Παρασκευή 28 Ιουνίου 2019

Ο Ηράκλειτος μέσα από τις αρχαίες πηγές


ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ
Εισαγωγή:

        Η οποιαδήποτε προσπάθεια αναφοράς στη ζωή και τη φιλοσοφία του Ηράκλειτου μοιάζει με την προσπάθεια ανασύστασης μιας εικόνας από τις επιμέρους σκόρπιες ψηφίδες της. Εντοπίζουμε τις ακόλουθες αντικειμενικές δυσκολίες στο έργο αυτό:
Α) Στον εντοπισμό όλων των ψηφίδων, δηλαδή των αναφορών στη ζωή, τη διδασκαλία και τα λογια του Ηράκλειτου μέσα από αναφορές μελετητών της εποχής του.
Β) Στην ερμηνεία των διασωθέντων αποσπασμάτων που είναι αντικειμενικά δύσκολη, λόγω της σκοτεινής, διφορούμενης, και αποσπασματικής διατύπωσης του.
Γ) Στην διαπίστωση ότι τα αποσπάσματα που σώθηκαν αποτελούν μέρος, όχι ολόκληρη τη μεγάλη εικόνα. Κατά συνέπεια θα πρέπει κάποιος, κατά την προσπάθεια επανασύνθεσης της μεγάλης εικόνας της Ηρακλείτιας φιλοσοφίας, να συμπληρώσει κάποια κενά, έργο δύσκολο με εγγενή τη δυνατότητα να υποπέσει κανείς σε λάθη.
        Στα πλαίσια αυτά το δοκίμιο που ακολουθεί θα πάρει την εξής μορφή:
Α) Θα παρουσιάστουν οι αναφορές στη ζωή και το έργο του Ηράκλειτου μέσα από  έργα συγγραφέων της αρχαιότητας. Γιά κάθε αρχαίο συγγραφέα θα γίνεται σύντομη αναφορά στη δημόσια ζωή του, στο έργο του καθώς και παράφραση των αποσπασμάτων του που αναφέρονται στον Ηράκλειτο.
Β) Θα γίνει παράθεση αποσπασμάτων που περιέχουν φιλοσοφικές ρήσεις του Ηράκλειτου. Για κάθε απόσπασμα θα δίνεται η πηγή καθώς και η μετάφραση του. Κάποια αποσπάσματα με παραπλήσιο νόημα θα ομαδοποιούνται. Μετά την παράθεση, θα ακολουθεί ανάλυση, δηλαδή εξαγωγή νοημάτων, επέκταση τους, αναφορά στη διαχρονική ισχύ τους όπου αυτή υπάρχει. Τα συμπεράσματα, τα παραδείγματα και οι κρίσεις που δίνονται φανερώνουν το προβληματισμό του γράφοντος και την προσπάθεια του για εξαγωγή νοήματος από αυτά. Μπορείτε να συμφωνήσετε ή να διαφωνήσετε με τις προτεινόμενες ερμηνείες ακόμα δε και να προτείνετε τις δικές σας. Προβληματιστείτε με καθαρό μυαλό με τον Ηράκλειτο και σχεδιάστε τη δική σας παραλλαγή της μεγάλης εικόνας!
Γ) Ο σχολιασμός των επιμέρους αποσπασμάτων αποτελεί μια αναλυτική διαδικασία. Η αντίστροφη πορεία, δηλαδή από τα επιμέρους στο όλο είναι εξίσου αναγκαία. Στα πλαίσια αυτά θα γίνει μια συνολική αναφορά στο φιλοσοφικό σύστημα του Ηράκλειτου. Η αναφορά θα γίνει με επιμέρους κεφάλαια τα οποία θα προσπαθήσουν να δώσουν την επιμέρους φιλοσοφία του σκοτεινού φιλοσόφου στα ακόλουθα θέματα:
1) Ηράκλειτος και Χριστιανισμός: Ομοιότητες και διαφορές στη κοσμοθεωρία και την ηθική.
2) Η θέση του Ηράκλειτου στην Αρχαία Ελληνική διανόηση.
3) Η Ηρακλειτική θεώρηση του κόσμου και η σύγχρονη επιστήμη.
4) Η Θεολογία του Ηράκλειτου
5) Βασικές Ηρακλείτιες έννοιες: Λόγος, πυρ, κίνηση και ενότητα των αντιθέτων
6) Η γνωσιολογική θεωρία του μεγάλου Εφέσιου Φιλοσόφου: Άνθρωπος και γνώση.
7) Ηράκλειτος χρόνος και αιτιότητα.
Δ) Η όλη προσπάθεια δεν θα πρέπει να εξαντληθεί σε μια παράθεση δεδομένων. Θα προσπαθήσω, όσο μπορώ, να παρουσιάσω κάποιες αξιολογικές κρίσεις για το περιεχόμενο της Ηρακλείτιας φιλοσοφίας, τη θεολογία του, την επίδραση του στη σύγχρονη φιλοσοφία και Επιστήμη. 


Ηράκλειτος: Βιογραφία ( Πηγές )

Α)  Διογένης ο Λαέρτιος  

Έζησε τον 3ο μ.Χ αιώνα. Έγραψε το σύγγραμμα «Φιλοσόφων βίοι και δογμάτων συναγωγή» Αποτελείται από δέκα βιβλία, στα οποία κάνει αναφορά στη ζωή και τη διδασκαλία σπουδαίων φιλοσόφων της αρχαιότητας. Το σύγγραμμα πρωτοκυκλοφόρησε την εποχή του Ρωμαίου Αυτοκράτορα Αλέξανδρου Σεβήρου. Σ’ αυτό κάνει αναφορά στην φιλοσοφία των ανατολικών λαών. Ακολούθως αναφέρεται στην Ελληνική φιλοσοφία. Αρχίζοντας από τους προσωκρατικούς φτάνει μέχρι τους σύγχρονους του διανοήτες. Διασώζει σπουδαίες λεπτομέρειες, μεταξύ άλλων για τον Ηράκλειτο, τον Επίκουρο, τον Αναξαγόρα τον Σωκράτη και τον Πλάτωνα , τους Κυνικούς τους Στωϊκούς τον Πυθαγόρα και τους διαδόχους του, την Ελεατική σχολή. Το έργο του είναι πολυτιμότατο, μια αληθινή εγκυκλοπαίδεια της αρχαίας φιλοσοφίας. Πιο κάτω παραθέτω σε παράφραση, τις αναφορές του Διογένη στον Ηράκλειτο:

Kεφ. 9 , 1-17: Αναφέρει ότι Ο Ηράκλειτος γεννήθηκε στην Έφεσο. Ήταν γιος του Βλόσωνος ή του Ηράκωντος. Όταν έγινε η 69η Ολυμπιάδα, μεταξύ του 504 –501 π.Χ ήταν 40 χρονών , άρα γεννήθηκε γύρω στο 540 π.Χ. Χαρακτηρίζεται ως μεγαλόψυχος, αλλά και υπερόπτης, με μεγάλη ιδέα για τον εαυτό του και περιφρόνηση για την αμάθεια του πλήθους. Καταγόταν από αριστοκρατική οικογένεια.  Αρνήθηκε να νομοθετήσει , όταν του το ζήτησαν οι συμπολίτες του, επειδή θεωρούσε το πολίτευμα της Εφέσου φαύλο και ανεπίδεκτο βελτίωσης.Προτιμούσε να παίζει με τα παιδιά στο ναό της Αρτέμιδας , παρά να ασχοληθεί με τα κοινά της Εφέσου. Έγινε ερημίτης , απαρνήθηκε τα αξιώματα , έζησε στα γύρω βουνά τρεφόμενος με χόρτα και ασχολούμενος με τους προβληματισμούς και τις εσωτερικές του αναζητήσεις. Πέθανε σε ηλικία 60 χρόνων, λόγω της υδρωπικίας που έπασχε και του ανορθόδοξου  τρόπου που προσπάθησε να την αντομετωπίσει. Ο τρόπος αυτός ήταν ο ακόλουθος: Χώθηκε μέσα στα κόπρια ενός βουστασίου, ελπίζοντας ότι με τη θερμότητα τους θα εξάτμιζε τα υγρά και θα θεραπευόταν. Μια άλλη εκδοχή , που διάσωσε ο Έρμιππος,ήταν ότι ζήτησε από τους γιατρούς να του αδειάσουν το περιεχόμενο των εντέρων, αφού δε αυτοί αρνήθηκαν κατέφυγε, ως λύση απελπισίας στην κοπριά. Ο Νεάνθης ο Κυζικηνός αναφέρει ότι αγνώριστος από τις κοπριές των κατασπάραξαν τα σκυλιά.  Ονομάστηκε σκοτεινός λόγω της αμφισημίας των λόγων του. Οι διδαχές του προκάλεσαν ενδιαφέρον, από μικρός δε προκαλούσε τον θαυμασμό. Σε νεαρή ηλικία έλεγε ότι δεν ήξερε τίποτε, ενώ κατά την ωριμότητα του ότι ήξερε τα πάντα.
       Δεν μαθήτευσε σε κανένα δάσκαλο αλλά ήταν αυτοδίδακτος, κατά μια άποψη, ενώ κατά μια δεύτερη ήταν μαθητής του Ξενοφάνη. Υποστήριζε ότι απόκτησε τις γνώσεις του ερευνώντας τον εαυτό του. Ο Διογένης αναφέρει  πάνω από 10 γνωστούς μελετητές της αρχαιότητας που κάνουν σχόλια γιαυτόν στα συγγράμματα τους. Μεταξύ αυτών ο Δημήτριος ο Φαληρεύς , Ο Αντισθένης , ο Διόδοτος και άλλοι.
Λέγεται ότι έγραψε το σύγγραμμα «Περί φύσεως» , με υποκεφάλαια σχετικά με το σύμπαν, την πολιτική και τη θεολογία. Το έργο του κατέθεσε στον Ναό της Αρτέμιδος. Το έγραψε με αμφίσημο τρόπο για να μην είναι ευκολοκατανόητο, αλλά η γνώση που περιείχε να είναι προσβάσιμη μόνο σε σοβαρούς μελετητές.Ο Τίμων χαρακτηρίζει τον Ηράκλειτο κούκο που μιλούσε αινιγματικά και λοιδορούσε το πλήθος των αμαθών. Ο Αντισθένης αναφέρει ότι το γραπτό έργο του σκοτεινού φιλοσόφου έμεινε ημιτελές γιατί η μελαγχολία του τον εμπόδισε να το τελειώσει. Ο Αντισθένης στο έργο του διαδοχές τον χαρακτηρίζει μεγαλόψυχο, αφού παραιτήθηκε από τα δικαιώματα που είχε στο θρόνο της Εφέσου, προς όφελος του αδελφού του. Το σύγγραμμα «Περί Φύσεως» απόκτησε φήμη και δημιουργήθηκε φιλοσοφικό ρεύμα που ονομάστηκε «Ηρακλέιτειοι»
       Ο σκοτεινός φιλόσοφος θεωρούσε ως αρχή του παντός τη φωτιά ( πύρ ) , λέξη πίσω από την οποία θα μπορούσε να κρύβεται η σύγχρονη έννοια της ενέργειας. Τα πάντα δημιουργούνται από τη φωτιά και τελικά ξαναγίνονται φωτιά. Τα πάντα είναι γεμάτα από ψυχές και θεϊκά όντα. Η ενέργεια , με βάση τη σύχρονη φυσική αλλάζει μορφές , υλοποιήται και πάλι εξαϋλώνεται με βάση την ισοδυναμία ύλης ενέργειας. Η φωτιά με τη συμπύκνωση φτάνει σε υγρή κατάσταση , αυτή δε μπορεί να πυκνωθεί σε χώμα. ( Στερεά κατάσταση ). Η πορεία αυτή μπορεί να αντιστραφεί. Γενικά η εκπύρωση και η ξήρανση συμβολίζει την πνευματική άνοδο, ενώ η υγροποίηση την πτώση.
       Ανάφερε ότι το μέγεθος του ήλιου είναι ίσο με το πόδι του ανθρώπου, μιλώντας συμβολικά. Το σύμπαν είναι ένα και πεπερασμένο. Γεννιέται από τη φωτιά και σε τακτά χρονικά διαστήματα καταστρέφεται από αυτή, παθαίνοντας εκπύρωση. Είναι όμως βασικά αιώνιο γιατί περνά από ατέλειωτες εναλλασσόμενες φάσεις καταστροφής και αναδημιουργίας. Αυτές οι φάσεις καθορίζονται από την ειμαρμένη.  Τα πάντα γίνονται σύμφωνα με τον κανόνα των αντιθέτων, που λέει ότι υπάρχει βαθύτερη αρμονία και ενότητα των αντιθέσεων. Από τα αντίθετα αυτό που οδηγεί στην αλλαγή, την δημιουργία το ονόμασε συμβολικά πόλεμο και έριδα, ενώ αυτό που οδηγεί στην εκπύρωση την καταστροφή λέγεται συμφωνία και ειρήνη { Εξ’ ου ονόμασε τον πόλεμο αιτία των  πάντων }. Η μεταβολή {η κίνηση } είναι δρόμος προς τα πάνω και προς τα κάτω και αποτελεί το συνεχές γνώρισμα μιας αέναης δημιουργίας. Η φωτιά όταν συμπυκνωθεί γίνεται νερό, δηλαδή φτάνει στην υγρή κατάσταση και το νερό γίνεται στερεό με πήξη. Αυτός είναι ο δρόμος προς τα κάτω. Η ανηφορική οδός ακολουθεί την αντίστροφη διεύθυνση, δηλαδή από το στερεό στο υγρό και μετά στο αέριο και τη φωτιά. Η φωτιά αυξάνεται από τις φωτεινές αναθυμιάσεις και το νερό από τις σκοτεινές.
      Θεωρούσε τα άστρα ως σκάφες, με την κοίλη πλευρά τους στραμμένη προς εμάς, γεμάτες από φωτεινές αναθυμιάσεις δηλαδή φλόγες πυρός. Η πιο φωτεινή φλόγα είναι αυτή του ήλιου λόγω της απόστασης των άλλων αστέρων από τη γη που είναι μεγάλη, ενώ το άστρο της ημέρας βρίσκεται κοντά. Ο ήλιος κινείται σε τόπο διαυγή και καθαρό και κρατάει από εμάς συμμετρική απόσταση. Έκλειψη ήλιου και σελήνης συμβαίνει όταν οι σκάφες στρέφονται προς τα πάνω και οι φλόγες γίνονται αθέατες. Ομοίως οι φάσεις τις σελήνης οφείλονται στην περιστροφή της σκάφης της γύρω από τον εαυτό της. Η μέρα και η νύκτα, οι εποχές του έτους, οι καιρικές συνθήκες είναι αποτέλεσμα των αναθυμιάσεων. Η φωτεινή αναθυμίαση με φορέα τον ήλιο δημιουργεί τη μέρα, ενώ η σκοτεινή τη νύκτα. Με ένα ανάλογο μηχανισμό προκύπτει το καλοκαίρι και ο χειμώνας.
        Το σύγγραμμα του Ηράκλειτου έφερε για πρώτη φορά στην κυρίως Ελλάδα κάποιος Κράτης. Ο Κρότωνας για να τονίσει το δυσνόητο του συγγράμματος και το αινιγματικό του ύφος είπε ότι χρειάζεται Δήλιος κολυμβητής που δεν θα πνιγεί σε αυτό, εννοώντας ότι χρειάζεται βαθύς και οξύνους μελετητής για να το κατανοήσει. Ο Διόδοτος αποκαλεί το σύγγραμμα του Ηράκλειτου «Ακριβή οδηγό για την καθοδήγηση του βίου». Από άλλους αποδίδεται ο τίτλος « Γνώμονας συμπεριφοράς, ενιαία διάταξη των πάντων »
      Ο Δαρείος είχε μεγάλη επιθυμία να γνωρίσει τον Ηράκλειτο, αλλά ο τελευταίος δεν αποδέκτηκε την πρόσκληση του να τον επισκεφθεί. Ο Δημήτριος λέει στους «Ομωνύμους» ότι παρόμοια απαξιωτική συμπεριφορά έδειξε ο Ηράκλειτος προς τους Αθηναίους που τον εκτιμούσαν πολύ, ενώ προτιμούσε την πατρίδα του παρόλο που οι Εφέσιοι τον υποτιμούσαν. Οι ακόλουθοι προσπάθησαν να ερμηνεύσουν το έργο του: Αντισθένης, Ηρακλείδης ο Ποντικός, Κλεάνθης, ο Στωικός Σφαίρος, ο Παυσανίας που ονομάστηκε Ηρακλειτιστής, ο Διονύσιος και ο Νικομήδης.
      Ο Ιερώνυμος αναφέρει ότι ο ποιητής Σκυθινός προσπάθησε να μεταφέρει σε στίχους τους λόγους του Ηράκλειτου. Τα πιο κάτω επιγράμματα, αγνώστου στιχουργού, διασώθηκαν από το Διογένη το Λαέρτιο. Παραθέτω κατωτέρω τη μετάφραση τους:

Είμαι ο Ηράκλειτος. Τι με τραβολογάτε άξεστοι;/  Δεν κόπιασα για σας, αλλά γι’αυτούς που μ’ εννοούν./ Ένας άνθρωπος είναι για μένα τρεις μυριάδες/ και οι αμέτρητοι κανένας. Αυτά θα πω και στη Περσεφόνη.

Μη διαβάζεις γρήγορα το βιβλίο του Ηράκλειτου/ του Εφέσιου είναι πολύ δύσκολο το μονοπάτι./ Είναι σαν νύκτα και άφωτο σκοτάδι./ Αν όμως κάποιος μύστης σ’οδηγήσει,/ είναι πιο λαμπερό κι από τον φωτεινό ήλιο.

    Ο Διογένης αναφέρει ότι υπήρχαν άλλοι τέσσερεις γνωστοί άνδρες της αρχαιότητας με το ίδιο όνομα. Ένας λυρικός και ένας ελεγειακός ποιητής, ένας ιστοριογράφος και ένας γελωτοποιός.
     Στο κεφ. 2 , 22 ο Διογένης αναφέρει πως ο Ευριπίδης έδωσε στο Σωκράτη το σύγγραμμα του Ηράκλειτου για να το διαβάσει και να εκφράσει άποψη για το περιεχόμενο του. Ο τελευταίος όταν το διάβασε είπε πως αυτά που κατάλαβε ήταν σπουδαία, όπως και αυτά που δεν κατάλαβε . Για την προσέγγιση των τελευταίων χρειάζεται , είπε ο Σωκράτης , Δήλιος κολυμβητής. Η μεταφορική αυτή φράση του μεγάλου Αθηναίου, έδειχνε το μεγάλο φιλοσοφικό βάθος της διδαχής του Ηράκλειτου.

Β)Σουϊδα:
     Ονομασία ονομαστού λεξικού της Βυζαντινής εποχής. Γράφτηκε το 10ο αιώνα μ.Χ. Το όνομα του αποτελεί παραφθορά της λέξης Σούδα που σημαίνει λεξικό. Αποτελείται από 12 χιλιάδες λήμματα που αναφέρονται σε έργα και συγγραφείς της αρχαίας και της βυζαντινής περιόδου. Είναι πολύ σημαντικό γιατί διασώζει πληροφορίες από έργα που χάθηκαν. Ανάμεσα στα λήμματα του υπάρχουν 900 βιογραφικά, που αναφέρονται σε σημαντικούς συγγραφείς και άντρες  των γραμμάτων.
     Για τον Ηράκλειτο το λεξικό αναφέρει ότι ήταν γιος του Βλόσωνος ή του Βαύτωρος ή κατ’άλλους του Ηράκινος. Ήταν φυσικός φιλόσοφος και τον ονόμαζαν Σκοτεινό. Ήταν αυτοδίδακτος. Αρρώστησε με υδρωπικία, αλλά δεν άκουσε τις προτροπές των γιατρών για τη θεραπευτική αγωγή που έπρεπε να ακολουθήσει. Αλείφτηκε ολόκληρος με κοπριά και ξάπλωσε στον ήλιο για να στεγνώσει. Εκεί τον κατασπάραξαν κάποια σκυλιά. Κατά άλλη εκδοχή χώθηκε μέσα στην άμμο και πέθανε.Άκμασε κατά την εξηκοστή ένατη Ολυμπιάδα, όταν βασιλιάς των Περσών ήταν ο Δαρείος, ο γιος του Υστάρπη.

