Χρυσή τομή, ακολουθία Fibonacci φύση και άνθρωπος

Μιχάλης Α. Πόλης Εκπαιδευτικός Εισαγωγή H άπειρη ακολουθία Fibonacci σχετίζεται άμεσα με τη χρυσή τομή. Υπενθυμίζουμε τους πρώτους όρους της ακολουθίας. Ακολουθία Fibonacci : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .... Κάθε όρος της ακολουθίας προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Επιπλέον τα πηλίκα των διαδοχικών αριθμών τείνουν στον άρρητο αριθμό Φ Φ = ( 1 + √5 )/2 = 1,618033989... Ο αριθμός Φ λέγεται και αριθμός της χρυσής τομής. Πώς προκύπτει όμως και τι εννοούμε με τον  όρο χρυσή τομή; Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και έστω Γ σημείο επί του ΑΒ τέτοιο ώστε ΑΓ > ΓΒ και : ΑΓ/ΓΒ = ΑΒ/ΑΓ Ο λόγο του μεγαλύτερου τμήματος προς το μικρότερο τμήμα ισούται προς το λόγο του αθροίσματος των δύο τμημάτων προς το μεγαλύτερο τμήμα. Ο χωρισμός αυτός ονομάζεται  και τομή ευθυγράμμου τμήματος  σε μέσο και άκρο λόγο. Αν ορίσουμε αυθαίρετα ότι ΓΒ = 1 τότε ΑΓ = Φ = ( 1 + √5 )/2 Οι αρχαίοι Έλληνες πίστευαν ότι η τομή ενός σώματος σε μέρη που η αναλογία τους ισούται με Φ είναι η αισθητικά καλύτερη. Γι’ αυτό την ονόμασαν χρυσή τομή και την χρησιμοποίησαν στην γλυπτική, τη ζωγραφική και την αρχιτεκτονική.   Στο άρθρο αυτό θα δούμε τη σχέση της ακολουθίας Fibonacci και της χρυσής  τομής με τη φύση και τον άνθρωπο. Άνθη και φύλλα Ο αριθμός των πετάλων σε πολλά άνθη τις περισσότερες φορές είναι ένας αριθμός Fibonacci. Ας φέρουμε κάποια παραδείγματα: 1. Τα περισσότερα τριφύλλια έχουν τρία ή πέντε φύλλα ενώ τα τετράφυλλα τριφύλλια είναι πολύ σπάνια όπως λέγει και το τραγούδι. 2. Οι περισσότερες μαργαρίτες έχουν 34, 55 ή 89 πέταλα που είναι αριθμοί Fibonacci. 3. Το άγριο τριαντάφυλλο, η νεραγκούλα, ο καπουτσίνος και η ακουιλέγια εμφανίζονται συνήθως με 5 πέταλα ενώ το αστράκι και η πικραλίδα με 21. 4. Το χρυσάνθεμο έχει συνήθως  34 πέταλα όπως και ο ηλίανθος. Φυλλοταξία     Τα φύλλα βλαστάνουν πάνω στους βλαστούς με τρόπο που δεν καλύπτει το ένα το άλλο για να μπορούν να παίρνουν φως και να κάνουν φωτοσύνθεση. Ποια είναι η καλύτερη διευθέτηση για να μπορεί κάθε φύλλο να παίρνει το μέγιστο δυνατό φως; Ας πάρουμε για παράδειγμα τα φύλλα του ηλιοτροπίου. Έχει παρατηρηθεί συχνά ότι η γωνία μεταξύ δύο διαδοχικών φύλλων είναι 137 º, 30΄ 28΄΄. Αυτό ισοδυναμεί με γωνιά 360º/Φ² αν την μετρήσεις δεξιόστροφα ή 360/Φ αν μετρηθεί αριστερόστροφα. Στη δεύτερη περίπτωση το μέτρο της γωνίας είναι 222º 29΄ 32΄΄. Πόσα φύλλα πρέπει να μετρήσουμε για να βρούμε ένα φύλλο ακριβώς πάνω από το προηγούμενο; Αν μετρήσουμε δεξιόστροφα 8 φύλλα βλέπουμε ότι σχηματίζουν γωνία 1100º δηλαδή 3,05  στροφές των 360º. Έχουμε κατά προσέγγιση τρεις στροφές και οκτώ φύλλα.  Οι αριθμοί 3 και 8 είναι αριθμοί Fibonacci. Αν μετρήσουμε 13 φύλλα βλέπουμε ότι σχηματίζουν γωνία 1788º δηλαδή πέντε περίπου πλήρεις στροφές. [ κατ’ ακρίβεια 4,96 ]. Και πάλι οι αριθμοί 13 και 5 ανήκουν στην ακολουθία Fibonacci. Αν πάμε στα 21 φύλλα έχουμε 8,02 στροφές των 360º.  