Στωική Φιλοσοφία

 Επίκτητος, Εγχειρίδιο 15.1

Μέμνησο ὅτι ὡς ἐν συμποσίῳ σε δεῖ ἀναστρέφεσθαι. περιφερόμενον γέγονέ τι κατὰ σέ· ἐκτείνας τὴν χεῖρα κοσμίως μετάλαβε. παρέρχεται· μὴ κάτεχε. οὔπω ἥκει· μὴ ἐπίβαλλε πόρρω τὴν ὄρεξιν, ἀλλὰ περίμενε μέχρις ἂν γένηται κατὰ σέ. οὕτω πρὸς τέκνα, οὕτω πρὸς γυναῖκα, οὕτω πρὸς ἀρχάς, οὕτω πρὸς πλοῦτον· καὶ ἔσῃ ποτὲ ἄξιος τῶν θεῶν συμπότης. ἂν δὲ καὶ παρατεθέντων σοι μὴ λάβῃς ἀλλ' ὑπερίδῃς, τότε οὐ μόνον συμπότης τῶν θεῶν ἔσῃ, ἀλλὰ καὶ συνάρχων. οὕτω γὰρ ποιῶν Διογένης καὶ Ἡράκλειτος καὶ οἱ ὅμοιοι ἀξίως θεῖοί τε ἦσαν καὶ ἐλέγοντο.

Ελεύθερη απόδοση.

Να θυμάσαι ότι πρέπει να συμπεριφέρεσαι στη ζωή σου με μέτρο, κόσμια, όπως αν βρίσκεσαι σε επίσημη συνεστίαση ( συμπόσιο). Περιφέρονται από χέρι σε χέρι τα κεράσματα μέχρι που φτάνουν κοντά σου. Έκτεινε τη χείρα με κοσμιότητα και λάβε μόνο την αναγκαία ποσότητα. Αν ο δίσκος σε προσπεράσει μην τον ακολουθήσεις με λαίμαργη διάθεση. Αν καθυστερεί, έλεγξε την όρεξη σου και δείξε υπομονή μέχρι να φτάσει κοντά σου. Αν ομοίως με εγκράτεια φέρεσαι προς τα παιδιά,  τη γυναίκα σου, τον πλούτο, την επίδειξη, τα αξιώματα, την ψεύτικη καταξίωση, θα γίνεις άξιος συμπότης των θεών. Υπάρχει όμως και ένα ανώτερο στάδιο. Αν επιπλέον καταφέρεις να δείξεις εγκράτεια και δεν απλώσεις καν το χέρι σου στα εφήμερα αγαθά και τη δόξα του μάταιου αυτού κόσμου που παρέρχεται, τότε δεν θα είσαι μόνο άξιος συμπότης των θεών, αλλά και συνάρχοντας τους. Θα φτάσεις  στο επίπεδο ευδαιμονίας, μακαριότητας και σοφίας που έφτασαν θείοι άνδρες όπως τον Διογένη και τον Ηράκλειτο.

: Η σημασία της απάθειας ( ψυχικής ανθεκτικότητας)

 ἐπεὶ τί ἐστιν αὐτὸ τὸ λοιδορεῖσθαι; παραστὰς λίθον λοιδόρει: καὶ τί ποιήσεις; ἂν οὖν τις ὡς λίθος ἀκούῃ, τί ὄφελος τῷ λοιδοροῦντι;  ἂν δ᾽ ἔχῃ τὴν ἀσθένειαν τοῦ λοιδορουμένου ὁ λοιδορῶν ἐπιβάθραν, τότε ἀνύει τι. Επίκτητος Διατριβαί Α΄ 25.28

 Ελεύθερη Απόδοση

Τι σημασία έχει αν κάποιοι σε λοιδορούν; Για να το αντιληφθείς στάσου απέναντι από ένα βράχο και άρχισε να τον κοροϊδεύεις  και να  τον βρίζεις. Τι θα καταφέρεις; Απολύτως τίποτε. Αν λοιπόν καταφέρεις να  εκπαιδεύσεις τον εαυτό σου ώστε να αποκτήσεις την ψυχική ανθεκτικότητα να ακούς τις προσβολές ατάραχος σαν την πέτρα, τότε ποιο το όφελος για αυτόν που σε προσβάλλει; Θα βαρεθεί και ηττημένος θα φύγει. Αν όμως είσαι ευαίσθητος στις προσβολές, αυτός θα πετύχει την (νοσηρή) ικανοποίηση ότι κατάφερε  να σε κάνει να υποφέρεις.

Η σημασία της δοκιμασίας για το δυνάμωμα της προσωπικότητας.

“Ignis aurum probat, miseria fortes viros”.

Ελεύθερη Απόδοση

«Όπως μέσα από το καμίνι της φωτιάς ξεχωρίζει και εξέρχεται ατόφιος από τις φτηνές προσμίξεις και σκουριές  ο χρυσός,  έτσι και μέσα από τις αντιξοότητες  και τις δοκιμασίες ψήνεται, ωριμάζει και αναδεικνύεται ο γενναίος άνδρας»

Σενέκας, De providentia, 5.10

Παραμετρικές αναδρομικές ακολουθίες

 

Μαθηματικά Προβλήματα

 

1^ο ζητούμενο

(ΑΒΓ) = Ε

⤇ (ΑΒΔ) = (ΒΓΕ) = (ΑΓΖ) = ⅓ Ε

 (ΑΒΔ) + (ΒΓΕ) + (ΑΓΖ) = (ΑΒΓ) = Ε                             (1)

(ΑΒΔ) + (ΒΓΕ) + (ΑΓΖ) = 2(ΑΖΚ) + (ΒΖΚΛ) + 2(ΒΔΛ) +(ΓΔΛΜ) + 2(ΓΕΜ) +(ΑΕΜΚ)

⤇(ΑΒΔ) + (ΒΓΕ) + (ΑΓΖ) = [(ΑΖΚ) + (ΒΖΚΛ) + (ΒΔΛ) +(ΓΔΛΜ) + (ΓΕΜ) +(ΑΕΜΚ) ] + [(ΑΖΚ) +(ΒΔΛ) +(ΓΕΜ) ]

⤇(ΑΒΔ) + (ΒΓΕ) + (ΑΓΖ) = (ΑΒΓ) – (ΚΛΜ) + [(ΑΖΚ) +(ΒΔΛ) +(ΓΕΜ) ]                  (2)

Εκ της (1) και (2) έχουμε:

(ΑΒΓ) =(ΑΒΓ) – (ΚΛΜ) + [(ΑΖΚ) +(ΒΔΛ) +(ΓΕΜ) ]

⤇(ΚΛΜ) = (ΑΖΚ) +(ΒΔΛ) +(ΓΕΜ)

……………………………………………………………………………………………………………

2^ο ζητούμενο

(ΑΖΚ) = α,  (ΒΖΚΛ) = β, (ΒΔΛ) =γ, (ΓΔΛΜ) = δ, (ΓΕΜ) = ε, (ΑΕΜΚ) = ζ, (ΚΛΜ) = η

(ΒΓΖ) = (ΑΒΕ) = (ΑΓΔ) = ⅔ Ε

⤇ β +γ +δ +η = α +β +ζ +η = δ +ε +ζ +η

⤇ β +γ +δ  = α +β +ζ  = δ +ε +ζ

⤇ (ΖΒΓΜΛΚ) =(ΑΒΛΚΜΕ)= (ΓΔΛΜΚΑ)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Έστω ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο ΑΓ=ΓΒ και ΑΓ/ΑΒ=2. Γράφουμε τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΓΔ ( ΑΔ=ΔΓ , ΑΔ/ΑΓ =3/2) , ΓΒΕ (ΓΕ=ΕΒ, ΓΕ/ΓΒ = 3/2), ΑΒΖ ( ΑΖ=ΖΒ και ΑΖ/ΑΒ =3 ) και ακολούθως σχηματίζουμε το τετράπλευρο ΔΓΕΖ. Να υπολογιστούν:

1.       Ο λόγος εμβαδών (ΔΓΕΖ)/(ΑΒΓ)

2.       Ο λόγος περίμετρος ΔΓΕΖ προς ΑΒ

3.       Οι  γωνίες του τετράπλευρου ΔΓΕΖ

Λύση:

1)       ΑΒ=χ ⤇ ΑΓ=ΓΒ=2χ  ⤇ ΑΒ² = ΑΓ²+ΒΓ² -2ΑΓ.ΓΒσυνΓ ⤇χ² = 8χ² -8χ²συνΓ ⤇ 1 = 8 -8συνΓ ⤇συνΓ =0,875   ⤇∠ΑΓΒ=28⁰,95502437 ⤇∠ΓΑΒ=∠ΑΒΓ=75⁰,52248782, (ΑΒΓ)=½ΑΓ.ΒΓημΓ=2χ².0,234375= 0,9682245836 χ²

 

2)      ΑΔ=ΔΓ=3χ  ⤇ΑΓ²=ΑΔ²+ΔΓ²-2ΑΔ.ΔΓσυνΔ   ⤇4χ²=18χ²-18χ²συνΔ ⤇2=9-9συνΔ ⤇ συνΔ=7/9 ⤇ημΔ= 0,628539361 ⤇ ∠ΑΔΓ=38⁰,94244127 ⤇∠ΔΑΓ=∠ΑΓΔ=70⁰,52877937

