Ο Αρχιμήδης υπολογίζει το π με την μέθοδο των κανονικών πολυγώνων

Μιχάλης Α. Πόλης εκπαιδευτικός

        Ο π είναι από τους πλέον διάσημους αριθμούς των Μαθηματικών, με εφαρμογές όχι μόνο στην γεωμετρία, αλλά και σε κάθε κλάδο των μαθηματικών. Δεικνύει το λόγο του μήκους της περιφέρειας κύκλου προς την διάμετρο αυτού. Είναι αριθμός άρρητος, δηλαδή δεν μπορεί να γραφτεί ως λόγος 2 φυσικών αριθμών. Ως εκ τούτου το δεκαδικό του ανάπτυγμα έχει άπειρα, μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία. Επίσης είναι αριθμός υπερβατικός. Αυτό σημαίνει ότι δεν αποτελεί ρίζα αλγεβρικού πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές.

          Ο Αρχιμήδης (287-212 π.χ) προσέγγισε τον αριθμό π με τη χρήση κύκλων και κανονικών πολυγώνων. Πριν να περιγράψουμε την εργασία του θα δώσουμε κάποιους ορισμούς των πολυγώνων αυτών που είναι αναγκαίοι για να κατανοήσουμε τη μέθοδο υπολογισμού του π.

Ορίζουμε ένα σχήμα ως κανονικό πολύγωνο, αν έχει όλες τις πλευρές και όλες τις γωνίες του ίσες. Κάθε κανονικό πολύγωνο είναι εγγράψιμο και περιγράψιμο σε κύκλο. Εγγράψιμο σημαίνει ότι οι κορυφές του είναι σημεία περιφέρειας κύκλου, με κέντρο το σημείο τομής των διχοτόμων των εσωτερικών του γωνιών. Οι ίσες πλευρές του κανονικού εγγεγραμμένου πολυγώνου, ορίζουν ίσα τόξα του περιγεγραμμένου σε αυτό κύκλου. Στον ίδιο κύκλο είναι περιγράψιμο όμοιο κανονικό πολύγωνο, του οποίου οι πλευρές είναι εφαπτόμενες του κύκλου. Το σημείο επαφής των πλευρών αυτών με τον κύκλο είναι το μέσο αυτών.

        Ο Αρχιμήδης προσέγγισε τον υπολογισμό του π υπολογίζοντας το μήκος της πλευράς και της περιμέτρου ισοπλεύρου τριγώνου και ακολούθως βρίσκοντας το πηλίκο του μήκους της περιμέτρου δια το μήκος της διαμέτρου του περιγεγραμμένου κύκλου. Σε επόμενα στάδια επαναλάμβανε τη διαδικασία με το κανονικό εξάγωνο και στη συνέχεια με το κανονικό σχήμα με τις διπλάσιες πλευρές κ.ο.κ. Με κάθε διπλασιασμό πετύχαινε μια καλύτερη προσέγγιση του π, εφόσον όσο αυξάνεται ο αριθμός των πλευρών, τόσο η περίμετρος του πολυγώνου τείνει ασυμπτωτικά να φτάσει την περιφέρεια του κύκλου. Έτσι πέτυχε ικανοποιητική προσέγγιση του π από τις μικρότερες τιμές. Όμως δεν έμεινε μόνο σε αυτό. Υπολογίζοντας, ανάλογα, τους λόγους των περιμέτρων των περιγεγγραμένων κανονικών πολυγώνων προς τη διάμετρο του κύκλου, πέτυχε προσεγγίσεις του π από τις μεγαλύτερες τιμές. Συνδυάζοντας τις δύο αυτές προσεγγίσεις προσέγγισε αμφίπλευρα και διαδοχικά το π σε διαδοχικώς μικρότερα αριθμητικά διαστήματα, φτάνοντας στην προσέγγιση:

223/71 < π < 22/7,

 Που είναι ικανοποιητική για τους πρακτικούς υπολογισμούς που ήθελε να κάνει. Θα επαναλάβουμε την προσέγγιση αυτή με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών αριθμών του ημίτονου και της εφαπτομένης. Θα επεκτείνουμε τη μέθοδο μέχρι το κανονικό σχήμα με 6144 πλευρές για ακόμα καλύτερες προσεγγίσεις  

      Η κατασκευή ενός ισοπλεύρου τριγώνου με χάρακα και διαβήτη, αποτελεί μια στοιχειώδη άσκηση της αρχαίας ελληνικής γεωμετρίας. Πώς θα κατασκευάσουμε όμως περαιτέρω τον περιγεγραμμένο κύκλο και το ισόπλευρο τρίγωνο που περιγράφεται στον κύκλο; Απλούστατα αν φέρουμε τις διχοτόμους των γωνιών του τριγώνου και τις επεκτείνουμε μέχρι το σημείο τομής τους έχουμε το κέντρο του ζητούμενου κύκλου. Η ακτίνα του είναι ίση με την απόσταση του κέντρου από την όποια κορυφή του ισοπλεύρου τριγώνου, κάθε πλευρά του οποίου ορίζει τόξο 120º.

