Ατελώς Φίλιοι και Εικασία Goldbach

 Το 1742 ο μαθηματικός Christian Goldbach έστειλε μια επιστολή στον διακεκριμένο συνάδελφο του  L. Euler στην οποία διατύπωσε την εικασία που έκτοτε φέρει το όνομα του. Διατύπωσε την εξής πρόταση:

Κάθε θετικός άρτιος φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο πρώτων.

Σε μαθηματική γλώσσα  ∀ ν ∈Ν+   ν≥2      2ν = p + q   όπου p , q  πρώτοι

Ο   Euler απάντησε στον Goldbach ότι δέχεται την πιο πάνω πρόταση ως ένα πλήρως ορισμένο θεώρημα, αν και δήλωσε ευθαρσώς ότι αδυνατούσε να το αποδείξει. Έκτοτε η Εικασία δεν έχει αποδειχθεί, ούτε έχει βρεθεί κάποιο αντιπαράδειγμα που να την καταρρίπτει. Έχουν κατά καιρό δοθεί διάφορες «αποδείξεις» από επαγγελματίες και ερασιτέχνες μαθηματικούς, που όμως δεν έχουν γίνει αποδεκτές από τη μαθηματική κοινότητα.

 Η εικασία γοήτευσε τη φαντασία  μαθηματικών αλλά και λογοτεχνών όπως τον Απόστολο Δοξιάδη με το θρυλικό μυθιστόρημα του « Ο Θείος Πέτρος και η Εικασία του Goldbach » όπου ο φανταστικός «Θείος Πέτρος» ένας μαθηματικός με σπάνιο ταλέντο,  δαπανά όλη του τη ζωή, όχι σε τομείς που θα του απέδιδαν φήμη και δόξα, προσπαθώντας να αποδείξει τη στοιχειωμένη εικασία. Σαν ένας άλλος ρομαντικός Δον Κιχώτης κυνηγάει το ακατόρθωτο. Να αποδείξει την εικασία που για πάνω από δύο αιώνες αψηφά τις προσπάθειες των πιο φημισμένων μαθηματικών να τη δαμάσουν με μια απόδειξη!

Η Ηράκλεια προσπάθεια του Πέτρου, κατά την εκδοχή του μυθιστοριογράφου, σκοντάφτει πάνω στο Θεώρημα μη Πληρότητας¹ του  Γκέντελ. Στο τέλος της ζωής του ο γέρο Μαθηματικός μετά από παρότρυνση του ανηψιού του, κάνει μια τελευταία προσπάθεια να  αποδείξει το θεώρημα στο οποίο αφιέρωσε τη ζωή του.  Πεθαίνει από εγκεφαλικό στην τελική προσπάθεια και ο ισχυρισμός του ότι έφτασε στη λύση μένει μετέωρος. Ο Δοξιάδης αναδεικνύει το μεγαλείο της Επιστήμης των μαθηματικών και την τεράστια προσπάθεια που έγινε με θυσίες ζωής για να φτάσουν στο σημερινό τους επίπεδο.

Τη σχέση έχει όμως η εικασία του Goldbach με τη πυθαγόρεια θεωρία αριθμών; Υπάρχουν στη Θεωρία αριθμών μια κατηγορία φυσικών αριθμών που λέγονται Ατελώς Φίλιοι Αριθμοί. Σύμφωνα με τη θεωρία « Ατελώς Φίλιοι  Ονομάζεται μια ομάδα φυσικών αριθμών των οποίων το άθροισμα των γνησίων διαιρετών είναι το ίδιο »

Σημειώνουμε ότι ενώ οι Φίλιοι Αριθμοί² είναι πολύ σπάνιοι, οι ατελώς φίλιοι παράγονται, κυριολεκτικά, με το τσουβάλι με την αρκετά απλή μέθοδο που θα παραθέσουμε πιο κάτω και στηρίζεται στην εικασία Goldbach:

Παράδειγμα παραγωγής Ατελώς Φίλιων Αριθμών

1.       Παίρνουμε ένα άρτιο αριθμό έστω τον 100.

2.       Βρίσκουμε με βάση την εικασία του Goldbach όλα τα ζεύγη πρώτων που δίνουν 100

3+97

11+89

17+83

29+71

41+59

47+53

3.       Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς κάθε ζεύγους και βρίσκουμε τους ατελώς φίλιους : 291, 979, 1411, 2059, 2419, 2491

4.       Αποδεικνύεται εύκολα ότι το άθροισμα των γνησίων διαιρετών³ των πιο πάνω αριθμών ισούται με 101 άρα είναι ατελώς φίλιοι.

Απόδειξη:

291 ⇛ γνήσιοι διαιρέτες { 1, 3, 97 } ⇛ 1 +3 +97 =101

971 ⇛ γνήσιοι διαιρέτες { 1, 11, 89 } ⇛ 1 +3 +97 =101

1411⇛ γνήσιοι διαιρέτες { 1, 17, 83 } ⇛ 1 +17 +83 =101

2059⇛ γνήσιοι διαιρέτες { 1, 29, 71 } ⇛ 1 +29 +71 =101

2419⇛ γνήσιοι διαιρέτες { 1, 41, 59 } ⇛ 1 +41 +59 =101

2491⇛ γνήσιοι διαιρέτες { 1, 47, 53 } ⇛ 1 +47 +53 =101

5.       Πόρισμα: Κάθε άρτιος αριθμός, που μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων με δύο ή περισσότερους τρόπους,  βάση της εικασίας  Goldbach, μπορεί να παράγει ισάριθμούς με τα ζεύγη πρώτων ατελώς φίλιους αριθμούς.

Σημειώσεις

1.       Τα Θεωρήματα μη πληρότητας του Kurt Gödel σε απλή γλώσσα αναφέρουν ότι:

 Σε κάθε Τυπικό Αξιωματικό Σύστημα υπάρχουν προτάσεις ( Θεωρήματα) που είναι μεν αληθείς όμως μη αποδείξιμες.

2.       Φίλιοι Αριθμοί είναι ζεύγος αριθμών στους οποίους ισχύει ότι το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του πρώτου ισούται με τον δεύτερο και αντίστροφα το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του δευτέρου. Παράδειγμα:

2^Α.  Γνήσιοι διαιρέτες του 220 ={1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110} και 1 +2 +4 +5 +10 + 11 +20 +22 +44 +55 + 110 = 284  Γνήσιοι διαιρέτες του 284 ={1, 2, 4, 71, 142 } και 1 +2 +4 +71 + 142 = 220

3.       Γνήσιοι διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού είναι όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν χωρίς υπόλοιπο, πλην του εαυτού του. Παράδειγμα: Το σύνολο των γνήσιων διαιρετών του 12 είναι Δ12 = { 1, 2, 3, 4, 6 }.