Βοεικό Πρόβλημα: Η σπαζοκεφαλιά του Αρχιμήδη που μένει άλυτη για 22 αιώνες

 Το 1773 ο βιβλιοθηκάριος της γερμανικής κωμόπολης Wolfenbuttel, ο ποιητής Gothold  Ephraim Lessing έκανε μια απρόσμενη ανακάλυψη ενώ ταξινομούσε παλιά έγγραφα της βιβλιοθήκης. Βρήκε το χειρόγραφο ποίημα του Αρχιμήδη το οποίο ο μεγάλος σοφός αφιέρωνε στον επίσης γνωστό Μαθηματικό και γεωγράφο Ερατοσθένη τον Κυρηναίο.

Ο τελευταίος δεν ήταν τυχαίο άτομο. Ήταν ο μαθηματικός που κατάφερε να μετρήσει την περιφέρεια της γης με σημαντική ακρίβεια. Ο σοφός μαθηματικός των Συρακουσών αλληλογραφούσε συχνά με τους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας. Πολλές φορές τους έθετε δύσκολα προβλήματα για να δοκιμάσει τη μαθηματική τους οξύνοια. Σε αυτή την περίπτωση στόχος του ήταν ο Ερατοσθένης, ο οποίος πήρε ένα πραγματικό γρίφο, αντάξιο της φήμης του, για να λύσει. Ήταν κάτι σαν μονομαχία μεταξύ των δύο μαθηματικών.

 Πώς όμως αυτό το σπουδαίο χειρόγραφο έφτασε στην Γερμανία; Σύμφωνα με μεταγενέστερο σχόλιο που γράφηκε πάνω στο χειρόγραφο, κάποιος Γερμανός σταυροφόρος το απόκτησε  στο Βυζάντιο, το  12^ο -13^ο αιώνα μ.Χ.  κατά τη λεηλασία μιας τοπικής βιβλιοθήκης. Κατά την επιστροφή του στη Γερμανία το μετέφερε, ως λάφυρο για να το πουλήσει. Από χέρι σε χέρι κατέληξε, άγνωστο πως, στη βιβλιοθήκη του Wolfenbutte. Ποιο όμως ήταν το περιεχόμενο του μακροσκελούς αυτού χειρόγραφου; Σε περίληψη ήταν η ακόλουθη σπαζοκεφαλιά, την οποία ο Αρχιμήδης καλούσε τον Ερατοσθένη να λύσει. Το πρόβλημα περιληπτικά έχει ως εξής: Ο Θεός Ήλιος έβοσκε στη νήσο της Σικελίας τις αγελάδες και τους ταύρους του που αποτελούνταν από τέσσερις αγέλες. Κάθε  αγέλη περιλαμβάνει ταύρους και αγελάδες του ιδίου χρώματος. Έχουμε τη λευκή, την κυανή, τη ξανθή και την ανάμεικτη αγέλη.

Ο Γρίφος του Αρχιμήδη

-Οι Λευκοί ταύροι ισούνται με το ( ½ + ⅓ ) των κυανών, αυξημένο με τον αριθμό των ξανθών ταύρων.

-Οι κυανοί ταύροι  αριθμούν το (¼ +⅕)  των ταύρων ανάμεικτου χρώματος, αυξημένο κατά τον αριθμό των ξανθών ταύρων.

- Οι ταύροι ανάμεικτου χρώματος αριθμούν το (⅙+1/7 ) των λευκών ταύρων συν το σύνολο των ξανθών ταύρων

-  Οι λευκές αγελάδες αριθμούν το  (⅓+¼)  της κυανής αγέλης

- Οι κυανές αγελάδες ισούνται με το (¼ + ⅕) της ανάμεικτης αγέλης

- Οι αγελάδες ανάμεικτου χρώματος ισούνται με το (⅕ +⅙) της ξανθής αγέλης

- Οι ξανθές αγελάδες ισούνται με  το (⅙+1/7 ) της λευκής αγέλης

- Το άθροισμα των ξανθών και των ανάμεικτων ταύρων είναι τρίγωνος αριθμός

- Το άθροισμα των λευκών και των κυανών ταύρων είναι τετράγωνος αριθμός.

