Φίλιοι Αριθμοί

 «ΦΙΛΟΣ ΕΣΤΙΝ ΑΛΛΟΣ ΕΓΩ» Πυθαγόρας

Ζεύγος αριθμών στους οποίους ισχύει ότι το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του πρώτου ισούται με τον δεύτερο και αντίστροφα το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του δευτέρου ισούται με τον τρόπο δένονται μεταξύ τους με αιώνια και γνήσια φιλία, αφού ο ένας καθρεπτίζεται μέσα στον άλλο.

Όπως και στην πραγματική ζωή η φιλία είναι σπάνια, έτσι και στο άπειρο σύμπαν των φυσικών αριθμών μετρούνται σε μερικές εκατοντάδες τα γνωστά ζεύγη των αριθμών με αυτή τη σπάνια ιδιότητα. Είναι πρόκληση για κάθε μαθηματικό να ανακαλύψει ένα ακόμα ζεύγος, με την βοήθεια βέβαια υπολογιστικών προγραμμάτων με μεγάλη δύναμη.

Πρώτος ο Ιάμβλιχος¹ καταγράφει το ζεύγος (220, 284 ) ως φίλους αφού:

Γνήσιοι διαιρέτες του 220 ={1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110} και 1 +2 +4 +5 +10 + 11 +20 +22 +44 +55 + 110 = 284

Γνήσιοι διαιρέτες του 284 ={1, 2, 4, 71, 142 } και 1 +2 +4 +71 + 142 = 220

Τύπος παραγωγής ζευγών φίλιων αριθμών

Με την προϋπόθεση ότι Α, Β Γ πρώτοι της μορφής

Α = 3.2 ͮ -1   

Β=3.2 ͮ ⁺¹ -1   

Γ= 3².2² ͮ ⁺¹ -1

Τότε Φ1 = Α.Β.2 ͮ ⁺¹   και Φ2 = Γ.2 ͮ ⁺¹   φίλιοι αριθμοί

Για ν = 1 Α=5, Β=11 και Γ=71   ⤇ Φ1 = 220,  Φ2 = 284

Για ν = 3 Α=23, Β=47 και Γ=1151   ⤇ Φ1 = 17296,  Φ2 = 18416

Για ν = 6 Α=191, Β=383 και Γ=73727   ⤇ Φ1 = 9 363 584 ,  Φ2 = 9 437 056

Υπάρχουν και ζεύγη φίλων αριθμών που δεν υπακούν σε αυτό τον τύπο. Παραθέτουμε πιο κάτω κάποια παραδείγματα:

1184  = 2⁵.37            1 +2 +4 +8 +16 +32 +37 +74 +148 +296 +592 = 1210

1210 = 2. 5. 11²       1 +2 +5 +10 +11 +22 +55 + 110 +121 + 242 + 605 = 1184

 

2620 = 2². 5. 131    1 +2 +4 +5 +10 +20 +131 +262 +524 +655 +1310= 2924

2924 = 2². 17. 43     1 +2 +4 +17 +34 +43 +68 +86 +172 + 731 + 1462= 2620

 

5020=2². 5. 251        1 +2 +4 +5 +10 +20 +251 +502 +1004 +1255 + 2510= 5564

5564= 2². 13.107       1 +2 +4 +13 +26 +52 +107 +214 +428 +1391 +2782 = 5020

 

6232=2³.19.41    1 +2 +4 +8 +19 +38 +41 +76 +82 +152 +164 +328 +779 +1558 +3116= 6368

6368=2⁵. 199           1 +2 +4 +8 +16 +32 +199 +398 +796 +1592 +3184 = 6232

 

10744= 2³.17.79   1 +2 +4 +8 +17 +34 +68 +79 +136 +158 +316 +632 +1343 +2686 +5342=10856

10856= 2³.23. 59       1 +2 +4 +8 +23 +46 +59 +92 +118 +184 +236 +472 +1357 +2714 +5428= 10744

 Σημειώσεις

1.       Περί της Νικομάχου Αριθμητικής Εισαγωγής

2.       Γνήσιοι διαιρέτες του 17296 ={1, 2, 4, 8, 16, 23, 46, 47, 92, 94, 184, 188,  368, 376, 752, 1081, 2162, 4324, 8648 } και   1 +2 +4 +8 +16 +23 +46 +47 +92 +94 +184 +188  +368 +376 +752 +1081 +2162 +4324 +8648 = 18416

Γνήσιοι διαιρέτες του 18416 ={1, 2, 4,  8, 16, 1151, 2302, 4604, 9208 } 

Και  1 +2 +4 +8 +16 +1151 +2302 +4604 +9208 = 17296