Το Θυμαρίδειο επάνθημα

 Ο Θυμαρίδας ο Πάριος,    Έλληνας Πυθαγόρειος  μαθηματικός,  άκμασε στο μεταίχμιο του 6^ου προς τον 5^ο π.Χ. αιώνα. Ήταν αυτήκοος μάρτυρας και μαθητής του Πυθαγόρα στον Κρότωνα.  Ο Ιάμβλιχος¹, στην Πραγματεία του «Περί της Νικομάχου Αριθμητικής Εισαγωγής»² διασώζει  μαθηματική εργασία του Θυμαρίδα την οποία ονομάζει «Θυμαρίδειο επάνθημα». Πρόκειται για σύστημα ν εξισώσεων με ισάριθμους αγνώστους. Η μέθοδος λύσης καταγράφεται ως  «Έφοδος Θυμαρίδειου Επανθήματος»

. Είναι η μόνη εργασία του Θυμαρίδα που διασώθηκε. Ο Ιάμβλιχος αναφέρει πως ήταν  πολυγραφότατος.  Τα γραπτά  του δυστυχώς χάθηκαν. Παρουσιάζουμε το επάνθημα σε σύγχρονο συμβολισμό.

Χ + Χ1 + Χ2  + Χ3  +…..+ Χν-1 = Σ                       (1)        

Χ + Χ1 = Σ1                                                                                      (2)

Χ + Χ2 = Σ2                                                                  (3)

……………………

 Χ + Χν-1 = Σν-1                                                              (ν)

(Χ,  Χ1 ,  Χ2 , Χ3  ,….., Χν-1  μεταβλητές   και Σ , Σ1 , Σ2 , … Σν-1    σταθερές

Σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο, ο Θυμαρίδας λύνει το σύστημα αθροίζοντας κατά μέλη τις εξισώσεις.

⤇ ν Χ + 2 (Χ1 + Χ2  + Χ3  +…..+ Χν-1 ) = Σ + Σ1 + Σ2 + Σ3 + …+ Σν-1

⤇ ν Χ + 2 ( Σ -Χ) = Σ + Σ1 + Σ2 + Σ3 + …+ Σν-1

⤇ (ν -2 )Χ +  = Σ1 + Σ2 + Σ3 + …+ Σν-1 – Σ

 καταλήγει στο Χ = (Σ1 + Σ2 + Σ3 + …+ Σν-1 – Σ )/ν-2.

Ακολούθως αντικαθιστά το Χ σε κάθε μια από τις εξισώσεις και υπολογίζει τους αγνώστους Χ1 , Χ2 ,  ….Χν-1

Ο Ιάμβλιχος δίνει παραδείγματα εύρεσης των ακέραιων λύσεων συστημάτων  ν εξισώσεων με  ν+1 αγνώστους. Οκτώ Αιώνες πριν τον Διόφαντο³ ο Θυμαρίδας έδωσε την ακόλουθη μέθοδο επίλυσης την οποία παρουσιάζουμε με τη σύγχρονη μαθηματική σημειολογία:

Έστω το σύστημα 3 εξισώσεων και 4 αγνώστων:

x+y=2 (z+ω)             (1)     

x+z=3 (y+ω)             (2)     

x+ω=4(y+z)             (3)    

Προσθέτω την παρένθεση του β μέρους της κάθε εξίσωσης στα 2 μέλη της:

⤇ x+ y + z +ω = 3 (z +ω)              (4)

⤇ x + z + y +ω = 4 (y +ω)              (5)

⤇ x+ ω + y +z  = 5 (y +z)                 (6)

Θέτουμε:  x+ y + z +ω = Σ   ⤇  Σ = 60 μ  αφού διαιρείται με 3, 4 , 5 και έστω μ= 1

⤇ z +ω = 20,    (7)

⤇y +ω = 15,     (8)

⤇y +z = 12      (9)

Προσθέτουμε κατά μέλη τις ( 7) , ( 8), (9)

⤇  2 Σ – 2χ = 120 – 2χ = 47    ⤇ 2χ = 73 ⤇ χ =36,5 ( Απορρίπτεται γιατί δεν είναι ακέραιος αριθμός)

Για μ = 2    ⤇  x+ y + z +ω =   120     και άρα

⤇ z +ω = 40,    (10)

⤇y +ω = 30,     (11)

⤇ y +z = 24       (12)

Προσθέτουμε κατά μέλη τις ( 10) , ( 11), (12)

⤇  2 Σ – 2χ = 240 – 2χ = 94    ⤇ 2χ = 146 που  ισχύει γιατί χ =73 ακέραιος

⤇ y +z +ω = 47   ⤇ ω = 23, z = 17 y= 7

Γενικεύοντας: χ =73 μ , ω = 23μ, z = 17μ ,  y= 7μ .

Σημειώσεις

1.       Ο Ιάμβλιχος (250 – 325 μ.Χ. ) νεοπλατωνικός φιλόσοφος

2.       Περί της Νικομάχου Αριθμητικής Εισαγωγής: Ο Ιάμβλιχος παρουσιάζει το έργο «Αριθμητική εισαγωγή» του Πυθαγόρειου φιλόσοφου Νικόμαχου

3.       Μαθηματικός του 3^ου αιώνα μ.Χ. Στο διάσημο έργο του «Αριθμητικά» ασχολήθηκε με την επίλυση συστημάτων στα οποία οι άγνωστοι είναι περισσότεροι από τις εξισώσεις και ζητούνται οι ακέραιες λύσεις.