Εδώ και πάλι εμφανίζονται οι  αριθμοί Fibonacci 8 και 21. Το ίδιο το άνθος του Ηλιοτροπίου παρουσιάζει δεξιόστροφες και αριστερόστροφες σπείρες. Οι αριθμοί των σπειρών είναι διαδοχικοί αριθμοί Fibonacci. Συνήθως παρουσιάζονται οι ακόλουθοι αριθμοί: 13  αριστερόστροφες σπείρες και 21 δεξιόστροφες. ή 21  αριστερόστροφες και 34  δεξιόστροφες. Είναι αξιοσημείωτο ότι, αν πάρουμε μια τυχαία μεμονωμένη σπείρα και μετρήσουμε τους κόκκους της και πάλι βρίσκουμε κάποιο διψήφιο αριθμό  Fibonacci. Το ίδιο παρατηρούμε και στον κόμβους πάνω στην εξωτερική επιφάνεια του ανανά, ή ενός κάκτου. Διακλαδωμένα φυτά Ο αριθμός των κλάδων που αναπτύσσονται πάνω σε ένα αρχικό κλαδί ακολουθεί συχνά την ακολουθία Fibonacci. Παρατηρείται ότι ένας  νεαρός βλαστός χρειάζεται δύο μήνες για να γίνει αρκετά μεγάλος για να αναπτύξει πάνω του νέα διακλάδωση και ακολούθως αναπτύσσει μια νέα διακλάδωση κάθε ένα μήνα. Το ίδιο ισχύει βέβαια και για τα θυγατρικά κλαδιά που αναπτύσσονται.  Στο τέλος του 1ου μήνα έχουμε ένα κλάδο, ενώ στο τέλος του δεύτερου έχουμε δεύτερο κλαδί. Στο τέλος του τρίτου μήνα τα κλαδιά γίνονται τρία, αφού το αρχικό κλαδί διακλαδώνεται ξανά. Στο τέλος του τέταρτου μήνα οι κλάδοι γίνονται πέντε. Διακλαδώνονται ο πρώτος και ο δεύτερος κλάδος Στο τέλος του πέμπτου μήνα οι διακλαδώσεις γίνονται οκτώ εφόσον διακλαδώνονται ο πρώτος δεύτερος και τρίτος κλάδος. Η διακλάδωση βέβαια μπορεί να συνεχιστεί μέχρι κάποιο όριο με αυτό το ρυθμό. Αν δεν πιστεύετε ότι αυτό γίνεται στην πράξη παρατηρείστε και θα βρείτε τα δικά σας παραδείγματα χρυσής διακλάδωσης φυτών. Χρυσή τομή και ανθρώπινο σώμα. Η χρυσή τομή παρουσιάζεται στις αναλογίες ενός ιδανικού ανθρώπινου σώματος στις ακόλουθες περιπτώσεις: 1. Αν χωρίσουμε το σώμα σε δύο άνισα τμήματα, με σημείο διαχωρισμού τον ομφαλό. Είναι φανερό ότι το πάνω μέρος  είναι μικρότερο από το κάτω, ποια όμως  είναι η αναλογία των δύο μερών; Η απάντηση είναι ότι ο λόγος των δύο μερών είναι ο αριθμός Φ =  ( 1 + √5 )/2 = 1,618.... Όμως οι εκπλήξεις δεν τελειώνουν εδώ. Ο αριθμός Φ εμφανίζεται και στα ακόλουθα: 2. Ο λόγος του ύψους του συνολικού ανθρώπινου σώματος προς το ύψος του μεγαλύτερου από τα δύο τμήματα του προηγούμενου παραδείγματος είναι πάλι Φ. 3. Ο λόγος του ύψους του τμήματος του σώματος που ορίζεται από τις οριζόντιες γραμμές που περνούν αντίστοιχα από τον ομφαλό και τις θηλές του στήθους, προς το ύψος του τμήματος που προσδιορίζεται από την οριζόντιες γραμμές που ορίζουν οι θηλές και η  βάση του λαιμού είναι πάλι Φ. 4.    Ο λόγος του τμήματος που ορίζεται από τις οριζόντιες γραμμές που περνούν αντίστοιχα από το ψηλότερο σημείο της κεφαλής και τις θηλές του στήθους, προς το ύψος του τμήματος που ορίζουν οι οριζόντιες γραμμές που περνούν από τις θηλές και τον ομφαλό είναι πάλι Φ. 5. Το πηλίκο του μήκους του διαστήματος  [ κορυφή κεφαλής – γραμμή φρυδιών ] προς το μήκος του διαστήματος [ γραμμή φρυδιών – κάτω άκρο μύτης ] είναι ο αριθμός της χρυσής τομής 1,618033... 6. Όμοια το μήκος του τμήματος [ κορυφή κεφαλής – κάτω άκρο μύτης ] προς το μήκος του τμήματος [ κάτω άκρο μύτης – κάτω άκρο λαιμού] είναι και πάλι Φ. 7. Κάθε δάκτυλο του χεριού του ανθρωπίνου σώματος έχει τρεις φάλαγγες, με την πρώτη φάλαγγα να είναι μεγαλύτερη από τη δεύτερη και τη δεύτερη μεγαλύτερη από την τρίτη. Αν προσθέσουμε το μήκος της δεύτερης και της τρίτης φάλαγγας και διαιρέσουμε το άθροισμα  με το μήκος της πρώτης προκύπτει και πάλι ο αριθμός της χρυσής τομής. 8. Ανακεφαλαιώνοντας όσα είπαμε στις παραγράφους 1-6 μπορούμε να προσδιορίσουμε όλα τα μήκη του ιδανικού ανθρώπινου σώματος βάση του αριθμού της χρυσής τομής ως εξής: Γραμμή φρυδιών – κάτω άκρη μύτης = α    [ όπου α σταθερά ] Γραμμή φρυδιών – κορυφή κεφαλής = α Φ Κάτω άκρη μύτης – κορυφή κεφαλής = α Φ² Κάτω άκρη μύτης – βάση λαιμού = α Φ Συνολικό ύψος λαιμού και κεφαλής = α Φ³ Συνολικό ύψος τμήματος που ορίζεται από τη βάση του λαιμού και τις θηλές του στήθους = α Φ²  Τμήμα [ Θηλές στήθους – κορυφή  κεφαλής ] = α Φ⁴ Συνολικό ύψος τμήματος [ μέση (ομφαλός ) – κορυφή κεφαλής ] = α Φ⁵ Συνολικό ύψος τμήματος [ πέλμα (πατούσα ) – μέση ( ομφαλός ) ] = α Φ⁶ Συνολικό ύψος σώματος = α Φ⁷ Αν υποθέσουμε ότι ένα κανονικό ανθρώπινο σώμα είναι 1,80 m τότε τα ιδανικά μήκη των προαναφερθέντων μερών είναι: Γραμμή φρυδιών – κάτω άκρη μύτης » 6,2 cm Γραμμή φρυδιών – κορυφή κεφαλής  »10 cm Κάτω άκρη μύτης – κορυφή κεφαλής » 16,2 cm Κάτω άκρη μύτης – βάση λαιμού »10 cm Συνολικό ύψος λαιμού και κεφαλής » 26,3 cm Συνολικό ύψος τμήματος που ορίζεται από τη βάση του λαιμού και τις θηλές του στήθους = 16,2 cm  Τμήμα [ Θηλές στήθους – κορυφή  κεφαλής ] » 42,5 cm Συνολικό μήκος τμήματος [ μέση (ομφαλός ) – κορυφή κεφαλής ] » 68,8 cm Συνολικό μήκος τμήματος [ πέλμα (πατούσα ) – μέση ( ομφαλός ) ]  » 111,2 cm Επίλογος  Η χρυσή τομή, ο αριθμός που συνδέει τα μαθηματικά με την αισθητική, δεν είναι μόνο μια αφηρημένη μαθηματική σταθερά, αλλά ενυπάρχει στις αναλογίες των φυτών και του ανθρωπίνου σώματος. Στα πλαίσια ενός άρθρου δεν μπορούν να αναφερθούν όλα τα παραδείγματα, τα οποία μπορούν να καλύψουν βιβλία ολόκληρα. Δίνουμε κατωτέρω βιβλιογραφία για όποιο θέλει να ερευνήσει περαιτέρω το ενδιαφέρον αυτό θέμα. Βιβλιογραφία 1. Livio Mario Ο Χρυσός Λόγος, Η ιστορία του Φ, του εκπληκτικότερου αριθμού, εκδόσεις Ενάλιος 2. Τσιμπουράκη Δημήτρη, Η Γεωμετρία και οι εργάτες της στην αρχαία Ελλάδα, εκδόσεις, ALIEN 3. Corbalan Fernando, Η χρυσή τομή, Η μαθηματική γλώσσα  της ομορφιάς, εκδόσεις Τέσσερα πι 4. Ευαγγελόπουλος Δημήτρης, Ιερή Γεωμετρία, εκδόσεις Αρχέτυπο. 5. Σπανδάγου Ευάγγελου, η Χρυσή Τομή στην αρχαία Ελλάδα, εκδόσεις Αίθρα. Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στο συγγραφέα

