Χάλκινη ακολουθία μέρος δέκατο

 Στην σκαναρισμένη εικόνα που ακολουθεί παραθέτουμε το γενικό όρο της αναδρομικής ακολουθίας 1, 1, 1, 1, 4, 7, 13, 25,49, 94.... όπου κάθε επόμενος όρος προκύπτει ως άθροισμα των τεσσάρων προηγούμενων. Εύκολα παρατηρεί κανείς ότι μετά τον πέμπτο όρο κάθε επόμενος όρος είναι σχεδόν διπλάσιος. κάθε όρος έχει τη μορφή 3α +1 με α μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. 

4= (3Χ1)+1

7=(3Χ2)+1

13=(3Χ4)+1

25=(3Χ8)+1

49=(3Χ16)+1

94=(3Χ31)+1

181=(3Χ60)+1

........................

Ο όρος ν τάξεως υπολογίζεται ως ακολούθως:

            

Στον τύπο οι εκθέτες του δύο  ν-5, ν-10  είναι πάντοτε θετικοί και ακέραιοι,  ο δε εκθέτης θ<5 , 0≤θ ≤ 5 και ν =5α+θ,

 Με την πιο πάνω απόδειξη συμπληρώνεται η παρουσίαση της χάλκινης ακολουθίας, οι τύποι της οποίας αποδείκτηκαν στις περισσότερες περιπτώσεις με τη μαθηματική επαγωγή.

Υπολογισμός αθροίσματος τετάρτων δυνάμεων φυσικών αριθμών

 Έστω το άθροισμα 

1⁴ + 2⁴ + 3⁴ + …+ ν⁴

πώς μπορούμε να το υπολογίσουμε σε συνάρτηση του ν; (ν φυσικός αριθμός ). Θα  παρουσιάσουμε παρακάτω την απόδειξη του σχετικού τύπου με δύο διαφορετικούς τρόπους, σε σκαναρισμένο αντίγραφο γραμματοσειράς cambria math. 

Στην απόδειξη χρησιμοποιούμε ως γνωστούς τους τύπους των κύβων, των τετραγώνων και του αθροίσματος των φυσικών αριθμών.

Χάλκινη ακολουθία ένατο μέρος

 Στο ένατο μέρος αποδεικνύονται σχέσεις μεταξύ των αθροισμάτων των όρων των παραμετρικών ακολουθιών με χρήση της μαθηματικής επαγωγής. Οι αποδείξεις δίνονται σε σκαναρισμένο αντίγραφο cambria math.

 

Α/Α όρου	Κύρια χάλκινη		1η παραμετρική		2η παραμετρική		3η παραμετρική
	Κν	Κν/Κν-1	Αν	Αν/Αν-1	Βν	Βν/Βν-1	Γν	Γν/Γν-1
1ος	1		1		1		1
2ος	1		2		2		1
3ος	1		4		3		2
4ος	1		7		6		4
5ος	4		14		12		8
6ος	7	1,75	27	1,928...	23	1,916...	15	1,875
7ος	13	1,857..	52	1,925...	44	1,913..	29	1,933..
8ος	25	1,923..	100	1,923...	85	1,931...	56	1,931...
9ος	49	1,96	193	1,93	164	1,929...	108	1,928...
10ος	94	1,918..	372	1,927...	316	1,926...	208	1,925...
11ος	181	1,925..	717	1,927....	609	1,927...	401	1,927...
12ος	349	1,928..	1382	1,927..	1174	1,927..	773	1,927
13ος	673	1,928..	2664	1,927..	2263	1,927..	1490	1,927..
14ος	1297	1,927..	5135	1,927	4362	1,927..	2872	1,927..
...........	...........	............	...........	...........	............	............	...........	...........

 

 

Αύξων αριθμός όρου (ν)	Χάλκινη ακολουθία με τυχαίους αρχικούς όρους	1η παραμετρική χάλκινη ακολουθία	2η παραμετρική χάλκινη ακολουθία	3η παραμετρική χάλκινη ακολουθία
1	α	1	1	1
2	β	2	2	1
3	γ	4	3	2
4	δ	7	6	4
5	α +β + γ + δ	14	12	8
6	α + 2β +2γ +2δ	27	23	15
7	2α +3β +4γ + 4δ	52	44	29
8	4α +6β + 7γ + 8δ	100	85	56
9	8α + 12β + 14γ +15δ	193	164	108
10	15α + 23β + 27γ +29δ	372	316	208
..........................	.........................	..............	..................	................
ν	Τν	Αν	Βν	Γν