Ατελώς Φίλιοι και Εικασία Goldbach

 Το 1742 ο μαθηματικός Christian Goldbach έστειλε μια επιστολή στον διακεκριμένο συνάδελφο του  L. Euler στην οποία διατύπωσε την εικασία που έκτοτε φέρει το όνομα του. Διατύπωσε την εξής πρόταση:

Κάθε θετικός άρτιος φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο πρώτων.

Σε μαθηματική γλώσσα  ∀ ν ∈Ν+   ν≥2      2ν = p + q   όπου p , q  πρώτοι

Ο   Euler απάντησε στον Goldbach ότι δέχεται την πιο πάνω πρόταση ως ένα πλήρως ορισμένο θεώρημα, αν και δήλωσε ευθαρσώς ότι αδυνατούσε να το αποδείξει. Έκτοτε η Εικασία δεν έχει αποδειχθεί, ούτε έχει βρεθεί κάποιο αντιπαράδειγμα που να την καταρρίπτει. Έχουν κατά καιρό δοθεί διάφορες «αποδείξεις» από επαγγελματίες και ερασιτέχνες μαθηματικούς, που όμως δεν έχουν γίνει αποδεκτές από τη μαθηματική κοινότητα.

 Η εικασία γοήτευσε τη φαντασία  μαθηματικών αλλά και λογοτεχνών όπως τον Απόστολο Δοξιάδη με το θρυλικό μυθιστόρημα του « Ο Θείος Πέτρος και η Εικασία του Goldbach » όπου ο φανταστικός «Θείος Πέτρος» ένας μαθηματικός με σπάνιο ταλέντο,  δαπανά όλη του τη ζωή, όχι σε τομείς που θα του απέδιδαν φήμη και δόξα, προσπαθώντας να αποδείξει τη στοιχειωμένη εικασία. Σαν ένας άλλος ρομαντικός Δον Κιχώτης κυνηγάει το ακατόρθωτο. Να αποδείξει την εικασία που για πάνω από δύο αιώνες αψηφά τις προσπάθειες των πιο φημισμένων μαθηματικών να τη δαμάσουν με μια απόδειξη!

Η Ηράκλεια προσπάθεια του Πέτρου, κατά την εκδοχή του μυθιστοριογράφου, σκοντάφτει πάνω στο Θεώρημα μη Πληρότητας¹ του  Γκέντελ. Στο τέλος της ζωής του ο γέρο Μαθηματικός μετά από παρότρυνση του ανηψιού του, κάνει μια τελευταία προσπάθεια να  αποδείξει το θεώρημα στο οποίο αφιέρωσε τη ζωή του.  Πεθαίνει από εγκεφαλικό στην τελική προσπάθεια και ο ισχυρισμός του ότι έφτασε στη λύση μένει μετέωρος. Ο Δοξιάδης αναδεικνύει το μεγαλείο της Επιστήμης των μαθηματικών και την τεράστια προσπάθεια που έγινε με θυσίες ζωής για να φτάσουν στο σημερινό τους επίπεδο.

Τη σχέση έχει όμως η εικασία του Goldbach με τη πυθαγόρεια θεωρία αριθμών; Υπάρχουν στη Θεωρία αριθμών μια κατηγορία φυσικών αριθμών που λέγονται Ατελώς Φίλιοι Αριθμοί. Σύμφωνα με τη θεωρία « Ατελώς Φίλιοι  Ονομάζεται μια ομάδα φυσικών αριθμών των οποίων το άθροισμα των γνησίων διαιρετών είναι το ίδιο »

Σημειώνουμε ότι ενώ οι Φίλιοι Αριθμοί² είναι πολύ σπάνιοι, οι ατελώς φίλιοι παράγονται, κυριολεκτικά, με το τσουβάλι με την αρκετά απλή μέθοδο που θα παραθέσουμε πιο κάτω και στηρίζεται στην εικασία Goldbach:

Παράδειγμα παραγωγής Ατελώς Φίλιων Αριθμών

1.       Παίρνουμε ένα άρτιο αριθμό έστω τον 100.

2.       Βρίσκουμε με βάση την εικασία του Goldbach όλα τα ζεύγη πρώτων που δίνουν 100

3+97

11+89

17+83

29+71

41+59

47+53

3.       Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς κάθε ζεύγους και βρίσκουμε τους ατελώς φίλιους : 291, 979, 1411, 2059, 2419, 2491

4.       Αποδεικνύεται εύκολα ότι το άθροισμα των γνησίων διαιρετών³ των πιο πάνω αριθμών ισούται με 101 άρα είναι ατελώς φίλιοι.

