Πρώτοι αριθμοί: Το DNA των φυσικών αριθμών

Το σύνολο των θετικών ακεραίων ονομάζεται και « άπειρο σύνολο των φυσικών αριθμών». Συμβολίζεται  με το κεφαλαίο αγγλικό γράμμα N. (N = Natural numbers ). Στη γλώσσα το συνόλων γράφεται

 Ν = { 1,2,3,4, … ν, ν+1, …}.

Οι τελείες μετά το ν+1 συμβολίζουν ότι δεν υπάρχει τελευταίο στοιχείο στο σύνολο, γιατί τον οποιοδήποτε φυσικό αριθμό ν, οσοδήποτε μεγάλο, ακολουθεί ο αριθμός ν+1 που είναι ακόμα μεγαλύτερος. Το πλήθος των στοιχείων  του συνόλου Ν δεν είναι πεπερασμένο, αλλά αναρίθμητο,(άπειρο) δηλαδή  μεγαλύτερο από οποιοδήποτε φυσικό αριθμό.

Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής δηλώνει ότι κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών με ένα και μοναδικό τρόπο. Στη Μαθηματική γλώσσα η «ταυτοπροσωπία» του οποιουδήποτε φυσικού αριθμού  γράφεται ως εξής:

Ο πιο πάνω τύπος είναι το « DNA των φυσικών αριθμών» Μπορούμε να ορίσουμε αυθαίρετα άπειρα υποσύνολα του συνόλου των φυσικών αριθμών όπως τους ορθογώνιους, στερεούς, αριθμούς τεσσάρων διαστάσεων. Κάθε υποσύνολο περιέχει επίσης άπειρους αριθμούς και το δικό του «DNA». Υπενθυμίζουμε κάποια από αυτά τα υποσύνολα πιο κάτω, όπως τα παρουσιάσαμε σε προηγούμενα σημειώματα:

Αριθμός διαιρετών φυσικού αριθμού

Οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να χωριστούν σε ατελείς, τέλειους και υπέρ-τελείς ανάλογα με το άθροισμα των γνησίων διαιρετών τους

1.       Ατελής ονομάζεται ο αριθμός του οποίου το άθροισμα των γνησίων διαιρετών  είναι μικρότερο από τον αριθμό. Παραδείγματα ατελών αριθμών είναι:

-          Το απειροσύνολο των πρώτων αριθμών.

-          Το απειροσύνολο των ορθογωνίων.

-          Το απειροσύνολο των στερεών αριθμών.

2.       Τέλειος είναι ο φυσικός αριθμός του οποίου το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του είναι ίσο με τον αριθμό.

-          Παράδειγμα 1^ο : Σύνολο παραγόντων αριθμού  6 ={ 1,2,3) , 1+2+3=6,  

-          Παράδειγμα 2^ο : Σύνολο παραγόντων αριθμού  28 = { 1,2,4,7,14 } ,   1+2+4+7+14 = 28

-          Παράδειγμα 3^ο : Σύνολο παραγόντων αριθμού  496 = { 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 } , 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496

3.       Υπέρ-τελείς: είναι οι φυσικοί αριθμοί των οποίων το άθροισμα των γνησίων διαιρετών τους είναι μεγαλύτερο από τους αριθμούς αυτούς.

Παράδειγμα υπερτελών αριθμών: τα πολλαπλάσια του 6, εκτός του 6

Ν = 6ν  με ν > 1

Μονάδα, η μάνα των φυσικών αριθμών

Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο της μονάδας και του εαυτού του. (Ν=1.Ν ) γι’ αυτό η μονάδα δεν θεωρείται ως πρώτος αριθμός. Αν το ένα ήταν πρώτος τότε κάθε φυσικός αριθμός θα μπορούσε να γραφεί ως γινόμενο πρώτων με δύο τρόπους αντί με ένα. Σε τέτοια περίπτωση δεν θα ίσχυε το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής. Π.χ. 10=2.5 = 1.2.5.

Ο Πυθαγόρας θεωρούσε ότι η μονάδα δεν είναι αριθμός αλλά το αρχέτυπο, η μάνα των αριθμών. Η μονάδα, με την πλήθυνση παράγει τους φυσικούς αριθμούς. Γι’ αυτό κάθε φυσικός αριθμός φέρει μέσα στο «DNA» του την μονάδα. Η μονάδα είναι παράγοντας όλων των φυσικών αριθμών.

Η πρόταση «Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων παραγόντων» αποδεικνύεται διαισθητικά ως εξής:

1.       Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να είναι πρώτος (αδιαίρετος)  ή σύνθετος δηλαδή μπορεί να γραφεί ως γινόμενο παραγόντων.

2.       Αν είναι πρώτος τότε η πρόταση ισχύει.

3.       Αν είναι σύνθετος τότε μπορεί να αναλυθεί περεταίρω ως γινόμενο παραγόντων.

4.       Αν οι παράγοντες του σύνθετου είναι πρώτοι τότε η πρόταση ισχύει.

5.       Αν οι παράγοντες του σύνθετου (κάποιοι ή όλοι )  είναι επίσης σύνθετοι τότε ο φυσικός αριθμός μπορεί να αναλυθεί περεταίρω σε γινόμενο μικρότερων παραγόντων.

6.       Αν η νέα ανάλυση του φυσικού αριθμού που εξετάζεται περιλαμβάνει μόνο πρώτους αριθμούς τότε η πρόταση ισχύει.

7.       Αν η νέα ανάλυση του φυσικού αριθμού περιλαμβάνει σύνθετους τότε προχωρούμε σε περεταίρω ανάλυση των σύνθετων παραγόντων σε μικρότερους παράγοντες.

8.       Σε κάθε περίπτωση, η ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων δεν μπορεί να συνεχιστεί για πάντα εφόσον ο υπό ανάλυση αριθμός είναι πεπερασμένος.

9.       Σε κάθε περίπτωση, η ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων σταματά υποχρεωτικά, όταν όλοι οι παράγοντες δεν μπορούν να αναλυθούν περεταίρω, δηλαδή είναι πρώτοι.

10.   Ως αποτέλεσμα, νομοτελειακά, κάθε πεπερασμένος φυσικός αριθμός μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων παραγόντων - Απόδειξη με την μέθοδο της μαθηματικής ή τελείας επαγωγής:

1.        Η πρόταση ισχύει για την αρχική τιμή ν=2 εφόσον είναι πρώτος αριθμός.

2.       Έστω ότι η πρόταση μας ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς μικρότερους του Κ, όπου Κ∈Ν δηλαδή:

3.       Επαγωγικός έλεγχος για Ν = Κ

1.        Αν Κ πρώτος η πρόταση μας ισχύει.

2.       Αν Κ σύνθετος τότε     Κ = μ. ν   , μ, ν < Κ άρα ισχύει αφού μ, ν ως μικρότεροι του Κ μπορούν να γραφούν ως γινόμενα πρώτων παραγόντων.

Αφού ισχύει για Ν=Κ ομοίως θα ισχύει επαγωγικά με την ίδια διαδικασία για Ν = Κ+1, Κ=2 και για κάθε Λ∈Ν

Η πρόταση «Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων παραγόντων με ένα και μοναδικό τρόπο» αποδεικνύεται επίσης με την εις άτοπο απαγωγή.

Υποχρεωτικά οι δύο αναλύσεις  ταυτίζονται.