Η μέθοδος Αρχύτα για τον υπολογισμό τετραγωνικών ριζών ακεραίων

Του Μιχάλη Α. Πόλη

Εκπαιδευτικού

Ο Αρχύτας¹ υπολόγιζε τετραγωνικές ρίζες μη τετραγώνων ακεραίων φυσικών αριθμών με την ακόλουθη προσεγγιστική μέθοδο.

Υπολογισμός τετραγωνικής ρίζας  του φυσικού αριθμού α [ α Î Ν ]

1. Υπολογίζουμε το φυσικό αριθμό β ο οποίος εκφράζει το ακέραιο μέρος της τετραγωνικής ρίζας δηλαδή:

α = β² + γ         [ γ < (2 β +1) ]

και (β+1)² > α

2. Βρίσκουμε τον αριθμητικό² και τον αρμονικό³ μέσο του  β και του κλάσματος α / β  . Ονομάζουμε τον αριθμητικό μέσο Μ 1  και τον αρμονικό μέσο Α 1

Μ 1 =  ( β + α / β  )/2

Þ Μ 1 = ( β² + α   )/2β

 Α 1 = 2 α β  / ( β² + α )

3. Διατυπώνουμε την πρώτη προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας που είναι:

Α 1 < √ α < Μ 1 

Þ [2 α β  / ( β² + α )] < √ α < [( β² + α   )/2β]

4. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία. Βρίσκουμε τον αριθμητικό και τον αρμονικό μέσο των Α 1  και  Μ 1 , και τους ονομάζουμε αντίστοιχα Μ 2 και  Α 2 . Έχουμε:

Μ 2   = ( Μ 1 + Α 1 )/2

Þ Μ 2   = ½{ [( β² + α   )/2β ] + [ 2 α β  / ( β² + α ) ] }

Þ Μ 2   = [α² + 6 α β² + β⁴ ] / [ 4 β³ + 4 α β ]

Α 2= 2 Μ 1 . Α 1   / ( Μ 1 + Α 1 )

Þ Α 2 = [ 4 β³ + 4 α β ]  / [α² + 6 α β² + β⁴ ]

Þ  { [ 4 β³ + 4 α β ]  / [α² + 6 α β² + β⁴ ]} < √ α < [α² + 6 α β² + β⁴ ] / [ 4 β³ + 4 α β ]

5. Με κάθε επόμενη επανάληψη , η προσέγγιση γίνεται καλύτερη.

Παραδείγματα

1. Να βρεθεί προσέγγιση της √13 με τη μέθοδο του Αρχύτα.

13 = β² + γ= 3² + 4 και α=13 , β=3

Ακολούθως πρέπει να υπολογίσουμε τον αριθμητικό και τον αρμονικό μέσο των αριθμών 13 και 13/3

Μ 1 = ( β + α / β  )/2 = (3 + 13/3 )/2 = 22/6=11/3

Α 1 = 2 α .β/ ( α + β² ) = [ (2 . 13. 3 )/22 ]

ÞΑ 1 = 78/ 22

Þ Α 1 = 39 /11

Η προσέγγιση της √13 ισούται λοιπόν με:

Α 1 < √ α < Μ 1 

Þ    39 / 11 < √13 < 11/3           

   δηλαδή: 3,545454545 < √13 < 3,666666

Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία και βρίσκουμε τον αριθμητικό και τον αρμονικό μέσο των  11 / 3 και 39/11

Μ 2   = ( Μ 1 + Α 1 )/2

Þ Μ 2   = [ (11 /3) + (39/11) ] /2= 238/66

Þ Μ 2   = 119/33

Α 2= 2 Μ 1 . Α 1   / ( Μ 1 + Α 1 )

Þ Α 2= [2 . (11/3) ( 39/11) ]/ [(11/3) + (39/11)]

Þ Α 2= 858/238=429/119

Α 2 < √ α < Μ 2 

Þ  (429/119) < √13 < (119/33)                    

Σε δεκαδική μορφή:  3,605042017..< √13  < 3,606060606...

Η προσέγγιση είναι ορθή στα πρώτα 2 δεκαδικά ψηφία. Αν συνεχίσουμε βρίσκουμε ακόμα καλύτερες ρητές προσεγγίσεις της √13 με ταχύτατη σύγκλιση.

Μ 3   = ( Μ 2 + Α 2 )/2

Þ Μ 3   = [ (119 /33) + (429/119) ] /2= 28318/7854

Þ Μ 3   = 14159/3927

Α 3= 2 Μ 2 . Α 2   / ( Μ 2 + Α 2 )

Þ Α 3= [2 . (119/33) ( 429/119) ]/ [(119/33) + (429/119)]

Þ Α 3= 51051/14159

Α 3< √ α < Μ 3 

Þ  (51051/14159) < √13 < (14159/3927)                    

Σε δεκαδική μορφή:  3,605551239...< √13  < 3,605551311...

Η προσέγγιση είναι ορθή στα πρώτα 5 δεκαδικά ψηφία. Αν συνεχίσουμε βρίσκουμε ακόμα καλύτερες ρητές προσεγγίσεις της √13

2. Να βρεθεί προσέγγιση της √ 29 με τη μέθοδο του Αρχύτα.

