Σάββατο 26 Σεπτεμβρίου 2020

Κατασκευή κανονικού πενταγώνου με χάρακα και διαβήτη.

 Κανονικό πεντάγωνο και χρυσό τρίγωνο

Για να το κατασκευάσουμε πρέπει πρώτα να γράψουμε το χρυσό ισοσκελές τρίγωνο. ( Γωνίες τριγώνου: 72º, 72º, 36º) Το τρίγωνο κατασκευάζεται ως εξής με χάρακα και διαβήτη

1.       Γράφουμε τετράγωνο ΑΒΓΔ με ΑΒ=α

2.       Με χάρακα και διαβήτη βρίσκουμε το μέσο της ΑΒ το οποίο ονομάζουμε Ε.  (ΑΕ = ΕΒ= α/2 )

3.       Γράφουμε την ΕΓ.  [ ΕΓ =( α5 )/2 ]

4.       Επεκτείνουμε την ΑΒ προς τη μεριά του Β και στην επέκταση  γράφουμε σημείο Ζ τέτοιο ώστε ΒΖ= ΕΓ

5.       Ακολούθως γράφουμε ισοσκελές τρίγωνο με βάση ίση με ΑΒ και τις δύο άλλες πλευρές ίσες με ΕΖ

Κατασκευή κανονικού πενταγώνου

1.       Γράφουμε χρυσό τρίγωνο ΑΒΓ με βάση τις προδιαγραφές που περιγράψαμε. ΑΒ=α και ΑΓ=ΒΓ = α(1+5)/2  Η βάση του τριγώνου είναι η ΑΒ και η γωνία Γ = 36º

2.       Ακολούθως με χάρακα και διαβήτη γράφουμε τις διχοτόμους των γωνιών Α και Β.

3.       Επί των διχοτόμων παίρνουμε σημεία Δ και Ε τέτοια ώστε ΒΔ=ΑΕ= ΑΓ=ΒΓ

4.       Το πεντάγωνο ΑΒΕΓΔ είναι το ζητούμενο κανονικό πεντάγωνο.

Σημείωση  

Για να γράψουμε τον περιγεγραμμένο στο πεντάγωνο κύκλο γράφουμε με χάρακα και διαβήτη τις διχοτόμους των Γωνιών ΕΑΒ και ΑΒΔ. Το σημείο τομής των διχοτόμων είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου.

Ακολουθεί σχήμα με τα περιγραφόμενα πιο πάνω  



Τετάρτη 16 Σεπτεμβρίου 2020

Κείμενα αμφισβήτησης (1)

 Όταν ήμουν νεότερος, πριν από δυο τρεις δεκαετίες, πέρασα από μια φάση έντονης αμφισβήτησης της Θρησκείας. Αποτέλεσμα εκείνης της πνευματικής πάλης και αναζήτησης είναι κάποια από τα κείμενα που θα ακολουθήσουν. Τα δοκίμια αυτά δεν αντανακλούν, κατ' ανάγκη, τις σημερινές μου απόψεις. Έχω πλέον  συμφιλιωθεί με το Χριστιανισμό. Οι γραμμές που θα παραθέσω αποτελούν μέρος της πορείας διαμόρφωσης του πνευματικού μου γίγνεσθαι,  σε μια περασμένη μετεφηβική εποχή. Γιατί αλοίμονο σε αυτόν που δεν αμφισβήτησε ποτέ τίποτε...

Ιησούς: Πράος και φιλειρηνικός διδάσκαλος ή κήρυκας  μισαλλοδοξίας; 

      Οι θεολογούντες οπαδοί της χριστιανικής εκκλησίας με έμφαση διδάσκουν ότι ο Ιησούς είναι το ανώτατο πρότυπο ηθικής και διδασκαλίας στην ανθρώπινη ιστορία. Επιλέγουν από την Καινή διαθήκη τα σημεία που υποστηρίζουν το πρότυπο τους και κτίζουν μια εξωραϊσμένη εικόνα του αρχηγού της θρησκείας μας. Είναι αυτή η εικόνα αληθινή;