Απόδειξη:

291 ⇛ γνήσιοι διαιρέτες { 1, 3, 97 } ⇛ 1 +3 +97 =101

971 ⇛ γνήσιοι διαιρέτες { 1, 11, 89 } ⇛ 1 +3 +97 =101

1411⇛ γνήσιοι διαιρέτες { 1, 17, 83 } ⇛ 1 +17 +83 =101

2059⇛ γνήσιοι διαιρέτες { 1, 29, 71 } ⇛ 1 +29 +71 =101

2419⇛ γνήσιοι διαιρέτες { 1, 41, 59 } ⇛ 1 +41 +59 =101

2491⇛ γνήσιοι διαιρέτες { 1, 47, 53 } ⇛ 1 +47 +53 =101

5.       Πόρισμα: Κάθε άρτιος αριθμός, που μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων με δύο ή περισσότερους τρόπους,  βάση της εικασίας  Goldbach, μπορεί να παράγει ισάριθμούς με τα ζεύγη πρώτων ατελώς φίλιους αριθμούς.

Σημειώσεις

1.       Τα Θεωρήματα μη πληρότητας του Kurt Gödel σε απλή γλώσσα αναφέρουν ότι:

 Σε κάθε Τυπικό Αξιωματικό Σύστημα υπάρχουν προτάσεις ( Θεωρήματα) που είναι μεν αληθείς όμως μη αποδείξιμες.

2.       Φίλιοι Αριθμοί είναι ζεύγος αριθμών στους οποίους ισχύει ότι το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του πρώτου ισούται με τον δεύτερο και αντίστροφα το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του δευτέρου. Παράδειγμα:

2^Α.  Γνήσιοι διαιρέτες του 220 ={1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110} και 1 +2 +4 +5 +10 + 11 +20 +22 +44 +55 + 110 = 284  Γνήσιοι διαιρέτες του 284 ={1, 2, 4, 71, 142 } και 1 +2 +4 +71 + 142 = 220

3.       Γνήσιοι διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού είναι όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν χωρίς υπόλοιπο, πλην του εαυτού του. Παράδειγμα: Το σύνολο των γνήσιων διαιρετών του 12 είναι Δ12 = { 1, 2, 3, 4, 6 }.

 

 

 Κορωνοιός, Κύπρος :  16.01.2022 έως 31.01.2022

Το κείμενο που ακολουθεί αποτελεί μια καταγραφή δεδομένων για τον covid -19 που καλύπτει το 2^ο μισό του Ιανουαρίου. Στην αναφορά υπάρχουν και αντίστοιχα δεδομένα προηγούμενων 15ημέρων. Οι αριθμοί που δίνονται προκύπτουν από  ημερήσια καταγραφή των αριθμών που δίνει καθημερινά το Υπ. Υγείας στο τέλος της ημέρας. Ο καθένας μπορεί να δώσει στους αριθμούς τη δική του ερμηνεία ανεξάρτητα από τα δικά μου συμπεράσματα.

1.       16/01/22 έως 31/01/22:  38 374  κρούσματα, μείωση  σε σχέση με το προηγούμενο15ημέρο: 32,6%

01/01/22 έως 15/01/22:  56 940  κρούσματα, αύξηση  σε σχέση με το προηγούμενο15ημέρο: 137,7%

16/12/21 έως 31/12/21:   23 949 κρούσματα, αύξηση  σε σχέση με το προηγούμενο15ημέρο: 167,1%

1/12/21 έως 15/12/21:  8405 κρούσματα, αύξηση  σε σχέση με το προηγούμενο15ημέρο:30,6%

 16/11/21 έως 30/11/21: 6435 κρούσματα, αύξηση  σε σχέση με το προηγούμενο 15ημέρο: 79%

1/11/21 έως 15/11/21:  3594 κρούσματα αύξηση  σε σχέση με το προηγούμενο 15ημέρο: 64,7%

17/10/21 – 31/10/21: 2181 κρούσματα

Υπέρ-διπλασιασμός κρουσμάτων για τρία δεκαπενθήμερα (1/12/21 έως 15/1/22) - Εκθετική αύξηση – Μείωση (16/1/22 έως 31/1/22)

2.       Διαγνωστικές εξετάσεις:

16/01/22 έως 31/01/22:  1 660 485μείωση  σε σχέση με το προηγούμενο15ημέρο: 5,1%

01/01/22 έως 15/01/22:  1750903 αύξηση  σε σχέση με το προηγούμενο15ημέρο: 16,7%

16/12/21 έως 31/12/21: 1500805 αύξηση  σε σχέση με το προηγούμενο15ημέρο: 12%

1/12/21 έως 15/12/21: 1 256 179 αύξηση  σε σχέση με το προηγούμενο15ημέρο: 25,6%

16/11/21 έως 30/11/21: 1 000 286  αύξηση σε σχέση με το προηγούμενο 15ημέρο: 23,2%

1/11/21 έως 15/11/21:    812254    αύξηση σε σχέση με το προηγούμενο 15ημέρο: 10,7%

17/10/21 έως 31/10/21 733992

Πέραν των 3  εκατομμυρίων διαγνωστικών εξετάσεων τον πρώτο μήνα του 2022. Χρυσοφόρα επιχείρηση. Κάποιοι θα γίνουν εκατομμυριούχοι!

