Προσεγγιστικός υπολογισμός ρίζας τριτοβάθμιας με αναδρομικές ακολουθίες

 

Ενώ η λύση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού ήταν γνωστή από την αρχαιότητα, η επίλυση της τριτοβάθμιας εξίσωσης έγινε από τους Scipione dal Ferro, Gerolamo Cardano και Niccolo Fontana ή Tartaglia μόλις στις αρχές του 16^ου αιώνα. Ο σχετικός τύπος των  Tartaglia ‐ Cardano  είναι  πολύπλοκος, αφού περιέχει τετραγωνικές ρίζες εντός κυβικών ριζών. Πιο κάτω περιγράφουμε μια απλή μέθοδο εύρεσης πραγματικής ρίζας εξίσωσης τρίτου βαθμού μέσω χρήσης αναδρομικής ακολουθίας.

Περί ακολουθιών

1.       Μια ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των φυσικών αριθμών. Παράδειγμα: Α(ν) = 3ν -1 και ν ∊ Ν.  για ν =1 έχουμε Α(1) = 2, Α(2) = 5 κοκ.

2.       Αναδρομική ακολουθία τρίτης τάξεως είναι η συνάρτηση στην οποία κάθε όρος ν τάξεως προκύπτει από τους τρεις προηγούμενους όρους τάξεως ν-1, ν-2, ν-3 δηλαδή:

Α(ν) = α Α(ν-1) + β Α(ν-2) + γ Α(ν-3)       με ν >3 και ν∊ Ν και Α(1) = Α(2) = Α(3) = 1 και α, β, γ ∊ Ν

3.       Έστω η εξίσωση τρίτου βαθμού Χ³ = αΧ² + β Χ + γ. Σχηματίζουμε την αναδρομική ακολουθία      Α(ν) = α Α(ν-1) + β Α(ν-2) + γ Α(ν-3)       με ν >3 και ν∊ Ν και Α(1) = Α(2) = Α(3) = 1

4.       Έχουμε: Α(4) = α Α(3) + β Α(2) + γ Α(1)= α + β +γ , Α(5) = α Α(4) + β Α(3) + γ Α(2) , κοκ.

5.       Υπολογίζοντας τα διαδοχικά πηλίκα Α(ν)/Α(ν-1) παρατηρούμε ότι αυτά συγκλίνουν. Η τιμή σύγκλισης είναι η προσέγγιση της ζητούμενης ρίζας.