      Για την κατασκευή του περιγεγραμμένου τριγώνου σχηματίζουμε τις μεσοκαθέτους των πλευρών του αρχικού μας τριγώνου. Αφού σημειώσουμε τα σημεία τομής των ευθειών αυτών με τον κύκλο, ακολούθως φέρουμε τις εφαπτομένες επί των σημείων αυτών, οι οποίες τεμνόμενες σχηματίζουν το περιγεγραμμένο τρίγωνο. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η περίμετρος του εγγεγραμμένου τριγώνου ισούται με ρ3√3 διαιρούμενη δε δια την διάμετρο δίνει τον αριθμό (3√3)/2=2,598076211. Ομοίως η περίμετρος του περιγεγραμμένου ισοπλεύρου τριγώνου είναι 6ρ√3  και ο λόγος του προς την διάμετρον ισούται με 5,196152423. Βρήκαμε λοιπόν μια πρώτη προσέγγιση, ότι:

2,598076211 < π < 5,196152423

         Με διχοτόμηση των τόξων που ορίζουν οι κορυφές του εγγεγραμμένου ισοπλεύρου τριγώνου σχηματίζουμε το κανονικό εξάγωνο, του οποίου η πλευρά αντιστοιχεί σε επίκεντρο γωνία 60º και είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου. Η περίμετρος λοιπόν του κανονικού εξαγώνου, διαιρούμενη δια τη διάμετρο του περιγεγραμμένου σε αυτό κύκλου δίνει τον αριθμό 3. Αν γύρω από τον κύκλο μας περιγράψουμε κανονικό εξάγωνο, οι πλευρές του εφάπτονται του κύκλου σε σημεία  που ευρίσκονται στην μέση των τόξων που ορίζει το εγγεγραμμένο εξάγωνο. Οι ακτίνες του κύκλου επί των σημείων επαφής εφαπτομένων και κύκλου αποτελούν μεσοκάθετους των πλευρών. Εύκολα δεικνύεται ότι η πλευρά του περιγεγραμμένου εξαγώνου ισούται ρ ( 2√3/3 ) , η περίμετρος του ρ 4√3 και ο λόγος της περιμέτρου προς την διάμετρο 2√3 , δηλαδή κατά προσέγγιση 3,464101615... Βρήκαμε λοιπόν μια δεύτερη καλύτερη προσέγγιση στο π ότι:

3 < π < 3,464101615..

          Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία, σχηματίζουμε  2 κανονικά δωδεκάγωνα, ένα εγγεγραμμένο και ένα περιγεγραμμένο στον ίδιο κύκλο. Η πλευρά του κανονικού εγγεγραμμένου δωδεκαγώνου είναι ίση με 2ρημ15 και προφανώς η περίμετρος του είναι ίση με 24ρημ15 º . Με παρόμοιους υπολογισμούς βρίσκουμε την πλευρά και την περίμετρο του περιγεγραμμένου δωδεκαγώνου που είναι αντίστοιχα 2ρεφ15 και 24ρεφ15. Βρίσκοντας τους λόγους των περιμέτρων προς τη διάμετρο του κύκλου βρίσκουμε την επόμενη προσέγγιση του π που είναι:

12ημ15 < π < 12εφ15

 ή κατά δεκαδική προσέγγιση

3,105828541..< π < 3,215390309..

          Με διπλασιασμό των πλευρών κατασκευάζουμε, αντίστοιχα, εγγεγραμμένο και περιγεγραμμένο 24γωνο. Η πλευρά και η περίμετρος του πρώτου ισούνται με 2ρημ7º 30΄ και 48ρημ7º 30΄. Διαιρούμενη η δεύτερη με τη διάμετρο έχουμε την τιμή  3,132628613 μικρότερη του π. Η αντίστοιχη περίμετρος του περιγεγραμμένου 24γώνου είναι 48ρ εφ7º 30΄ η οποία διαιρούμενη με τη διάμετρο δίνει 3,159659942, που προσεγγίζει το π από μεγαλύτερες τιμές. Άρα έχουμε:

3,132628613..< π < 3,159659942..

        Τα επόμενα κανονικά πολύγωνα και οι αντίστοιχοι λόγοι των περιμέτρων τους προς τον κύκλο στον οποίο εγγράφονται ή περιγράφονται είναι:

Εγγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο

Περιγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο

Αριθμός πλευρών

Μήκος πλευράς

Περίμε-τρος

Περίμε- τρος / διάμετρος

Αριθμός πλευρών

Μήκος πλευράς

Περίμε-τρος

Περίμε- τρος / διάμετρος

48

2ρ ημ(π/48)

96ρ ημ(π/48)

3,1393502 03...

48

2ρ εφ(π/48)

96ρ εφ(π/48)

3,1460862 15...

3,139350203...< π  < 3,146086212...