3.       Η μέση θετικότητα σε covid 19 ανά δεκαπενθήμερο ήταν:

17/10/21 έως 31/10/21: 0,3%                  [ 2181/733992Χ100]

1/11/21 έως 15/11/21: 0,44%                  [ 3594/812254Χ100]

16/11/21 έως 30/11/21: 0,64%                  [ 6435/1000286Χ100]

1/12/21 έως 15/12/21: 0,67%                   [ 8405/1256179Χ100]

16/12/21 έως 31/12/21: 1,6%                   [ 23949/1500805Χ100]

01/01/22 έως 15/01/22: 3,25%                   [56940/1750903Χ100]

16/01/22 έως 31/01/22: 2,31%                   [38374/1 660 485Χ100]

Αύξηση της θετικότητας για 6 δεκαπενθήμερα ( 17/10/21 έως 15/1/22) Μείωση το 2^ο δεκαπενθήμερο του Γενάρη ( από 3,25% σε 2,31%). Περάσαμε την κορυφή του κύματος αλλά αργεί να ξεφουσκώσει.

4.       Προβλέψεις για νέες νοσηλείες: Τα κρούσματα είναι ακόμα πολλά. :Αν υποθέσουμε ότι το 1% των κρουσμάτων καταλήγει στο νοσοκομείο, τότε τα πέραν των 38 χιλιάδων κρούσματα του 2^ου    15ημερου του Γενάρη 2022 μπορεί να μεταφραστούν σε  350 - 400 νέες εισαγωγές στα νοσοκομεία εντός του 1^ου 15ημέρου του Φεβρουαρίου. Ο αριθμός των εξιτηρίων και των θανάτων θα καθορίσει την αντοχή του συστήματος υγείας

5.       Νοσηλευόμενοι με covid 19 σε τακτές ημερομηνίες (μεσοδιάστημα 7 ή 8 ημερών )

17/10/21:  55

24/10/21:   63 αύξηση 14,5% σε 7 μέρες

01/11/21:   68  αύξηση 7,9% σε 8 μέρες

08/11/21:   67  μείωση 1,5% σε 7 μέρες

16/11/21:   88  αύξηση 31,3% σε 8 μέρες

23/11/21: 115 αύξηση 30,7% σε 7 μέρες

30/11/21: 118 αύξηση 2,6% σε 7 μέρες

08/12/21: 128 αύξηση 8,5% σε 8 μέρες

15/12/21: 157 αύξηση 22,7% σε 7 μέρες

22/12/21: 172  αύξηση9,6 % σε 7 μέρες

30/12/21:  178 αύξηση 3,4 % σε 8 μέρες

07/01/22:  230 αύξηση 29,2 % σε 8 μέρες

15/01/22:  270 αύξηση 17,4 % σε 8 μέρες

23/01/22:  238 μείωση 11,8 % σε 8 μέρες

31/01/22:  204 μείωση 14,3 % σε 8 μέρες ( Σε σχέση πάντα με την προηγούμενη καταγραφή

 Για πρώτη φορά από τον Οκτώβρη του 2021 παρατηρούμε σημαντική μείωση κρουσμάτων και απομάκρυνση από το ψυχολογικό όριο των 300 νοσηλευόμενων που είχαμε σε προηγούμενα κύματα. Η πίεση στο σύστημα υγείας φαίνεται να τίθεται υπό έλεγχο.

 

6.        Νοσηλευόμενοι σε σοβαρή κατάσταση με covid 19 σε τακτές ημερομηνίες (μεσοδιάστημα 7 ή 8 ημερών )

17/10/21:  21

24/10/21:  21

01/11/21:  25

08/11/21:  22

16/11/21:  38  αύξηση 72,7% σε 8 μέρες.

23/11/21: 38  σταθεροποίηση

30/11/21: 51 αύξηση 34,2% σε 7 μέρες

08/12/21: 43  μείωση 15,7% σε 8 μέρες

15/12/21: 54  αύξηση 25,6% σε 7 μέρες

23/12/21: 66  αύξηση 22,2% σε 7 μέρες

31/12/21: 79  αύξηση 19,7% σε 8 μέρες

07/01/22:  81  αύξηση 2,5 % σε 7 μέρες

15/01/22:  88   αύξηση 8,6 % σε 8 μέρες

23/01/22:  76   μείωση 13,6 % σε 8 μέρες

31/01/22:  65   μείωση 14,5 % σε 8 μέρες 

Παρατηρήθηκε  ύφεση στις σοβαρές νοσηλείες την 1^η εβδομάδα του Δεκέμβρη. Τη 2^η εβδομάδα είχαμε σημαντική αύξηση , το 2^ο δεκαπενθήμερο του Δεκέμβρη είχαμε διψήφιο ποσοστό αύξησης , η εβδομαδιαία αύξηση εντός του 1^ου δεκαπενθήμερου του Γενάρη 2022 αντιπροσωπεύεται με μικρότερα  μονοψήφια ποσοστά. Το 2^ο δεκαπενθήμερο επιτέλους μείωση!