Θα αποδείξουμε με δεδομένα από την Καινή Διαθήκη, το σημαντικότερο δηλαδή χριστιανικό κείμενο, ότι ο Ιησούς έχει και την κακή του πλευρά, η οποία κάποτε επισκιάζει την επίπλαστη εικόνα καλοσύνης που αιώνες τώρα έχουν φυτέψει στα μυαλά μας οι αξιωματούχοι της εκκλησίας. Στο Λουκάς  ΙΒ 49 ο Ιησούς δηλώνει με έμφαση ότι ήλθε να βάλει φωτιά πάνω στη γη και ότι βιάζεται να την ανάψει. Μερικές δε γραμμές πιο κάτω εξηγεί το είδος του εμπρησμού που πρόκειται να κάνει εις βάρος της ανθρωπότητας. Νομίζετε ότι ήρθα στη γη να φέρω ειρήνη ρωτάει ρητορικά τους ακροατές του. Απαντά δε ο ίδιος ότι ήρθε να διχάσει τους ανθρώπους με ένα διχασμό πρωτόγνωρο, που θα κάνει τις οικογένειες πεδίον λεκτικών τουλάχιστο μαχών. Θα μαλλώσουν λέει ο πατέρας με το γιο, η μάνα με την κόρη η πενθερά με τη νύμφη. Κάθε πενταμελής οικογένεια θα χωριστεί, τρεις εναντίον δύο. ( Λουκάς  ΙΒ 51-52) Στον Ματθαίο Ι΄ 34 – 36 επαναλαμβάνει περίπου τα ίδια. Δεν ήλθα να φέρω ειρήνη λέει, αλλά μαχαίρι, δηλαδή πόλεμο. Εχθροί του ανθρώπου θα γίνουν οι στενοί συγγενείς του, αυτοί που ζουν στο ίδιο σπίτι μαζί του.

            Οι χριστιανοί εξηγούν τον πρωτόγνωρο αυτό διχασμό ως αποτέλεσμα του γεγονότος ότι κάποια μέλη των οικογενειών θα πιστέψουν και κάποια όχι στον Ιησού. Παραδέχονται λοιπόν ότι ο αρχηγός τους είναι πρόξενος διχόνοιας και όχι συναδέλφωσης στην ανθρώπινη κοινωνία. Το γεγονός όμως ότι συγγενικά πρόσωπα διαφωνούν στα  θρησκευτικά τους πιστεύω δεν αποτελεί λόγο διαμάχης και μίσους. Αν ο χριστιανισμός ήταν έμπρακτα η θρησκεία της αγάπης θα δίδασκε ότι είναι δευτερεύον τι πιστεύουν οι άνθρωποι. Το πρωτεύον είναι να μάθουν να ανέχονται ο ένας τον άλλο, να σέβονται τη διαφορετική άποψη, να μην είναι φανατικοί οπαδοί αναπόδεικτων θεωριών, αλλά κριτικοί μελετητές που δέχονται ή απορρίπτουν υποθέσεις με βάση επιχειρήματα. Επιπλέον  να μη μισούν τους ανθρώπους που έχουν διαφορετική άποψη από αυτούς.

          Ο Ιησούς δεν είναι ένα καθολικά αποδεκτό πρόσωπο πρότυπο. Δεν διατυπώνω εγώ την άποψη αυτή αλλά είναι καταγραμμένη σε κανονικό ευαγγέλιο. Στην διήγηση της περιτομής του Ιησού, όπως καταγράφεται στο Λουκάς Β 34, λέγει χαρακτηριστικά ο Συμεών προς τη μητέρα του Ιησού:

« Αυτός ( ο Ιησούς δηλαδή ) είναι προορισμένος να οδηγήσει σε πτώση ή σε ανάσταση πολλούς στο Ισραήλ και θα είναι σημείο αντιλεγόμενο» Επί του σημείου αυτού έχω να παρατηρήσω τα ακόλουθα:

1. Αν ο Ιησούς ήρθε υποτίθεται για το καλό όλου του κόσμου, πώς εξηγείται ότι είναι η αιτία της πτώσης πολλών ανθρώπων; Πώς ένα ον με θεϊκές δυνατότητες και πανάγαθο δεν κατορθώνει να δρομολογήσει τη σωτηρία όλων των ανθρώπων; Αν είναι αναντίλεκτα ένας πάνσοφος φορέας καλού πώς δεν κατάφερε να φέρει την ανθρωπιά και την καλοσύνη στον κόσμο;

2. Αν ο Ιησούς είναι σημείο αντιλεγόμενο, σε τι διαφέρει από τους λοιπούς ανθρώπους ηγέτες που κατά καιρούς καθοδήγησαν την ανθρωπότητα; Δεν έχουν όλοι οι ηγέτες τους επικριτές αλλά και τους χειροκροτητές τους;

     Στο Μάρκος Θ 49 ο ιδρυτής του χριστιανισμού δηλώνει ότι κάθε άνθρωπος θα αλατισθεί με φωτιά και κάθε σφάγιο θυσίας θα αλατισθεί με άλας. Όταν δηλώνεις ότι θα καψαλίσεις την ανθρωπότητα, περιβάλλοντας τους ανθρώπους με φωτιά, όπως τα σφάγια με άλας, πόσο περιθώριο φιλανθρωπίας υπάρχει σε μια τέτοια δήλωση; Ποια αγάπη υπάρχει στο αδηφάγο πυρ που κατακαίει τα πάντα; Οι θεολόγοι, βέβαια, με μια συλλογιστική που αδυνατώ να κατανοήσω, χωρίζουν τους ανθρώπους σε δύο μέρη. Στους δίκαιους, αυτούς δηλαδή που θα μετανοήσουν και θα «κάψουν» τον «κοσμικό» εαυτό τους με νηστεία και προσευχή και στους αμετανόητους που θα καούν στη κόλαση. Μέση λύση δεν υπάρχει. Ή θα πρέπει να χαραμίσεις την παρούσα ζωή ή θα καίγεσαι στη φωτιά για πάντα στην επόμενη. Η αιώνια τιμωρία των αμαρτωλών δεν δηλώνει αδυναμία συγχώρησης τους; Γιατί μια πεπερασμένη ζωή οδηγεί σε άπειρη τιμωρία; Πόσο μίσος για τους συνανθρώπους δείχνει αυτή η εικόνα της φωτιάς που κατακαίει τους διαφωνούντες; Προφανώς άπειρο. Είναι η ίδια «φιλάνθρωπη» διάθεση, που αργότερα θα ανάψει τις φλόγες της ιεράς εξέτασης.

       Οι φανατικοί χριστιανοί είναι μισαλλόδοξοι. Οστόσο πρέπει να παραδεκτούμε ότι δεν πρωτοτυπούν, εφόσον ακολουθούν το παράδειγμα του Ιησού ο οποίος στο Ματθαίος ΙΒ 30 δηλώνει ότι όποιος δεν είναι υπέρ του είναι εναντίον του και κατά συνέπεια πρέπει να θεωρήσουμε ότι είναι εχθρός του. Η δήλωση αυτή είναι πρωτοφανής. Δηλώνει ένα απίστευτο εγωισμό εφόσον αυτός που τη διατυπώνει φέρεται να πιστεύει ότι όλος ο κόσμος περιστρέφεται γύρω από τον εαυτό του, χωρισμένος σε δύο ομάδες, δηλαδή τους εχθρούς και τους φίλους του. Δηλώνει μια ασπρόμαυρη λογική, ένα κόσμο στον οποίο δεν υπάρχουν ενδιάμεσες απόψεις, ούτε σύνθεση διαφορετικών καταστάσεων. Η πραγματικότητα όμως διαψεύδει τον Ιησού. Υπάρχουν ιδεολογίες οι οποίες δεν μας εκφράζουν, αυτό όμως δεν σημαίνει ότι μισούμε αυτούς που τις διατύπωσαν. Το αντίθετο μάλιστα. Μπορεί να διαφωνείς με κάποιο, αλλά αυτό δεν πρέπει να αποκλείει τον αλληλοσεβασμό. Μπορεί ακόμη να μην είσαι ούτε συνοδοιπόρος με κάποια κατάσταση, ούτε ενισχυτής των αντιπάλων της. Απλώς να είσαι ουδέτερος....

    Αναρωτηθήκατε ποτέ γιατί ανάμεσα στη φιλειρηνική, υποτίθεται, κοινότητα των αποστόλων του Ιησού, ο οποίος δίδασκε τη μη ανταπόδοση των κτυπημάτων,  υπήρχαν μαθητές οπλισμένοι με μαχαίρια; Ο Πέτρος, ο οποίος απέκοψε το αυτί του δούλου του αρχιερέα κατά τη νύκτα της σύλληψης του Ιησού κρατούσε μαχαίρι. Πόσο συμβατή ήταν η οπλοφορία αυτή με τα λόγια του δασκάλου του; Πιστεύω ότι ήταν απόλυτα συμβατή και θα το αποδείξω. Στο Λουκάς ΚΒ 36,38, κατά τη διάρκεια του μυστικού δείπνου, ο Ιησούς καλεί τους μαθητές του να έχουν μαζί τους χρήματα, σάκους με τρόφιμα και μαχαίρια για αντιμετώπιση των δυσκολιών και των επικείμενων καταδιώξεων. Στα τελευταία δίνει ιδιαίτερη έμφαση. Όποιος δεν έχει μαχαίρια τους είπε, ας πωλήσει τα ρούχα του για να τα αποκτήσει. Ασφαλώς δε με την αναφορά αυτή δεν  εννοούσε μικρά οικιακά μαχαίρια με τα οποία κόβουμε το ψωμί και άλλα τρόφιμα, εφόσον όλοι κατέχουν τέτοια, αλλά άλλα μεγαλύτερα, τα οποία χρησιμοποιούν οι άνθρωποι στους πολέμους και τις συγκρούσεις.

      Η αντίδραση των μαθητών δείχνει ότι και αυτοί είχαν κάνει παρόμοιες σκέψεις. Κύριε, είπαν στο δάσκαλο τους, υπάρχουν εδώ δύο μαχαίρια. Ο Ιησούς επικρότησε τη σκέψη τους με την έκφραση είναι ικανό ( ικανόν εστί , Λουκάς ΚΒ 38 ). Προφανώς εννοούσε ότι τα μαχαίρια ήταν κατάλληλα για τον σκοπό τον οποίο ανέπτυξε προη-γουμένως, χωρίς να δώσει οποιαδήποτε άλλη διευκρίνηση.

      Είναι φανερό λοιπόν ότι μαθητής που τραυμάτισε το δούλο ακολουθούσε την εντολή του κυρίου του. Ο Ιησούς όμως χαρακτηρίζεται από αντιφατική σκέψη και πρακτική, όπως θα καταδείξουμε και σε άλλα κεφάλαια. Αλλού καλεί τους ανθρώπους να μην ανταποδίδουν τη βία, ο ίδιος εκδηλώνει βία εναντίον των ανθρώπων που πωλούσαν εμπορεύματα έξω από τον ναό. Έτσι και εδώ κατακρίνει τον μαθητή που τραυμάτισε το δούλο, ενώ ο ηθικός αυτουργός του επεισοδίου ήταν ο ίδιος που τον προέτρεψε να πάρει μαχαίρι.

 Ακόμα και αν για λόγους συζήτησης δεκτούμε την απίθανη ερμηνεία των θεολόγων ότι ο μαθητής παρερμήνεψε τα λόγια του δασκάλου του και ότι τα μαχαίρια έχουν σχέση με την κοπή των άρτων, το φταίξιμο του Ιησού παραμένει. Μια δήλωση ερμηνεύεται με τη κοινή λογική και οποιαδήποτε άλλη ερμηνεία της η οποία δεν τεκμηριώνεται, αποτελεί προσπάθεια δικαιολογίας των αδικαιολόγητων.....

 Παραπομπές κειμένου

Λουκάς, Β 34

Λουκάς  ΙΒ 49 « Πυρ ήλθον βαλείν επί την γην, και τι θέλω ει ήδη ανήφθη!