Η λύση γράφτηκε αλλά ήταν …λανθασμένη

Το χειρόγραφο παραθέτει την πιο κάτω απάντηση χωρίς όμως να καταγράφει ποιος την έδωσε.

Αγέλη	Ταύροι	Αγελάδες	Σύνολο
Λευκή	829 318 560	576 508 800	1 405 827 360
Κυανή	596 841 120	391 459 680	988 300 800
Ανάμεικτη	588 644 800	281 265 600	869 910 400
Ξανθή	331 950 960	435 137 040	767 088 000
Σύνολα	2 346 755 440	1 684 371 120	4 031 126 560

 Είναι αδύνατο τέσσερα δισεκατομμύρια βοοειδή να χωρέσουν στη Σικελία, όμως αυτό είναι άσχετο με την μαθηματική πτυχή του προβλήματος.  Η λύση που δόθηκε αγνοεί τις δύο τελευταίες προϋποθέσεις που τίθενται. Οι λευκοί και οι κυανοί ταύροι αθροίζουν μαζί 1 426 159 680. Όμως η τετραγωνική ρίζα του αριθμού αυτού δεν είναι ακέραιος  άρα προφανώς ο αριθμός δεν είναι τετράγωνος. Οι ξανθοί και οι ανάμεικτοι αθροίζουν 920 595 760. Το διπλάσιο αυτού του αριθμού θα έπρεπε να ισούται με το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων αν ήταν τρίγωνος. Ούτε αυτό ισχύει.

Η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος

Το βοεικό πρόβλημα εκφράζεται ως διοφαντικό σύστημα 9 εξισώσεων με 10 αγνώστους ως εξής:

 Έστω Λ, Κ, Ξ, Α ο αριθμός των ταύρων και λ, u, ξ, α αντίστοιχα, ο αριθμός των αγελάδων κάθε αγέλης. Τότε έχουμε:

Λ = Ξ + 5Κ/6

Κ = Ξ +9 Α/20  

Α = Ξ + 13Λ/42

λ = 7(Κ + u )/12

u = 9(Α + α )/20

α = 11(Ξ +ξ)/30

ξ = 13 (Λ + λ)/42

2(Ξ + Α) = ν (ν+1)

Λ + Κ = μ²

Σύμφωνα με τον συγγραφέα Δημήτρη Τσιμπουράκη¹

οι προσπάθειες που έγιναν τα τελευταία 200 χρόνια για επίλυση του συστήματος κατέληξαν στην άλυτη εξίσωση χ² -4729494ψ² =1 όπου ψ αριθμός διαιρετός δια του 9314. Αν η θηριώδης αυτή εξίσωση λυθεί τότε θα προκύψει ότι κάθε μεταβλητή θα είναι αριθμός με πέραν των διακόσων χιλιάδων ψηφίων. Αυτό όμως δεν πρέπει να μας ξενίζει. Είναι γνωστό ότι ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με την μελέτη αυτών των τεράστιων αριθμών στο έργο του Ψαμμίτης² όπου υπολόγισε τον αριθμό των κόκκων της άμμου που θα είχε βάρος ισοδύναμο με το βάρος της γης. Ο Αρχιμήδης έφτασε να μετρά αριθμούς του μεγέθους 10¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰⁰⁰⁰   ( αριθμός με ένα δισεκατομμύριο μηδενικά ) . Σε κάθε περίπτωση οι αριθμοί του συστήματος του μεγάλου σοφού είναι τόσο μεγάλοι που αψηφούν την δύναμη υπολογισμού και των μεγαλύτερων υπολογιστών!

Σημειώσεις

1.       Μαθηματικός και αρχιτέκτονας, συγγραφέας του βιβλίου « Η Γεωμετρία και οι εργάτες της στην Αρχαία Ελλάδα»

2.       Σύγγραμμα στο οποίο ο Αρχιμήδης υπολογίζει τον αριθμό των κόκκων της άμμου που μπορούν να χωρέσουν στο σύμπαν