Ημιτελείς αριθμοί

Μιχάλης Α. Πόλης

Εκπαιδευτικός

Εισαγωγή

Σε προηγούμενο άρθρο είχαμε παρουσιάσει τους τέλειους αριθμούς. Είχαμε πει ότι οι αριθμοί αυτοί έχουν το χαρακτηριστικό της τελειότητας, επειδή το άθροισμα των γνησίων διαιρετών¹ τους ισούται με αυτούς. Για παράδειγμα ο αριθμός 6 είναι τέλειος γιατί οι γνήσιοι διαιρέτες του 1, 2, 3 έχουν άθροισμα 6.

Πέραν αυτού είχαμε πει ότι δεν έχουν ανακαλυφθεί περιττοί τέλειοι αριθμοί. Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια νέα ομάδα αριθμών, τους ημιτελείς.

Ορισμός Ημιτελούς αριθμού

Ημιτελής ονομάζεται ο περιττός αριθμός, ο οποίος αν αυξηθεί κατά μία μονάδα ισούται με το διπλάσιο των γνησίων διαιρετών του. Τέτοιοι αριθμοί είναι οι 21, 2133, 19521, 176661 ....

Πρώτοι αριθμοί και παραγωγή ημιτελών

Η παράσταση 3 ª – 2, την οποία συμβολίζουμε με το κεφαλαίο ελληνικό γράμμα Πa,  μπορεί να δώσει πρώτους αριθμούς μόνο για ορισμένες θετικές ακέραιες τιμές του εκθέτη a. Τα παραδείγματα που ακολουθούν είναι ενδεικτικά:

1. Για a = 2, Π2 = 3² - 2 = 7 και άρα Π2  πρώτος.

2. Για a = 4, Π4 = 3⁴ - 2 = 79 και άρα Π4  πρώτος.

3. Για a = 5, Π5 = 3⁵ - 2 = 241 και άρα Π5  πρώτος.

4. Για a = 6, Π6 = 3⁶ - 2 = 727 και άρα Π6  πρώτος.

Θεώρημα των ημιτελών αριθμών

Αν η παράσταση Πa = 3 ª – 2 είναι πρώτος αριθμός, τότε η παράσταση (3 ª – 2) . 3 ª ¯ ¹ είναι ημιτελής αριθμός.

Θα ονομάσουμε Ηa  την παράσταση (3 ª – 2) . 3 ª ¯ ¹ και åa το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών¹ του Ηa.  Ακολούθως  θα υπολογίσουμε το åa

  

Οι  γνήσιοι διαιρέτες του Ηa είναι οι διαδοχικές δυνάμεις του 3 με εκθέτη από 0 έως

 a -1 καθώς και τα γινόμενα των αριθμών 1, 3, 9... 3 ª ¯ ² με το πρώτο αριθμό 3 ª – 2.

åa = (1 + 3 + 3² + ...+3ª ¯¹) + [(3 ª – 2) + (3 ª – 2)3 + (3 ª – 2)3² + ...+ (3 ª – 2) 3 ª ¯ ²]

Þåa = (1 + 3 + 3² + 3³ +...+3ª ¯¹) + (3 ª – 2) [1 + 3 + 3² + 3³ +...+3 ª ¯ ²]

Þåa = (3ª – 1)/2 + (3 ª – 2) (3 ª ¯ ¹ - 1)/2

Þåa = (3ª – 2)/2 + ½ + [(3 ª – 2) (3 ª ¯ ¹ - 1)/2]

Þåa = (3ª – 2) (1+ 3 ª ¯ ¹ - 1)/2 + ½

Þåa = [(3ª – 2) 3 ª ¯ ¹]/2 + ½

Þåa = [1+ Ηa ]/2

Þ 2 åa =  ( Ηa + 1 )

Το αποτέλεσμα είναι η ζητούμενη σχέση.

Παραδείγματα ημιτελών αριθμών

1. Για a = 2, Π2 = 3² - 2 = 7 Þ Π2  πρώτος Þ Η2 = 7. 3 ¹ = 21, ο οποίος είναι ημιτελής αφού οι διαιρέτες του 21 είναι οι 1, 3, 7 και 1+3+7= 11 και 11 =  ( 21+1)/2

2. Για a = 4, Π4 = 3⁴ - 2 = 79 Þ Π4  πρώτος. Þ Η4 = 79. 3³ = 2133 ο οποίος είναι ημιτελής αφού οι διαιρέτες του 2133 είναι οι 1, 3, 9, 27, 79, 237, 711,  και 1+3+9 +27+79+ 237+711= 1067 και 1067 =  ( 2133+1)/2

3. Για a = 5, Π5 = 3⁵ - 2 = 241 Þ Π5  πρώτος. Þ Η5 = 241.3⁴= 19521 ο οποίος είναι ημιτελής αφού οι διαιρέτες του 19521 είναι οι 1, 3, 9, 27, 81, 241, 723, 2169, 6507.  και 1+3+9 +27+ 81+ 241+ 723+ 2169 + 6507 = 9761 και 9761 = ( 19521+1)/2

4. Για a = 6, Π6 = 3⁶ - 2 = 727 Þ Π6  πρώτος Þ Η6 = 727. 243 = 176661 ο οποίος είναι ημιτελής αφού οι διαιρέτες του 176661 είναι οι 1, 3, 9, 27, 81, 243, 727, 2181, 6543, 19629,58887.  και 1+3+9 +27+ 81+ 243+ 727+ 2181 + 6543 + 19629 + 58887 = 88331 και 88331 = ½ ( 176661+1)

Οι ημιτελείς αριθμοί έχουν ψηφίο μονάδων 1 ή 3

1. Οι διαδοχικές δυνάμεις του 3, αρχίζοντας από τη μηδενική δύναμη, έχουν ψηφίο μονάδων 1,3,9,7,1,3,7,9…..
2. Η παράσταση Πa = 3 ª – 2 , εφόσον είναι πρώτος αριθμός, έχει ψηφίο μονάδων 1, 7, 9 και τα αντίστοιχα ψηφία της 3 ª ¯ ¹ είναι  1, 3, 7.
3. Προφανώς λοιπόν η παράσταση Ηa  = (3 ª – 2) . 3 ª ¯ ¹ έχει ψηφίο μονάδων 1 ή 3.

Μαθηματικές εικασίες για τους ημιτελείς αριθμούς που περιμένουν απόδειξη:

1. Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί της μορφής Πa = 3 ª – 2 και κατ’ επέκταση άπειροι ημιτελείς αριθμοί της μορφής Ηa  = (3 ª – 2) . 3 ª ¯ ¹

.

2. Υπάρχουν ημιτελείς αριθμοί που δεν προκύπτουν από τους πρώτους της μορφής

Πa = 3 ª – 2

Σημειώσεις

1. Για τους σκοπούς του άρθρου αυτού, γνήσιοι διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού είναι το σύνολο των διαιρετών του, με εξαίρεση τον ίδιο τον αριθμό.

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στο συγγραφέα και στην ιστοσελίδα που τον  φιλοξενεί.