96

2ρ ημ(π/96)

192ρ Ημ (π/96)

3,141031 951...

96

2ρ εφ(π/96)

192ρ Εφ (π/96)

3,142714 6...

3,141031951...< π  < 3,1427146...

Ο Αρχιμήδης σταμάτησε την προσέγγιση του π μέχρι το πολύγωνο με 96 πλευρές. Την τελευταία ανίσωση του πίνακα την διατύπωσε υπό την μορφή 223/71 < π < 22/7. Θα συνεχίσουμε διπλασιάζοντας τις πλευρές των κανονικών σχημάτων για να προσεγγίσουμε περισσότερο την πραγματική τιμή του π.

Εγγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο

Περιγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο

Αριθμός πλευρών

Μήκος πλευράς

Περίμε-τρος

Περίμε- τρος / διάμετρος

Αριθμός πλευρών

Μήκος πλευράς

Περίμε-τρος

Περίμε- τρος / διάμετρος

192

2ρ ημ(π/192)

384ρ Ημ (π/192)

3,14145247 2.....

192

2ρ εφ(π/192)

384ρ εφ(π/192)

3,14187305

⇒ 3,14145247...< π  < 3,14187305...

384

2ρ ημ(π/384)

768ρ ημ(π/384)

3,141557 608

384

2ρ εφ(π/384)

768ρ εφ(π/384)

3,141662 747...

⇒ 3,141557608...< π  < 3,141662747...

768

2ρ ημ(π/768)

1536ρ ημ(π/768)

3,1415838 92...

768

2ρ εφ(π/768)

1536ρ εφ(π/768)

3,141610 177...

⇒ 3,141583892...< π  < 3,141610177...

1536

2ρ ημ (π/1536)

3072ρ ημ (π/1536)

3,1415904 63....

1536

2ρ εφ (π/1536)

3072ρ εφ (π/1536)

3,141597 034....

⇒ 3,141590463...< π  < 3,141597034

3072

2ρ ημ (π/3072)

6144ρ ημ (π/3072)

3,141592 106....

3072

2ρ εφ (π/3072)

6144ρ εφ (π/3072)

3,141593 749....

⇒ 3,141592106...< π  < 3,141593749

6144

2ρ ημ (π/6144)

12288ρημ (π/6144)

3,1415925 17....

6144

2ρ εφ (π/6144)

12288ρ εφ (π/6144)

3,1415929 27....

⇒ 3,141592517...< π  < 3,141592927....

Παραλλαγή της μεθόδου με αρχικό σχήμα τετράγωνο

Ο υπολογισμός του π δια  του λόγου των περιμέτρων κανονικών πολυγώνων προς την διάμετρο του περιγεγραμμένου ή εγγεγραμμένου κύκλου μπορεί να γίνει με αρχικό σχήμα τετράγωνο, αντί ισοπλεύρου τριγώνου. Έστω λοιπόν τετράγωνο ΑΒΓΔ. Γράφω τις διαγωνίους ΑΓ και ΒΔ, έστω δε Ο το σημείο τομής αυτών. Με κέντρο Ο και ακτίνα ίση με ΟΑ γράφω τον κύκλο ο οποίος περιγράφεται στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. Ακολούθως σχηματίζω με χάρακα και διαβήτη τις μεσοκαθέτους των πλευρών του τετραγώνου, τις οποίας επεκτείνω μέχρι να τέμνουν την περιφέρεια του κύκλου και ακόμα περισσότερο. Ονομάζω τα σημεία τομής με την περιφέρεια Ε, Ζ, Η, Θ. Παίρνοντας ίσα τμήματα επί των μεσοκαθέτων, ένθεν και ένθεν των σημείων τομής τους με την περιφέρεια, σχηματίζω τις εφαπτόμενες του κύκλου επί των σημείων Ε, Ζ, Η, Θ. Οι τέσσερεις ευθείες τέμνονται και σχηματίζουν το περι-γεγραμμένο στον κύκλο τετράγωνο το οποίο ονομάζω Α΄Β΄Γ΄Δ΄. Η πλευρά του τετραγώνου ΑΒΓΔ= ρ√2 , ενώ η πλευρά του Α΄Β΄Γ΄Δ΄ = 2ρ. Οι αντίστοιχες περίμετροι είναι 4ρ√2 και 8ρ. Διαιρώντας τις περιμέτρους με την διάμετρο του κύκλου έχω την ακόλουθη πρώτη προσέγγιση του π:

2√2 < π < 4

ή 2,828427125 < π < 4

Διαιρώντας τα τόξα των 90 º  με διαβήτη, ορίζω 8 τόξα των 45 º , τα οποία οριοθε-τούν  κανονικό εγγεγραμμένο οκτάγωνο. Η πλευρά του, με βάση τα λεχθέντα στο προηγούμενο κεφάλαιο, είναι 2ρημπ/8, η περίμετρος του 16ρημπ/8, και ο λόγος πε-ριμέτρου προς διάμετρο είναι 8ημπ/8, δηλαδή 3,061467459...Ο λόγος αυτός υπολείπεται του π

Το αντίστοιχο περιγεγραμμένο σχήμα, το οκτάγωνο, έχει πλευρά 2ρεφπ/8, περίμετρο 16ρεφπ/8 και ο λόγος περιμέτρου προς διάμετρο του κύκλου είναι 8εφπ/8 δηλαδή 3,313708499... Ο λόγος αυτός είναι μεγαλύτερος του π

     Οι δύο λόγοι προσδιορίζουν την ακόλουθη προσέγγιση του π 

3,061467459...< π  < 3,313708499...

Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία σχηματίζουμε κανονικά εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα με 16, 32, 64, 128, 256....2ⁿ πλευρές και βρίσκουμε τις αντίστοιχες προσεγγίσεις του π. Αυτές είναι οι ακόλουθες:

  

Εγγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο

Περιγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο

Αριθμός πλευρών

Μήκος πλευράς

Περίμε-τρος

Περίμε- τρος / διάμετρος

Αριθμός πλευρών

Μήκος πλευράς

Περίμε-τρος

Περίμε- τρος / διάμετρος

16

2ρ ημ(π/16)

32ρ Ημ (π/16)

3,12144 5152.....

16

2ρ εφ(π/16)

32ρ εφ(π/16)

3,182597 878....

⇒ 3,121445152...< π  < 3,182597878...

32

2ρ ημ(π/32)

64ρ ημ(π/32)

3,13654 8491....

32

2ρ εφ(π/32)

64ρ εφ(π/32)

3,151724 907...

⇒ 3,136548491...< π  < 3,151724907...

64

2ρ ημ(π/64)

128ρ ημ(π/64)

3,14033 1157...

64

2ρ εφ(π/64)

128ρ εφ(π/64)

3,144118 385...

⇒ 3,140331157...< π  < 3,144118385...

128

2ρ ημ ( π/128)

256ρ ημ (π/128)

3,141277 251....

1536

2ρ εφ ( π/128)

256ρ εφ (π/128)

3,14222 363....

⇒ 3,141277251...< π  < 3,14222363

256

2ρ ημ ( π/256)

512ρ ημ (π/256)

3,14151 3801....

256

2ρ εφ ( π/256)

512ρ εφ (π/256)

3,14175 0369....

⇒3,141513801...< π  < 3,1417501369...

512

2ρ ημ ( π/512)

1024ρ ημ (π/512)

3,14157 294....

512

2ρ εφ ( π/512)

1024ρ εφ  ( π/512)

3,14163 2081....

⇒ 3,141513801...< π  < 3,1417501369...

1024

2ρ ημ ( π/1024)

2048ρ ημ (π/1024)

3,141587725

1024

2ρ εφ ( π/1024)

2048 ρ εφ  ( π/1024)

3,1416025..

⇒ 3,141587725...< π  < 3,1416025...

2048

2ρ ημ ( π/2048)

4096 ρ ημ (π/2048)

3,141591422

2048

2ρ εφ ( π/2048)

4096 ρ εφ  ( π/2048)

3,141595118

⇒ 3,141591422...< π  < 3,141595118...

..........................................................................................................................................

Η προσέγγιση του π με τη διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχιστεί επ’ άπειρο. Τα περιγεγραμμένα  και εγγεγραμμένα κανονικά σχήματα έχουν 2ⁿ πλευρές όπου n = 2,3,4.....Χρησιμοποιώντας όρια μπορούμε να πούμε ότι:

π = lim n → ∞ [ 2 ⁿ . ημ ( π / 2 ⁿ ) ]

όπου π η γωνία μετρημένη σε ακτίνια και π ακτίνια =180º και η προσέγγιση είναι από τις μικρότερες τιμές. Ομοίως μπορούμε να πούμε ότι:

π = lim n → ∞ [ 2 ⁿ . εφ ( π / 2 ⁿ ) ] προσεγγίζοντας το π από τις μεγαλύτερες τιμές.

Για n → ∞   [ 2 ⁿ . ημ ( π / 2 ⁿ ) ] = [ 2 ⁿ . εφ ( π / 2 ⁿ ) ] =π

Ημιτελείς αριθμοί

Μιχάλης Α. Πόλης

Εκπαιδευτικός

Εισαγωγή

Σε προηγούμενο άρθρο είχαμε παρουσιάσει τους τέλειους αριθμούς. Είχαμε πει ότι οι αριθμοί αυτοί έχουν το χαρακτηριστικό της τελειότητας, επειδή το άθροισμα των γνησίων διαιρετών¹ τους ισούται με αυτούς. Για παράδειγμα ο αριθμός 6 είναι τέλειος γιατί οι γνήσιοι διαιρέτες του 1, 2, 3 έχουν άθροισμα 6.

Πέραν αυτού είχαμε πει ότι δεν έχουν ανακαλυφθεί περιττοί τέλειοι αριθμοί. Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια νέα ομάδα αριθμών, τους ημιτελείς.