Γ)  Στράβωνας:
      Έλληνας φιλόσοφος, ιστορικός και γεωγράφος. Γεννήθηκε στην Αμάσεια του Πόντου το 66π.Χ.Ήταν παιδί πλούσιας οικογένειας γεγονός που το βοήθησε να αποκτήσει μεγάλη μόρφωση. Ήταν πολυτάξιδος και γύρισε όλη την περιοχή της ανατολικής Μεσογείου.Έγραψε 17 βιβλία με γεωγραφικό περιεχόμενο, στα οποία καταγράφει τις ταξιδιωτικές του εμπειρίες. Τα «Γεωγραφικά» συμπληρώνονται με στοιχεία που ο συγγραφέας αντλεί από άλλες πηγές. Ακόμα έγραψε τα « Ιστορικά υπομνήματα » από τα οποία σώθηκε μικρό μέρος. Σ’αυτά καταγράφει την ιδρύση και τη πρόοδο της Ρωμαϊκής αυτοκρατορίας, καθώς και την καταστροφή της Καρχηδόνας. Το έργο αυτό ήταν τεράστιο και αποτελείτο από 47 βιβλία. Πέθανε το 23 μ.Χ. Οι αναφορές του στον Ηράκλειτο είναι οι ακόλουθες:
 ΧΙV 3, σελ. 632:  Αναφέρει πληροφορίες για τη βασιλική οικογένεια της Εφέσου, γόνος της οποίας ήταν ο Ηράκλειτος. Αναφέρει ότι ιδρυτής της Εφέσου ήταν ο Άνδροκλος, γιος του Κόδρου βασιλιά της Αθήνας. Οι απόγονοι του Άνδροκλού ( μεταξύ αυτών και ο Ηράκλειτος ) ονομάζονται βασιλείς και τους αποδίδονται οι ακόλουθες τιμές: Κάθονται σε επίσημη θέση στους αγώνες, φορούν πορφύρα με διακριτικά του βασιλικού γένους, κρατούν ράβδο και τελούν τα ιερά μυστήρια της Δήμητρας.
XIV 25, σελ. 642: Ονομάζονται από το Στράβωνα οι ακόλουθοι αξιόλογοι άνδρες, γόνοι της Εφέσου: Ο Ηράκλειτος ο επονομαζόμενος  Σκοτεινός και ο Ερμόδωρος για τον οποίο ο Ηράκλειτος έτρεφε μεγάλη εκτίμηση. Όταν οι Εφέσιοι τον εξόρισαν ο Ηράκλειτος τους επέκρινε. Άγαλμα του υπάρχει στην αγορά της πόλης.
     Επίσης διάσωσε αποσπάσματα με λόγια του Ηράκλειτου με φιλοσοφικό περιεχόμενο. ( Αναφορά σε επόμενο κεφάλαιο)

Δ)  Κλήμης: 
     Θεολόγος, εκκλησιαστικός συγγραφέας και πατέρας της εκκλησίας. Γεννήθηκε στην Αλεξάνδρεια το 160 μ.Χ. Μαθήτευσε σε σπουδαίους δασκάλους και είχε ευρύτατη μόρφωση. Το 200μ.Χ. διαδέκτηκε το δάσκαλο του Πανταίνο ως επικεφαλής κατηχητικής σχολής. Αργότερα κατέφυγε στην Καισάρεια της Μικράς Ασίας όπυ και πέθανε το 216 μ.Χ. Σώθηκαν τα ακόλουθα βιβλία του: Στρωματείς ( 7 συγγράμματα ) , Ο Παιδαγωγός και Προτρεπτικός προς Έλληνες.
Στρωματείς 1, 65  αναφέρει ότι ο Ηράκλειτος έπεισε τον τύρανο Μελαγκόμα ν’ αφήσει την εξουσία. Ακόμα αναφέρει ότι ο φιλόσοφος δεν δέκτηκε πρόταση του Δαρείου να επισκεφθεί τη χώρα των Περσών.
Στρωματείς ΙΙ 130:Λένε ότι ο Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος είπε ότι σκοπός της ζωής είναι η γνώση και η ελευθερία που προέρχεται ακριβώς από τη γνώση. { Παράβαλε την ευαγγελική ρήση: Γνωρίστε την αλήθεια και αυτή θα σας ελευθερώσει}. Ο Ηράκλειτος ο Εφέσιος θεωρούσε ως σκοπό της ζωής την ευχαρίστηση.

Ε)  Πλούταρχος  
      Γεννήθηκε στη Χαιρώνεια το 47μ.Χ. Σπούδασε στην Αθήνα φιλοσοφία, μαθηματικά και ρητορική. Απέκτησε πολύπλευρη και πλατειά μόρφωση.Ταξίδεψε σε διάφορες χώρες της ρωμαϊκής αυτοκρατορίας και συνδέθηκε με διάφορους ανθρώπους των γραμμάτων και της πολιτικής της εποχής του. Έγραψε βιογραφίες διασήμων ανδρών της εποχής του. Όλες μαζί φέρουν τον τίτλο «Βίοι παράλληλοι». Αυτό γιατί ιστορούσε μαζί δύο προσωπικότητες, ένα Έλληνα και ένα Ρωμαίο, που κατά τη γνώμη του οι ιστορίες τους είχαν ομοιότητες. Από τα 64 ζεύγη βιογραφιών , σήμερα σώζονται 50.Άλλα έργα του είναι τα «Ηθικά» που περιλαμβάνουν 83 δοκίμια για την ηθική διαπαιδαγώγηση του ανθρώπου. Ακόμα το παιδαγωγικό βιβλίο « Περί παίδων αγωγής». Πεθαίνοντας το 127μ.Χ. άφησε πίσω του μνήμη αγαθή. Ακόμα και σήμερα αναγνωρίζεται ως ένας από τους σοφότερους δασκάλους της ανθρωπότητας. Οι αναφορές του στον Ηράκλειτο είναι οι ακόλουθες:
 Περί αδολεσχίας κεφ.17, σελ.511β . Ο Ηράκλειτος είναι αξιοθαύμαστος, γιατί εκφραζόμενος συμβολικά, χωρίς λόγια έδινε σοφά παραδείγματα στους συμπολίτες του. Για παράδειγμα, όταν οι κάτοικοι της Εφέσου ζήτησαν από τον Ηράκλειτο  να εκφέρει γνώμη για την ομόνοια, ανέβηκε στο βήμα, πήρε ένα κύπελο με κρύο νερό, ανακάτωσε μέσα κρίθινο αλεύρι , το ήπιε και έφυγε. Ήθελε να πει ότι προϋπόθεση της ομόνοιας είναι η το να αρκούνται οι άνθρωποι με όσα έχουν και να μην ζητούν περισσότερα. Η πλεονεξία είναι η μητέρα της διχόνοιας.
Περί των εκλελοιπόντων μυστηρίων ΙΙ. 415 e : Η ανθρώπινη γενιά κατά τον Ηράκλειτο διαρκεί 30 χρόνια. Το χρονικό αυτό διάστημα είναι αναγκαίο για να κάνει ο γεννήτορας το τέκνο του ικανό να γεννήσει ( και να αναθρέψει ) ένα νέο τέκνο.