7.       Παρατηρείται το Μοτίβο: Εκθετική αύξηση κρουσμάτων – μικρότερη αύξηση με σκαμπανεβάσματα των νοσηλειών- σημαντική μείωση  νοσηλειών τις τελευταίες 15 μέρες

8.       Νεκροί:

16/11/21 έως 30/11/21: 9

01/12/21 έως 15/12/21: 16  αύξηση σε σχέση με το προηγούμενο 15ημερο 77,8%

16/12/21 έως 31/12/21: 24  αύξηση σε σχέση με το προηγούμενο 15ημερο 50%

01/01/22 έως 15/01/22:  37 αύξηση σε σχέση με το προηγούμενο 15ημερο 54,2%

16/01/22 έως 31/01/22:  56 αύξηση σε σχέση με το προηγούμενο 15ημερο 51% 

Έχουμε σειριακή αύξηση νεκρών για πέντε συνεχόμενα δεκαπενθήμερα με αποτέλεσμα ο Γενάρης να είναι ο πλέον θανατηφόρος μήνας της πανδημίας. 

9.       Φύλο νεκρών

1/12/21 έως 15/12/21: Άνδρες 8, γυναίκες 8 (50% - 50%)

16/12/21 έως 31/12/21: Άνδρες 15, γυναίκες 9 (62,5% - 37,5%)

01/01/22 έως 15/01/22:  Άνδρες 21, γυναίκες 16 (56,8% - 43,2%)

 16/01/22 έως 31/01/22:  Άνδρες 31, γυναίκες 25  (55,4% - 44,6%)

Σταδιακά φαίνεται να αυξάνεται το ποσοστό των γυναικών στο μακάβριο μερίδιο νεκρών από covid.

 

10.   Πρόβλεψη θανάτων: Με βάση την παρατηρούμενη αναλογία κρουσμάτων του 1^ου δεκαπενθημέρου του Γενάρη του 2022 και θανάτων του 2^ου δεκαπενθημέρου  ( 56940 κρούσματα προς 56 θάνατοι  (μέση θνησιμότητα covid 19 στο 0,1% ) τα 38374 κρούσματα του   2^ου δεκαπενθημέρου του Γενάρη   μπορεί να οδηγήσουν σε 35 - 40 θανάτους ως τα μέσα του Φλεβάρη του 2022.

11.   Αυξομείωση λόγου κρουσμάτων θανάτων ανά δεκαπενθήμερο 

1/12/21 έως 15/12/21: Θνησιμότητα:  16 Θάνατοι προς 8405 κρούσματα επί 100 = 0,19%

16/12/21 έως 31/12/21: Θνησιμότητα: 24  Θάνατοι προς 23949 κρούσματα επί 100 = 0,1%

01/01/22 έως 15/01/22:  Θνησιμότητα: 37  Θάνατοι προς 56940 κρούσματα επί 100 = 0,06%

16/01/22 έως 31/01/22:  Θνησιμότητα: 56  Θάνατοι προς 38374 κρούσματα επί 100 = 0,15% 

Η μείωση της θνησιμότητας μειώθηκε από την ομοβροντία θανάτων των δύο τελευταίων εβδομάδων. Ο κορωνοχάρος αντεπιτίθεται και θερίζει ψυχές.

12.   Ηλικία νεκρών μεταξύ 01/01/2022 και 15/01/2022:

40-49 ετών: 0      0%

50-59 ετών: 0    0%

60-69 ετών: 7     12,5%

70-79 ετών: 13     23,2%

80-89 ετών: 28   50 %

90-99 ετών:  8       14,3%

Διάμεση ηλικία νεκρών: 85 έτη

Το 2^ο δεκαπενθήμερο του Γενάρη το 100% των νεκρών δεν ήταν σε αναπαραγωγική ηλικία. Σχεδόν δύο στους τρεις νεκρούς είχαν περάσει τα 80 χρόνια.

 

13.   Εμβολιασμοί. Με βάση την ιστοσελίδα του Υπουργείου Υγείας έχουν γίνει οι ακόλουθοι εμβολιασμοί 

29/11/2021:1^η δόση: 621 701 άτομα     86,7%  ενηλίκων*, 69,9% συνολικού πληθυσμού 

15/12/2021:1^η δόση: 636 379 άτομα     88,7%  ενηλίκων,  71,5% συνολικού πληθυσμού 

13/01/2022: 1^η δόση:   653 003  άτομα 91  %  ενηλίκων, 73,4% συνολικού πληθυσμού 

27/01/2022: 1^η δόση:   658,851  άτομα 91,8  %  ενηλίκων, 74% συνολικού πληθυσμού  

        * 717 452 άτομα. 