Ορισμός Ημιτελούς αριθμού

Ημιτελής ονομάζεται ο περιττός αριθμός, ο οποίος αν αυξηθεί κατά μία μονάδα ισούται με το διπλάσιο των γνησίων διαιρετών του. Τέτοιοι αριθμοί είναι οι 21, 2133, 19521, 176661 ....

Πρώτοι αριθμοί και παραγωγή ημιτελών

Η παράσταση 3 ª – 2, την οποία συμβολίζουμε με το κεφαλαίο ελληνικό γράμμα Πa,  μπορεί να δώσει πρώτους αριθμούς μόνο για ορισμένες θετικές ακέραιες τιμές του εκθέτη a. Τα παραδείγματα που ακολουθούν είναι ενδεικτικά:

1. Για a = 2, Π2 = 3² - 2 = 7 και άρα Π2  πρώτος.

2. Για a = 4, Π4 = 3⁴ - 2 = 79 και άρα Π4  πρώτος.

3. Για a = 5, Π5 = 3⁵ - 2 = 241 και άρα Π5  πρώτος.

4. Για a = 6, Π6 = 3⁶ - 2 = 727 και άρα Π6  πρώτος.

Θεώρημα των ημιτελών αριθμών

Αν η παράσταση Πa = 3 ª – 2 είναι πρώτος αριθμός, τότε η παράσταση (3 ª – 2) . 3 ª ¯ ¹ είναι ημιτελής αριθμός.

Θα ονομάσουμε Ηa  την παράσταση (3 ª – 2) . 3 ª ¯ ¹ και åa το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών¹ του Ηa.  Ακολούθως  θα υπολογίσουμε το åa

  

Οι  γνήσιοι διαιρέτες του Ηa είναι οι διαδοχικές δυνάμεις του 3 με εκθέτη από 0 έως

 a -1 καθώς και τα γινόμενα των αριθμών 1, 3, 9... 3 ª ¯ ² με το πρώτο αριθμό 3 ª – 2.

åa = (1 + 3 + 3² + ...+3ª ¯¹) + [(3 ª – 2) + (3 ª – 2)3 + (3 ª – 2)3² + ...+ (3 ª – 2) 3 ª ¯ ²]

Þåa = (1 + 3 + 3² + 3³ +...+3ª ¯¹) + (3 ª – 2) [1 + 3 + 3² + 3³ +...+3 ª ¯ ²]

Þåa = (3ª – 1)/2 + (3 ª – 2) (3 ª ¯ ¹ - 1)/2

Þåa = (3ª – 2)/2 + ½ + [(3 ª – 2) (3 ª ¯ ¹ - 1)/2]

Þåa = (3ª – 2) (1+ 3 ª ¯ ¹ - 1)/2 + ½

Þåa = [(3ª – 2) 3 ª ¯ ¹]/2 + ½

Þåa = [1+ Ηa ]/2

Þ 2 åa =  ( Ηa + 1 )

Το αποτέλεσμα είναι η ζητούμενη σχέση.

Παραδείγματα ημιτελών αριθμών

1. Για a = 2, Π2 = 3² - 2 = 7 Þ Π2  πρώτος Þ Η2 = 7. 3 ¹ = 21, ο οποίος είναι ημιτελής αφού οι διαιρέτες του 21 είναι οι 1, 3, 7 και 1+3+7= 11 και 11 =  ( 21+1)/2

2. Για a = 4, Π4 = 3⁴ - 2 = 79 Þ Π4  πρώτος. Þ Η4 = 79. 3³ = 2133 ο οποίος είναι ημιτελής αφού οι διαιρέτες του 2133 είναι οι 1, 3, 9, 27, 79, 237, 711,  και 1+3+9 +27+79+ 237+711= 1067 και 1067 =  ( 2133+1)/2

3. Για a = 5, Π5 = 3⁵ - 2 = 241 Þ Π5  πρώτος. Þ Η5 = 241.3⁴= 19521 ο οποίος είναι ημιτελής αφού οι διαιρέτες του 19521 είναι οι 1, 3, 9, 27, 81, 241, 723, 2169, 6507.  και 1+3+9 +27+ 81+ 241+ 723+ 2169 + 6507 = 9761 και 9761 = ( 19521+1)/2

4. Για a = 6, Π6 = 3⁶ - 2 = 727 Þ Π6  πρώτος Þ Η6 = 727. 243 = 176661 ο οποίος είναι ημιτελής αφού οι διαιρέτες του 176661 είναι οι 1, 3, 9, 27, 81, 243, 727, 2181, 6543, 19629,58887.  και 1+3+9 +27+ 81+ 243+ 727+ 2181 + 6543 + 19629 + 58887 = 88331 και 88331 = ½ ( 176661+1)

Οι ημιτελείς αριθμοί έχουν ψηφίο μονάδων 1 ή 3

1. Οι διαδοχικές δυνάμεις του 3, αρχίζοντας από τη μηδενική δύναμη, έχουν ψηφίο μονάδων 1,3,9,7,1,3,7,9…..
2. Η παράσταση Πa = 3 ª – 2 , εφόσον είναι πρώτος αριθμός, έχει ψηφίο μονάδων 1, 7, 9 και τα αντίστοιχα ψηφία της 3 ª ¯ ¹ είναι  1, 3, 7.
3. Προφανώς λοιπόν η παράσταση Ηa  = (3 ª – 2) . 3 ª ¯ ¹ έχει ψηφίο μονάδων 1 ή 3.

