Η μαθηματική επαγωγή: Η εφαρμογή του domino effect στα Μαθηματικά

Οι μαθηματικοί έχουν αναπτύξει διάφορες μεθόδους απόδειξης. Μια τέτοια μέθοδος για απόδειξη προτάσεων  που αφορούν τους φυσικούς αριθμούς είναι η Μαθηματική ή Τελεία Επαγωγή. Μια διαισθητική κατανόηση της μεθόδου είναι αυτή της αντιστοίχησης της με το φαινόμενο ντόμινο. Θα περιγράψουμε την Μαθηματική Επαγωγή με το ακόλουθο παράδειγμα για να εννοήσουμε τη σύνδεση της με το φαινόμενο.

Έστω η ακολουθία των   αριθμών   1, 8, 27, 64, 125……..

Ποιοι είναι άραγε οι επόμενοι αριθμοί της ακολουθίας; Για να τους βρούμε πρέπει να ψάξουμε αν υπάρχει κάποιο μοτίβο στη σειρά των αριθμών. Για να το βρούμε αρκεί να παρατηρήσουμε ότι οι 5 αριθμοί που έχουμε γράψει είναι οι  κύβοι των διαδοχικών φυσικών αριθμών 1,2,3,4,5. Προφανώς λοιπόν ο 6^ος αριθμός της ακολουθίας είναι ο 6³ δηλαδή ο αριθμός 216, ο 7^ος είναι ο 7³ δηλαδή ο 343 κοκ. Ακολούθως διατυπώνουμε  την ακολουθία  γράφοντας εκτός από τους αρχικούς όρους το γενικό όρο της και τον όρο τάξεως ν+1 που τον ακολουθεί. Οι τελείες που έπονται του όρου τάξεως ν+1 δείχνουν ότι έχουμε μια ακολουθία με μη πεπερασμένο πλήθος όρων.

1³ , 2³, 3³, 4³, 5³…..ν³ , (ν +1 )³, …..

Ας υποθέσουμε ότι κάποιος θέλει να υπολογίσει το άθροισμα των ν πρώτων όρων της ακολουθίας των κύβων των φυσικών αριθμών σε συνάρτηση του φυσικού αριθμού ν δηλαδή θέλει να υπολογίσει το άθροισμα των ν πρώτων όρων της  σειράς που στη μαθηματική γλώσσα γράφεται ως εξής:

ν

Σ ρ³ = 1³ + 2³ +  3³ + 4³ + 5³…..+ ν³ 

1

Το κεφαλαίο γράμμα Σ προέρχεται από την αγγλική λέξη SUM που σημαίνει άθροισμα. Παρατηρούμε ότι:

Αν το ν ισούται με 1 το άθροισμα  ισούται με 1 δηλαδή: [1² . 2² ] / 4

Αν το ν ισούται με 2 το άθροισμα των δύο πρώτων όρων ισούται με 9 δηλαδή: [2² . 3² ] / 4

Αν το ν ισούται με 3 το άθροισμα των τριών πρώτων όρων ισούται με 36 δηλαδή: [3² . 4² ] / 4

Αν το ν ισούται με 4 το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων ισούται με 100 δηλαδή

[4² . 5² ] / 4

Θα μπορούσαμε άραγε να γενικεύσουμε την παρατήρηση αυτή και να πούμε ότι το άθροισμα των ν πρώτων κύβων ισούται με το ένα τέταρτο του γινομένου των τετραγώνων των διαδοχικών φυσικών αριθμών ν και ν +1 , δηλαδή ότι:

ν

Σ ρ³ =  ¼ [ ν² ( ν + 1 ) ²]

