Μαθηματικά Προβλήματα

 

1^ο ζητούμενο

(ΑΒΓ) = Ε

⤇ (ΑΒΔ) = (ΒΓΕ) = (ΑΓΖ) = ⅓ Ε

 (ΑΒΔ) + (ΒΓΕ) + (ΑΓΖ) = (ΑΒΓ) = Ε                             (1)

(ΑΒΔ) + (ΒΓΕ) + (ΑΓΖ) = 2(ΑΖΚ) + (ΒΖΚΛ) + 2(ΒΔΛ) +(ΓΔΛΜ) + 2(ΓΕΜ) +(ΑΕΜΚ)

⤇(ΑΒΔ) + (ΒΓΕ) + (ΑΓΖ) = [(ΑΖΚ) + (ΒΖΚΛ) + (ΒΔΛ) +(ΓΔΛΜ) + (ΓΕΜ) +(ΑΕΜΚ) ] + [(ΑΖΚ) +(ΒΔΛ) +(ΓΕΜ) ]

⤇(ΑΒΔ) + (ΒΓΕ) + (ΑΓΖ) = (ΑΒΓ) – (ΚΛΜ) + [(ΑΖΚ) +(ΒΔΛ) +(ΓΕΜ) ]                  (2)

Εκ της (1) και (2) έχουμε:

(ΑΒΓ) =(ΑΒΓ) – (ΚΛΜ) + [(ΑΖΚ) +(ΒΔΛ) +(ΓΕΜ) ]

⤇(ΚΛΜ) = (ΑΖΚ) +(ΒΔΛ) +(ΓΕΜ)

……………………………………………………………………………………………………………

2^ο ζητούμενο

(ΑΖΚ) = α,  (ΒΖΚΛ) = β, (ΒΔΛ) =γ, (ΓΔΛΜ) = δ, (ΓΕΜ) = ε, (ΑΕΜΚ) = ζ, (ΚΛΜ) = η

(ΒΓΖ) = (ΑΒΕ) = (ΑΓΔ) = ⅔ Ε

⤇ β +γ +δ +η = α +β +ζ +η = δ +ε +ζ +η

⤇ β +γ +δ  = α +β +ζ  = δ +ε +ζ

⤇ (ΖΒΓΜΛΚ) =(ΑΒΛΚΜΕ)= (ΓΔΛΜΚΑ)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Έστω ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο ΑΓ=ΓΒ και ΑΓ/ΑΒ=2. Γράφουμε τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΓΔ ( ΑΔ=ΔΓ , ΑΔ/ΑΓ =3/2) , ΓΒΕ (ΓΕ=ΕΒ, ΓΕ/ΓΒ = 3/2), ΑΒΖ ( ΑΖ=ΖΒ και ΑΖ/ΑΒ =3 ) και ακολούθως σχηματίζουμε το τετράπλευρο ΔΓΕΖ. Να υπολογιστούν:

1.       Ο λόγος εμβαδών (ΔΓΕΖ)/(ΑΒΓ)

2.       Ο λόγος περίμετρος ΔΓΕΖ προς ΑΒ

3.       Οι  γωνίες του τετράπλευρου ΔΓΕΖ

Λύση:

1)       ΑΒ=χ ⤇ ΑΓ=ΓΒ=2χ  ⤇ ΑΒ² = ΑΓ²+ΒΓ² -2ΑΓ.ΓΒσυνΓ ⤇χ² = 8χ² -8χ²συνΓ ⤇ 1 = 8 -8συνΓ ⤇συνΓ =0,875   ⤇∠ΑΓΒ=28⁰,95502437 ⤇∠ΓΑΒ=∠ΑΒΓ=75⁰,52248782, (ΑΒΓ)=½ΑΓ.ΒΓημΓ=2χ².0,234375= 0,9682245836 χ²

 

2)      ΑΔ=ΔΓ=3χ  ⤇ΑΓ²=ΑΔ²+ΔΓ²-2ΑΔ.ΔΓσυνΔ   ⤇4χ²=18χ²-18χ²συνΔ ⤇2=9-9συνΔ ⤇ συνΔ=7/9 ⤇ημΔ= 0,628539361 ⤇ ∠ΑΔΓ=38⁰,94244127 ⤇∠ΔΑΓ=∠ΑΓΔ=70⁰,52877937

 (ΑΓΔ) =½ΑΔ.ΔΓημΔ= 2,828427125 χ²

3)      Ομοίως: ∠ΒΓΕ =∠ΓΒΕ = 70⁰,52877937  , ∠ΓΕΒ=38,94244127  , (ΓΒΕ) = 2,828427125 χ²