Μαθηματικές εικασίες για τους ημιτελείς αριθμούς που περιμένουν απόδειξη:

1. Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί της μορφής Πa = 3 ª – 2 και κατ’ επέκταση άπειροι ημιτελείς αριθμοί της μορφής Ηa  = (3 ª – 2) . 3 ª ¯ ¹

.

2. Υπάρχουν ημιτελείς αριθμοί που δεν προκύπτουν από τους πρώτους της μορφής

Πa = 3 ª – 2

Σημειώσεις

1. Για τους σκοπούς του άρθρου αυτού, γνήσιοι διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού είναι το σύνολο των διαιρετών του, με εξαίρεση τον ίδιο τον αριθμό.

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στο συγγραφέα και στην ιστοσελίδα που τον  φιλοξενεί.

Το κίνημα των σοφιστών

Μιχάλης Α. Πόλης Εκπαιδευτικός

Πριν την κλασσική εποχή σοφιστής σήμαινε τον φιλόσοφο, τον  κάτοχο  της πιστοποιημένης  γνώσεως. Την εποχή του Πλάτωνα και του Σωκράτη όμως δήλωνε τον επί πληρωμή δάσκαλο της γραμματικής, ρητορικής, γεωμετρίας, αριθμητικής, της πολιτικής  επιστήμης, αστρονομίας, μουσικής και γνωσιολογίας (Φιλοσοφίας). Γόνοι πλουσίων οικογενειών της Αθήνας μίσθωναν αδρά γνωστούς σοφιστές για να γίνουν καλοί πολιτικοί και ρήτορες.  Οι μαθητές των σοφιστών δεν ζητούσαν  μόνο  γνώσεις. Μέσω της σοφιστικής μόρφωσης  επεδίωκαν να αναπτύξουν την ευβουλία και την κοινωνική μόρφωση δηλαδή τη δεξιότητα να χειρίζονται άριστα τις ιδιωτικές και τις δημόσιες υποθέσεις τους. 

Οι σοφιστές μελετούσαν τον κόσμο με  βάση τις αισθήσεις, και ήταν αμφισβητίες των καθιερωμένων απόψεων, διατυπώνοντας ένα ιδιαίτερο σκεπτικισμό. Είχαν  την άποψη ότι οι έννοιες, η γνώση και οι αξίες είναι  σχετικές. Δεν πίστευαν σε απόλυτες αλήθειες, αλλά πρέσβευαν τη σχετικότητα των γνώσεων. Ήταν αντίθετοι με τη μεταφυσική φιλοσοφία του Πλάτωνα την οποία   θεωρούσαν ως στερούμενη θεμελίωσης στον πραγματικό κόσμο. Από την άλλη ήταν πιο κοντά στις θεωρίες των φυσικών φιλοσόφων που ήταν υλιστικές. Ο Πλάτωνας τους κατηγορούσε ότι δεν τους ενδιέφερε η αλήθεια, αλλά ο εντυπωσιασμός, αφού η διδασκαλία τους περί σχετικότητας της γνώσεως ήταν μια «γνώση παντός καιρού» που μπορούσε να εξυπηρετήσει κάθε σκοπιμότητα. Ήταν διαλεκτικοί και απεχθάνονταν το δογματισμό, κάτι το οποίο πρέπει να τους πιστωθεί. Στην αναζήτηση της γνώσεως βάραινε πολύ η ατομική οπτική. Δεν τους απασχολούσε η αναζήτηση της αλήθειας ως απόλυτης γενικής μεταφυσικής πραγματικότητας αλλά ως υποκειμενικής θέσης, ανάλογα με την οπτική αυτού που την αναζητούσε. Έβλεπαν ότι υπάρχουν πολλές αλήθειες για το ίδιο θέμα, ισότιμα έγκυρες ακόμα και αν είναι αντιφατικές, άποψη αντίθετη με την αριστοτελική λογική. Για κάποιους από αυτούς αληθινό είναι  το χρήσιμο.