Στ) Ο Αριστοτέλης:
      Κορυφαίος Έλληνας φιλόσοφος και πανεπιστήμονας. Το έργο του απετέλεσε και αποτελεί σημείο αναφοράς ακόμα και σήμερα. Γεννήθηκε στα Στάγιρα της Χαλκιδικής το 384π.Χ. Διατέλεσε μαθητής του Πλάτωνα για 20 χρόνια.Μετά το θάνατο του τελευταίου δίδαξε στην Άσσο της Τρωάδας και στη Μυτιλήνη.Το 342π.Χ. μετά από πρόσκληση του Φίλιππου του δευτέρου της Μακεδονίας αναλαμβάνει να διαπαιδαγωγήσει τον γιό του Αλέξαντρο.Το 335π.Χ. πήγε στην Αθήνα ίδρυσε δική του Φιλοσοφική Σχολή και δίδαξε εκεί για 12 χρόνια. Με το θάνατο του Αλεξάντρου το ίδιο έτος, φεύγει από την Αθήνα, αυτοεξοριζόμενος, για να αποφύγει μια ανυπόστατη κατήγορία για ασέβεια. Καταφεύγει στην Χαλκίδα όπου πεθαίνει ένα χρόνο αργότερα. Από τα τετρακόσια έργα που έγραψε σώθηκαν αρκετές δεκάδες. Ενδεικτικοί τίτλοι: « Ποιητική» , «Ρητορική», «Ηθικά Νικομάχεια» , «Τα Φυσικά» «Περί Ουρανού»κλπ. Ο Αριστοτέλης θεωρεί την κίνηση συνεχή όπως και το χρόνο. Μόνος ακίνητος είναι ο Θεός, που ως τόσο είναι η αιτία της κίνησης. «Το πρώτον Κινούν Ακίνητο». Ο Αριστοτέλης θεμελίωσε τον μονοθεϊσμό. Γιαυτό χαίρει μεγάλης εκτίμησης μεταξύ των μεταγενεστέρων χριστιανών θεολόγων ως πρόδρομος του Χριστιανισμού και γενάρχης της καταφατικής θεολογίας. Η γνωσιοθεωρία του μεγάλου Σταγειρίτη θεωρεί ότι φτάνουμε στην γνώση με τον Ορθό Λόγο{ παραγωγική λογική, εύρεση της γνώσης από το γενικό στο ειδικό } αλλά και ενορατικά { επαγωγική λογική, εξαγωγή του γενικού κανόνα από τον ειδικό με ενόραση. Το έργο του μεγάλου σοφού, οι απόψεις και οι θέσεις του είναι τόσο μεγάλο που θα μπορούσε κάποιος να γράψει βιβλία προσπαθώντας να το εκθέσει. Ας επανέλθουμε όμως και πάλι στον Ηράκλειτο, τον οποίο ο Σταγειρίτης διασώζει στα ακόλουθα αποσπάσματα:  
 Ρητορική Γ 5. 140 7β 11 : Τα γραπτά έργα πρέπει να γράφονται και να προφέρονται εύκολα.Αυτό γίνεται εφικτό όταν περιέχουν πολλούς συνδέσμους και καλή στίξη.Η ασαφής στίξη των έργων του Ηράκλειτου δυσκολεύει την κατανόηση τους. Αυτό γιατί είναι δύσκολο να αποφασίσεις αν κάτι συνδέεται με την προηγούμενη ή την επόμενη λέξη και ανάλογα με την παραδοχή που θα κάνεις αλλάζει το νόημα. Για παράδειγμα στο απόσπασμα « Τον λόγο αυτόν που υπάρχει πάντα οι άνθρωποι δεν τον κατανοούν» δεν είναι σίγουρο αν το πάντα αναφέρεται στον λόγο ή στους ανθρώπους. Ο λόγος υπάρχει πάντα; Ή  πάντα οι άνθρωποι δεν τον κατανοούν. Μια καλή στίξη, ένα κόμμα στην σωστή θέση θα έκανε την κατανόηση ευκολότερη.  
Μετά τα Φυσικά Α3. 984α 7: Αναφέρεται ότι ο Ίππασος ο Μεταποντινός και ο  Ηράκλειτος ο Εφέσιος  υποστηρίζουν ότι το σύμπαν είναι ένα, κινούμενο και πεπερασμένο. Αρχή των όντων είναι το πυρ, που τα δημιουργεί με πύκνωση και  αραίωση .Τα πάντα κατ’αυτούς είναι μεταβολέςτου πυρός. Ο χρόνος και η διάταξη των μεταβολών ελέγχονται από κάποια μοιραία αναγκαιότητα.{ Κάτι σαν συμπαντικό νόμο}
Μετά τα Φυσικά Γ3. 1005β  23: Είναι αδύνατο να πιστεύει κάποιος ότι η ύπαρξη και η μη ύπαρξη είναι το ίδιο πράγμα. Μερικοί αποδίδουν την εξίσωση της ύπαρξης και της ανυπαρξίας, ως θεωρίας στον Ηράκλειτο. 
Περί ζώων μορίων Α5. 645α 17 : Όταν ο Ηράκλειτος ζεσταινόταν κοντά στο φούρνο, είπε σε κάποιους ξένους που δίσταζαν να πλησιάσουν , να έρθουν κοντά , γιατί κι εδώ  υπάρχουν θεοί.Κατ’ αναλογία δεν πρέπει να διστάζουμε να προχωρήσουμε στην έρευνα για τη ζωή και τα φυσικά χαρακτηριστικά οποιουδήποτε ζώου. Σε όλα υπάρχει κάτι φυσικό και ωραίο.
Περί ουρανού Α 10. 279β 12: Για μερικούς ο Ουρανός δημιουργήθηκε μια φορά για να παραμείνει άφθαρτος αιώνια. Για άλλους ο ουρανός στο τέλος θα καταστραφεί. Η άποψη του Εμπεδοκλή από τον Ακράγαντα και του Ηράκλειτου του Εφέσιου για το θέμα αυτό είναι η ακόλουθη: Ο Ουρανός δημιουργήθηκε και καταστράφηκε και ξανά δημιουργήθηκε και καταστράφηκε σε μια αέναη πορεία δημιουργίας και καταστροφής. { Η δημιουργία και η καταστροφή είναι οι δύο αιώνιες αλληλοδιάδοχες καταστάσεις της ίδιας οντότητας, δηλαδή του κόσμου}
Φυσικά Γ5. 205α 3. :Όπως λέει ο Ηράκλειτος: Όλα γίνονται κάποτε φωτιά. {Δηλαδή κάποτε όλα θα πάθουν εκπύρωση, θα καταστραφούν, θα γίνουν φωτιά, όπως από την φωτιά προήλθαν κάποτε.}
Περί ψυχής Α2. 405α 24. Ο Ηράκλειτος λέει ότι η αρχή είναι ψυχή, εφόσον έτσι αποκαλεί την αναθυμίαση  από την οποία προήλθαν τα άλλα πράγματα.....

Ζ) Ο Δημήτριος ο Φαληρεύς

     Αθηναίος πολιτικός, φιλόσοφος, ρήτορας, ιστορικός , συγγραφέας και κριτικός κειμένων. Γεννήθηκε το 350 π.Χ. Υπήρξε επιστάτης της Αθήνας την περίοδο 317-307 π.Χ. Με την υπαγωγή της Αθήνας υπό την επιρροή των Πτολεμαίων πήγε στην Αλεξάνδρεια. Εκεί βοήθησε τον Πτολεμαίο τον 1ο  στην ίδρυση του Μουσείου και της Βιβλιοθήκης της πόλης. Ακόμα έγραψε ιστορικά, κριτικά, πολιτικά γραμματικά και ρητορικά έργα από τα οποία σώζονται μόνο κάποια αποσπάσματα. Έπεσε στην δυσμένεια του Πτολεμαίου του Β ο οποίος τον εξώρισε στην άνω Αίγυπτο. Εκεί πέθανε το 283 π.Χ. Η σύντομη αναφορά του στον Ηράκλειτο είναι η ακόλουθη:
 (192),  Η σαφήνεια στη σύνταξη ενός κειμένου εξαρτάται από πολλούς παράγοντες. Πρώτα από τη σαφή διατύπωση των κύριων προτάσεων και μετά από τις δευτερεύουσες. Η έλλειψη σύνδεσης και η αταξία προκαλούν πλήρη ασάφεια, διότι είναι αβέβαιη η αρχή κάθε τμήματος της περιόδου. {Δεν είναι απολύτως σαφές που ανήκουν κάποιες λέξεις, ανάλογα δε αλλάζει το νόημα.} Χαρακτηριστική περίπτωση αποτελούν τα κείμενα του Ηράκλειτου,που τα κάνουν σκοτεινά η έλλειψη στίξης.

Η) Ο Αέτιος :
     Αρχηγός χριστιανικής αίρεσης του δευτέρου μισού του 4ου αιώνα μ.Χ. Σπούδασε Αριστοτελική φιλοσοφία και Θεολογία στην Αντιόχεια και την Αλεξάντρεια. Η θεολογία του επηρεάστηκε από τους Αρειανούς. Έζησε ζωή περιπετειώδη και πολλές φορές έχασε εκκλησιαστικά αξιώματα λόγω των πεποιθήσεων του. Πίστευε ότι ο Υιός δεν είχε την ίδια ουσία με τον πατέρα, δηλαδή απόρριπτε το Ομοούσιο. Από τα έργα του διασώζεται το « Συνταγμάτιον περί αγεννήτου Θεού και γεννητού. Για τον Ηράκλειτο έχουμε τις ακόλουθες αποσπασματικές αναφορές:
Κεφ. Ι  3, 2μνημονεύει τον Ηράκλειτο και τον Ίππασο τον Μεταποντίνο ως εισηγητές της θεωρίας ότι τα πάντα προέρχονται από την φωτιά. Όταν αυτή σβήσει δημιουργείται ο κόσμος,πρώτα σε στερεή κατάσταση, δηλαδή γη. (χώμα) Οταν το χώμα χαλαρώσει, υπό την επίδραση της φωτιάς γίνεται νερό, το οποίο εξατμιζόμενο γίνεται αέρας. Η φωτιά μπορεί να αναλώσει όλα τα σώματα όταν ξανανάψει. Αυτό, κατά τους εισηγητές της θεωρίας δείχνει ότι αρχή και τέλος όλων είναι η φωτιά.
Κεφ. Ι  23, 7 : Ο Ηράκλειτος λέει ότι εγγενές χαρακτηριστικό των όντων είναι η κίνηση.Η κίνηση των αιώνιων είναι αιώνια, των δε φθαρτών φθαρτή. Η ακινησία ως χαρακτηριστικό των όντων καταργείται, εκτος, ίσως, για τους νεκρούς.
Κεφ.Ι  7, 22 : Το περιοδικό πύρ είναι αιώνιος θεός. Η ειμαρμένη είναι ο λόγος που δημιουργεί τα όντα μέσω της κίνησης των αντιθέτων.
Κεφ. Ι  27, 1 : Ο Ηράκλειτος λέει ότι τα πάντα γίνονται σύμφωνα με την ειμαρμένη, που είναι η ίδια με την ανάγκη.
Κεφ. Ι  28, 1 : Η ουσία της ειμαρμένης, κατά τον Ηράκλειτο, είναι ο Λόγος , ο συμπαντικός νους, που διαποτίζει την ουσία του σύμπαντος. Η ειμαρμένη είναι αιθέριο σώμα, σπέρμα της γένεσης του σύμπαντος και μέτρο της περιοδικής κίνησης.
Κεφ. ΙΙ 1, 2 Ο Ηράκλειτος λέει ότι ο κόσμος είναι ένας.
Κεφ. ΙΙ 4, 3 Ο κόσμος γίνεται όχι σύμφωνα με το χρόνο, αλλά σύμφωνα με τη σκέψη. (Λόγο;      )
Κεφ. ΙΙ 11, 4: Ο Ηράκλειτος και ο Παρμενίδης λένε ότι ο ουρανός είναι πύρινος.
Κεφ.  ΙΙ 13, 8  Ομοίως λένε ότι τα άστρα είναι συμπυκνώσεις πυρός.
Κεφ. ΙΙ  17, 4: Ο Ηράκλειτος λέει ότι τα άστρα τρέφονται από τις αναθυμιάσεις που προέρχονται από τη γή.
Κεφ. II 20, 16: Ο Ηράκλειτος λέει ότι ο ήλιος είναι το νοητό άναμμα που προέρχεται από τη θάλασσα.
Κεφ.  II 22, 2: Ο ήλιος ; ) είναι σκαφοειδής, κάπως κυρτός.
Κεφ.   I1 24, 3: Η έκλειψη ηλίου γίνεται με την στροφή του σκαφοειδούς σώματος του, με τρόπο που το κοίλο μέρος της σκάφης να είναι πάνω, και το κυρτό προς τα κάτω. Εμείς τότε βλέπουμε το κυρτό μέρος.
Κεφ.  II  28, 6: Η λάμψη του ήλιου και της σελήνης επέρχεται με παρόμοιο τρόπο. Έχουν και οι δύο σχήμα σκάφης, δέχονται την υγρή αναθυμίαση και λάμπουν διαφορετικά. Το τελευταίο συμβαίνει γιατί ο ήλιος κινήται σε περιοχή καθαρότερου αέρα, ενώ η σελήνη κινήται σε πιο θολό αέρα και η λάμψη της είναι λιγότερη.  
 Κεφ. II 29, 3: Η έκλειψη σελήνης γίνεται με τη στροφή του σκαφοειδούς σώματος της, μέ τρόπο ώστε το κοίλο μέρος της σκάφης, που φέρει τις φλόγες να μην είναι ορατό από τη γη.
 Κεφ. II 32,3:. Ένας μεγάλος ενιαυτός ισούται με 10800 έτη.

