Μιχάλης Α. Πόλης
Την άπειρη σειρά του ημ x την έχουμε ξανασυναντήσει στο
άρθρο για τον υπολογισμό του αθροίσματος της σειράς των αντίστροφων τετραγώνων. Έχουμε ότι:
ημ x = x
- x³ /3! + (x ^5) / 5!
- (x ^ 7) / 7! + (x ^9) / 9! - .....+ (x ^ν) / ν! - .....
όπου η έκφραση (x ^ν)
διαβάζεται x υψωμένο στη
δύναμη ν και η έκφραση ν! διαβάζεται ν παραγοντικό και ν! = ν. (ν-1) (ν – 2) ..........3.2.1
Αν θέσουμε φ (x ) = (ημ x )/ x
→ φ (x ) = 1 - x² /3! + (x ^4) / 5 ! - (x ^ 6) / 7! + (x ^8) / 9! -...+ (x ^2ν) / (2ν+1)! - ....
Ο Euler χρησιμοποίησε την φ
(x ) για να υπολογίσει το π με
τον ίδιο τρόπο που χρησιμοποίησε τη
σειρά g (x ) =[ (ημ √ x ) / √ x ] για να υπολογίσει το άθροισμα των αντίστροφων τετραγώνων. Θεώρησε δηλαδή
το φ (x ) ως πολυώνυμο απείρου βαθμού ως προς x² και το παραγοντοποίησε. Πράγματι:
φ (x ) = [1 – x² /Ρ1 ] [1 – x² /Ρ2 ] [1 – x² /Ρ3 ] [1 – x² /Ρ4 ] [1
– x² /Ρ5 ]... (2)
Όπου Ρ1 , Ρ2 ,.......Ρν , ........οι ρίζες της
φ (x )
Ποιες όμως είναι οι ρίζες της φ (x ); Αν φ (x ) = 0 τότε
συνεπάγεται ότι ημ x = 0.
Έχουμε:
x = ν π και άρα x ² = ν² π ², με ν = 1, 2, 3, 4, .......
Προφανώς η (2) παίρνει τη μορφή :
φ (x ) = [1 – x² / π ² ] [1 – x² / 4 π ²] [1 – x² / 9 π ² ] [1 – x² / 16 π ² ] [1 – x² / 25 π ²]......
Όμως το [1 – x² / π ² ] [1 –
x² / 4 π ²] [1 – x² / 9 π ² ] [1 –
x²/ 16 π ² ] [1 – x² / 25 π ²]......
Αποτελεί άπειρο γινόμενο το οποίο
μπορεί να γραφεί συμβολικά ως:
∞
∏ [ 1 - x ²/ ν² π ² ] =[1 – x² / π ² ] [1 – x² / 4 π ²] [1 – x² / 9 π ² ] ... [1 – x² / ν² π ²]......
ν = 1
και άρα:
∞
ημ x = x ∏ [ 1 - x ²/ ν² π ² ]
(3)
ν=1
Ο τύπος που περιγράφει η σχέση (3) είναι γνωστός ως ο κανόνας γινομένου του Euler και θα μας βοηθήσει να ορίσουμε το π με
την μορφή απείρου γινομένου.
Το π ως άπειρο γινόμενο
Θέτοντας όπου x = ½ π στον κανόνα γινομένου έχουμε:
∞
ημ ½ π = ½ π ∏
[ 1 - 1 / 4 ν² ]
ν=1
∞ ∞
→ 1 = ½ π
∏ [ (2 ν - 1) / 2 ν ] ∏ [ (2 ν + 1) / 2 ν ]
ν=1 ν =1
∞ ∞
→ ½ π =∏ [ 2
ν / (2 ν – 1 ) ] ∏ [ 2 ν / (
2 ν + 1 ) ] με ν = 1, 2, 3, 4....
ν=1 ν =1
→ ½ π = [(2/1)(4/3)(6/5)(8/7)......] [(2/3)(4/5)(6/7)(8/9)......]
ή αναδιατάσσοντας τους όρους:
½ π = [(2/1) (2/3) (4/3) (4/5) (6/5) (6/7) (8/7) (8/9)......] (4)
Η σχέση (4) είναι γνωστή ως τύπος του Wallis¹ για το π από τον μαθηματικό που τον πρωτο-διατύπωσε.
Παραλλαγές
1. Θέτοντας όπου x = ⅓ π στον κανόνα γινομένου έχουμε:
∞
ημ ⅓ π = ⅓ π ∏ [ 1
- 1 / 9 ν² ]
ν=1
∞ ∞
→ ½√3= ⅓ π ∏ [ (3 ν -
1) / 3 ν ] ∏ [ (3 ν + 1) / 3 ν ]
ν=1 ν =1
∞ ∞
→ ⅔ π = √3 ∏ [ 3
ν / (3 ν – 1 ) ] ∏ [ 3 ν / (
3 ν + 1 ) ] με ν = 1, 2, 3, 4....