Ματθαίος Ι΄ 34 - 36 « Μη νομίσετε ότι ήλθον βαλείν ειρήνην επί την γην. Ουκ ήλθον βαλείν ειρήνην, αλλά μάχαιραν. Ήλθον γαρ διχάσαι άνθρωπον κατά του πατρός αυτού και θυγατέρα κατά της μητρός αυτής και νύμφην κατά της πενθεράς αυτής και εχθροί του ανθρώπου οι οικιακοί αυτού. 

Λουκάς ΚΒ 36 «είπεν ουν αυτοίς. Αλλά νυν ο έχων βαλάντιον αράτω, ομοίως και πήραν, και ο μη έχων πωλήσει το ιμάτιον αυτού και αγοράσει μάχαιραν»

Λουκάς ΚΒ 38 « οι δε είπον. Κύριε ιδού μάχαιραι ώδε δύο. Ο δε είπεν αυτοίς. Ικανόν εστί »

 Ματθαίος ΙΒ 30 «ο μη ων μετ’ εμού κατ’ εμού εστί, και ο μη συνάγων μετ’ εμού σκορπίζει»  

Μάρκος Θ 49 « Πας γαρ πυρί αλισθήσεται και πάσα θυσία αλί αλισθήσεται »

 Λουκάς κεφ. ΙΒ 51-52 « δοκείτε ότι ειρήνην παραγενόμην δούναι εν τη γη; Ουχί , λέγω υμίν, αλλ’ ή διαμερισμόν. Έσονται γαρ από του νυν πέντε εν οίκω ενί διαμερισμένοι, τρεις επί δυσί και δύο επί τρισί. Διαμερισθήσονται πατήρ επί υιώ και υιός επί πατρί, μήτηρ επί θυγατρί και θυγάτηρ επί μητρί, πενθερά επί την νύμφην αυτής και νύμφη επί την πενθεράν αυτής.


Σάββατο 5 Σεπτεμβρίου 2020

Μαθηματική διερεύνηση

 

😊Ισοπεριμετρικά ισοσκελή τρίγωνα😊

Ορισμός:

Ένα ισοσκελές τρίγωνο λέγεται ισοπεριμετρικό, όταν η αριθμητική τιμή της περιμέτρου του ισούται με την αριθμητική τιμή του εμβαδού του.

Διερεύνηση:

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ , με ΑΓ= ΒΓ = α και με βάση ΑΒ, ΑΒ=2β. Η περίμετρος του συμβολίζεται με Π και το εμβαδόν με Ε. Έχουμε:

Π = 2 ( α + β )

Υπολογισμός Εμβαδού τριγώνου ΑΒΓ

Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το ύψος επί της βάσης ΑΒ. Έστω το ύψος ΓΔ ΑΒ


Προφανώς μπορούμε να κατασκευάσουμε άπειρα ισοπεριμετρικά ισοσκελή τρίγωνα με ν = 8, 9, 10....

Επίσης μπορούμε να κατασκευάσουμε τρίγωνα με βάση ακέραιες τιμές του β, όπως φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί:

β

α

ΑΓ

ΓΒ

ΑΒ

ΓΔ = υ

Π

Ε

3

7,8

7,8

7,8

6

7,2

21,6

21,6

4

6

6

6

8

5

21

21

5

145/21

145/21

145/21

10

100/21

500/21

500/21

6

7,5

7,5

7,5

12

4,5

27

27

7

371/45

371/45

371/45

14

196/45

1372/45

1372/45

8

136/15

136/15

136/15

16

64/15

512/15

512/15

9

765/77

765/77

765/77

18

324/77

2916/77

2916/77

 Ισοπεριμετρικό Ισοσκελές Χρυσό τρίγωνο

Έστω ο αριθμός της χρυσής τομής Φ = (1+√5 )/2 = 1,618033... .Τότε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=4Φ και ΑΓ=ΒΓ = 2Φ+4 είναι ισοπεριμετρικό και Ε = Π = 8Φ+8. [ Το ύψος ΓΔ=4Φ ]

Σχέδια Ισοπεριμετρικών ισοσκελών τριγώνων