29/11/2021:1^η & 2^η δόση: 583 001 άτομα      81,2%  ενηλίκων, 65,5 % συνολικού πληθυσμού 

15/12/2021: 1^η & 2^η δόση:597 008 άτομα      83,2%  ενηλίκων, 67,1% συνολικού πληθυσμού 

13/01/2022: 1^η & 2^η δόση:620 004  άτομα     86,4%  ενηλίκων,  69,7% συνολικού πληθυσμού 

27/01/2022: 1^η & 2^η δόση: 626,945  άτομα     87,4%  ενηλίκων,  70,4% συνολικού πληθυσμού 

 

29/11/2021: 1^η & 2^η & 3^η δόση: 106 054 άτομα14,8% ενηλίκων, 11,9% συνολικού πληθυσμού 

15/12/2021: 1^η & 2^η & 3^η δόση: 212 703 άτομα  29,6% ενηλίκων, 23,9% συνολικού πληθυσμού 

13/01/2022: 1^η & 2^η & 3^η δόση: 352 098 άτομα  49,1% ενηλίκων, 39,6% συνολικού πληθυσμού 

27/01/2022: 1^η & 2^η & 3^η δόση: 396,608 άτομα  55,3% ενηλίκων, 44,6% συνολικού πληθυσμού 

 

29/11/2021: Σύνολο εμβολιασμών: 1 310 756

15/12/2021: Σύνολο εμβολιασμών:1 446 090  

13/01/2022: Σύνολο εμβολιασμών:1 625 105

27/01/2022: Σύνολο εμβολιασμών: 1,682,404

14.  Έγιναν πέραν των 77 χιλιάδων εμβολιασμών σε δύο εβδομάδες ( 13/01/22 έως 27/01/22) Παρατηρείται μαζικός εμβολιασμός του πληθυσμού. Η ανοσία της αγέλης ακόμα αναζητείται. Η εμβέλεια κάλυψης των εμβολίων είναι μικρή (5 μήνες)  Τα όποια προβλήματα πρέπει να αναζητηθούν σε αστοχίες των προληπτικών και θεραπευτικών μέτρων και όχι στην δήθεν απροθυμία του κόσμου να εμβολιαστεί.

15.  Το 76% των νοσηλευόμενων στις 31/1/2022 είναι άτομα που δεν έχουν εμβολιαστεί. Εφόσον τα άτομα αυτά αντιπροσωπεύουν όχι πέραν του 26% του συνολικού πληθυσμού, φαίνεται εκ πρώτης όψεως ότι ένα άτομο χωρίς εμβόλια έχει 9,25 φορές μεγαλύτερη πιθανότητα να καταλήξει στο νοσοκομείο με covid 19 από ένα άτομο που έχει εμβολιαστεί.

*Σύνολο ενηλίκων επί των οποίων υπολογίζονται τα ποσοστά: 717.452

* Σύνολο πληθυσμού κατά προσέγγιση επί του οποίου υπολογίζονται τα ποσοστά: 890.000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Φίλιοι Αριθμοί

 «ΦΙΛΟΣ ΕΣΤΙΝ ΑΛΛΟΣ ΕΓΩ» Πυθαγόρας

Ζεύγος αριθμών στους οποίους ισχύει ότι το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του πρώτου ισούται με τον δεύτερο και αντίστροφα το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του δευτέρου ισούται με τον τρόπο δένονται μεταξύ τους με αιώνια και γνήσια φιλία, αφού ο ένας καθρεπτίζεται μέσα στον άλλο.

Όπως και στην πραγματική ζωή η φιλία είναι σπάνια, έτσι και στο άπειρο σύμπαν των φυσικών αριθμών μετρούνται σε μερικές εκατοντάδες τα γνωστά ζεύγη των αριθμών με αυτή τη σπάνια ιδιότητα. Είναι πρόκληση για κάθε μαθηματικό να ανακαλύψει ένα ακόμα ζεύγος, με την βοήθεια βέβαια υπολογιστικών προγραμμάτων με μεγάλη δύναμη.