ν=1 ν =1
→ ⅔ π = √3 [(3/2)(6/5)(9/8)(12/11)......] [(3/4)(6/7)(9/10)(12/13)......]
ή αναδιατάσσοντας τους όρους:
⅔ π =√3 [(3/2) (3/4) (6/5) (6/7) (9/8) (9/10)
(12/11) (12/13)......]
2. Θέτοντας όπου x = ¼ π στον κανόνα γινομένου έχουμε:
∞
ημ ¼ π = ⅓ π ∏ [ 1
- 1 / 16 ν² ]
ν=1
∞ ∞
→ ½√2= ⅓ π ∏ [ (4 ν -
1) / 4 ν ] ∏ [ (4 ν + 1) / 4 ν ]
ν=1
ν =1
∞ ∞
→ ¼ π = ½√2
∏ [ 4 ν
/ (4 ν – 1 ) ] ∏ [ 4 ν / ( 4 ν + 1 ) ] με ν = 1, 2, 3, 4....
ν=1 ν =1
→ ¼ π = ½√2 [(4/3)(8/7)(12/11)(16/15)......]
[(4/5)(8/9)(12/13)(16/17)......]
ή αναδιατάσσοντας τους όρους:
¼ π =½√2 [(4/3) (4/5) (8/7) (8/9) (12/11) (12/13)
(16/15) (16/17)......]
→ π =2 √2 [(4/3) (4/5) (8/7) (8/9) (12/11) (12/13)
(16/15) (16/17)......]
Κτίζοντας ένα τύπο του Φ
σε συνάρτηση του π
Ο Φ είναι ένας πολύ σπουδαίος αριθμός των μαθηματικών, εφόσον εκφράζει τη χρυσή τομή². Ας πάρουμε τον κανόνα
γινομένου του ημίτονου και ας θέσουμε όπου x = 3π /10
∞
ημ x = x ∏ [ 1 - x ²/ ν² π ² ]
ν=1
η επιλογή x = 3π /10 δεν είναι τυχαία, εφόσον ημ 3π /10 = ½ Φ
∞
→ ημ 3π /10 = [3π /10] ∏
[ 1 - x ²/ ν² π ² ]
ν=1
∞
→ ½ Φ = 3π /10
∏ [ 1 -
9 / 10² ν² ]
ν=1
∞
∞
→ Φ = 3π /5
∏ [ ( 10 ν - 3 )/ 10 ν ] ∏ [ (10
ν + 3 ) / 10 ν ]
ν=1
ν=1
∞
∞
→ Φ = 3π /5
∏ [ ( 10 ν - 3 )/ 10 ν ] ∏ [ (10
ν + 3 ) / 10 ν ]
ν=1
ν=1
→ Φ = 3π (1/5) (7/10)(13/10)(17/20)(23/20)(27/30)(33/30)(37/40)(43/40)......
Σημειώσεις
1. Ο Wallis ( 1616
– 1703 ) υπήρξε διαπρεπής Άγγλος μαθηματικός με συνεισφορά στη θεωρητική
αριθμητική, απειροστικό λογισμό, τριγωνομετρία
και αλλού.
2. Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί, όριζαν τη χρυσή τομή, ως τον μερισμό
ευθυγράμμου τμήματος σε άκρο και μέσο λόγο. Θεωρούσαν την αναλογία αυτή ως
δίδουσα κάλλος και αρμονία γι’ αυτό είχε πολλές εφαρμογές στη ζωή. Ας δούμε
όμως τη μαθηματική της πτυχή:
Έστω ευθύγραμμο τμήμα μήκους ΑΒ και έστω ΑΒ= α όπου α σταθερός αριθμός. Αν
Γ είναι το σημείο της χρυσής τομής και ΑΓ > ΓΒ αυτό σημαίνει ότι:
ΑΓ/ΓΒ = ΑΒ/ΑΓ (1)
Αν θέσουμε ΑΓ = x τότε η (1) παίρνει τη μορφή της δευτεροβάθμιας
εξίσωσης
x / (α – x ) = α / x (2)
Αν αυθαίρετα θέσουμε α – x = 1 τότε η (2) γίνεται:
x ²- x – 1 = 0, της οποίας οι ρίζες είναι Ρ1 = ½ ( 1 + √ 5 ) και Ρ2 = ½ (√ 5 - 1 )
.
Προφανώς η Ρ1 αντιπροσωπεύει το ΑΓ
και Ρ2 το ΓΒ. Ο αριθμός ½ ( 1 + √
5 ) είναι πολύ σημαντικός, αφού παρουσιάζεται όχι μόνο σε μαθηματικά προβλήματα
αλλά στη φύση, στις εικαστικές τέχνες,
αρχιτεκτονική και αλλού. Γι’ αυτό αξιώθηκε του ειδικού συμβολισμού Φ. Έτσι
έχουμε:
Φ = ½ ( 1 + √ 5 )
Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με
αναφορά στο συγγραφέα και στον ιστότοπο του.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου