Κύκλου Δια - Μέτρησις

Κύκλου Διά-Μέτρησις

Μιχάλης Α. Πόλης, Εκπαιδευτικός

Δία, ω ιδέα         3,14

Ο πατήρ σύμπαντος      159

Το άριστο θέαμα    265

Έαρ κοινό     35

Αθανάτων διάγγελμα      89

Θρόισμα,            7

Κελάρυσμα, ροή.       93

Γη υπό επίβλεψη.      238

Θείο Θέατρο.      46

Εκ νυκτός φώτα.      264

Πυρ αεί ερχόμενο.      338

Αήρ εξ ουρανού.     327

Μυριώνυμε πάτερ …     950

Συ αθάνατος,       28

Αρμονίας χώρα       84

Ω υπόστασις αείζωος,        197

Ω άνακτα σεισιχθών       169

Ζευ αστραπαίε,          39

Κερασφόρε θεέ         93

Άκτιστε, Αΐδιε, ω …      7510

Αίτιο υπάρξεως Εν …      5820

Δημιουργέ           9

Ευάνεμε Ζήνα,        74

Πολυώνυμε                   9

Άρχε λαών,                  44

Αίγιε, Αμάλθειας Εξ      592

Δρυ …                     30

Εφέστιε, γενέθλιε,     78

Ω αυξητή αγνέ …    1640

Πατέρα ευ ευρύτιμε,     628

Σωτήρα Ελ …            620

Ελάστερε, θεσμοφόρε,      89

Αλέξανδρε             9

Σύμπαντα αϊδίως        86

Σε υμνωδούν …      280

Αεί Θεού υπαρκτού ΟΝ      3482

Ελπίς, Μία Αρχή         534

Εν,  Α,  Ω        211

Ζαγρεύς …       70

Αιώνιε,           6

Εγγυητή, ασύγκριτε.        79

Επιτρέπεται η αναφορά στο ποίημα, η ολική ή μερική αντιγραφή του με αναφορά στον συγγραφέα και στον Ιστότοπο. Επιφυλάσσονται Πνευματικά Δικαιώματα

Μιχάλης Α. Πόλης  

Ορισμοί Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από δοθέν σημείο. Η περιφέρεια του κύκλου είναι κλειστή καμπύλη γραμμή, πεπερασμένη σε μήκος αλλά χωρίς πέρατα. Ακτίνα κύκλου: Ευθύγραμμο τμήμα που αρχίζει από το κέντρο του κύκλου και καταλήγει στην περιφέρεια του. Διάμετρος κύκλου: Ευθύγραμμο τμήμα που αρχίζει και τελειώνει στην περιφέρεια του κύκλου και το μέσο του είναι το κέντρο του κύκλου. Η Διάμετρος είναι διπλάσια της ακτίνας. Ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο είναι αριθμός άρρητος και υπερβατικός, γιατί δεν μπορεί να γραφεί ως λόγος δύο φυσικών αριθμών, ούτε είναι ρίζα αλγεβρικής εξισώσεως με ρητούς συντελεστές. Συμβολίζεται με το Ελληνικό γράμμα  π Ο αριθμός  π έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία που δεν σχηματίζουν επαναλαμβανόμενες ακολουθίες ψηφίων. Τα πρώτα εκατό δεκαδικά ψηφία του π είναι: π= 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ... Το ποίημα που παραθέτουμε πιο πάνω αποτελεί μνημονοτεχνικό κανόνα των πρώτων εκατό δεκαδικών ψηφίων του π. Η ανάλυση φαίνεται και στο σχεδιάγραμμα πιο κάτω. Τα αποσιωπητικά στο ποίημα, όπου εμφανίζονται συμβολίζουν το ψηφίο μηδέν.

