Πυθαγόρεια τρίγωνα και αριθμοί Φιμπονάτσι

 

Ο Λεονάρντο Πιζάνο (Leonardo Pisano) ή Φιμπονάτσι (Λεονάρτο Πιζάνο)  είναι γνωστός, μεταξύ άλλων,  για την ομώνυμη αναδρομική σειρά που παραθέτουμε πιο κάτω. Κάθε επόμενος όρος της ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 …………

Υπολογίζοντας τα πηλίκα των διαδοχικών όρων της σειράς  Φιμπονάτσι προκύπτει ότι αυτά τείνουν στον αριθμό 1,618033… , τον θρυλικό αριθμό Φ της χρυσής τομής.

  Φ = (1+√5)/2

Πράγματι: 1/1 = 1,  2/1 = 2,  3/2= 1,5,  5/3= 1,666…,  8/5=1,6,  13/8 = 1,625,  21/13= 1,615384…,  34/21= 1,619047,  55/34= 1,617647…,  89/55= 1,618181,  144/89=1,61797,  233/144= 1,618055…

Αριθμοί Φιμπονάτσι και Πυθαγόρεια τρίγωνα.

Έστω α, β, α + β, α+2β   τέσσερεις διαδοχικοί όροι της σειράς Φιμπονάτσι. Τότε οι ακόλουθοι τρεις αριθμοί αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα:

Α = 2 β ( α + β)                 [ Το διπλάσιο του γινομένου του δεύτερου και του τρίτου αριθμού ]

Β = α ( α + 2β )                [ Το γινόμενο του πρώτου και του τετάρτου αριθμού ]

Γ= β² + ( α + β)²              [ Το άθροισμα των τετραγώνων του δεύτερου και του τρίτου αριθμού ]

Δηλαδή: Α² + Β² = Γ²

Απόδειξη:

[β² + ( α + β)²  ]² – 4 β² ( α + β )² - α² ( α + 2β ) ²

=[β² - ( α + β)²  ]² - α² ( α + 2β ) ² 

=[ -  α²  -2αβ ]² - α² ( α + 2β ) ² 

=[   α²  +2αβ ]² - α² ( α + 2β ) ² 

=α² [   α  +2β ]² - α² ( α + 2β ) ² 

= 0

Παράδειγμα

Έστω οι διαδοχικοί αριθμοί Φιμπονάτσι 5, 8, 13, 21.

Έχουμε:

Α = 2Χ8Χ13 = 208

Β = 5Χ21 = 105

Γ = 8² + 13² = 233

Πράγματι:  208² + 105² = 233²

Ένα τρίγωνο με πλευρές 105, 208, 233 είναι ορθογώνιο με γωνίες 26º 47΄ 06΄΄, 63º 12΄ 54΄΄, 90º