Κεφ. ΙΙΙ 3,9 : Ο Ηράκλειτος λέει ότι η βροντή δημιουργείται από τις συστροφές των ανέμων και των νεφών και την πρόσπτωση του ενός επί του άλλου. Οι αστραπές δημιουργούνται από την πυράκτωση των καιγομένων, και οι θύελλες με κεραυνούς από την ανάφλεξη και το σβήσιμο των νεφών.
Κεφ. IV  9, 12 : Η ψυχή του κόσμου , κατά τον Ηράκλειτο, είναι αναθυμίαση των υγρών που υπάρχουν μέσα σ’αυτόν. Η ψυχή των ζωντανών πλασμάτων προέρχεται από την εξωτερική αναθυμίαση και από αυτήν που υπάρχει μέσα τους, που είναι απ’ την ίδια ουσία.
Κεφ. IV 7, 2: Η ανθρώπινη ψυχή είναι άφθαρτη, αφού είναι ομοούσια της ψυχής του σύμπαντος. Βγαίνοντας από το σώμα μεταβαίνει και {ενώνεται; } στην ψυχή του σύμπαντος.
Κεφ. V 23 Ο Ηράκλειτος και οι Στωϊκοί λένε ότι οι άνθρωποι τελειοποιούνται τη δεύτερη εβδομάδα ( της κύησης) κατά την οποία κινείται το σπερματικό υγρό. { Η δεύτερη εβδομάδα σηματοδοτεί το χρονικό ορόσημο , με βάση το οποίο το κυοφορούμενο θεωρείται ανθρώπινο ον. }

Θ)Γαληνός,
       Σπουδαίος Έλληνας γιατρός του 2ου μεταχριστιανικού αιώνα. Γεννήθηκε το 131μ.Χ. στην Πέργαμο. Σπούδασε ιατρική σε διάφορα μέρη της αυτοκρατορίας. Υπήρξε γιατρός του αυτοκράτορα Μάρκου Αυρήλιου. Έγραψε 700 ιατρικά συγγράμματα από τα οποία σώθηκαν 100. Σε αυτά θησαύρισε γνώσεις αναφορικά με τη χειρουργική, οστεολογία, μαιευτική φαρμακολογία κλπ. συμβάλλοντας στην πρόοδο τους. Μαζί με τον Ιπποκράτη θεωρούνται οι μεγαλύτεροι ιατροί της αρχαιότητας. Ασχολήθηκε και με τη φιλοσοφία, όντας οπαδός του αρχαίου φιλόσοφου Πύρρωνα.
Περί των καθ’ Ιπποκράτην στοιχείων Ι  4 : Αυτοί που θεωρούν στοιχείο το πυρ αποδέχονται ότι με τη συγκέντρωση και τη συμπύκνωση του δημιουργείται αέρας. Με περαιτέρω συμπύκνωση δημιουργείται νερό, ενώ με ακόμα μεγαλύτερη συμπύκνωση έχουμε χώμα. { Η πιο πάνω διατύπωση θα μπορούσε να  γραφεί έτσι Πυρ+πύκνωση → αήρ +πύκνωση →ύδωρ+πύκνωση →γη. Η διαδικασία αντιστρέφεται.}

Ι) Πλάτωνας,
        Το πραγματικό του  όνομα ήταν Αριστοκλής.Γεννήθηκε στην Αθήνα του 427π.Χ. Μαθήτευσε κοντά στον Σωκράτη. Μετά το θάνατο του διδασκάλου του εκάνε διάφορα ταξίδια. Επιστρέφοντας στην Αθήνα ίδρυσε την Ακαδημία, με σκοπό την πρόοδο της γνώσης. Πίστευε ότι οι πολιτικοί έπρεπε να είναι και φιλόσοφοι, γιαυτό οι απόφοιτοι της Ακαδημίας ήταν είτε νομοθέτες είτε μαθηματικοί. Προσπάθησε να εφαρμόσει την θεωρία του ότι οι Ηγέτες πρέπει να είναι και φιλόσοφοι προσπαθώντας να επιμορφώσει τον τύρρανο των Συρακουσών Διονύσιο Β αλλά απέτυχε.Έγραψε δεκάδες διαλόγους. Σε κάποιους από αυτούς διασώζει τη διδασκαλία του δασκάλου του Σωκράτη. Σε άλλους αναπτύσσει τις θεωρίες του για θέματα όπως η Γνωσιολογία, η Θεωρία των Ιδεών, η Οντολογία, η φιλοσοφία της Ιστορίας, την Αθανασία της ψυχής, τον έρωτα, την Ηθική φιλοσοφιά κλπ. Χαρακτηριστικοί τίτλοι των έργων του: « Απολογία του Σωκράτους» , « Κρίτων» ,« Συμπόσιον »,  « Φαίδρος » , « Τίμαιος » ,«Πολιτεία», «Θεαίτητος» κ.α. Ο Αριστοτέλης υπήρξε μαθητής του. Πέθανε το 347π.Χ. , η περίφημη όμως Ακαδημία του επιβίωσε για άλλα 900 χρόνια μέχρι που την έκλεισε ο Ιουστινιανός το 528μ.Χ. Οι αναφορές που υπάρχουν στο έργο του στον Ηράκλειτο είναι οι ακόλουθες:
 Κρατύλος 402α: Ο Ηράκλειτος αναφέρει ότι τα πάντα κινούνται και τίποτε δεν μένει ακίνητο. Παρομοιάζει τα όντα με τη ροή του ποταμού. Όπως δε μπορείς να μπεις δύο φόρες στο ίδιο ποτάμι, γιατί τη δεύτερη φορά θα βραχείς από διαφορετικά νερά, έτσι το ίδιο ον διαφοροποιείται, ως προς την ύλη που το αποτελεί, αν το εξετάσεις σε διαφορετικές στιγμές. { Για παράδειγμα ένας άνθρωπος εξεταζόμενος σε 2 διαφορετικές ηλικίες είναι,  κατά κάποιο τρόπο, ταυτόχρονα το ίδιο αλλά και διαφορετικό ον }
Σοφιστής 242δ : Το όν είναι και πολλά και ένα, η δε συνοχή του είναι αποτέλεσμα υπέρβασης αντιθέτων δυνάμεων, όπως της έχθρας και της φιλίας. Αυτό που είναι διαφορετικό εναρμονίζεται, δηλαδή ως αποτέλεσμα της πάλης των αντιθέτων επέρχεται αρμονία. Το πάν άλλοτε εμφανίζεται ως ενότητα και φιλικό προς τον εαυτό του, άλλοτε δε ως πολλαπλότητα αντιτιθέμενων συνιστώντων δυνάμεων. Παρόλη τη φαινομενική αντίθεση έχουμε δύο περιγραφές του ιδίου πράγματος.

ΙΑ)Σιμπλίκιος
       Νεοπλατωνικός φιλόσοφος, μαθητής του τελευταίου σχολάρχη της πλατωνικής Ακαδημίας, Δαμάσκιου. Όταν ο Ιουστινιανός έκλεισε τη σχολή το 529μ.Χ. έξορίστηκε μαζί με τους άλλους δασκάλους της σχολής στην Περσία. Έγραψε υπομνήματα στα έργα του Αριστοτέλη. Από το υπόμνημα του στο έργο «Περί Ψυχής» είναι το απόσπασμα που ακολουθεί:
Περί Ουρανού 94,4 : Ο Ηράκλειτος λέει ότι ο κόσμος άλλοτε εκπυρώνεται και άλλοτε δημιουργείται πάλι από τη φωτιά. Αυτό γίνεται με κανονικότητα σε κάποιες χρονικές περιόδους. Αυτό συνάγεται από την έκφραση του ανάβει ( ο κόσμος ) σύμφωνα με τα καθορισμένα μέτρα και σβήνει σύμφωνα με τα καθορισμένα μέτρα. Την άποψη περί διαδοχικών περιόδων δημιουργίας και καταστροφής του κόσμου υιοθέτησαν αργότερα και οι Στωικοί.