Πρώτος ο Ιάμβλιχος¹ καταγράφει το ζεύγος (220, 284 ) ως φίλους αφού:

Γνήσιοι διαιρέτες του 220 ={1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110} και 1 +2 +4 +5 +10 + 11 +20 +22 +44 +55 + 110 = 284

Γνήσιοι διαιρέτες του 284 ={1, 2, 4, 71, 142 } και 1 +2 +4 +71 + 142 = 220

Τύπος παραγωγής ζευγών φίλιων αριθμών

Με την προϋπόθεση ότι Α, Β Γ πρώτοι της μορφής

Α = 3.2 ͮ -1   

Β=3.2 ͮ ⁺¹ -1   

Γ= 3².2² ͮ ⁺¹ -1

Τότε Φ1 = Α.Β.2 ͮ ⁺¹   και Φ2 = Γ.2 ͮ ⁺¹   φίλιοι αριθμοί

Για ν = 1 Α=5, Β=11 και Γ=71   ⤇ Φ1 = 220,  Φ2 = 284

Για ν = 3 Α=23, Β=47 και Γ=1151   ⤇ Φ1 = 17296,  Φ2 = 18416

Για ν = 6 Α=191, Β=383 και Γ=73727   ⤇ Φ1 = 9 363 584 ,  Φ2 = 9 437 056

Υπάρχουν και ζεύγη φίλων αριθμών που δεν υπακούν σε αυτό τον τύπο. Παραθέτουμε πιο κάτω κάποια παραδείγματα:

1184  = 2⁵.37            1 +2 +4 +8 +16 +32 +37 +74 +148 +296 +592 = 1210

1210 = 2. 5. 11²       1 +2 +5 +10 +11 +22 +55 + 110 +121 + 242 + 605 = 1184

 

2620 = 2². 5. 131    1 +2 +4 +5 +10 +20 +131 +262 +524 +655 +1310= 2924

2924 = 2². 17. 43     1 +2 +4 +17 +34 +43 +68 +86 +172 + 731 + 1462= 2620

 

5020=2². 5. 251        1 +2 +4 +5 +10 +20 +251 +502 +1004 +1255 + 2510= 5564

5564= 2². 13.107       1 +2 +4 +13 +26 +52 +107 +214 +428 +1391 +2782 = 5020

 

6232=2³.19.41    1 +2 +4 +8 +19 +38 +41 +76 +82 +152 +164 +328 +779 +1558 +3116= 6368

6368=2⁵. 199           1 +2 +4 +8 +16 +32 +199 +398 +796 +1592 +3184 = 6232

 

10744= 2³.17.79   1 +2 +4 +8 +17 +34 +68 +79 +136 +158 +316 +632 +1343 +2686 +5342=10856

10856= 2³.23. 59       1 +2 +4 +8 +23 +46 +59 +92 +118 +184 +236 +472 +1357 +2714 +5428= 10744

 Σημειώσεις

1.       Περί της Νικομάχου Αριθμητικής Εισαγωγής

2.       Γνήσιοι διαιρέτες του 17296 ={1, 2, 4, 8, 16, 23, 46, 47, 92, 94, 184, 188,  368, 376, 752, 1081, 2162, 4324, 8648 } και   1 +2 +4 +8 +16 +23 +46 +47 +92 +94 +184 +188  +368 +376 +752 +1081 +2162 +4324 +8648 = 18416

Γνήσιοι διαιρέτες του 18416 ={1, 2, 4,  8, 16, 1151, 2302, 4604, 9208 } 

Και  1 +2 +4 +8 +16 +1151 +2302 +4604 +9208 = 17296

Αναξαγόρας και Θρησκεία: Η αιώνια πάλη των πνευματικών ανθρώπων με το οπισθοδρομικό ιερατείο

 Η Αθήνα της εποχής του Περικλή, ήταν  ένας μαγνήτης, που με την πνευματική της ακτινοβολία αλλά και τον υλικό της πλούτο τραβούσε  σημαντικούς ανθρώπους από όλο το κόσμο. Ανάμεσα σ’ αυτούς ένας μετανάστης από τις Κλαζομενές της Μικράς Ασίας, ο γιος του Ηγησίβουλου, ο Αναξαγόρας. Ο Ίωνας αυτός, ήταν ένας ελεύθερος άνθρωπος που δεν τον ένοιαζε ιδιαίτερα η διαχείριση της καθημερινότητας,  αλλά ήταν ερωτευμένος με τη γνώση, την εύρεση της λύσης του μεγάλου αινίγματος, του μυστηρίου του κόσμου. Από τα πρώιμα χρόνια του,  πριν ακόμα μεταναστεύσει, ασχολήθηκε με την αστρονομία. Τις ξάστερες νύκτες ανέβαινε στο όρος Μίμας απέναντι από τη Χίο και μελετούσε την κίνηση των άστρων και των πλανητών.

Η καθ’ ημάς ανατολή, η ελληνική Ιωνία του 6^ου και 5^ου π. Χ. αιώνα ήταν μια μήτρα πολιτισμού που ανέδειξε μερικούς από τους μέγιστους φιλοσόφους της αρχαιότητας: Θαλής, Αναξίμανδρος, Αναξιμένης, Ηράκλειτος, Αναξαγόρας…Οι Έλληνες όμως της μικρασιατικής ακτής ζούσαν κάτω από τη βαριά σκιά της περσικής αυτοκρατορίας. Ακόμα ένας λόγος που κάποιοι από αυτούς μετανάστευσαν στην ελεύθερη

Ελλάδα και μάλιστα στο πνευματικό και υλικό της κέντρο την Δημοκρατική Αθήνα. Υπήρχε βέβαια και ο άλλος πόλος η Σπάρτη, η οποία όμως ήταν μια κλειστή, ξενοφοβική, στρατιωτική  κοινωνία που ελάχιστη σημασία έδινε στον πολιτισμό….

