Χάλκινη ακολουθία ένατο μέρος

 Στο ένατο μέρος αποδεικνύονται σχέσεις μεταξύ των αθροισμάτων των όρων των παραμετρικών ακολουθιών με χρήση της μαθηματικής επαγωγής. Οι αποδείξεις δίνονται σε σκαναρισμένο αντίγραφο cambria math.

 

Α/Α όρου	Κύρια χάλκινη		1η παραμετρική		2η παραμετρική		3η παραμετρική
	Κν	Κν/Κν-1	Αν	Αν/Αν-1	Βν	Βν/Βν-1	Γν	Γν/Γν-1
1ος	1		1		1		1
2ος	1		2		2		1
3ος	1		4		3		2
4ος	1		7		6		4
5ος	4		14		12		8
6ος	7	1,75	27	1,928...	23	1,916...	15	1,875
7ος	13	1,857..	52	1,925...	44	1,913..	29	1,933..
8ος	25	1,923..	100	1,923...	85	1,931...	56	1,931...
9ος	49	1,96	193	1,93	164	1,929...	108	1,928...
10ος	94	1,918..	372	1,927...	316	1,926...	208	1,925...
11ος	181	1,925..	717	1,927....	609	1,927...	401	1,927...
12ος	349	1,928..	1382	1,927..	1174	1,927..	773	1,927
13ος	673	1,928..	2664	1,927..	2263	1,927..	1490	1,927..
14ος	1297	1,927..	5135	1,927	4362	1,927..	2872	1,927..
...........	...........	............	...........	...........	............	............	...........	...........

 

 

Αύξων αριθμός όρου (ν)	Χάλκινη ακολουθία με τυχαίους αρχικούς όρους	1η παραμετρική χάλκινη ακολουθία	2η παραμετρική χάλκινη ακολουθία	3η παραμετρική χάλκινη ακολουθία
1	α	1	1	1
2	β	2	2	1
3	γ	4	3	2
4	δ	7	6	4
5	α +β + γ + δ	14	12	8
6	α + 2β +2γ +2δ	27	23	15
7	2α +3β +4γ + 4δ	52	44	29
8	4α +6β + 7γ + 8δ	100	85	56
9	8α + 12β + 14γ +15δ	193	164	108
10	15α + 23β + 27γ +29δ	372	316	208
..........................	.........................	..............	..................	................
ν	Τν	Αν	Βν	Γν

 

Ορθογώνιο τρίγωνο γεωμετρικής προόδου (γωνιές) με λόγο Φ

 

Ορισμός

Τρίγωνο του οποίου τα μεγέθη των τριών γωνιών μετρούμενα σε μοίρες ή ακτίνια σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο με λόγο Φ*. 

Υπολογισμός γωνιών και πλευρών “χρυσογώνιου” τριγώνου

Έστω ΑΒΓ τρίγωνο με γωνίες Α= αΦ³ , Β= αΦ², Γ = αΦ. Να υπολογιστούν οι γωνίες του  και οι πλευρές ΑΓ και ΒΓ αν ΑΒ=1

Α+Β+Γ = 180º άρα: αΦ ( 1 + Φ + Φ ) = 180º άρα:  2αΦ³  = 180º  

⇒ α  = 90º/ Φ³ = 21,24611798…

άρα:  α =  21º 14΄ 46΄΄    ⇒ Γ =   αΦ = 34º 22΄ 37΄΄  και ημ Γ = 0,564634885

⇒ B= αΦ² ≃ 55º 37΄ 23΄΄ και ημ Β = 0,825340805     ⇒ A= αΦ³ = 90º  και ημ Α = 1

Προφανώς ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο και άρα εκ του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε ότι:    ΒΓ² = ΑΓ² +ΑΒ²   ⇒ ΒΓ² = ΑΓ² + 1

ΒΓ / ημ Α = ΑΒ/ ΗμΓ = ΑΓ/ημ Β   και άρα    ΑΓ = ημΒ / ημ Γ

⇒ ΑΓ = 1,461737615 = εφΒ         και ΒΓ = 1,771066587

Σημειώσεις

·        Φ = (1+√5)/2 = 1,609033..

·         Γενίκευση: Α = αΦ ²ˢ  Β = αΦ ²ˢ ˉ²  Γ= αΦ ²ˢ ˉ⁴   με  s ∈ Ν, s >2 και Α+Β+Γ = 180º

·        

Για s=3 έχουμε:  ΑΒΓ τρίγωνο με γωνίες Α= αΦ⁶ , Β= αΦ⁴, Γ = αΦ² Να υπολογιστούν οι γωνίες του  και οι πλευρές ΑΓ και ΒΓ αν ΑΒ=1

Α+Β+Γ = 180º άρα: αΦ² ( 1 + Φ² + Φ⁴ ) = 180º  Άρα: 4αΦ⁴ = 180º

⇒ α  = 45º/ Φ⁴ = 6,5654276…

άρα:  α =  6º 33΄ 55΄΄    ⇒ Γ =   αΦ² = 17º 11΄ 18΄΄  και ημ Γ = 0,299714245

⇒ B= αΦ⁴ = 45º  και ημ Β = 0,707106784    ⇒ A= αΦ⁶ = 117º 48΄ 42΄΄  και συνΑ=- 0,466541021

Προφανώς ΑΒΓ αμβλυγώνιο  τρίγωνο :    

ΑΒ / ημ Γ = ΑΓ/ ΗμΒ  άρα    ΑΓ = ημΒ/ημΓ=  2,359270044

ΒΓ²= 1+ ΑΓ² + 2 ΑΓ συν Α = 1+ 0,21662614 + 5,566155141 =6,782781281

ΒΓ = 2,604377331

G

Χάλκινη ακολουθία με τυχαίους αρχικούς όρους

 Σε συνέχεια προηγούμενων αναρτήσεων μας παρουσιάζουμε την χάλκινη ακολουθία με τυχαίους αρχικούς όρους α, β, γ και δ. Ακολούθως εξάγουμε το γενικό όρο της ακολουθίας σε συνάρτηση με τους όρους των παραμετρικών ακολουθιών. Η απόδειξη δίνεται σε σκαναρισμένο αντίγραφο γραμματοσειράς cambria math. Στην εικόνα υπάρχει ακόμα μια απόδειξη, δια της μαθηματικής επαγωγής, ενός τύπου που συνδέει το γενικό όρο της κύριας  με τους αντίστοιχους όρους των τριών παραμετρικών ακολουθιών.