ΙΒ)Νίκανδρος:
          Αρχαίος ποιητής, γραμματικός και γιατρός από την Κολοφώνα. Σώθηκαν τα ποιήματα του «Θηριακά» και « Αλεξιφάρμακα ». Στο πρώτο ποίημα περιγράφει φάρμακα κατά των δαγκωματιών των φιδιών. Το δεύτερο περιγράφει τρόπους θεραπείας τροφικών δηλητηριάσεων. Έγραψε τουλάχιστον άλλα τέσσερα μεγάλα ποιήματα των οποίων διασώθηκαν μόνο οι τίτλοι.
 Αλεξιφάρμακα 171 – 6 : Ο Ποσειδώνας έκανε δούλα των ανέμων τη θάλασσα. Όμοια μια βίαιη πνοή ανέμου μπορεί να υποτάξει το πύρ σβήνοντας το. Η φουρτουνιασμένη θάλασσα, ελέγχει τη μοίρα των πλεουμένων και των ανδρών που θαλασσοδέρνουν. Το ξύλο υποτάσσεται στην φωτιά, όπως είναι ο νόμος. Ο Νίκανδρος εκφράζει απόψεις που είχαν πει παλαιότερα ο Ηράκλειτος και ο Μενεκράτης. { Το ξύλο καίεται από τη φωτιά, η φωτιά σβήνεται από το νερό αλλά και από τον αέρα, ο αέρας τρέπει τη γαλήνη της θάλασσας σε τρικυμία, η τρικυμία μπορεί να σημαίνει τη διαφορά μεταξύ ζωής και θανάτου για ένα ναύτη. Τα πάντα αλληλεπιδρούν,αντιπαλεύουν, πολεμούν μεταξύ τους. Αυτή η διαπάλη είναι ο πατέρας των πάντων...Πόλεμος πάντων πατήρ »

ΙΓ) Μακρόβιος:
       Λατίνος συγγραφέας και γραμματικός του πέμπτου αιώνα. Διασώθηκαν δύο έργα του και αποσπάσματα από τρίτο έργο. Το ένα από τα συγγράμματα, από το οποίο προέρχεται το αναφερόμενο στον Ηράκλειτο απόσπασμα, βιογραφεί τον Σκιπίωνα τον Αφρικανό.
Σκιπ. 14,19 : Ο Ηράκλειτος θεωρεί τη ψυχή σπινθήρα της αστρικής ουσίας.

ΙΔ) Σέξτος:
     Φιλόσοφος και ιατρός της ύστερης αρχαιότητας. Άκμασε στις αρχές του 3ου μ.Χ. αιώνα. Καταγόταν από τη Μυτιλήνη, αλλά έζησε στην Αθήνα και την Αλεξάνδρεια. Πίστευε στην μεγάλη αξία της εμπειρίας στην άσκηση της Ιατρικής επιστήμης γιαυτό του δόθηκε το επώνυμο « Εμπειρικός ». Θεωρείται ο πατέρας της σκεπτικιστικής φιλοσοφίας. Έγραψε πολλά έργα φιλοσοφικού και ιστορικού περιεχομένου. Ανάμεσα στα συγγράμματα του είναι τα ακόλουθα: «Πυρρώνειαι υποτυπώσεις» και «Προς Μαθηματικούς». Πέθανε το 220μ.Χ. σε ηλικία 40 ετών.
 Προς μαθηματικούς VII 126 – 134,286 : Ο Ηράκλειτος πίστευε ότι ο άνθρωπος είναι οπλισμένος για τη γνώση της αλήθειας με την αίσθηση και τον Λόγο (λογική ). Θεωρεί την πρώτη αναξιόπιστη και αναγορεύει το Λόγο, κριτή της αλήθειας. Στο θέμα αυτό συμφωνεί με άλλους φυσικούς φιλοσόφους. Για να δείξει ότι οι αισθήσεις είναι αναξιόπιστες, ο Ηράκλειτος είπε ότι είναι χαρακτηριστικό των βαρβάρων ψυχών να εμπιστεύονται τις άλογες αισθήσεις.
    Ο Λόγος του Ηράκλειτου δεν είναι η οποιαδήποτε ανθρώπινη λογική, αλλά ο καθολικός, θεϊκός  συμπαντικός νους.Ο Λόγος μας περιέχει, είμαστε μέρη της ολότητας του συμπαντικού νου. Ο Ευριπίδης, στις Τρωάδες, αναφέρεται στο Συμπαντικό νου, ως εξής:
Όποιος κι αν είσαι, δύσκολα γίνεσαι γνωστός. Δίας, ή αναγκαιότητα της φύσης, ή νους των θνητών, προσεύχομαι σε σένα.
 Τον θεϊκό Λόγο, παίρνει ο άνθρωπος με την αναπνοή και τις αισθήσεις, αποκτώντας νόηση. Η διαδικασία αυτή αποδυναμώνεται όταν ο άνθρωπος κοιμάται, εφόσον οι πόροι των αισθήσεων κατά τον ύπνο είναι κλειστές. Μένει μια μικρή σύνδεση λόγω της αναπνοής. Όταν ξυπνήσουμε προβάλλει μέσα από τις αισθήσεις. Αυτές σαν πόρτες ανοίγουν και μας ενώνουν σταθερά με το Λόγο. Όπως τα κάρβουνα γίνονται διάπυρα από τη φωτιά, έτσι και ο άνθρωπος ενωμένος με το Λόγο γίνεται διάπυρος. Η μετοχή του ανθρώπου στο συμπαντικό Λόγο είναι το κριτήριο βάση του οποίου κρίνουμε αν αυτός κατέχει την αλήθεια. Αυτό που όλοι το βλέπουν με τον ίδιο τρόπο είναι αξιόπιστο {αν και εφόσον προέρχεται από το λόγο},ενώ οι μεμονομένες ανθρώπινες κρίσεις και δοξασίες που δεν μετέχουν του Λόγου είναι ψευδείς.Ο Λόγος όταν μας περιέχει, τότε και εμείς μετέχουμε της σοφίας του.
Προς Μαθηματικούς VΙΙΙ 286:  Ο Ηράκλειτος ρητά διατύπωσε την άποψη ότι ο άνθρωπος δεν είναι ον λογικό, αλλά νόηση έχει μόνο αυτό που μας περιέχει.  Προφανώς ο συμπαντικός νους, το θείο πυρ, ο Λόγος.

ΙΕ) Φίλωνας:
Ελληνόφωνος Ιουδαίος φιλόσοφος από την Αλεξάνδρεια. Προσπάθησε να συνδέσει λογικά την ιουδαϊκή θεολογία με την ελληνική φιλοσοφία. Από αυτόν μαθαίνουμε σοβαρές πληροφορίες για τη ζωή των Ιουδαίων την εποχή του Χριστού. Το φιλοσοφικό του έργο αποτελεί αξιόλογη πηγή αναφοράς. Μεταξύ άλλων διασώζει αποσπάσματα συγγραφέων που το έργο τους δε διασώθηκε.Έργα του « Περί αφθαρσίας κόσμου » , Περί του Βίου του Μωυσέως » κτλ.
Fr. Harris, p. 20. Ο άνθρωπος μπορεί να γίνει παππούς στα 30 του χρόνια. Στα 14 του χρόνια , ίσως και ενωρίτερα, μπορεί να κάνει παιδί. Άρα μπορεί να γίνει γονιός στα 15 του χρόνια.Όμοια το παιδί του μπορεί να γίνει γονιός στα 15, άρα και μαθηματικά εξηγείται ότι ένας άνθρωπος μπορεί να γίνει παππούς σε ηλικία 30 ετών.

ΙΣΤ ) CENSORINUS:
          Λατίνος γραμματικός. Έζησε τον 3ο αιώνα π.Χ. Διασώθηκε η πραγματεία του περί «Γενεθλίου Ημέρας». Στο έργο αυτό διασώζει πληροφορίες για χρονολογίες και ημερολόγια της αρχαιότητας. Πιθανότατα έγραψε και άλλα έργα που δεν διασώθηκαν.
17, 2: Ο αιώνας και η ανθρώπινη γενεά είναι διαφορετικά χρονικά διαστήματα.Ένας αιώνας υπερβαίνει το μέγεθος μιας ανθρώπινης ζωής, ενώ μια ανθρώπινη ζωή είναι 30 χρόνια. Κατά τον Ηράκλειτο κύκλος γενεάς είναι το χρονικό διάστημα που η ανθρώπινη φύση μεταστρέφεται από το γεννημένο σ’αυτό που γεννάει. { Το χρονικό διάστημα από τη γέννηση κάποιου μέχρι τη γέννηση του παιδιού του. }

ΙΖ ΙΩΑΝΝΗΣ ΛΥΔΟΣ:
       Έλληνας συγγραφέας της ύστερης αρχαιότητας. Έλαβε ανώτερα αξιώματα επί Αναστασίου και Ιουστινιανού. Έγραψε τα έργα «Περί αρχών των Ρωμαίων Πολιτείας» , «Περί διοσημειών» , « Περί μηνών ».
Περί μηνών ΙΙΙ 14: Επιτυχημένα ο Ηράκλειτος αποκαλεί τον μήνα «γενεά».

ΙΗ ΧΑΛΚΙΔΙΟΣ:
Συγγραφέας του 4ου αιώνα μ.Χ. Μετάφρασε τον Τίμαιο του Πλάτωνα στα Λατινικά, καθώς και υπομνήματα σε άλλα έργα του Πλάτωνα.
C 251, p. 248, 10: Ο Ηράκλειτος και οι Στωϊκοί, συνδέουν τον ανθρώπινο λόγο με τον θεϊκό, ο οποίος κυβερνά και ρυθμίζει τα του κόσμου. Εξαιτίας της αδιαχώριστης σύνδεσης, ο λόγος γνωρίζει τις έλλογες αποφάσειςκαι προλέγει τα μέλλοντα σε ψυχές που είναι απαλλαγμένες από την επενέργεια των αισθήσεων. Αυτό εξηγεί γιατί οι άνθρωποι που επιτυγχάνουν τη σύνδεση αυτή, μεταξύ άλλων , αποκτούν προορατικό χάρισμα. Προφητεύουν ,  προβλέπουν το μέλλον. Ακόμα βλέπουν εικόνες άγνωστων τόπων, επικοινωνούν (τηλεπαθητικά;) με ζωντανούς αλλά και νεκρούς. Η κοινωνία με το Λόγο είναι η πηγή της μαντικής τέχνης και της επικοινωνίας με τους θεούς.

ΙΘ ΕΥΔΗΜΟΣ:
Ηθικά Η  1. 1235α  25: Ο Ηράκλειτος μέμφεται τον ποιητή που έγραψε «ας εξαφανιστεί η έριδα από τους ανθρώπους». Αυτό γιατί ο μεγάλος Εφέσιος θεωρεί ότι δεν μπορεί να υπάρξει αρμονία χωρίς τον πόλεμο των αντιθέτων.{ Προϋπόθεση της αρμονίας η υπέρβαση της αντίθεσης. Θέση, αντίθεση, σύνθεση.}

Κ ΠΟΛΥΒΙΟΣ:
       Έλληνας ιστορικός. Το 167π.Χ. πήγε στη Ρώμη, ως όμηρος. Γνωρίστηκε με επιφανείς Ρωμαίους, γινόμενος δάσκαλος των παιδιών τους. Μετά την απελευθέρωση του έκανε πολλά ταξίδια, μελέτησε αρχεία και έγραψε ένα μεγάλο ιστορικό έργο με τίτλο « Καθολική Ιστορία ». Ήταν το πρώτο έργο παγκόσμιας ιστορίας που γράφτηκε. Από τους 40 τόμους σώθηκαν μόνο 5 και αποσπάσματα από τους άλλους. Χαρακτηριστικά του έργου του η αντικειμενικότητα και η αμεροληψία. Πέθανε το 120 μ.Χ σε ατύχημα.
IV 40: Οι ποιητές και οι μυθογράφοι είναι αναξιόπιστοι μάρτυρες, αναφορικά με θέματα τα οποία αγνοούμε. Γιαυτό δεν πρέπει να τους επικαλούμαστε. Η άποψη αυτή ανήκει στον Ηράκλειτο.

ΚΑ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ Ο ΤΥΑΝΕΥΣ:
     Γεννήθηκε στα Τύανα της Καππαδοκίας τον πρώτο αιώνα μ.Χ. Σε ηλικία 16 ετών έγινε πυθαγόρειος φιλόσοφος, ενώ ακολούθησε τις  ορφικές παραδόσεις περί εγκράτειας φυτοφαγίας, αποχής από το γάμο και τις ηδονές.Έγινε Ιερέας του Ασκληπιού, θεραπεύοντας ανθρώπους σε όλη την αυτοκρατορία. Έγραψε το έργο « Περί θυσιών» στο οποίο υποστηρίζει την κατάργηση των αιματηρών θυσιών. Από τα άλλα έργα του σώθηκαν μόνο αποσπάσματα.
Επ. 18. Ο φυσικός φιλόσοφος Ηράκλειτος είπε ότι ο άνθρωπος σύμφωνα με τη φύση του δεν έχει νόηση.

Τετάρτη 26 Ιουνίου 2019

Το πρόβλημα του Ραμανουτζάν


Εισαγωγή

Αφορμή για την ονομασία του προβλήματος ήταν η λύση του από το μεγάλο αυτοδίδακτο Ινδό Μαθηματικό Ramanujan¹ στις αρχές του 20ου αιώνα.
Περί τίνος όμως πρόκειται; Ποιο είναι το πρόβλημα και ποια η απάντηση που αναζητούμε; Θα προσπαθήσουμε να το παρουσιάσουμε όσο πιο απλά μπορούμε και ύστερα θα προσεγγίσουμε τη λύση του. Ακολούθως θα δούμε παραλλαγές του αρχικού προβλήματος.
Θα αρχίσουμε με την έννοια του τριγωνομετρικού αριθμού της εφαπτομένης και ακολούθως θα τη συνδέσουμε με το μέγεθος του τόξου που αντιστοιχεί σε αυτή. Ακολούθως θα γράψουμε άπειρες σειρές τόξων εφαπτομένης, θα δείξουμε αν συγκλίνουν και θα υπολογίσουμε το άπειρο άθροισμα τους.
 Έστω λοιπόν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και Α η ορθή γωνία του τριγώνου. Μπορούμε να πούμε ότι Α = 90° ή Α=  π/2 (πι δεύτερα ) ακτίνια². Η εφαπτομένη της οξείας γωνίας Β είναι το πηλίκο ΑΓ/ ΑΒ, δηλαδή το αποτέλεσμα της διαίρεσης του μήκους της απέναντι από τη γωνία κάθετης πλευράς δια της προσκείμενης κάθετης.
Ας φανταστούμε λοιπόν διαδοχικά ορθογώνια τρίγωνα τα οποία έχουν τη μία των καθέτων πλευρών τους ίση με 2 και την άλλη ίση με το τετράγωνο των διαδοχικών φυσικών αριθμών. Δηλαδή έχουμε ΑΓ= 2 , ΑΒ= ν² με Α = π/2. Είναι φανερό ότι:

Εφ Β = 2/ ν² και τοξ εφ 2/ ν²  = Β

Ας θεωρήσουμε άπειρο αριθμό ορθογωνίων τριγώνων με  τη μια κάθετη πλευρά τους ίση με σταθερό μήκος 2 μονάδων και την δεύτερη κάθετη πλευρά ίση με μεταβλητό μήκος ν². Πόσο είναι το άθροισμα των οξειών γωνιών που βρίσκονται απέναντι από τις πλευρές με σταθερό μήκος 2; Όταν το ν τείνει στο άπειρο το προαναφερθέν άθροισμα αποκλίνει ή συγκλίνει και πού; 

Διατυπώνουμε το άθροισμα που περιγράψαμε προηγουμένως μαθηματικά ως εξής:
                                                                                                   
τοξ εφ 2 + τοξ εφ 1/ 2 + τοξ εφ 2/9 +......... τοξ εφ 2/ ν² +.....= ∑   τοξ εφ 2/ ν²
                                                                                                   ν=1

το οποίο θα πρέπει να υπολογίσουμε, υπό την προϋπόθεση βέβαια ότι η άπειρη σειρά  μας συγκλίνει.

Επεξεργασία του προβλήματος

Έστω ότι τοξ εφ 2/ ν² = Β και Β = Θ – Φ, όπου Θ , Φ γωνίες μετρημένες σε ακτίνια.

¨Έχουμε ότι εφ Β = 2 / ν²  και άρα εφ ( Θ – Φ ) = 2 / ν²

Όμως 2/ ν² = [(ν+1) – (ν-1)] / [ 1 + (ν+1) (ν-1)  ]                           (1)

και  εφ ( Θ – Φ )= (εφ Θ - εφ Φ) / ( 1 + εφ Θ εφ Φ )                   (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) εύκολα προκύπτει ότι μπορούμε να θέσουμε:

εφ Θ = ν + 1 και εφ Φ = ν – 1

και άρα τοξ εφ (ν +1) = Θ και τοξ εφ (ν -1) = Φ

Εφόσον Β = Θ – Φ

τοξ εφ 2/ ν² = τοξ εφ (ν +1) - τοξ εφ (ν - 1)

                                                        
   τοξ εφ 2/ ν²   =  ∑ [  τοξ εφ (ν +1) - τοξ εφ (ν - 1) ]                                                                                   
    ν=1                                                                       ν=1

                           
∑ τοξεφ 2/ν² =(τοξεφ2 - τοξεφ 0) + (τοξ εφ3 - τοξ εφ1)+( τοξ εφ4 - τοξεφ2)                                                                                 
    ν=1                              
  +.......+ [ τοξ εφ (ν-1)  - τοξ εφ (ν-3) ] + [ τοξ εφ ν - τοξ εφ (ν-2) ] + [ τοξ εφ (ν+1)  - τοξ εφ (ν-1) ] +....

       
    τοξ εφ 2/ ν²   =  lim ν ∞ [ τοξ εφ ν +  τοξ εφ (ν + 1)  ] - τοξ εφ 1                                                                                
      ν=1  
                        
     
      τοξ εφ 2/ ν²      π/2 + π/2  - π/4                                                                               
       ν=1  

     
      τοξ εφ 2/ ν²      /4                                                                               
       ν=1  

Παραλλαγές

1. Να υπολογιστεί το άπειρο άθροισμα της σειράς

  
      τοξεφ 4/  ² + 3 )                                                                                   
    ν=1  

Έστω εφ θ =  (ν+1)/2  και εφ φ = (ν-1)/2

εφ ( θ – φ ) = [ (ν+1)/2 – (ν-1)/2 ] / [ 1 + ¼ (ν+1) ( ν – 1 ) ]

εφ ( θ – φ ) = 4/ ² + 3 )

τοξεφ ( θ – φ ) = τοξεφ (ν+1)/2  - τοξεφ (ν-1)/2 

                                                      
   ∑τοξεφ4/² + 3 )=∑ τοξεφ½(ν+1) - ∑τοξεφ ½ (ν-1)                                                                          
         ν=1                               ν =1                            ν =1                           
    
  τοξεφ 4/  ² + 3 )  = ( τοξεφ 1 - τοξεφ 0 ) + ( τοξεφ 3/2 - τοξεφ ½ ) +
    ν=1
( τοξεφ 2 - τοξεφ 1 ) + ... [ τοξεφ ½ ν - τοξεφ ½ (ν-2) ] + [ τοξεφ ½ (ν+1)   - τοξεφ ½ (ν-1 ) ] + [ τοξεφ ½ (ν+2)   - τοξεφ ½ ν ]
     

   
  τοξεφ 4/  ² + 3 )  = τοξεφ ½ (ν+1) + τοξεφ ½ (ν+2)   - τοξεφ ½  -  τοξεφ 0
    ν=1

   
  τοξεφ 4/  ² + 3 )  =   π - τοξεφ ½ 
    ν=1

2. Να υπολογιστεί το άπειρο άθροισμα της σειράς

  
      τοξ εφ [ 2 α /  ² + α ²  - 1 ) ]                                                                                 
    ν=1  

Έστω εφ θ =  (ν+1)/α   και εφ φ = (ν-1)/α  , όπου α φυσικός αριθμός.