3	ΔΙΑ		1
1	Ω	14159	2
4	ΙΔΕΑ		3
1	Ο		4
5	ΠΑΤΗΡ		5
9	ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ		6
2	ΤΟ	26535	7
6	ΑΡΙΣΤΟ		8
5	ΘΕΑΜΑ		9
3	ΕΑΡ		10
5	ΚΟΙΝΟ		11
8	ΑΘΑΝΑΤΩΝ	89793	12
9	ΔΙΑΓΓΕΛΜΑ		13
7	ΘΡΟΙΣΜΑ		14
9	ΚΕΛΑΡΥΣΜΑ		15
3	ΡΟΗ		16
2	ΓΗ	23846	17
3	ΥΠΟ		18
8	ΕΠΙΒΛΕΨΗ		19
4	ΘΕΙΟ		20
6	ΘΕΑΤΡΟ		21
2	ΕΚ	26433	22
6	ΝΥΚΤΟΣ		23
4	ΦΩΤΑ		24
3	ΠΥΡ		25
3	ΑΕΙ		26
8	ΕΡΧΟΜΕΝΟ	83279	27
3	ΑΗΡ		28
2	ΕΞ		29
7	ΟΥΡΑΝΟΥ		30
9	ΜΥΡΙΩΝΥΜΕ		31
5	ΠΑΤΕΡ	50288	32
0	…		33
2	ΣΥ		34
8	ΑΘΑΝΑΤΟΣ		35
8	ΑΡΜΟΝΙΑΣ		36
4	ΧΩΡΑ	41971	37
1	Ω		38
9	ΥΠΟΣΤΑΣΙΣ		39
7	ΑΕΙΖΩΟΣ		40
1	Ω		41
6	ΑΝΑΚΤΑ	69399	42
9	ΣΕΙΣΙΧΘΩΝ		43
3	ΖΕΥ		44
9	ΑΣΤΡΑΠΑΙΕ		45
9	ΚΕΡΑΣΦΟΡΕ		46
3	ΘΕΕ	37510	47
7	ΑΚΤΙΣΤΕ		48
5	ΑΙΔΙΕ		49
1	Ω		50
0	…		51
5	ΑΙΤΙΟ	58209	52
8	ΥΠΑΡΞΕΩΣ		53
2	ΕΝ		54
0	…		55
9	ΔΗΜΙΟΥΡΓΕ		56
7	ΕΥΑΝΕΜΕ	74944	57
4	ΖΗΝΑ		58
9	ΠΟΛΥΩΝΥΜΕ		59
4	ΑΡΧΕ		60
4	ΛΑΩΝ		61
5	ΑΙΓΙΕ	59230	62
9	ΑΜΑΛΘΕΙΑΣ		63
2	ΕΞ		64
3	ΔΡΥ		65
0	…		66
7	ΕΦΕΣΤΙΕ	78164	67
8	ΓΕΝΕΘΛΙΕ		68
1	Ω		69
6	ΑΥΞΗΤΗ		70
4	ΑΓΝΕ		71
0	…	06286	72
6	ΠΑΤΕΡΑ		73
2	ΕΥ		74
8	ΕΥΡΥΤΙΜΕ		75
6	ΣΩΤΗΡΑ		76
2	ΕΛ	20899	77
0	…		78
8	ΕΛΑΣΤΕΡΕ		79
9	ΘΕΣΜΟΦΟΡΕ		80
9	ΑΛΕΞΑΝΔΡΕ		81
8	ΣΥΜΠΑΝΤΑ	86280	82
6	ΑΙΔΙΩΣ		83
2	ΣΕ		84
8	ΥΜΝΩΔΟΥΝ		85
0	…		86
3	ΑΕΙ	34825	87
4	ΘΕΟΥ		88
8	ΥΠΑΡΚΤΟΥ		89
2	ΟΝ		90
5	ΕΛΠΙΣ		91
3	ΜΙΑ	34211	92
4	ΑΡΧΗ		93
2	ΕΝ		94
1	Α		95
1	Ω		96
7	ΖΑΓΡΕΥΣ	70679	97
0	…		98
6	ΑΙΩΝΙΕ		99
7	ΕΓΓΥΗΤΗ		100
9	ΑΣΥΓΚΡΙΤΕ		101

Π και Φ δια του απείρου γινομένου του ημιτόνου

Μιχάλης Α. Πόλης

Την άπειρη σειρά του ημ x  την έχουμε ξανασυναντήσει στο άρθρο για τον υπολογισμό του αθροίσματος της  σειράς των αντίστροφων τετραγώνων. Έχουμε ότι:

ημ  x =  x -  x³ /3!  + (x ^5) / 5!  -  (x ^ 7) / 7!  + (x ^9) / 9! -  .....+ (x ^ν) / ν! -  .....

όπου η έκφραση (x ^ν) διαβάζεται x υψωμένο στη δύναμη ν και η έκφραση ν! διαβάζεται ν παραγοντικό και  ν! = ν. (ν-1) (ν – 2) ..........3.2.1

Αν θέσουμε φ (x ) = (ημ x )/ x

→ φ (x ) = 1 - x² /3! + (x ^4) / 5 !  -  (x ^ 6) / 7!  + (x ^8) / 9!  -...+ (x ^2ν) / (2ν+1)! -  ....