Σύμφωνα με το Διογένη Λαέρτιο, ο Αναξαγόρας παραχώρησε μέγα μέρος της περιουσίας του ΄στους συγγενείς και αφού ρευστοποίησε ένα άλλο σημαντικό μέρος εγκαταστάθηκε στην Αθήνα. Κατά μία άλλη εκδοχή στην Αθήνα τον κάλεσε ο Ξάνθιππος, ο πατέρας του Περικλή για ν’ αναλάβει τη μόρφωση του γιου του. Δάσκαλος και μαθητής συνδέθηκαν όχι μόνο με τον αμοιβαίο αλληλοσεβασμό αλλά και μια αληθινή διαχρονική φιλία, η οποία του έσωσε στο τέλος και τη ζωή.

Πριν προχωρήσουμε να δούμε τις διδασκαλίες του Αναξαγόρα, πρέπει να αναφέρουμε ότι το σύγγραμμα του «Περί Φύσεως» είχε την ίδια μοίρα με ανάλογα συγγράμματα άλλων προσωκρατικών φιλοσόφων, δηλαδή χάθηκαν. Γι’ αυτό χάρη οφείλουμε στο Διογένη Λαέρτιο, ο οποίος στο έργο του «Βίοι και γνώμαι των εν φιλοσοφία ευδοκιμησάντων και των εκάστη αιρέσει αρεσκόντων εν επιτόμω συναγωγή» ( Συντομογραφικά Βίοι Φιλοσόφων) διέσωσε σημαντικά στοιχεία για τη διδασκαλία και τον βίο πέραν των 80 πνευματικών ανδρών της αρχαιότητας.

Σύμφωνα με τον Αναξαγόρα αρχή των πάντων είναι ο Νους, ο οποίος είναι άπειρος, αυτοκυβέρνητος, αυτό-σύστατος ομοιογενής και ξεχωριστός από το κάθε τι . Είναι το λεπτότερο και το καθαρότερο από όλα τα πράγματα, είναι παντογνώστης και παντοδύναμος, ελέγχει  όλα τα όντα, έμψυχα και άψυχα. Ξέρει τα πάντα για το καθετί και έχει τη μεγαλύτερη ισχύ· Ο Νους ελέγχει όλα τα έμψυχα, τα μεγαλύτερα και τα μικρότερα. Το σύμπαν βρίσκεται σε περιστροφική κίνηση και είναι διαστελλόμενο αφού «η κίνηση αυτή γινόταν σε μια μικρή περιοχή, αλλά σήμερα γίνεται σε μεγαλύτερη και στο μέλλον θα γίνεται σε ακόμα μεγαλύτερη»( Απ. 12 Diels-Kranz). Η διαστολή του Σύμπαντος είναι και σήμερα διδασκαλία της αστροφυσικής και συνδέεται με τη θεωρία της μεγάλης έκρηξης ( Big Bang ) Όσα υπήρχαν υπάρχουν και θα υπάρχουν όλα τα ξέρει ο Νους  αφού αυτός τα οργάνωσε και τα δημιούργησε. «καὶ ὅσα γε ψυχὴν ἔχει καὶ τὰ μείζω καὶ τὰ ἐλάσσω, πάντων νοῦς κρατεῖ» και «πάντα διεκόσμησε νοῦς,»

Ο Αναξαγόρας δίδασκε ότι δεν είναι ανάγκη να επικαλεσθεί κάποιος τους θεούς για να εξηγήσει τον φυσικό κόσμο. Έλεγε ότι η γη κάνει περιστροφική κίνηση και ότι ο ήλιος είναι μέγα διάπυρο σώμα, μεγαλύτερο της Πελοποννήσου. «Οὗτος ἔλεγε τὸν ἥλιον μύδρον εἶναι διάπυρον καὶ μείζω τῆς Πελοποννήσου».  Εξήγησε τη δημιουργία του σύμπαντος με τη φυγόκεντρη κίνηση που με τις πυκνώσεις και τις αραιώσεις της διαχώρισε τα τέσσερα στοιχεία και με τη δημιουργική πνοή του νου δημιούργησε το σύμπαν που δεν είναι στατικό. Επιχειρηματολογούσε ότι η σελήνη ήταν ένας κόσμος όπως η γη με όρη και κοιλάδες και πιθανόν κατοικημένος. « τὴν δὲ σελήνην οἰκήσεις ἔχειν, ἀλλὰ καὶ λόφους καὶ φάραγγας».Προέβλεψε τη πτώση μετεωριτών και εξήγησε τους διάττοντες αστέρες ως αναφλεγόμενα σώματα από την τριβή τους με τον αέρα κατά την πτώση τους στη γη.

