Το ατμοτηλεβόλο του Αρχιμήδη

Η εφεύρεση του ατμοπυροβόλου από τον Αρχιμήδη:

      Η εικόνα που έχουμε για τον πόλεμο στα αρχαία χρόνια περιέχει πολεμιστές με ακόντια, σπαθιά , ασπίδες, κράνη και άλλα παρόμοια όπλα. Αλλά θα μπορούσατε ποτέ να φανταστείτε πόλεμο με πυροβόλα τη μακρυνή εκείνη εποχή; Μη βιαστείτε να απαντήσετε. Ακούστε πρώτα την Ιστορία που ακολουθεί και βγάλτε τα δικά σας συμπεράσματα:

       Ο Λεονάρτο ντα Βίτσι (1452-1519)

ήταν ένας από τους μεγαλύτερους σοφούς όλων των εποχών. Ασχολήθηκε με όλες τις επιστήμες και τις τέχνες χωρίς να αφήσει αμελέτητο κανένα κομμάτι της ανθρώπινης γνώσης. Ήταν ζωγράφος, γλύπτης, μηχανικός, αρχιτέκτονας, φυσιογνώστης, ανατόμος , φιλόσοφος, μουσικός , λογοτέχνης. Ένα μεγάλο μέρος των γνώσεων του το κατέκτησε με την μελέτη έργων των αρχαίων Ελλήνων σοφών, καθώς είχε πρόσβαση σε σπάνια αρχαία χειρόγραφα. Ανάμεσα στα έγγραφα αυτά υπήρχε και ένα του αρχαίου Έλληνα σοφού Αρχιμήδη, το οποίο περιέγραφε την κατασκευή ενός πυροβόλου όπλου, που έριχνε σιδερένιες μπάλες με τη δύναμη του ατμού. Ο Λεονάρτο ντα Βίτσι με βάση τις σημειώσεις του αρχαίου σοφού, ανακατασκεύασε το πυροβόλο. Την κατασκευή του αυτή την ονόμασε ΑΡΧΙΤΡΟΝΙΤΟ.

Ο Λεονάρτο που ήταν όχι μόνο σοφός επιστήμονας, αλλά και τίμιος άνθρωπος, δεν έκρυψε ποτέ του ότι το έργο αυτό δεν ήταν δικό του αλλά του Αρχιμήδη. Αυτό φαίνεται και στο όνομα του όπλου, τα τέσσερα πρώτα γράμματα του οποίου, είναι παρμένα από το όνομα του Αρχιμήδη. ( ΑΡΧΙ-ΤΡΟΝΙΤΟ)

           Πως έμοιαζε όμως το ατμοπυροβόλο;

Ποια ήταν τα χαρακτηριστικά του; Αποτελείτο από ένα μεγάλο ξύλινο σωλήνα, ο οποίος ήταν ενωμένος με  μεγαλύτερο μεταλλικό κιβώτιο, που το θέρμαιναν σε πολύ ψηλές θερμοκρασίες, αναμμένα κάρβουνα . Μέσα στο σωλήνα υπήρχε σιδερένια σφαίρα.Η σφαίρα πιεζόταν με ξύλινο δοκάρι που έφτανε μέχρι το στόμιο της κάνης και το έκλεινε. Από πάνω από τον σωλήνα υπήρχε δοχείο με νερό, ανοίγοντας δε ένα διακόπτη, μέρος του χυνόταν στον σωλήνα, που λόγω της μεγάλης θερμοκρασίας του το εξάτμιζε σχεδόν αμέσως . Η πίεση του ατμού έσπαζε το δοκάρι και εκτόξευε τη σφαίρα σε μεγάλη απόσταση. Οι εικόνες που ακολουθούν το κείμενο μας δίνουν μια ιδέα για το σχήμα του όπλου αυτού.