29 = 5² + 4

α=29,  β=5

Προφανώς πρέπει να υπολογίσουμε τον αριθμητικό και τον αρμονικό μέσο των αριθμών 5 και 29/5

Μ 1 =  (5 + 29/5 )/2 = 27/5

Α 1 = 2 α .β/ ( α + β² ) =   (2 . 5. 29)  / (29 + 25)

ÞΑ 1 =   290/ 54

Þ Α 1 = 145 / 27

Η προσέγγιση της √29 ισούται λοιπόν με: Α 1 < √ α < Μ 1 

Þ    145 / 27 < √ 29 < 27/5           

   δηλαδή: 5,37037037 < √ 29 < 5,4

Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία και βρίσκουμε τον αριθμητικό και τον αρμονικό μέσο των  145/27 και 27/5

Μ 2   = ( Μ 1 + Α 1 )/2

Þ Μ 2   = (145/27 + 27/5 )/2

Þ Μ 2   = 727/135

Α 2= 2 Μ 1 . Α 1   / ( Μ 1 + Α 1 )

Þ Α 2= [2 . (27/5) ( 145/27) ]/ ( 27/5 + 145/27)

Þ Α 2= 3915/727

Þ  (3915/727) < √ 29 < (727/135)                    

Σε δεκαδική μορφή:  5,38514 4429..< √ 29 < 5,385185185...

Η προσέγγιση είναι ορθή στα πρώτα 4 δεκαδικά ψηφία. Αν συνεχίσουμε βρίσκουμε ακόμα καλύτερες ρητές προσεγγίσεις της √ 29 με ταχύτατη σύγκλιση.

Μ 3   = ( Μ 2 + Α 2 )/2

Þ Μ 3   = [ (727 /135) + (3915/727) ] /2= 28318/7854

Þ Μ 3   = 1057054/196290

Α 3= 2 Μ 2 . Α 2   / ( Μ 2 + Α 2 )

Þ Α 3= [2 . (727/135) ( 3915/727) ]/ [(727/135) + (3915/727)]

Þ Α 3= 5692410/1057054

Α 3< √ α < Μ 3 

Þ  (5692410/1057054) < √29 < (1057054/196290)                    

Σε δεκαδική μορφή:  5,385164807095947...< √29  < 5,385164807173060...

Η προσέγγιση είναι ορθή στα πρώτα 9 δεκαδικά ψηφία. Αν συνεχίσουμε βρίσκουμε ακόμα καλύτερες ρητές προσεγγίσεις της √29

Σημειώσεις

1. Ο Αρχύτας (428 – 347 π Χ) ήταν Πυθαγόρειος Φιλόσοφος  και Μαθηματικός . Καταγόταν από τον Τάραντα της Μεγάλης Ελλάδας. Ήταν μαθητής του Φιλόλαου του Κροτωνιάτη. Κατασκεύασε την πρώτη ιπτάμενη μηχανή στην Ιστορία της ανθρωπότητας. Ανακάλυψε την τροχαλία και τον κοχλία. Κατάφερε να δώσει μια πρωτότυπη λύση του προβλήματος της Δήλου, δηλαδή του διπλασιασμού του κύβου. Αναφέρονται οι τίτλοι δύο βιβλίων που έγραψε, με τίτλο «Αρμονικός» και «Διατριβαί» Υπήρξε δάσκαλος σπουδαίων ανδρών όπως του Πλάτωνα και του Ευδόξου.

Πέραν της φιλοσοφικής και μαθηματικής του κατάρτισης, ο Αρχύτας ήταν και επιφανής στρατηγός. Οι συμπολίτες του τον αγαπούσαν και τον θαύμαζαν, γι’ αυτό τον εξέλεξαν εφτά φορές κυβερνήτη του Τάραντα. 

2. Ο αριθμητικός μέσος δύο αριθμών ισούται με το μισό του αθροίσματος τους. Ο αριθμητικός μέσος του α και β προφανώς ισούται:

Μ =  ( β + α  )/2

3. Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε τον αρμονικό μέσο των αριθμών α, και β. Αν ονομάσουμε το ζητούμενο αριθμό γ, τότε οι αριθμοί 1/α, 1/γ και 1/β αποτελούν αριθμητική πρόοδο. Έχουμε:

2/ γ = 1/α + 1/β

Þ 2/ γ = (α + β ) / α .β

Þ  γ = 2 α .β/ ( α + β )

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στο συγγραφέα.