 (ΑΓΔ) =½ΑΔ.ΔΓημΔ= 2,828427125 χ²

3)      Ομοίως: ∠ΒΓΕ =∠ΓΒΕ = 70⁰,52877937  , ∠ΓΕΒ=38,94244127  , (ΓΒΕ) = 2,828427125 χ²

4)      ΑΒ=χ, ΑΖ=ΒΖ=3χ, ⤇ΑΒ²=ΑΖ²+ΖΒ²-2ΑΖ.ΖΒσυνΖ ⤇ χ²=18χ²-18χ²συνΖ

⤇ 1=18-18συνΖ  ⤇ συν Ζ=17/18  ⤇∠ΑΖΒ= 19,18813645 , ημΖ=0,328671099

⤇ ∠ ΖΑΒ = ∠ ΑΒΖ = 80,40593177, (ΑΖΒ) = ½ ΑΖ.ΖΒ. ημΖ = 1,479019946 χ²

 

5)      ∠ ΔΑΖ = 360⁰ -( ∠ΔΑΓ +∠ΓΑΒ + ∠ΖΑΒ ) = 360⁰ -70,52877937 -75,52248782 - 80,40593177

⤇∠ ΔΑΖ =133,542801   και ομοίως ∠ΖΒΕ=133,542801 

 και ∠ΑΔΖ = ∠ΔΖΑ = ∠ ΒΖΕ =∠ΒΕΖ =23⁰,2285995

6)      ΔΖ² = ΔΑ² + ΑΖ² - 2 ΔΑ.ΑΖ συν(∠ΔΑΖ) = 18χ² - 18χ². (-0,688896251)=30,40013253 χ²

⤇ΔΖ=ΖΕ= 5,513631519 χ.    (ΔΑΖ) = (ΖΒΕ) =½ΔΑ.ΔΖ.ημ133.542801 =3,261869798 χ² 

7)      Οι γωνίες του τετράπλευρου ΔΓΕΖ είναι:

∠ΔΖΕ =∠ΔΖΑ + ∠ΑΖΒ +∠ ΒΖΕ =65⁰,64533545

∠ ΖΔΓ =∠ΖΕΓ = ∠ΑΔΖ +∠ΑΔΓ= 23⁰,2285995 +38⁰,94244127 = 62⁰, 17104077

∠ ΔΓΕ = ∠ΔΓΑ + ∠ ΑΓΒ +∠ ΒΓΕ  =70⁰,52877937 + 28⁰,95502437+70⁰,52877937 =170⁰, 0125831

Οι πλευρές του τετράπλευρου ΔΓΕΖ είναι: ΔΓ=ΓΕ= 3χ, ΔΖ=ΖΕ = 5,513631519 χ 

⤇Περίμετρος  ΔΓΕΖ = 17,02726304 χ .   Λόγος περιμέτρου ΔΓΕΖ / ΑΒ = 17,02726304

8)      (ΔΓΕΖ)=(ΑΒΓ) +2(ΑΔΓ)+2(ΔΑΖ)+(ΑΒΖ)=14,62783838 χ²            (ΔΓΕΖ)/(ΑΒΓ)=15,10789813

Έστω το ζητούμενο εμβαδόν του σκιασμένου τμήματος Ε

(ΑΒΓ) =¼ α²√3 = 0,433012701 α²

Έστω ΖΔ= χ ⤇ ΔΕ = χ. Φ    [ Φ=½ (1+√5)]

Έστω ∠ΒΖΔ = Ζ1  ⤇  Ζ1 = 30⁰   εφΖ1= ΒΔ/ΖΔ ⤇ ΒΔ =ΖΔ εφ30⁰ = χ/√3

⤇ χ. Φ + 2χ/√3 =α    ⤇ χ = α√3/ ( 2+Φ√3) = 0,360654794 α

⤇ ΔΖ = ΕΗ = 0,360654794 α

⤇ ΔΕ = ΖΗ = 0,583551715 α     ⤇ (ΑΖΗ) = 0,147454943 α²

⤇ ΒΔ = ΕΓ = 0,208224142 α

ΒΖ² = ΒΔ² + ΔΖ²    ⤇ ΒΖ = 0,416448284 α

Το κέντρο του εγγεγραμμένου στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΖΔ κύκλου είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του. ⤇ ∠ΟΖΚ = Ζ3 = 30⁰  . Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΖΚ  ( ∠ΖΚΟ=90⁰) έχουμε ΟΚ = ρ, ΟΖ=2ρ και ΖΚ = ½ΖΗ = 0,291775857 α

ΟΖ² = ΖΚ²+ΟΚ² ⤇ ΖΚ = ρ√3   ⤇ ρ = ΖΚ/√3 = 0,168456869 α

Ε ( Ο, ρ ) = πρ² = 0,089151226 α²

Ε = (ΑΖΗ) - Ε ( Ο, ρ )= 0,147454943 α² - 0,089151226 α²

⤇ Ε = 0,058303716 α²