Ορθογώνιο τρίγωνο γεωμετρικής προόδου (γωνιές) με λόγο Φ

 

Ορισμός

Τρίγωνο του οποίου τα μεγέθη των τριών γωνιών μετρούμενα σε μοίρες ή ακτίνια σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο με λόγο Φ*. 

Υπολογισμός γωνιών και πλευρών “χρυσογώνιου” τριγώνου

Έστω ΑΒΓ τρίγωνο με γωνίες Α= αΦ³ , Β= αΦ², Γ = αΦ. Να υπολογιστούν οι γωνίες του  και οι πλευρές ΑΓ και ΒΓ αν ΑΒ=1

Α+Β+Γ = 180º άρα: αΦ ( 1 + Φ + Φ ) = 180º άρα:  2αΦ³  = 180º  

⇒ α  = 90º/ Φ³ = 21,24611798…

άρα:  α =  21º 14΄ 46΄΄    ⇒ Γ =   αΦ = 34º 22΄ 37΄΄  και ημ Γ = 0,564634885

⇒ B= αΦ² ≃ 55º 37΄ 23΄΄ και ημ Β = 0,825340805     ⇒ A= αΦ³ = 90º  και ημ Α = 1

Προφανώς ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο και άρα εκ του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε ότι:    ΒΓ² = ΑΓ² +ΑΒ²   ⇒ ΒΓ² = ΑΓ² + 1

ΒΓ / ημ Α = ΑΒ/ ΗμΓ = ΑΓ/ημ Β   και άρα    ΑΓ = ημΒ / ημ Γ

⇒ ΑΓ = 1,461737615 = εφΒ         και ΒΓ = 1,771066587

Σημειώσεις

·        Φ = (1+√5)/2 = 1,609033..

·         Γενίκευση: Α = αΦ ²ˢ  Β = αΦ ²ˢ ˉ²  Γ= αΦ ²ˢ ˉ⁴   με  s ∈ Ν, s >2 και Α+Β+Γ = 180º

·        

Για s=3 έχουμε:  ΑΒΓ τρίγωνο με γωνίες Α= αΦ⁶ , Β= αΦ⁴, Γ = αΦ² Να υπολογιστούν οι γωνίες του  και οι πλευρές ΑΓ και ΒΓ αν ΑΒ=1

Α+Β+Γ = 180º άρα: αΦ² ( 1 + Φ² + Φ⁴ ) = 180º  Άρα: 4αΦ⁴ = 180º

⇒ α  = 45º/ Φ⁴ = 6,5654276…

άρα:  α =  6º 33΄ 55΄΄    ⇒ Γ =   αΦ² = 17º 11΄ 18΄΄  και ημ Γ = 0,299714245

⇒ B= αΦ⁴ = 45º  και ημ Β = 0,707106784    ⇒ A= αΦ⁶ = 117º 48΄ 42΄΄  και συνΑ=- 0,466541021

Προφανώς ΑΒΓ αμβλυγώνιο  τρίγωνο :    

ΑΒ / ημ Γ = ΑΓ/ ΗμΒ  άρα    ΑΓ = ημΒ/ημΓ=  2,359270044

ΒΓ²= 1+ ΑΓ² + 2 ΑΓ συν Α = 1+ 0,21662614 + 5,566155141 =6,782781281

ΒΓ = 2,604377331

G