     Ποιες όμως ήταν οι επιδόσεις του φόβερου , για την εποχή του όπλου; Με την στιγμιαία εξάτμιση 6 λίτρων νερού, μπορούσε να ρίξει μια σφαίρα βάρους 40 κιλών (ενός ταλάντου) και διαμέτρου 30 εκ. σε απόσταση 1100 μέτρων.( 6 στάδια που το μήκος του κάθενος ήταν 185 μέτρα) Με βάση υπολογισμούς που έκανε ο επιστήμονας Ιωάννης Σακκάς η μέγιστη ταχύτητα του βλήματος έφτανε τα 150 μέτρα το δευτερόλεπτο (540 χιλιόμετρα την ώρα), που είναι ίση με την ταχύτητα ενός πολεμικού αεροπλάνου του Β΄ Παγκόσμιου Πολέμου! Η διάμετρος της κάνης του όπλου ήταν 40 εκατοστά, από τα οποία τα 10 εκ. αντιπροσώπευαν το πάχος των τοιχώματος. Η ταχυβολία του όπλου ήταν μια βολή το λεπτό. Με βάση υπολογισμούς του ιδίου επιστήμονα, η κλίση της κάνης ως προς το έδαφος θα πρέπει να ήταν 45º. Αν ο Αρχιμήδης , που  η εφεύρεση του χρησιμοποιήθηκε από τους Συρακούσιους για απόκρουση της Ρωμαϊκής επίθεσης είχε 4  - 5 τέτοια όπλα , θα μπορούσε να κάνει μια βολή κάθε 10-15 δευτερόλεπτα , γεγονός που φανερώνει ικανοποιητική ταχυβολία. Ο Αρχιμήδης είχε προηγηθεί 1500 χρόνια από τους Ευρωπαίους, που κατασκεύασαν το πρώτο κανόνι , με χρήση πυρίτιδας μόλις το 1300 μ.Χ.

Η σύγχρονη ανακατασκευή του Ατμοπυροβόλου.

    Το 1981, μετά από πολλή μελέτη των σημειώσεων και των σχεδίων του Ντα Βίτσι, ο Ιωάννης Σακκάς ανακατασκεύασε μια μικρογραφία του πυροβόλου. Χρησιμοποήσε υλικά και τεχνογνωσία της εποχής του Αρχιμήδη για να αποδείξει ότι το όπλο μπορούσε να κατασκευαστεί και να λειτουργήσει. Στις 12 Μαϊου έκανε το σχετικό πείραμα , πετυχαίνοντας να εκτοξεύσει μικρή μεταλλική σφαίρα, μεγέθους μπάλας του τέννις σε απόσταση 50 μέτρων. Για να το πετύχει εξάτμισε μια πολύ μικρή ποσότητα νερού, μόλις 10 γραμμάρια. Το μεταλλικό μέρος της κάνης είχε θερμανθεί στους 400 βαθμούς Κελσίου με φωτιά από καυσόξυλα. Μέσα σε 10 δευτερόλεπτα, από την είσοδο του νερού στην κάνη δημιουργήθηκε ο ατμός, το δοκάρι έσπασε και η σφαίρα εκτοξεύτηκε με πίεση. Οι Αθηναϊκές εφημερίδες δημοσίευσαν την επόμενη μέρα εκτενείς αναφορές και εικόνες για το πρωτότυπο πείραμα, που ξαναζωντάνεψε , έστω για λίγο, μια πτυχή της αρχαίας ελληνικής Επιστήμης.

Το πείραμα του Ιωάννη Σακκά

Ευκλείδειος Γεωμετρία: Το θεώρημα της εσωτερικής Διχοτόμου Τριγώνου

Ο Ευκλείδης, είναι  ίσως ο πλέον γνωστός μαθηματικός της αρχαιότητας, καθώς έμεινε αθάνατος από το έργο του «Στοιχεία». Θεωρείται ως ο Θεμελιωτής της Γεωμετρίας και της μεθόδου απόδειξης μαθηματικών προτάσεων. Αν και ελάχιστα γνωρίζουμε για την προσωπική του ζωή,

φαίνεται ότι έζησε μεταξύ 325π.Χ και 250 π.Χ. Αυτό γιατί με βάση τους αρχαίους σχολιαστές είναι  προγενέστερος του μαθηματικού Απολλώνιου (δεύτερο μισό του 3^ου π.Χ. αιώνα ) και μεταγενέστερος του Αριστοτέλη που πέθανε το 322 π.Χ  Στα δεκατρία συνολικά βιβλία των «Στοιχείων» περιέχονται 121 ορισμοί, πέντε αιτήματα, εννιά αξιώματα (κοινές έννοιες ) και 465 θεωρήματα.  Οι ορισμοί είναι μαθηματικές προτάσεις που περιγράφουν, ορίζουν και προσδιορίζουν μαθηματικές έννοιες. Ο ορισμός αναφέρεται σε μια μαθηματική έννοια που υπάρχει απριόρι και η παραδοχή ενός ορισμού είναι αληθής. Τα πέντε αιτήματα και τα εννιά αξιώματα αποτελούν τις βασικές μαθηματικές προτάσεις-παραδοχές που θεωρούνται αληθείς άνευ αποδείξεως. Αποτελούν τη βάση επί της οποίας αποδεικνύονται  τα θεωρήματα. Παραθέτουμε κατωτέρω κάποια από αυτά

Τα Ευκλείδεια αιτήματα:

1.       Από δύο σημεία διέρχεται μόνο μια ευθεία.

2.       Κάθε ευθεία μπορεί να προεκταθεί ευθύγραμμα μόνο κατά τη διεύθυνση των δύο άκρων της.

3.       Ο Γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν το ίδιο από δοθέν σημείο είναι περιφέρεια κύκλου.

4.       Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

5.       Αν ευθεία τέμνει άλλες δύο ευθείες και το άθροισμα των εντός και επί τα αυτά γωνιών είναι μικρότερο από δύο ορθές γωνίες, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος που σχηματίζονται οι εντός και επί τα αυτά γωνίες

Παραδείγματα αξιωμάτων

1.       Αν δύο αντικείμενα είναι ίσα με τρίτο, τότε είναι και μεταξύ τους ίσα. ( Α=Γ, Β=Γ ⇒ Α=Β )

2.       Αν ίσα προστεθούν σε ίσα προκύπτουν ίσα. ( Α = Β ,  ⇒ Α+Γ = Β+Γ)

3.       Αν ίσα αφαιρεθούν από ίσα προκύπτουν ίσα. ( Α = Β ,  ⇒ Α-Γ = Β-Γ)

4.       Αν δύο αντικείμενα ταυτίζονται, τότε είναι ίσα μεταξύ τους ( Α≡Β ⇒ Α= Β )

5.       Το όλο είναι μεγαλύτερο από το μέρος.  Α ⊂ Β ⇒ Α < Β

Το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου

Η Τρίτη πρόταση του 6^ου βιβλίου των Στοιχείων, είναι γνωστή και ως θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου. Η Πρόταση αναφέρει ότι η διχοτόμος εσωτερικής γωνίας τριγώνου τέμνει την απέναντι πλευρά ορίζοντας επ’ αυτής τμήματα που έχουν λόγο ίσο με το λόγο των προσκείμενων πλευρών. Αυτό «μεταφράζεται» στη σύγχρονη μαθηματική γλώσσα ως εξής:

  Αν διχοτομήσουμε την εσωτερική γωνία Α ενός τριγώνου ΑΒΓ , τότε η διχοτόμος τέμνει την πλευρά ΒΓ του τριγώνου σε σημείο Δ με τέτοιο τρόπο ώστε ΒΔ/ΔΓ = ΑΒ/ΑΓ. Για να αποδείξουμε την πρόταση φέρνουμε από το Γ παράλληλη ευθεία με την διχοτόμο ΑΔ. Ακολούθως προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ προς το Α η οποία τέμνει την παράλληλο της διχοτόμου σε σημείο Ε.

Είναι φανερό ότι αφού ΑΔ ∥ ΓΕ  ⇒ τότε οι  γωνίες ΒΑΔ και ΑΕΓ είναι ίσες ( Εντός εκτός και επί τα αυτά ), Επίσης οι γωνίες ΔΑΓ και ΑΓΕ είναι ίσες ( εντός εναλλάξ ). Αφού ΒΑΔ = ΔΑΓ ( ΑΔ διχοτόμος ), τότε το τρίγωνο ΓΑΕ είναι ισοσκελές (ΑΓ = ΑΕ ) (1)

. Εκ του θεωρήματος του Θαλή όμως ΒΔ/ΔΓ = ΒΑ/ΑΕ  (2)

Εκ του (1) και (2) η ζητούμενη σχέση αποδεικνύεται δηλαδή έχουμε ΒΔ/ΔΓ = ΒΑ/ΑΓ.

Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται η απόδειξη, με διαφορετική όμως σημειολογία.

Άθροιση απείρων όρων αντίστροφης σειράς Fibonacci

Άθροισμα απείρων όρων Αντίστροφης Χρυσής Σειράς (ΑΧΣ)

Παραθέτουμε κατωτέρω την ΑΧΣ με την οποία είχαμε ασχοληθεί και σε προηγούμενο άρθρο.

∞

∑ Αν =  1+ ½ + ⅓, 1/5 +1/8 + 1/13 +  1/21 + 1/34 + 1/55 +1/89+.........

1

Τα δεδομένα

1. Έχουμε  αποδείξει  σε προηγούμενο άρθρο ότι η ΑΧΣ είναι συγκλίνουσα. ¹

2. Οι παρονομαστές των διαδοχικών όρων της ΑΧΣ μας δίνουν τους όρους της ακολουθίας Fibonacci (ΑF).

ΑF : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 .........

3. Κάθε όρος της ΑF ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων.

3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2, 8 = 5 + 3, 13 = 8+5 κοκ.

4. Ο λόγος δύο διαδοχικών όρων της ΑF τείνει στον αριθμό της χρυσής τομής, όταν η τάξη των όρων  που συγκρίνονται τείνει προς το άπειρο. Δηλαδή:

Όταν  ν → ∞ τότε Αν / Αν-1 → Φ όπου Φ ο αριθμός της χρυσής τομής

Με  Φ =  ( 1 + √ 5 )/2 = 1,61803398….

Υπολογισμός του αθροίσματος ΑΧΣ

1. Είναι φανερό ότι ο λόγος δύο διαδοχικών όρων της ΑΧΣ τείνει στο 1/Φ και έστω ο συμβολισμός του όρου αυτού φ. Ας υπολογίσουμε το φ

φ = 1/Φ = 2 / (1+ √ 5 ) = ( √ 5 – 1 ) / 2 και φ = 0, 61803398….

2. Παρατηρούμε ότι μπορούμε να υπολογίσουμε κάθε επόμενο όρο της ΑΧΣ πολλαπλασιάζοντας τον προηγούμενο με ένα ρητό αριθμό. Έτσι έχουμε:

1 . ½ = ½,   ½ . ⅔ = ⅓,   ⅓. 3/5 = 1/5,   1/5.5/8 = 1/8,   1/8. 8/13 = 1/13  κ.ο.κ

και ½ = 0,5 , ⅔ = 0,6666.. , 3/5 = 0,6 , 5/8 = 0,625 κοκ

 Είναι φανερό ότι, αφού οι όροι της ΑΧΣ είναι οι αντίστροφοι των όρων της ΑF, τότε ο λόγος δύο διαδοχικών όρων της ΑΧΣ τείνει στο φ όταν ν → ∞.

Αν / Αν-1 → φ, όταν ν → ∞

3. Γράφουμε τους διαδοχικούς λόγους Αν / Αν-1  της ΑΧΣ

ν	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Αν/ Αν-1	½	⅔	3/5	⅝	8/13	13/21	21/34	34/55	55/89

5. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι όταν (Αν / Αν-1 ) είναι μικρότερο του φ τότε Αν+1 / Αν είναι μεγαλύτερο του φ για κάθε ν. Η απόδειξη είναι η ακόλουθη:

Έστω: 1/Αν-1 = κ  και 1/Αν = κ Φ – α όπου κ, κΦ – α διαδοχικοί αριθμοί Fibonacci και α θετικός αριθμός