εφ ( θ – φ ) = [ (ν+1)/α – (ν-1)/α ] / [ 1 +  (ν+1) ( ν – 1 )/α² ]

εφ ( θ – φ ) = 2 α / ² + α² - 1)

τοξεφ ( θ – φ ) = τοξεφ (ν+1)/α  - τοξεφ (ν-1)/α 

                                                                                
     τοξεφ 2 α /  ² + α² - 1  )  =  ∑ τοξεφ  (ν+1)/α  - ∑ τοξεφ  (ν-1)/α                                                                          
         ν=1                                                                ν =1                              ν =1                           
    
  τοξεφ 2 α /  ² + α² - 1)  = ( τοξεφ 2/α - τοξεφ 0 ) + ( τοξεφ 3/α - τοξεφ1/α )
    ν=1
+( τοξεφ 4/α - τοξεφ 2/α ) + ... [ τοξεφ ν/α - τοξεφ (ν-2)/α ] + [ τοξεφ (ν+1)/α - τοξεφ  (ν-1 )/α ] + [ τοξεφ  (ν+2)/α   - τοξεφ ν/α ]
     
   
  τοξεφ 2α /²+ α² -1) = τοξεφ (ν+1)/α + τοξεφ (ν+2)/α  - τοξεφ 1/α 
    ν=1

   
  τοξεφ 4/  ² + 3 )  =   π - τοξεφ 1/α   
    ν=1

3. Να υπολογιστεί το άπειρο άθροισμα της σειράς

  
      τοξ εφ [ 4 α /  ² + α ²  - 4 ) ]                                                                                 
    ν=1  

Έστω εφ θ =  (ν+2)/α   και εφ φ = (ν-2)/α  , όπου α φυσικός αριθμός.

εφ ( θ – φ ) = [ (ν+2)/α – (ν-2)/α ] / [ 1 +  (ν+2) ( ν – 2 )/α² ]

εφ ( θ – φ ) = 4 α / ² + α² - 4)

τοξεφ ( θ – φ ) = τοξεφ (ν+2)/α  - τοξεφ (ν-2)/α 

                                                                   
   ∑τοξεφ 4α/² + α² - 4)  =  ∑ τοξεφ  (ν+2)/α  - ∑ τοξεφ(ν-2)/α                                                                          
          ν=1                                              ν =1                              ν =1                           
    
  τοξεφ 4 α /  ² + α² - 4)  = [ τοξεφ 3/α - τοξεφ (-1/α )] + ( τοξεφ 4/α -  
      ν=1
τοξεφ0 ) + ( τοξεφ 5/α - τοξεφ 1/α ) + ( τοξεφ 6/α - τοξεφ 2/α ) +( τοξεφ 7/α - τοξεφ 3/α ) +    ... [ τοξεφ ν/α - τοξεφ (ν-4)/α ] + [ τοξεφ (ν+1)/α - τοξεφ  (ν-3 )/α ] + [ τοξεφ  (ν+2)/α   - τοξεφ (ν-2)/α ] + [ τοξεφ  (ν+3)/α   - τοξεφ (ν-1)/α] + [ τοξεφ  (ν+4)/α   - τοξεφ ν/α ] +.....
     
   
  τοξεφ 4α /²+ α² -4) = π   - τοξεφ 2/α 
    ν=1

4. Να υπολογιστεί το άπειρο άθροισμα της σειράς

  
      τοξ εφ [ 6 α /  ² + α ²  - 9 ) ]                                                                                 
    ν=1  

Έστω εφ θ =  (ν+3)/α   και εφ φ = (ν-3)/α  , όπου α φυσικός αριθμός.

εφ ( θ – φ ) = [ (ν+3)/α – (ν-3)/α ] / [ 1 +  (ν+3) ( ν – 3 )/α² ]

εφ ( θ – φ ) = 6 α / ² + α² - 9)

τοξεφ ( θ – φ ) = τοξεφ (ν+3)/α  - τοξεφ (ν-3)/α 

                                                                         
     τοξεφ 6 α /  ² + α² - 9  )  =  ∑ τοξεφ  (ν+3)/α  - ∑ τοξεφ  (ν-3)/α                                                                          
         ν=1                                                       ν =1                              ν =1                           
    

    
  τοξεφ 6 α /  ² + α² - 9)  = [ τοξεφ 4/α - τοξεφ (-2/α )] + ( τοξεφ 5/α -  
      ν=1
τοξεφ -1/α) + ( τοξεφ 6/α - τοξεφ 0 ) + ( τοξεφ 7/α - τοξεφ 1/α ) +( τοξεφ 8/α - τοξεφ 2/α ) + ( τοξεφ 9/α - τοξεφ 3/α ) +  ( τοξεφ 10/α - τοξεφ 4/α ) +  ... [ τοξεφ ν/α - τοξεφ (ν-6)/α ] + [ τοξεφ (ν+1)/α - τοξεφ  (ν-5 )/α ] + [ τοξεφ  (ν+2)/α   - τοξεφ (ν-4)/α ] + [ τοξεφ  (ν+3)/α   - τοξεφ (ν-3)/α] + [ τοξεφ  (ν+4)/α   - τοξεφ (ν-2) /α ] +.[ τοξεφ  (ν+5)/α   - τοξεφ (ν-1)/α] + [ τοξεφ  (ν+6)/α   - τοξεφ ν /α ] +....
     
   
  τοξεφ 6α /²+ α² -9) = 3π   - 2π  - τοξεφ 3/α 
    ν=1

   
  τοξεφ 6α /²+ α² -9) = π  - τοξεφ 3/α 
    ν=1

5. Να υπολογιστεί το άπειρο άθροισμα της σειράς

  
      τοξ εφ [ 2 α β /  ² + α ²  - β² ) ]                                                                                 
    ν=1  

Έστω εφ θ =  (ν+β)/α   και εφ φ = (ν-β)/α  , όπου α, β φυσικοί αριθμοί.

εφ ( θ – φ ) = [ (ν + β)/α – (ν-β)/α ] / [ 1 +  (ν +β) ( ν – β )/α² ]

εφ ( θ – φ ) = 2 α β / ² + α² - β²)

τοξεφ ( θ – φ ) = τοξ εφ ( ν +β)/α  - τοξ εφ (ν-β)/α 

                                                                         
     τοξεφ 6 α /  ² + α² - β²  )  =  ∑ τοξ εφ  (ν+β)/α  - ∑ τοξ εφ  (ν-β)/α                                                                          
         ν=1                                                       ν =1                              ν =1                           
    
     
  τοξεφ 6 α /  ² + α² - 9)  = { τοξεφ [(1+β )/α  - τοξεφ [(1-β)/α )} +   
      ν=1

 +{ τοξεφ [(2+β )/α  - τοξεφ [(2-β)/α )} +........ +{ τοξεφ ( 3β /α )  - τοξεφ  (β /α )} +{ τοξεφ [( 3β + 1 )/α  - τοξεφ [(β + 1)/α )} +......[ τοξ εφ  ( ν +β)/α  -  τοξ εφ  (ν-β)/α]+ ..... [ τοξ εφ  ( ν +3β)/α  -  τοξ εφ  (ν+β)/α]+
     
   
  τοξεφ [2 αβ /²+ α² -β² ) = β π   - (β -1)π  - τοξεφ β/α 
    ν=1

   
  τοξεφ 6α /²+ α² -β²) = π  - τοξεφ β/α 
    ν=1

5. Να υπολογιστεί το άπειρο άθροισμα της σειράς

  
      τοξ εφ {1 / [ (ν+ α  )+ α +1 )] }                                                                                 
    ν=1  

Έστω εφ φ = 1/ (ν +α )   και εφ φ = 1/ ( ν + α + 1 )  , όπου α  φυσικός αριθμός.

 εφ ( φ - θ ) =( εφ φ – εφ θ ) / ( 1 + εφ φ εφ θ )

εφ ( φ - θ ) = 1/ [ 1 +  + α  )+ α +1 )]

  ( φ - θ ) = τοξ εφ { 1/ [ 1 +  + α  )+ α +1 )] }

τοξ εφ { 1/ [ 1 +  + α  )+ α +1 )] } = τοξ εφ 1/ (ν +α ) - τοξ εφ 1/ (ν +α  +1)

                                                                     
   ∑ τοξεφ{ 1/ [ 1 + (ν+ α  )+ α +1 )] } = ∑ [ τοξεφ1/(ν +α ) - τοξεφ1/(ν +α +1 )]                                                                             
         ν=1                                                                                   ν =1                                                       
    
                                                          
   ∑ τοξεφ{ 1/ [ 1 + (ν+ α  )+ α +1 )] } = [ τοξεφ1/(1 +α ) – τοξεφ 1/ (α +2) ] +                                                                             
         ν=1                                                                                                                             

[ τοξεφ1/( α +2 ) – τοξ εφ 1/ (α +3) ] + [ τοξεφ1/( α + 3 ) – τοξεφ 1/ (α + 4) ] + ...

[ τοξεφ1/(ν +α ) - τοξεφ1/(ν +α +1 )] + ......

                                                          
   ∑ τοξεφ{ 1/ [ 1 + (ν+ α  )+ α +1 )] } =  τοξεφ1/(1 +α )                                                                             
         ν=1                                                                                                                             

Επίλογος

Έχουμε παρουσιάσει το πρόβλημα και παραλλαγές του. Η διατύπωση παρομοίων προβλημάτων και η λύση τους είναι μια πρόκληση για όσους ενδιαφέρονται να εμβαθύνουν στα Μαθηματικά.
Μιχάλης Α. Πόλης

Σημειώσεις

1. Ο Ramanujan ( 1887 -1920 ) είναι ο μεγαλύτερος μαθηματικός της σύγχρονης Ινδίας. Ήταν αυτοδίδακτος και πέθανε στα 32 του χρόνια, αφήνοντας πίσω του 4000 θεωρήματα που ακόμα και σήμερα αποτελούν αντικείμενο διερεύνησης. 

2. Ένα ακτίνιο είναι η επίκεντρος γωνία που αντιστοιχεί σε μήκος τόξου ίσο με την ακτίνα του κύκλου, του οποίου το κέντρο αποτελεί την κορυφή της γωνίας μας.