4)      ΑΒ=χ, ΑΖ=ΒΖ=3χ, ⤇ΑΒ²=ΑΖ²+ΖΒ²-2ΑΖ.ΖΒσυνΖ ⤇ χ²=18χ²-18χ²συνΖ

⤇ 1=18-18συνΖ  ⤇ συν Ζ=17/18  ⤇∠ΑΖΒ= 19,18813645 , ημΖ=0,328671099

⤇ ∠ ΖΑΒ = ∠ ΑΒΖ = 80,40593177, (ΑΖΒ) = ½ ΑΖ.ΖΒ. ημΖ = 1,479019946 χ²

 

5)      ∠ ΔΑΖ = 360⁰ -( ∠ΔΑΓ +∠ΓΑΒ + ∠ΖΑΒ ) = 360⁰ -70,52877937 -75,52248782 - 80,40593177

⤇∠ ΔΑΖ =133,542801   και ομοίως ∠ΖΒΕ=133,542801 

 και ∠ΑΔΖ = ∠ΔΖΑ = ∠ ΒΖΕ =∠ΒΕΖ =23⁰,2285995

6)      ΔΖ² = ΔΑ² + ΑΖ² - 2 ΔΑ.ΑΖ συν(∠ΔΑΖ) = 18χ² - 18χ². (-0,688896251)=30,40013253 χ²

⤇ΔΖ=ΖΕ= 5,513631519 χ.    (ΔΑΖ) = (ΖΒΕ) =½ΔΑ.ΔΖ.ημ133.542801 =3,261869798 χ² 

7)      Οι γωνίες του τετράπλευρου ΔΓΕΖ είναι:

∠ΔΖΕ =∠ΔΖΑ + ∠ΑΖΒ +∠ ΒΖΕ =65⁰,64533545

∠ ΖΔΓ =∠ΖΕΓ = ∠ΑΔΖ +∠ΑΔΓ= 23⁰,2285995 +38⁰,94244127 = 62⁰, 17104077

∠ ΔΓΕ = ∠ΔΓΑ + ∠ ΑΓΒ +∠ ΒΓΕ  =70⁰,52877937 + 28⁰,95502437+70⁰,52877937 =170⁰, 0125831

Οι πλευρές του τετράπλευρου ΔΓΕΖ είναι: ΔΓ=ΓΕ= 3χ, ΔΖ=ΖΕ = 5,513631519 χ 

⤇Περίμετρος  ΔΓΕΖ = 17,02726304 χ .   Λόγος περιμέτρου ΔΓΕΖ / ΑΒ = 17,02726304

8)      (ΔΓΕΖ)=(ΑΒΓ) +2(ΑΔΓ)+2(ΔΑΖ)+(ΑΒΖ)=14,62783838 χ²            (ΔΓΕΖ)/(ΑΒΓ)=15,10789813

Έστω το ζητούμενο εμβαδόν του σκιασμένου τμήματος Ε

(ΑΒΓ) =¼ α²√3 = 0,433012701 α²

Έστω ΖΔ= χ ⤇ ΔΕ = χ. Φ    [ Φ=½ (1+√5)]

Έστω ∠ΒΖΔ = Ζ1  ⤇  Ζ1 = 30⁰   εφΖ1= ΒΔ/ΖΔ ⤇ ΒΔ =ΖΔ εφ30⁰ = χ/√3

⤇ χ. Φ + 2χ/√3 =α    ⤇ χ = α√3/ ( 2+Φ√3) = 0,360654794 α

⤇ ΔΖ = ΕΗ = 0,360654794 α

⤇ ΔΕ = ΖΗ = 0,583551715 α     ⤇ (ΑΖΗ) = 0,147454943 α²

⤇ ΒΔ = ΕΓ = 0,208224142 α

ΒΖ² = ΒΔ² + ΔΖ²    ⤇ ΒΖ = 0,416448284 α

Το κέντρο του εγγεγραμμένου στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΖΔ κύκλου είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του. ⤇ ∠ΟΖΚ = Ζ3 = 30⁰  . Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΖΚ  ( ∠ΖΚΟ=90⁰) έχουμε ΟΚ = ρ, ΟΖ=2ρ και ΖΚ = ½ΖΗ = 0,291775857 α

ΟΖ² = ΖΚ²+ΟΚ² ⤇ ΖΚ = ρ√3   ⤇ ρ = ΖΚ/√3 = 0,168456869 α

Ε ( Ο, ρ ) = πρ² = 0,089151226 α²

Ε = (ΑΖΗ) - Ε ( Ο, ρ )= 0,147454943 α² - 0,089151226 α²

⤇ Ε = 0,058303716 α²