Προφανώς 1 / Αν+1  = κ + κΦ – α

→1 / Αν+1  = κΦ² - α

→Αν+1  = 1/(κΦ² - α) , Αν = 1/(κΦ – α) και  Αν-1 = 1/κ

→Αν /Αν-1 = κ/(κΦ-α)

→Αν /Αν-1 – φ = κ/(κΦ-α) – 1/Φ = α / [ Φ (κΦ –α )] > 0

→Αν /Αν-1 – φ  > 0

→Αν /Αν-1  > φ

Όμοια :

Αν+1 /Αν = (κΦ-α)/(κΦ²-α)

και

(Αν+1 /Αν ) – φ = (κΦ-α)/( κΦ²- α) – 1/Φ = [ α ( 1 – Φ )] / [ΚΦ² - α ] < 0

(αφού 1 – Φ < 0 )

→ (Αν+1 /Αν )– φ < 0

→ Αν+1 /Αν < φ

6. Από τις παραγράφους 4 και 5 προκύπτει ότι:

½  < 3/5 < 8/13 < 21/34 < 55/89 < ......< φ

και

⅔ > ⅝ > 13/21 > 34/55 > 89/144 > .........> φ

7. Με βάση τους προαναφερθέντες λόγους σχηματίζω  Φθίνουσες Γεωμετρικές Προόδους² (ΦΓΠ ) και τις συγκρίνω με το άθροισμα απείρων όρων της ΑΧΣ. Σχηματίζω λοιπόν τις ακόλουθες σχέσεις:

7.1

∞                                                                                                                    ∞

∑ (½) ^ (ν-1) =  1 + ½ + ¼  + ⅛ + ................. = 2 < ∑ Αν

1                                                                                                                      1

και

1           ∞                                                                                                                                                      ∞                                               

∑Αν +∑ ( ½ )[(⅔) ^(ν-1) ]  = 1+ ½ + ⅓ + 2/9 + 4/27 + ...= 1 +3/2 = 2 ½ >∑ Αν

1            1                                                                                                                                                      1                           

και άρα

         ∞                                          ∞

2 < ∑ Αν < 2,5   και άρα ∑ Αν = 2,.......

         1                                          1

7. 2

2                ∞                                                                                                                                    ∞

∑ Αν +  ∑ (⅓) [ 3/5 ^(ν-1)] =  1 + ½ + ⅓ + 3/15+ 9/65+....= 2 ⅓ < ∑ Αν

1               1                                                                                                                                      1

και

3              ∞                                                                                                                                                 ∞                                               

∑Αν + ∑ (1/5 )[(⅝) ^(ν-1) ]  = 1+ ½ + ⅓ + 1/5 +1/8 + 5/64 ...= 2 11/30 > ∑ Αν

1              1                                                                                                                                                   1                           

και άρα

                         ∞                                                    ∞

2,3333... < ∑ Αν < 2,36666   και άρα ∑ Αν = 2,3.......

                         1                                                     1

7. 3

4               ∞                                                                                                             ∞

∑ Αν +  ∑ (⅛) [ 8/13 ^(ν-1)] =  2 1/30 + 13/40 = 2 43/120 < ∑ Αν

1               1                                                                                                             1

και

5               ∞                                                                                                                             ∞                                               

∑ Αν + ∑ ( 1/13 )[(13/21) ^(ν-1) ]  = 2 19/120 + 21/104 = 2 562/1560 >∑ Αν

1               1                                                                                                                              1                           

και άρα

                              ∞                                                       ∞

2,358333... < ∑ Αν < 2,360256   και άρα ∑ Αν = 2,3.......

                              1                                                        1        

7. 4

6              ∞                                                                                                                                                ∞

∑Αν +  ∑ (1/21) [ 21/34 ^(ν-1)] = 2 2569/10920 + 1360/10920 =2 3929/10920  < ∑ Αν

1              1                                                                                                                                                 1

και

7                ∞                                                                                                   ∞                                               

∑ Αν + ∑ ( 1/34 )[(34/55) ^ (ν-1) ]  =  2 66813/ 185640 > ∑ Αν

1               1                                                                                                     1                           

και άρα

                                      ∞                                                            ∞

2,359798534... < ∑ Αν < 2,35990627   και άρα ∑ Αν = 2,359.......