1

Αν και η παρατήρηση φαίνεται εύλογη εντούτοις δεν αποτελεί αδιάσειστη απόδειξη ακόμα και αν συνεχίσουμε να την επαληθεύουμε για μεγαλύτερα ν. Αποτελεί απλώς μια μαθηματική εικασία που πρέπει να αποδειχθεί. Αυτό γιατί υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί και όσες επαληθεύσεις και να κάνουμε πάντα υπάρχει η πιθανότητα ενός αντιπαραδείγματος. Για να αντιπαρέλθουμε αυτή τη φαινομενικά ανυπέρβλητη δυσκολία εισάγουμε την λεγόμενη επαγωγική υπόθεση.  Στην περίπτωση μας υποθέτουμε ότι για κάποιο τυχαίο φυσικό αριθμό κ ισχύει η πρόταση μας δηλαδή ότι:

κ

Σ ρ³ =   κ² ( κ + 1 )² / 4

1

Ακολούθως προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι η πρόταση μας ισχύει για ν=κ+1. Η κίνηση αυτή δεν είναι τυχαία. Αποτελεί την αναγκαία και ικανή συνθήκη για πυροδότηση του domino effect. Αφού αν η πρόταση μας ισχύει για δύο διαδοχικές τυχαίες τιμές και δεδομένου ότι υπάρχει η αρχική τιμή που επαληθεύει το συμπέρασμα, θα οδηγήσει την αλυσιδωτή επαλήθευση του συμπεράσματος για όλα τα επόμενα μερικά αθροίσματα όπως θα δείξουμε κατωτέρω. Το άθροισμα των (κ+1) πρώτων όρων είναι:

κ+1

Σ ρ³ =   [κ² ( κ + 1 )² / 4] + ( κ +1)³

1

Οι αριθμοί εντός της αγκύλης εμπίπτουν στην παραδοχή της επαγωγικής υπόθεσης με βάση την οποία δεχτήκαμε ότι:

1³ + 2³ + 3³ + … + κ³ = κ² ( κ + 1 )² / 4

Άρα κτίζοντας πάνω στην επαγωγική υπόθεση μπορούμε εύλογα να αποδείξουμε ότι:

κ+1

Σ ρ³ =   [κ² ( κ + 1 )² / 4] + ( κ +1)³ =  ( κ + 1 )²/4 [ κ² +4κ + 4 ] = [( κ + 1 )²  ( κ + 2)² ] /4

1

Προφανώς έχουμε αποδείξει ότι η πρόταση ισχύει για δύο τυχαίους διαδοχικούς αριθμούς, τον κ και τον κ+1 . Πώς μπορεί όμως αυτό να μας οδηγήσει στη γενική απόδειξη; Στο σημείο αυτό είναι βοηθητικό να σκεφτούμε τη Μαθηματική Επαγωγή σε αναλογία με μια σειρά από ντόμινο

τοποθετημένα όρθια το ένα πολύ κοντά στο άλλο. Αν σπρώξουμε το πρώτο στη σειρά ντόμινο, αυτό θα πέσει και θα παρασύρει στην πτώση το δεύτερο ντόμινο και αυτό με τη σειρά του το τρίτο και ούτω καθεξής, μέχρι να πέσουν όλα, όσα πολλά και αν είναι. Στην περίπτωση μας το πρώτο ντόμινο είναι ο έλεγχος της επαγωγικής υπόθεσης για την αρχική τιμή ν=1.

Αν θέσουμε λοιπόν κ = 1 προφανώς η πρόταση μας ισχύει 

Προφανώς όμως η πρόταση μας ισχύει και για ν = 2 αφού έχουμε αποδείξει ότι ισχύει για ν = κ+1 και έχουμε καταδείξει την ισχύ της για ν=κ=1

Τα ντόμινο έχουν αρχίσει να πέφτουν αλυσιδωτά και χωρίς σταματημό, αφού αν θέσουμε ότι κ=2 τότε η πρόταση ισχύει για  κ+1 δηλαδή για ν=3 . Αν θέσουμε κ=3 τότε προφανώς ισχύει για κ=4 κοκ. Για κάθε επόμενη τιμή «που πέφτει» δηλαδή επαληθεύεται αυτή παρασύρει στην «πτώση» της την επόμενη τιμή. Η επαγωγική αυτή επαλήθευση δεν έχει τέλος αφού διατρέχει όλο το άπειρο σύμπαν των φυσικών αριθμών. Η πρόταση έχει αποδειχτεί  επαγωγικά για κάθε ν που είναι φυσικός αριθμός.

