια 7
|
5 96 = 5 (mod 7) που σημαίνει ότι το υπόλοιπο της
διαίρεσης του 96 δια το 7 είναι 5.
|
|||||||||||||
Συμπέρασμα : 12 320 521 104
631 = 5 (mod 7 )
Πράγματι 12 320 521 104 631 = (1 760 074 443 518 . 7 ) + 5
Μαθηματική απόδειξη του
προβλήματος
Έστω ο τυχαίος ακέραιος αριθμός .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ όπου:
χ
το ψηφίο των μονάδων,
φ το ψηφίο των δεκάδων
τ το ψηφίο των εκατοντάδων και ούτω καθεξής.
Εξ’ ορισμού προκύπτει η ισότητα
.... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ = χ + 10 φ + 100 τ + 1 000 σ + 10 000 ρ + 10⁵ π + 10⁶ ξ + 10⁷ ν + 10⁸ μ+ 10⁹ λ + 10¹° κ +
....
Όπου η έκφραση 10⁵ σημαίνει 10 υψωμένο στη
πέμπτη δύναμη, η έκφραση 10⁶ σημαίνει
10 υψωμένο στην έκτη δύναμη και ούτω καθεξής
Xωρίζω τον κάθε προσθετέο του δεύτερου μέρους της προηγούμενης εξίσωσης σε 2
μέρη, εκ των οποίων το πρώτο είναι πολλαπλάσιο του 7. Ακολούθως διαχωρίζω τα
πολλαπλάσια του 7 από τα υπόλοιπα μέρη και τα τοποθετώ σε δύο παρενθέσεις.
Έτσι:
χ + 10 φ + 100 τ + 1000 σ + 10000 ρ + 10⁵ π + 10⁶
ξ + 10⁷ ν + 10⁸μ+ 10⁹λ + 10¹ºκ + .... = (7 φ + 98 τ + 994 σ + 9 996 ρ + 99 995
π + 999 999 ξ + 9 999 997 ν + 99 999 998
μ + 999 999 994 λ + 9 999 999 996 κ + ....) + ( χ + 3 φ + 2 τ + 6 σ + 4 ρ + 5 π + ξ + 3ν + 2 μ + 6 λ + 4 κ + ....)
→ .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ = 7 ( φ + 14 τ + 142 σ + 1 428 ρ + 14 285
π + 142 857 ξ + 1 428 571 ν + 14 285 714
μ + 142 857 142 λ + 1 428 571 428 κ + ....) + ( χ + 3 φ + 2 τ + 6 σ + 4 ρ + 5 π + ξ + 3ν + 2 μ + 6 λ + 4 κ + ....)
Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός λοιπόν μπορεί να αναλυθεί ως άθροισμα δύο
παρενθέσεων, εκ των οποίων η πρώτη είναι πολλαπλάσιο του 7. Για να είναι λοιπόν
ο αριθμός .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ πολλαπλάσιο του 7 αρκεί η δεύτερη
παρένθεση να είναι πολλαπλάσιο του 7, δηλαδή:
( χ + 3 φ + 2 τ + 6 σ + 4 ρ + 5 π + ξ + 3ν + 2 μ + 6 λ + 4 κ + ....) = 7 γ όπου γ ακέραιος
Παρατηρώντας την παρένθεση προκύπτει το ενδιαφέρον συμπέρασμα ότι οι
συντελεστές των ψηφίων επαναλαμβάνονται κυκλικά, σε ομάδες των 6
επαναλαμβανόμενων ψηφίων. Οι συντελεστές αυτοί είναι ( αρχίζοντας από τα δεξιά
προς τα αριστερά ....5 4 6 2 3 1 που δίνουν και τα ψηφία του πολλαπλασιαστή.
Συμπέρασμα: Βρίσκουμε τα γινόμενα
των ψηφίων του αριθμού με το αντίστοιχο ψηφίο του πολλαπλασιαστή. Αθροίζουμε τα
γινόμενα. Αν το άθροισμα είναι πολλαπλάσιο του 7 και ο προς διερεύνηση αριθμός
είναι πολλαπλάσιο του 7.
Πνευματικά Δικαιώματα: Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του
συνόλου της πιο πάνω εργασίας ή χρήση των συμπερασμάτων της με αναφορά στο
όνομα του συγγραφέα.
.