                                      1                                                             1                                                                                             

7. 5

8               ∞                                                                                                                                         ∞

∑ Αν +  ∑ (1/55) [55/89 ^(ν-1)] = 2 734891/2042040  = 2,3598880805.... < ∑ Αν

1               1                                                                                                                                          1

και

9                ∞                                                                                                                                             ∞                                               

∑ Αν + ∑ ( 1/89 )[(89/144) ^(ν-1) ] = 2 65406390/181741560= 2,359886808 > ∑ Αν

1               1                                                                                                                                               1                           

και άρα

                                      ∞                                                                   ∞

2,359880805... < ∑ Αν < 2,359886808...         άρα ∑ Αν = 2,35988.....

                                      1                                                                    1                                                                                            

7. 6

10              ∞                                                                                                                              ∞

∑ Αν +  ∑ (1/144) [144/233 ^ (ν-1)]   = 2,359885395319962405...< ∑ Αν

1               1                                                                                                                                1

και

11              ∞                                                                                                                          ∞                                               

∑ Αν + ∑ ( 1/233 )[(233/377) ^(ν-1) ]  = 2,359885730201789..... > ∑ Αν

1               1                                                                                                                             1                           

και άρα

                                                                    ∞                                                                  

2,359885395319962405....... < ∑ Αν < 2,359885730201789.....

                                                  1

                  ∞

και άρα ∑ Αν = 2,359885.......

                  1                                                                                            

Επίλογος

Έχουμε υπολογίσει το άθροισμα της ΑΧΣ με ακρίβεια 6 δεκαδικών ψηφίων. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία μπορούμε να προσθέσουμε στον αριθμό 2,359885.......περισσότερα δεκαδικά ψηφία. Όμως η διαδικασία δεν έχει τέλος, αφού είναι προφανές ότι ο αριθμός μας έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία και πιθανώς είναι άρρητος³. Μια πρόκληση για κάθε ερασιτέχνη μαθηματικό είναι να ανακαλύψει  μια κλειστή μορφή του αθροίσματος της ΑΧΣ.  

Σημειώσεις

1. Μια σειρά λέγεται συγκλίνουσα, αν το άθροισμα των απείρων όρων της τείνει προς ένα πεπερασμένο πραγματικό αριθμό. Έστω ότι μια σειρά συγκλίνει στο α, όπου α θετικός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι, για ένα θετικό αριθμό β, οσοδήποτε μικρό, το άθροισμα της ακολουθίας μπορεί να ξεπεράσει τη διαφορά α – β , αν αθροίσω τον απαραίτητο αριθμό όρων της.

Δηλαδή

  

γ

∑ Αν  > α – β    αν το γ είναι αρκούντως μεγάλο.

ν=1

Όταν μια σειρά συγκλίνει, τότε οι όροι της σταδιακά τείνουν στο μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι Αν → 0 όταν ν→ ∞. Όμως το αντίστροφο δεν ισχύει, αφού έχουμε σειρές των οποίων οι όροι τείνουν στο μηδέν, όμως αυτές αποκλίνουν. (παράδειγμα:  η αρμονική σειρά )

2. Η ΦΓΠ   έχει τη μορφή α, αr, αr² , αr³ ........ με │ r  │< 1

                        ∞

και άθροισμα  ∑ α r^ (ν-1) = α / ( 1 – r )

                                1

3. Άρρητος είναι κάθε αριθμός που δεν μπορεί να γραφεί ως λόγος δύο μη μηδενικών ακεραίων. Παράδειγμα: Ο αριθμός √2 ο οποίος δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα.

Συντομογραφίες:

ΑF = Ακολουθία Fibonacci

ΑΧΣ = Αντίστροφη Χρυσή Σειρά

ΦΓΠ = Φθίνουσα Γεωμετρική Πρόοδος

Μιχάλης Α. Πόλης

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στο συγγραφέα και στην ιστοσελίδα