Ο Euler χρησιμοποίησε την φ (x ) για να υπολογίσει το π με τον ίδιο τρόπο που  χρησιμοποίησε τη σειρά g (x ) =[ (ημ √ x ) / √ x ] για να υπολογίσει το άθροισμα των αντίστροφων τετραγώνων. Θεώρησε δηλαδή το φ (x ) ως πολυώνυμο απείρου βαθμού ως προς x² και το παραγοντοποίησε. Πράγματι:

φ (x ) = [1 – x² /Ρ1 ] [1 – x² /Ρ2 ] [1 – x² /Ρ3 ] [1 – x² /Ρ4 ] [1 – x² /Ρ5 ]...                 (2)

Όπου Ρ1 , Ρ2 ,.......Ρν , ........οι ρίζες της φ (x )

Ποιες όμως είναι οι ρίζες της φ (x ); Αν φ (x ) = 0 τότε συνεπάγεται ότι ημ x = 0. Έχουμε:

 x = ν π και άρα x ² = ν² π ², με ν = 1, 2, 3, 4,  .......

Προφανώς η (2) παίρνει τη μορφή :

φ (x ) = [1 – x² / π ² ] [1 – x² / 4 π ²] [1 – x² / 9 π ² ] [1 – x² / 16 π ² ] [1 – x² / 25 π ²]...... 

Όμως το [1 – x² / π ² ] [1 – x² / 4 π ²] [1 – x² / 9 π ² ] [1 – x²/ 16 π ² ] [1 – x² / 25 π ²]......

 Αποτελεί άπειρο γινόμενο το οποίο μπορεί να γραφεί συμβολικά ως:

∞

∏  [ 1 -   x ²/ ν² π ² ] =[1 – x² / π ² ] [1 – x² / 4 π ²] [1 – x² / 9 π ² ] ... [1 – x² / ν² π ²]...... 

ν = 1

και άρα:

                  ∞

ημ x  = x ∏  [ 1 -   x ²/ ν² π ² ]                     (3)

                    ν=1

Ο τύπος που περιγράφει η σχέση (3) είναι γνωστός ως ο κανόνας γινομένου του Euler και θα μας βοηθήσει να ορίσουμε το π με την μορφή απείρου γινομένου.

Το π ως άπειρο γινόμενο

Θέτοντας όπου x = ½ π στον κανόνα γινομένου έχουμε:

                              ∞

ημ  ½ π = ½ π ∏  [ 1 -  1 / 4 ν²  ]                     

                                  ν=1

                          ∞                                      ∞

→ 1 = ½ π ∏  [ (2 ν -  1) / 2 ν  ] ∏  [ (2 ν  + 1) / 2 ν  ]

                        ν=1                                         ν =1

               ∞                                      ∞

→ ½ π =∏  [ 2 ν  / (2 ν – 1 )  ] ∏  [ 2 ν / ( 2 ν + 1 )  ]  με ν = 1, 2, 3, 4....

                       ν=1                                         ν =1

→ ½ π = [(2/1)(4/3)(6/5)(8/7)......] [(2/3)(4/5)(6/7)(8/9)......]

ή αναδιατάσσοντας τους όρους:

½ π = [(2/1) (2/3) (4/3) (4/5) (6/5) (6/7) (8/7) (8/9)......]                  (4)

Η σχέση (4) είναι γνωστή ως τύπος του Wallis¹ για το π από τον μαθηματικό που τον πρωτο-διατύπωσε.

Παραλλαγές

1. Θέτοντας όπου x = ⅓ π στον κανόνα γινομένου έχουμε:

                              ∞

ημ  ⅓ π = ⅓ π ∏  [ 1 -  1 / 9 ν²  ]                     

                                  ν=1

                              ∞                                      ∞

→ ½√3= ⅓ π ∏  [ (3 ν -  1) / 3 ν  ] ∏  [ (3 ν  + 1) / 3 ν  ]

                              ν=1                                         ν =1

                     ∞                                      ∞

→ ⅔ π = √3 ∏  [ 3 ν  / (3 ν – 1 )  ] ∏  [ 3 ν / ( 3 ν + 1 )  ]  με ν = 1, 2, 3, 4....

                                 ν=1                                         ν =1

→ ⅔ π = √3 [(3/2)(6/5)(9/8)(12/11)......] [(3/4)(6/7)(9/10)(12/13)......]

ή αναδιατάσσοντας τους όρους:

⅔ π =√3 [(3/2) (3/4) (6/5) (6/7) (9/8) (9/10) (12/11) (12/13)......]   