Σε μαθηματική γλώσσα η τελεία επαγωγή αποτελείται από τα παρακάτω τρία βήματα:

1. Απόδειξη ισχύος της προς απόδειξη πρότασης για την αρχική τιμή της: δείχνουμε ότι η πρόταση P(ν) ισχύει για ν = 1,

2. Επαγωγική υπόθεση: υποθέτουμε ότι η πρόταση P(ν) είναι αληθής για κάποιο ν = κ, δηλαδή ότι ισχύει P(κ).

3. Επαγωγικό βήμα: χρησιμοποιώντας ως εφαλτήριο την επαγωγική υπόθεση προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι η πρόταση ισχύει για  ν = κ + 1 δηλαδή  ότι ισχύει P(κ + 1).

Αν αποδείξουμε το επαγωγικό βήμα τότε έχουμε καταφέρει να αποδείξουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για κάθε  φυσικό αριθμό αφού η δεδομένη ισχύς της για την αρχική τιμή ν = 1 δείχνει ότι  η πρόταση ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς καθώς όλοι τους είναι ίσοι με τον προηγούμενο αυξημένο κατά ένα και αποτελούν τα στοιχεία ενός ντόμινο που η πτώση του πρώτου παρασύρει κάθε επόμενο αριθμό σε πτώση.

Ηράκλειτος και Πυθαγόρας σημεία τομής και σύγκλισης

           Ο Πυθαγόρας γεννήθηκε στη Σάμο το 586 π.Χ. Είχε την τύχη να έχει ονομαστούς δασκάλους όπως τον Επιμενίδη, το Φερεκύδη και τον Άβαρη. Επίσης συμπλήρωσε τη μόρφωση του ταξιδεύοντας σε διάφορες χώρες όπως την Αίγυπτο, Βαβυλώνα και αλλού. Τα ταξίδια αυτά υπήρξαν ευκαιρίες για περεταίρω μόρφωση του. Όταν στην Σάμο κύριος της εξουσίας έγινε ο Πολυκράτης, ο Πυθαγόρας πήγε στον Κρότωνα της Νοτίου Ιταλίας, όπου εκεί ίδρυσε το Ομακοείο, όπου δίδασκε τη φιλοσοφία του. Η σχολή του απόκτησε τέτοιο κύρος, που οι Έλληνες της νοτίου Ιταλίας του ανάθεσαν να θεσπίσει νόμους γιαυτούς. Παρά την αρχική εφαρμογή τους, οι νόμοι προκάλεσαν την αντίδραση των κατοίκων του Κρότωνα, οι οποίοι το 510π.Χ. έκαψαν το Ομακοείο, εξοντώνοντας τον Πυθαγόρα και τους περισσότερους των μαθητών του.

Η Πυθαγόρεια κοσμοθεωρία και φιλοσοφία μπορεί να συνοψιστεί στα ακόλουθα :

   Οι αριθμοί αποτελούν τα αρχετυπικά σύμβολα που εκφράζουν την ουσία του όντος αλλά και του φαινόμενου κόσμου. Με άλλα λόγια οι αριθμοί αποτελούν έκφραση της νομοτέλειας, της αρμονίας, της τάξης και του ρυθμού του κόσμου. Σύμφωνα με τον Σάμιο Μύστη τα πάντα είναι αριθμοί και μπορούν να εκφραστούν με αυτούς.Οι αριθμοί αποτελούν αρχέτυπα, απεικονίσεις και είδωλα ικανά να εκφράσσουν κάθε ιδέα, νοητό ή αισθητό ον. Κάθε ον ορίζεται στην ουσία του αριθμητικά, ποσοτικά, όχι ποιοτικά. Έτσι τα διαστήματα μιας χορδής, καθένα από τα οποία εκφράζει ένα μουσικό ήχο, εκφράζονται ως λόγος του μήκους των μερών της χορδής που ορίζει το διάστημα. Ακόμα κάθε αριθμός συμβολίζει θεμελιακές γνώσεις της ουσίας του Παντός.Ειδικότερα στους αριθμούς της πρώτης δεκάδας απέδιδε , μεταξύ άλλων, τις ακόλουθες έννοιες – ιδέες:

Η μονάδα (1)συμβολίζει την ενότητα του Παντός. Αποκαλείτο Νούς, γιατί όπως ο Νους είναι η πηγή των ιδεών έτσι και η μονάδα είναι η μητέρα και η πηγή όλων των αριθμών. Επίσης θεός, γιατί και ο Θεός είναι ένας και εξ αυτού δημιουργούνται τα πάντα. Ο Θεός είναι το άρρητο ένα, η άγνωστη αρχή και αιτία των όντων. Επίσης η μονάδα ονομαζόταν ύλη, που είναι το περιεχόμενο των πραγμάτων του κόσμου. Όπως η κίνηση της ύλης δημιουργεί τις μορφές και τα σώματα έτσι και όλοι οι αριθμοί και τα σχήματα αφετηρία έχουν την μονάδα. Επίσης συμβολίζει το αδιάστατο σημείο.  Η μονάδα, ως σύμβολο της ενότητας του σύμπαντος κόσμου, σπερματικά περιέχει μέσα της την πολλαπλότητα, η οποία και πάλι επιστρέφει στην ενότητα. Από το ένα προέρχονται τα πάντα και τα πάντα αποτελούν ενότητα όπως θα έλεγε και ο Ηράκλειτος.

Η δυάδα (2)συμβολίζει την πολλαπλότητα, σε δυναμική αντίθεση με την ενότητα της μονάδας. Την αντίθεση, που ορίζεται σε αντιδιαστολή με τη θέση. Αποτελεί αιτία της ανομοιότητας, της ανομοιομορφίας των όντων του κόσμου. Είναι ο πρώτος άρτιος αριθμός, και άρα συμβολίζει τη θήλεια αρχή. ( Οι ζυγοί σριθμοί για τους Πυθαγόρειους είναι θήλεις ενώ οι περιττοί άρρενες ). Πρώτη αυτή υπερβαίνει το αχώριστο ένα δημιουργώντας την ποικιλότητα. Στη γεωμετρία συμβολίζει την ευθεία που ορίζεται από 2 σημεία. Αν το ένα είναι ο θεός το δύο είναι η ύλη. Είναι το σύμβολο της δημιουργίας, της γέννησης.

Η τριάδα (3) συνενώνει τις ιδιότητες των δύο πρώτων αριθμών, εφόσον αποτελεί το άθροισμα τους. (1+2=3 ). Από το ένα προέρχονται τα πάντα, ο δέ πολύμορφος κόσμος έχει μια αρχή. Η εκδήλωση της πολλαπλότητας όμως γίνεται με την κίνηση και το χρόνο, που δεν υπάρχουν στο αδιαφοροποίητο ένα. Προφανώς το 3 συμβολίζει το χρόνο, και το φαινομενικό κόσμο που μετέχει τόσο της ύλης όσο και του θεού.. Συμβολίζει την εκδήλωση της θεότητας, τις ενέργειες της που δομούν τον κόσμο.Ακόμα η τριάδα είναι σύμβολο της ολοκλήρωσης, εφόσον κάθε ολοκληρωμένο όλο αποτελείται από τρία χαρακτηριστικά δηλαδή αρχή, μέση και τέλος. Είναι γνωστό ότι το πρώτο κλειστό ευθύγραμμο σχήμα είναι το τρίγωνο, αλλά και κάθε επίπεδο του χώρου, ως τέτοιο μπορεί να οριστεί με τρία σημεία. Συμβολίζει τον υπερθετικό βαθμό μιας ιδιότητας ( π.Χ. Τρισμέγιστος , τρισχαριτομένος, τρισάγιος κ.λ.π. ) . Συμβολίζει τον κύκλο , ο οποίος μπορεί να προσδιοριστεί αν γνωρίζουμε τρία σημεία της περιφέρειας του, κατ’ επέκταση δε τον θεό , που συμβολίζεται με κύκλο. Ο συμβολισμός αυτός ισχύει γιατί η περιφέρεια δεν έχει πέρατα, είναι άπειρη όπως τον Θεό.

