Ο Αρχιμήδης υπολογίζει το π με την μέθοδο των κανονικών πολυγώνων

Μιχάλης Α. Πόλης εκπαιδευτικός

        Ο π είναι από τους πλέον διάσημους αριθμούς των Μαθηματικών, με εφαρμογές όχι μόνο στην γεωμετρία, αλλά και σε κάθε κλάδο των μαθηματικών. Δεικνύει το λόγο του μήκους της περιφέρειας κύκλου προς την διάμετρο αυτού. Είναι αριθμός άρρητος, δηλαδή δεν μπορεί να γραφτεί ως λόγος 2 φυσικών αριθμών. Ως εκ τούτου το δεκαδικό του ανάπτυγμα έχει άπειρα, μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία. Επίσης είναι αριθμός υπερβατικός. Αυτό σημαίνει ότι δεν αποτελεί ρίζα αλγεβρικού πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές.

          Ο Αρχιμήδης (287-212 π.χ) προσέγγισε τον αριθμό π με τη χρήση κύκλων και κανονικών πολυγώνων. Πριν να περιγράψουμε την εργασία του θα δώσουμε κάποιους ορισμούς των πολυγώνων αυτών που είναι αναγκαίοι για να κατανοήσουμε τη μέθοδο υπολογισμού του π.

Ορίζουμε ένα σχήμα ως κανονικό πολύγωνο, αν έχει όλες τις πλευρές και όλες τις γωνίες του ίσες. Κάθε κανονικό πολύγωνο είναι εγγράψιμο και περιγράψιμο σε κύκλο. Εγγράψιμο σημαίνει ότι οι κορυφές του είναι σημεία περιφέρειας κύκλου, με κέντρο το σημείο τομής των διχοτόμων των εσωτερικών του γωνιών. Οι ίσες πλευρές του κανονικού εγγεγραμμένου πολυγώνου, ορίζουν ίσα τόξα του περιγεγραμμένου σε αυτό κύκλου. Στον ίδιο κύκλο είναι περιγράψιμο όμοιο κανονικό πολύγωνο, του οποίου οι πλευρές είναι εφαπτόμενες του κύκλου. Το σημείο επαφής των πλευρών αυτών με τον κύκλο είναι το μέσο αυτών.

        Ο Αρχιμήδης προσέγγισε τον υπολογισμό του π υπολογίζοντας το μήκος της πλευράς και της περιμέτρου ισοπλεύρου τριγώνου και ακολούθως βρίσκοντας το πηλίκο του μήκους της περιμέτρου δια το μήκος της διαμέτρου του περιγεγραμμένου κύκλου. Σε επόμενα στάδια επαναλάμβανε τη διαδικασία με το κανονικό εξάγωνο και στη συνέχεια με το κανονικό σχήμα με τις διπλάσιες πλευρές κ.ο.κ. Με κάθε διπλασιασμό πετύχαινε μια καλύτερη προσέγγιση του π, εφόσον όσο αυξάνεται ο αριθμός των πλευρών, τόσο η περίμετρος του πολυγώνου τείνει ασυμπτωτικά να φτάσει την περιφέρεια του κύκλου. Έτσι πέτυχε ικανοποιητική προσέγγιση του π από τις μικρότερες τιμές. Όμως δεν έμεινε μόνο σε αυτό. Υπολογίζοντας, ανάλογα, τους λόγους των περιμέτρων των περιγεγγραμένων κανονικών πολυγώνων προς τη διάμετρο του κύκλου, πέτυχε προσεγγίσεις του π από τις μεγαλύτερες τιμές. Συνδυάζοντας τις δύο αυτές προσεγγίσεις προσέγγισε αμφίπλευρα και διαδοχικά το π σε διαδοχικώς μικρότερα αριθμητικά διαστήματα, φτάνοντας στην προσέγγιση:

223/71 < π < 22/7,

 Που είναι ικανοποιητική για τους πρακτικούς υπολογισμούς που ήθελε να κάνει. Θα επαναλάβουμε την προσέγγιση αυτή με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών αριθμών του ημίτονου και της εφαπτομένης. Θα επεκτείνουμε τη μέθοδο μέχρι το κανονικό σχήμα με 6144 πλευρές για ακόμα καλύτερες προσεγγίσεις  

      Η κατασκευή ενός ισοπλεύρου τριγώνου με χάρακα και διαβήτη, αποτελεί μια στοιχειώδη άσκηση της αρχαίας ελληνικής γεωμετρίας. Πώς θα κατασκευάσουμε όμως περαιτέρω τον περιγεγραμμένο κύκλο και το ισόπλευρο τρίγωνο που περιγράφεται στον κύκλο; Απλούστατα αν φέρουμε τις διχοτόμους των γωνιών του τριγώνου και τις επεκτείνουμε μέχρι το σημείο τομής τους έχουμε το κέντρο του ζητούμενου κύκλου. Η ακτίνα του είναι ίση με την απόσταση του κέντρου από την όποια κορυφή του ισοπλεύρου τριγώνου, κάθε πλευρά του οποίου ορίζει τόξο 120º.

      Για την κατασκευή του περιγεγραμμένου τριγώνου σχηματίζουμε τις μεσοκαθέτους των πλευρών του αρχικού μας τριγώνου. Αφού σημειώσουμε τα σημεία τομής των ευθειών αυτών με τον κύκλο, ακολούθως φέρουμε τις εφαπτομένες επί των σημείων αυτών, οι οποίες τεμνόμενες σχηματίζουν το περιγεγραμμένο τρίγωνο. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η περίμετρος του εγγεγραμμένου τριγώνου ισούται με ρ3√3 διαιρούμενη δε δια την διάμετρο δίνει τον αριθμό (3√3)/2=2,598076211. Ομοίως η περίμετρος του περιγεγραμμένου ισοπλεύρου τριγώνου είναι 6ρ√3  και ο λόγος του προς την διάμετρον ισούται με 5,196152423. Βρήκαμε λοιπόν μια πρώτη προσέγγιση, ότι:

2,598076211 < π < 5,196152423

         Με διχοτόμηση των τόξων που ορίζουν οι κορυφές του εγγεγραμμένου ισοπλεύρου τριγώνου σχηματίζουμε το κανονικό εξάγωνο, του οποίου η πλευρά αντιστοιχεί σε επίκεντρο γωνία 60º και είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου. Η περίμετρος λοιπόν του κανονικού εξαγώνου, διαιρούμενη δια τη διάμετρο του περιγεγραμμένου σε αυτό κύκλου δίνει τον αριθμό 3. Αν γύρω από τον κύκλο μας περιγράψουμε κανονικό εξάγωνο, οι πλευρές του εφάπτονται του κύκλου σε σημεία  που ευρίσκονται στην μέση των τόξων που ορίζει το εγγεγραμμένο εξάγωνο. Οι ακτίνες του κύκλου επί των σημείων επαφής εφαπτομένων και κύκλου αποτελούν μεσοκάθετους των πλευρών. Εύκολα δεικνύεται ότι η πλευρά του περιγεγραμμένου εξαγώνου ισούται ρ ( 2√3/3 ) , η περίμετρος του ρ 4√3 και ο λόγος της περιμέτρου προς την διάμετρο 2√3 , δηλαδή κατά προσέγγιση 3,464101615... Βρήκαμε λοιπόν μια δεύτερη καλύτερη προσέγγιση στο π ότι:

3 < π < 3,464101615..

          Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία, σχηματίζουμε  2 κανονικά δωδεκάγωνα, ένα εγγεγραμμένο και ένα περιγεγραμμένο στον ίδιο κύκλο. Η πλευρά του κανονικού εγγεγραμμένου δωδεκαγώνου είναι ίση με 2ρημ15 και προφανώς η περίμετρος του είναι ίση με 24ρημ15 º . Με παρόμοιους υπολογισμούς βρίσκουμε την πλευρά και την περίμετρο του περιγεγραμμένου δωδεκαγώνου που είναι αντίστοιχα 2ρεφ15 και 24ρεφ15. Βρίσκοντας τους λόγους των περιμέτρων προς τη διάμετρο του κύκλου βρίσκουμε την επόμενη προσέγγιση του π που είναι:

12ημ15 < π < 12εφ15

 ή κατά δεκαδική προσέγγιση

3,105828541..< π < 3,215390309..

          Με διπλασιασμό των πλευρών κατασκευάζουμε, αντίστοιχα, εγγεγραμμένο και περιγεγραμμένο 24γωνο. Η πλευρά και η περίμετρος του πρώτου ισούνται με 2ρημ7º 30΄ και 48ρημ7º 30΄. Διαιρούμενη η δεύτερη με τη διάμετρο έχουμε την τιμή  3,132628613 μικρότερη του π. Η αντίστοιχη περίμετρος του περιγεγραμμένου 24γώνου είναι 48ρ εφ7º 30΄ η οποία διαιρούμενη με τη διάμετρο δίνει 3,159659942, που προσεγγίζει το π από μεγαλύτερες τιμές. Άρα έχουμε:

3,132628613..< π < 3,159659942..

        Τα επόμενα κανονικά πολύγωνα και οι αντίστοιχοι λόγοι των περιμέτρων τους προς τον κύκλο στον οποίο εγγράφονται ή περιγράφονται είναι:

Εγγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο

Περιγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο

Αριθμός πλευρών

Μήκος πλευράς

Περίμε-τρος

Περίμε- τρος / διάμετρος

Αριθμός πλευρών

Μήκος πλευράς

Περίμε-τρος

Περίμε- τρος / διάμετρος

48

2ρ ημ(π/48)

96ρ ημ(π/48)

3,1393502 03...

48

2ρ εφ(π/48)

96ρ εφ(π/48)

3,1460862 15...

3,139350203...< π  < 3,146086212...

96

2ρ ημ(π/96)

192ρ Ημ (π/96)

3,141031 951...

96

2ρ εφ(π/96)

192ρ Εφ (π/96)

3,142714 6...

3,141031951...< π  < 3,1427146...

Ο Αρχιμήδης σταμάτησε την προσέγγιση του π μέχρι το πολύγωνο με 96 πλευρές. Την τελευταία ανίσωση του πίνακα την διατύπωσε υπό την μορφή 223/71 < π < 22/7. Θα συνεχίσουμε διπλασιάζοντας τις πλευρές των κανονικών σχημάτων για να προσεγγίσουμε περισσότερο την πραγματική τιμή του π.

Εγγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο

Περιγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο

Αριθμός πλευρών

Μήκος πλευράς

Περίμε-τρος

Περίμε- τρος / διάμετρος

Αριθμός πλευρών

Μήκος πλευράς

Περίμε-τρος

Περίμε- τρος / διάμετρος

192

2ρ ημ(π/192)

384ρ Ημ (π/192)

3,14145247 2.....

192

2ρ εφ(π/192)

384ρ εφ(π/192)

3,14187305

⇒ 3,14145247...< π  < 3,14187305...

384

2ρ ημ(π/384)

768ρ ημ(π/384)

3,141557 608

384

2ρ εφ(π/384)

768ρ εφ(π/384)

3,141662 747...

⇒ 3,141557608...< π  < 3,141662747...

768

2ρ ημ(π/768)

1536ρ ημ(π/768)

3,1415838 92...

768

2ρ εφ(π/768)

1536ρ εφ(π/768)

3,141610 177...

⇒ 3,141583892...< π  < 3,141610177...

1536

2ρ ημ (π/1536)

3072ρ ημ (π/1536)

3,1415904 63....

1536

2ρ εφ (π/1536)

3072ρ εφ (π/1536)

3,141597 034....

⇒ 3,141590463...< π  < 3,141597034

3072

2ρ ημ (π/3072)

6144ρ ημ (π/3072)

3,141592 106....

3072

2ρ εφ (π/3072)

6144ρ εφ (π/3072)

3,141593 749....

⇒ 3,141592106...< π  < 3,141593749

6144

2ρ ημ (π/6144)

12288ρημ (π/6144)

3,1415925 17....

6144

2ρ εφ (π/6144)

12288ρ εφ (π/6144)

3,1415929 27....

⇒ 3,141592517...< π  < 3,141592927....

Παραλλαγή της μεθόδου με αρχικό σχήμα τετράγωνο

Ο υπολογισμός του π δια  του λόγου των περιμέτρων κανονικών πολυγώνων προς την διάμετρο του περιγεγραμμένου ή εγγεγραμμένου κύκλου μπορεί να γίνει με αρχικό σχήμα τετράγωνο, αντί ισοπλεύρου τριγώνου. Έστω λοιπόν τετράγωνο ΑΒΓΔ. Γράφω τις διαγωνίους ΑΓ και ΒΔ, έστω δε Ο το σημείο τομής αυτών. Με κέντρο Ο και ακτίνα ίση με ΟΑ γράφω τον κύκλο ο οποίος περιγράφεται στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. Ακολούθως σχηματίζω με χάρακα και διαβήτη τις μεσοκαθέτους των πλευρών του τετραγώνου, τις οποίας επεκτείνω μέχρι να τέμνουν την περιφέρεια του κύκλου και ακόμα περισσότερο. Ονομάζω τα σημεία τομής με την περιφέρεια Ε, Ζ, Η, Θ. Παίρνοντας ίσα τμήματα επί των μεσοκαθέτων, ένθεν και ένθεν των σημείων τομής τους με την περιφέρεια, σχηματίζω τις εφαπτόμενες του κύκλου επί των σημείων Ε, Ζ, Η, Θ. Οι τέσσερεις ευθείες τέμνονται και σχηματίζουν το περι-γεγραμμένο στον κύκλο τετράγωνο το οποίο ονομάζω Α΄Β΄Γ΄Δ΄. Η πλευρά του τετραγώνου ΑΒΓΔ= ρ√2 , ενώ η πλευρά του Α΄Β΄Γ΄Δ΄ = 2ρ. Οι αντίστοιχες περίμετροι είναι 4ρ√2 και 8ρ. Διαιρώντας τις περιμέτρους με την διάμετρο του κύκλου έχω την ακόλουθη πρώτη προσέγγιση του π:

2√2 < π < 4

ή 2,828427125 < π < 4

Διαιρώντας τα τόξα των 90 º  με διαβήτη, ορίζω 8 τόξα των 45 º , τα οποία οριοθε-τούν  κανονικό εγγεγραμμένο οκτάγωνο. Η πλευρά του, με βάση τα λεχθέντα στο προηγούμενο κεφάλαιο, είναι 2ρημπ/8, η περίμετρος του 16ρημπ/8, και ο λόγος πε-ριμέτρου προς διάμετρο είναι 8ημπ/8, δηλαδή 3,061467459...Ο λόγος αυτός υπολείπεται του π

Το αντίστοιχο περιγεγραμμένο σχήμα, το οκτάγωνο, έχει πλευρά 2ρεφπ/8, περίμετρο 16ρεφπ/8 και ο λόγος περιμέτρου προς διάμετρο του κύκλου είναι 8εφπ/8 δηλαδή 3,313708499... Ο λόγος αυτός είναι μεγαλύτερος του π

     Οι δύο λόγοι προσδιορίζουν την ακόλουθη προσέγγιση του π 

3,061467459...< π  < 3,313708499...

Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία σχηματίζουμε κανονικά εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα με 16, 32, 64, 128, 256....2ⁿ πλευρές και βρίσκουμε τις αντίστοιχες προσεγγίσεις του π. Αυτές είναι οι ακόλουθες:

  

Εγγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο

Περιγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο

Αριθμός πλευρών

Μήκος πλευράς

Περίμε-τρος

Περίμε- τρος / διάμετρος

Αριθμός πλευρών

Μήκος πλευράς

Περίμε-τρος

Περίμε- τρος / διάμετρος

16

2ρ ημ(π/16)

32ρ Ημ (π/16)

3,12144 5152.....

16

2ρ εφ(π/16)

32ρ εφ(π/16)

3,182597 878....

⇒ 3,121445152...< π  < 3,182597878...

32

2ρ ημ(π/32)

64ρ ημ(π/32)

3,13654 8491....

32

2ρ εφ(π/32)

64ρ εφ(π/32)

3,151724 907...

⇒ 3,136548491...< π  < 3,151724907...

64

2ρ ημ(π/64)

128ρ ημ(π/64)

3,14033 1157...

64

2ρ εφ(π/64)

128ρ εφ(π/64)

3,144118 385...

⇒ 3,140331157...< π  < 3,144118385...

128

2ρ ημ ( π/128)

256ρ ημ (π/128)

3,141277 251....

1536

2ρ εφ ( π/128)

256ρ εφ (π/128)

3,14222 363....

⇒ 3,141277251...< π  < 3,14222363

256

2ρ ημ ( π/256)

512ρ ημ (π/256)

3,14151 3801....

256

2ρ εφ ( π/256)

512ρ εφ (π/256)

3,14175 0369....

⇒3,141513801...< π  < 3,1417501369...

512

2ρ ημ ( π/512)

1024ρ ημ (π/512)

3,14157 294....

512

2ρ εφ ( π/512)

1024ρ εφ  ( π/512)

3,14163 2081....

⇒ 3,141513801...< π  < 3,1417501369...

1024

2ρ ημ ( π/1024)

2048ρ ημ (π/1024)

3,141587725

1024

2ρ εφ ( π/1024)

2048 ρ εφ  ( π/1024)

3,1416025..

⇒ 3,141587725...< π  < 3,1416025...

2048

2ρ ημ ( π/2048)

4096 ρ ημ (π/2048)

3,141591422

2048

2ρ εφ ( π/2048)

4096 ρ εφ  ( π/2048)

3,141595118

⇒ 3,141591422...< π  < 3,141595118...

..........................................................................................................................................

Η προσέγγιση του π με τη διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχιστεί επ’ άπειρο. Τα περιγεγραμμένα  και εγγεγραμμένα κανονικά σχήματα έχουν 2ⁿ πλευρές όπου n = 2,3,4.....Χρησιμοποιώντας όρια μπορούμε να πούμε ότι:

π = lim n → ∞ [ 2 ⁿ . ημ ( π / 2 ⁿ ) ]

όπου π η γωνία μετρημένη σε ακτίνια και π ακτίνια =180º και η προσέγγιση είναι από τις μικρότερες τιμές. Ομοίως μπορούμε να πούμε ότι:

π = lim n → ∞ [ 2 ⁿ . εφ ( π / 2 ⁿ ) ] προσεγγίζοντας το π από τις μεγαλύτερες τιμές.

Για n → ∞   [ 2 ⁿ . ημ ( π / 2 ⁿ ) ] = [ 2 ⁿ . εφ ( π / 2 ⁿ ) ] =π