Οι θέσεις των σοφιστών δεν ήταν ενιαίες, όπως ισχύει σε άλλες σχολές. Για παράδειγμα   οι σοφιστές Θρασύμαχος, Καλλικλής και Κριτίας πίστευαν στο φυσικό δίκαιο δηλαδή στην επιβολή των ισχυρών επί των αδυνάτων. Συνακόλουθα ο σοφιστής Καλλικλής θεωρούσε τη Δημοκρατία ως το πολίτευμα των πολλών και των αδυνάτων που με αυτή προσπαθούσαν να επιβληθούν στους άριστους δια των νόμων και της ψήφου. Ως αποτέλεσμα της αντιδραστικής τους ιδεολογίας,  η μερίδα αυτή των σοφιστών  πίστευαν στον άκρατο ατομικισμό. Η συντηρητική αυτή ιδεολογία ήταν και αποτέλεσμα της προσκόλλησης τους στην αριστοκρατία από την οποία προσπορίζονταν ως δάσκαλοι τα μέσα βιοπορισμού.

Άλλη μερίδα σοφιστών  είχε πιο δημοκρατικές και «διεθνιστικές» ιδέες. Έτσι ο Αντιφώντας δεν πιστεύει στο διαχωρισμό των ανθρώπων σε Έλληνες και βάρβαρους. Ο Αλκιδάμας απορρίπτει τη δουλεία την οποία θεωρεί ως αφύσικη. Άλλοι σοφιστές όπως τον Πρωταγόρα έφταναν στο θρησκευτικό αγνωστικισμό.

Γνωστοί σοφιστές

Πιο κάτω θα αναφερθούμε σε μερικούς από τους γνωστότερους σοφιστές και το έργο τους. Πρέπει να πούμε όμως ότι οι πληροφορίες που έχουμε γι’ αυτούς είναι αποσπασματικές και διασώζονται μέσα από τα γραπτά έργα αντιπάλων τους όπως ο Πλάτωνας που τους αντιμετωπίζουν με προκατάληψη.

1.       Ο Αντιφών: Σε σύγχρονους όρους θα λέγαμε ότι είναι ένας διεθνιστής. Στο έργο του «Περί αλήθειας» αναφέρει ότι όλοι οι άνθρωποι ανεξαρτήτως εθνικής καταγωγής και οικονομικής κατάστασης πρέπει να είναι ίσοι. Δίδασκε ότι η αυτοκυριαρχία και ο έλεγχος των παθών είναι δείγμα ψυχικής υγείας και συνταγή για καταπολέμηση της μελαγχολίας και της ψυχασθένειας. Ο Αντιφώντας ασχολήθηκε με τη μελέτη των φυσικών φαινομένων και τη γεωμετρία. Προσπάθησε να τετραγωνίσει τον κύκλο με τη μέθοδο των Πολυγώνων.

2.       Ο Γοργίας ο Λεοντίνος (484-376π.Χ) καταγόταν από τη Σικελία. Μαθήτευσε κοντά στον υλιστή φυσικό φιλόσοφο Εμπεδοκλή από τον Ακράγαντα. Ήταν γνωστός για τη ρητορική του δεινότητα. Ο Σωκράτης τον κατηγορούσε ότι προσπαθούσε με ωραία λόγια να πείσει αδιαφορώντας  για την αλήθεια. Πρέσβευε τον γνωστικό αγνωστικισμό. Σύμφωνα με τη ρήση του που διασώθηκε «οὐδέν ἔστιν, εἰ καί έστιν, ἀκατάληπτον ἀνθρώπῳ εἰ καί καταληπτόν, ἀλλά τοί γε ἀνέξοιστον καί ἀνερμηνευτον τῷ πέλας. » Η πραγματικότητα, αν δεν είναι μια νοητική κατασκευή του ανθρώπου, είναι ακατάληπτη, ακόμα όμως και να γίνει αντιληπτή από μια ισχνή μειοψηφία ανθρώπων δεν μπορεί να μεταδοθεί στους πολλούς αδαείς. Για τη θέση του αυτή ο Γοργίας κέρδισε την εχθρότητα του Πλάτωνα. Απέφευγε τις καταχρήσεις και έζησε μέχρι την ηλικία των 108 ετών.

3.       Ο Θρασύμαχος από τη Χαλκηδόνα: Η φιλοσοφία του ήταν άκρως αντιδραστική αφού υποστήριζε ότι δίκαιο είναι το συμφέρον του ισχυρού. Πίστευε στους θεούς, αλλά δίδασκε ότι αυτοί δεν ενδιαφέρονται για τον κόσμο.  Τις λιγοστές πληροφορίες που έχουμε για το Θρασύμαχο μας τις διασώζει ο Πλάτων. Παρόμοιες απόψεις περί δικαίου είχε και ο Καλλικλής  τον οποίο  επίσης ακροθιγώς αναφέρει ο ιδρυτής της Ακαδημίας.

4.       Ο Ιππίας ο Ήλιος: Ασχολήθηκε με την αστρονομία και τα Μαθηματικά. Φημιζόταν για την ευρυμάθεια του. Είναι γνωστός από τη περίφημη λύση που έδωσε στους γρίφους του τετραγωνισμού του κύκλου και της τριχοτόμησης της γωνίας. Η τετραγωνίζουσα του Ιππία είναι γνωστή στους μαθηματικούς ως μια ιδιοφυής λύση του τετραγωνισμού του κύκλου, για την οποία θα μπορούσαμε να αφιερώσουμε ένα ξεχωριστό άρθρο. Ο Ιππίας πίστευε ότι οι νόμοι πρέπει να αντανακλούν την έμφυτη φυσική ισότητα των ανθρώπων. Ο Πλάτωνας δεν είχε καλή γνώμη για τον Ιππία όπως φαίνεται στους διαλόγους του «Ιππίας Ελάσσων» και «Ιππίας Μείζων»

5.       Ο Πρόδικος από την Κέα: Έδρασε την ίδια εποχή με το Σωκράτη στον οποίο μαθήτευσε. Έδινε σημασία στην ηθική και όχι την ατομιστική διάσταση της ζωής κάτι που το διαφοροποιεί από άλλους σοφιστές. Ανέλαβε διπλωματικές αποστολές προς όφελος της πατρίδας του. Είχε φήμη μεγάλου σοφού και ακόμα και ο Πλάτωνας αναφέρεται σε αυτόν ευμενώς. Ασχολήθηκε με τη γραμματική και τα συνώνυμα. Ο Πρόδικος ήταν άθεος αλλά παραδόξως διέφυγε τη μοίρα του Πρωταγόρα. Πίστευε ότι η θρησκεία δημιουργήθηκε από τους ανθρώπους για να ερμηνεύσουν τα φυσικά φαινόμενα, και να εξανθρωπίσουν και ερμηνεύσουν προς όφελος τους τις άλογες δυνάμεις της φύσης.

6.       Ο Πρωταγόρας (490 – 420 π. Χ): Καταγόταν από τα Άβδηρα  όπου μαθήτευσε στον συγχωριανό του φυσικό φιλόσοφο Δημόκριτο. Δίδασκε τον άκρατο υποκειμενισμό. Είναι γνωστή η ρήση του "Πάντων χρημάτων μέτρον εστίν άνθρωπος, των μεν όντων ως έστιν, των δε μη όντων ως ουκ έστιν". Κατ’ αυτόν κάθε άνθρωπος έχει τη δική του αλήθεια και όλες αυτές οι αλήθειες είναι αδύνατο να συγκεραστούν σε μια καθολική και παγκόσμια αποδεκτή γνώση. Ο Πλάτωνας στο Φαίδρο διασώζει την πληροφορία ότι ο Πρωταγόρας ασχολήθηκε συστηματικά με την καταγραφή των κανόνων της Γραμματικής. Στον ομώνυμο  διάλογο  ο Πρωταγόρας παρουσιάζεται ως ματαιόδοξος χωρίς ερείσματα έγκυρης γνώσης. Ο Σωκράτης που είναι ο συνομιλητής του κυριολεκτικά «τον εξευτελίζει με το γάντι». Ο διάλογος φανερώνει την απέχθεια του Πλάτωνα προς τους σοφιστές.

Ο Πρωταγόρας ήταν αγνωστικιστής όπως φανερώνει η διάσημη ρήση του «Περί μεν θεών ουκ έχω ειδέναι, ούθ’ ως εισίν ουθ’ ως ουκ εισίν».Οι απόψεις του για τους θεούς προκάλεσαν σκάνδαλο και κατηγορήθηκε από τον Πυθόδωρο για αθεΐα. Τα βιβλία του κάηκαν δημόσια στην αγορά και ο ίδιος καταδικάστηκε. Για να αποφύγει το θάνατο  διέφυγε προς τη Σικελία, όμως το καράβι που τον μετέφερε ναυάγησε και ο Πρωταγόρας πνίγηκε.

Επίλογος

Παρόλη την αντιπάθεια των κλασσικών φιλοσόφων, μπορούμε να βρούμε και θετικά στοιχεία στο κίνημα των σοφιστών όπως η απόρριψη του δογματισμού, η κριτική σκέψη, η αμφισβήτηση των καθιερωμένων απόψεων, η διαλεκτική μορφή της σκέψης τους.

Οι σοφιστές παρομοιάζονται από πολλούς ως οι διαφωτιστές της αρχαιότητας. Η  αποσπασματικότητα των πηγών όμως δυσκολεύει τους επίδοξους μελετητές να εμβαθύνουν στην μελέτη αυτού του  πνευματικού κινήματος που δεν είναι μόνο Ελληνικό αλλά επηρέασε τη διανόηση ολόκληρου του Δυτικού κόσμου.

Βιβλιογραφία – πηγές Πληροφοριών

1.       Γκίκα Σωκράτη, Φιλοσοφικό Λεξικό, Αθήνα 1998

2.       Θεοδωρίδη Χ. Εισαγωγή στη Φιλοσοφία, Δεύτερη Έκδοση 1982.

3.       Λυμπερίδης Απόστολος, Φιλοσοφικές Σχολές της Αρχαίας Ελλάδας, Εκδόσεις Ενάλιος 2014

4.       Πελεγρίνης Θεοδόσιος, Οι πέντε εποχές της Φιλοσοφίας, εκδόσεις ελληνικά γράμματα