Σύμφωνα με μια εκδοχή ο Κλέωνας, δεινός αντίπαλος του Περικλή, κατηγόρησε τον Αναξαγόρα για ασέβεια με αφορμή την αντιδικία του με τους ιερείς για ένα κριάρι με ένα κέρατο το οποίο αυτοί ερμήνευσαν ως θείο οιωνό, ενώ αυτός έκανε ανατομική εξήγηση του φαινομένου. Ήταν φανερό ότι ο Κλέωνας μέσω της κατηγορίας για ασέβεια και αθεΐα προς το δάσκαλο του Περικλή, ήθελε να κτυπήσει και τον πολιτικό του αντίπαλο. Ο Αναξαγόρας πέρασε από μια πραγματική «Ιερή Εξέταση» Το βιβλίο του «Περί Φύσεως» έγινε φύλλο και φτερό. Η διδασκαλία του ο ήλιος ήταν διάπυρος μύδρος θεωρήθηκε ως βλασφημία προς το θεό του Φωτός Απόλλωνα! Ο Περικλής προσπάθησε να υπερασπιστεί το φίλο του στο δικαστήριο, όμως παρά το αναμφισβήτητο κύρος του μεγάλου πολιτικού δεν κατάφερε να πείσει  το δικαστήριο που προχώρησε σε καταδίκη του νεωτεριστή επιστήμονα, γιατί σύμφωνα με τους στενόμυαλους δικαστές τα γραφτά του έδειχναν ασέβεια και τάση να αμφισβητεί την πατρώα θρησκεία του δωδεκαθέου!

Ο Περικλής χρησιμοποιώντας όλη την ισχύ και τον πλούτο που διέθετε κατάφερε κατά μία εκδοχή να μετριάσει την καταδική του Αναξαγόρα από  θάνατο σε εξορία. Κατά μία άλλη εκδοχή ο Περικλής κατάφερε να φυγαδεύσει τον δάσκαλο του από τη φυλακή, ενώ αυτός στωικά περίμενε την εκτέλεση της θανατικής του καταδίκης. Λέγεται ότι κατά τη διάρκεια της αναμονής, ο Αναξαγόρας συνέχισε ήρεμα και με αξιοπρέπεια το καθημερινό του πρόγραμμα. Προσπαθούσε ατάραχος να λύσει το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου. ΄Φιλοσοφούσε για τη δυστυχία λέγοντας ότι ο άνθρωπος πρέπει εκ των προτέρων να προετοιμάζεται για την αντιμετώπιση δυσάρεστων ενδεχομένων. Ο Ευριπίδης, θαυμαστής και οπαδός του Αναξαγόρα αναφέρει στην χαμένη τραγωδία του Θησεύς:  «Διδάχθηκα από κάποιο σοφό άνθρωπο ( υπονοείται ο Αναξαγόρας του οποίου το όνομα ήταν απαγορευμένο ) να βάζω στο νόμο μου πιθανές συμφορές έτσι ώστε στην περίπτωση που μια από αυτές με κτυπήσει να την αντιμετωπίσω όσο το δυνατόν καλύτερα». Η μοίρα του Αναξαγόρα μας θυμίζει την περίπτωση του Σωκράτη. Ο μαθητής του Πλάτωνας επίσης προσπάθησε να τον βοηθήσει να δραπετεύσει, πλην όμως αυτός αρνήθηκε για να μην προσβάλει τους Πατρώους και τους ουράνιους νόμους.

Τα τελευταία χρόνια της ζωής του ο Αναξαγόρας τα πέρασε στη Λάμψακο του Ελλησπόντου, μακριά από την Αθήνα στην οποία δίδαξε για τριάντα χρόνια. Όταν οι Λαμψακηνοί του θύμιζαν την καταδίκη του από τους Αθηναίους απαντούσε με συγκατάβαση: « Κἀκείνων κἀμοῦ πάλαι ἡ φύσις κατεψηφίσατο, » δηλαδή « Η φύση όλους μας έχει καταδικάσει στην κοινή μοίρα του θανάτου. Πέθανε το 428 π.Χ. σε ηλικία 72 ετών στο πρώτο χρόνο της 88^ης Ολυμπιάδας. Τάφηκε με τιμές και στο μνήμα του οι Λαμψακηνοί έγραψαν.

« Ἐνθάδε, πλεῖστον ἀληθείας ἐπὶ τέρμα περήσας οὐρανίου κόσμου, κεῖται Ἀναξαγόρας» που σημαίνει ότι εδώ είναι θαμμένος ο Αναξαγόρας που πλησίασε τα μέγιστα τη γνώση περί του Ουράνιου κόσμου.