2. Θέτοντας όπου x = ¼ π στον κανόνα γινομένου έχουμε:

                               ∞

ημ  ¼ π = ⅓ π ∏  [ 1 -  1 / 16 ν²  ]                     

                                  ν=1

                                   ∞                                      ∞

→ ½√2= ⅓ π ∏  [ (4 ν -  1) / 4 ν  ] ∏  [ (4 ν  + 1) / 4 ν  ]

                                    ν=1                                      ν =1

                        ∞                                       ∞

→ ¼ π =  ½√2 ∏  [ 4 ν  / (4 ν – 1 )  ] ∏  [ 4 ν / ( 4 ν + 1 )  ]  με ν = 1, 2, 3, 4....

                                     ν=1                                         ν =1

→ ¼ π = ½√2 [(4/3)(8/7)(12/11)(16/15)......] [(4/5)(8/9)(12/13)(16/17)......]

ή αναδιατάσσοντας τους όρους:

¼ π =½√2 [(4/3) (4/5) (8/7) (8/9) (12/11) (12/13) (16/15) (16/17)......]

→   π =2 √2 [(4/3) (4/5) (8/7) (8/9) (12/11) (12/13) (16/15) (16/17)......] 

Κτίζοντας ένα τύπο του Φ σε συνάρτηση του π

Ο Φ είναι ένας πολύ σπουδαίος αριθμός των μαθηματικών, εφόσον εκφράζει τη χρυσή τομή². Ας πάρουμε τον κανόνα γινομένου του ημίτονου και ας θέσουμε όπου x = 3π /10

                  ∞

ημ x  = x ∏  [ 1 -   x ²/ ν² π ² ]                     

                    ν=1

η επιλογή  x = 3π /10 δεν είναι τυχαία, εφόσον ημ 3π /10  = ½ Φ

                                                         ∞

→  ημ 3π /10  =  [3π /10] ∏  [ 1 -   x ²/ ν² π ² ]                     

                                                         ν=1

                                           ∞

→   ½ Φ =  3π /10 ∏  [ 1 -   9 / 10² ν²  ]                     

                                          ν=1

                                    ∞                                                 ∞

→    Φ =  3π /5 ∏ [ ( 10 ν -   3 )/ 10 ν  ] ∏  [  (10 ν +  3 ) / 10 ν  ]                      

                                   ν=1                                              ν=1

                                    ∞                                                 ∞

→    Φ =  3π /5 ∏ [ ( 10 ν -   3 )/ 10 ν  ] ∏  [  (10 ν +  3 ) / 10 ν  ]                      

                                   ν=1                                              ν=1

→    Φ =  3π (1/5) (7/10)(13/10)(17/20)(23/20)(27/30)(33/30)(37/40)(43/40)......                    

Σημειώσεις

1. Ο Wallis ( 1616 – 1703 ) υπήρξε διαπρεπής Άγγλος μαθηματικός με συνεισφορά στη θεωρητική αριθμητική, απειροστικό λογισμό, τριγωνομετρία  και αλλού.

2. Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί, όριζαν τη χρυσή τομή, ως τον μερισμό ευθυγράμμου τμήματος σε άκρο και μέσο λόγο. Θεωρούσαν την αναλογία αυτή ως δίδουσα κάλλος και αρμονία γι’ αυτό είχε πολλές εφαρμογές στη ζωή. Ας δούμε όμως τη μαθηματική της πτυχή:

Έστω ευθύγραμμο τμήμα μήκους ΑΒ και έστω ΑΒ= α όπου α σταθερός αριθμός. Αν Γ είναι το σημείο της χρυσής τομής και ΑΓ > ΓΒ αυτό σημαίνει ότι:

ΑΓ/ΓΒ = ΑΒ/ΑΓ               (1)

Αν θέσουμε ΑΓ = x  τότε η  (1) παίρνει τη μορφή της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

x / (α – x ) = α  / x             (2)   

Αν αυθαίρετα θέσουμε α – x = 1  τότε η (2) γίνεται:

x ²- x – 1 = 0, της οποίας οι ρίζες είναι Ρ1 = ½ ( 1 + √ 5 ) και Ρ2 = ½ (√ 5  - 1 ) .

Προφανώς η Ρ1 αντιπροσωπεύει το ΑΓ και Ρ2 το ΓΒ. Ο αριθμός ½ ( 1 + √ 5 ) είναι πολύ σημαντικός, αφού παρουσιάζεται όχι μόνο σε μαθηματικά προβλήματα αλλά  στη φύση, στις εικαστικές τέχνες, αρχιτεκτονική και αλλού. Γι’ αυτό αξιώθηκε του ειδικού συμβολισμού Φ. Έτσι έχουμε:

Φ = ½ ( 1 + √ 5 )

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στο συγγραφέα και στον ιστότοπο του.