Το τέσσερα συμβολίζει την τρισδιάστατη πραγματικότητα. Το απλούστερο στερεό έχει 4 έδρες και ισάριθμες κορυφές. Είναι το σύμβολο της δικαιοσύνης, γιατί διαιρείται ακριβώς χωρίς υπόλοιπο στους 2 πρώτους ίσους άρτιους αριθμούς, όντας και η ίδια άρτιος.Το 4 γεννά τη δεκάδα, που είναι η βάση του αριθμητικού συστήματος.( Εφόσον 1+2+3+4=10).  Επίσης το 4 δηλώνει τις εκδηλώσεις της μιας θεότητας, τις ενέργειες της, τις επιμέρους θεότητες.Ακόμα συμβολίζει τις κατά τον Πυθαγόρα 4 μαθηματικές επιστήμες δηλαδή την αριθμητική την γεωμετρία, την αστρονομία και τη μουσική.

Η πεντάδα συμβολίζει τα 5 στοιχεία των αρχαίων, που δηλώνουν τις  καταστάσεις της ύλης, δηλαδή στερεά (γη ) , υγρή (νερό) , αέρια ( αήρ)  η κατάσταση του πλάσματος (πυρ) , και ο αιθήρ, που δηλώνει τον κενό χώρο. Αυτά τα στοιχεία αντιστοιχούνται με τα πλατωνικά στερεά δηλαδή το τετράεδρο (πύρ) , ο κύβος (γη) , το οκτάεδρο (αήρ) , το δωδεκάεδρο (αιθήρ) και το εικοσάεδρο (νερό). Συμβολίζει την φύση επειδή πολλαπλασιαζόμενη  αναπαράγει τον εαυτό της. (5Χ5=25). Συμβολίζει τη μεσότητα, όντας ο μεσαίος των μονοψηφίων αριθμών. ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Συμβολίζει ακόμα το γάμο γιατί προέρχεται από το άθροισμα του πρώτου άρτιου και του πρώτου θηλυκού αριθμού. (2+3=5) . Επίσης συμβολίζει, όπως και οι άλλοι περιττοί την ανισορροπία , την ανισοσθένεια εφόσον δεν μπορεί να χωριστεί σε δύο ίσα μέρη.

Η εξάδα συμβολίζει τα έξι είδη των εμψύχων για τους αρχαίους όντων δηλαδή: φυτά, ζώα, ανθρώπους, ήρωες, δαίμονες, θεούς. Συμβολίζει το γάμο, την αναπαραγωγή γιατί, όπως και το 5, πολλαπλασιαζόμενο με τον εαυτό του αναπαράγεται στις μονάδες του αποτελέσματος. Περιέχει όλες αθροιστικά τις ιδιότητες των αριθμών 1, 2, και 3 αφού 1+2+3=6. Συμβολίζει την τελειότητα ως ο πρώτος τέλειος αριθμός, αφού το άθροισμα των παραγόντων του ισούται με αυτόν. Είναι ιερός αριθμός γιατί μέσα του περιέχει την τριάδα. (6=2.3)

     Ο αριθμός 7 συμβολίζει τη σοφία, γιατί όπως η Αθηνά δεν προήλθε από φυσική ένωση ενός πατέρα και μιας μητέρας γεννημένη από το κεφάλι του Δία, έτσι και αυτός δεν είναι παράγοντας ούτε πολλαπλάσιο κανενός των αριθμών της πρώτης δεκάδας. Συμβολίζει τη μουσική λόγω των 7 ήχων της κλίμακας, και την συνακόλουθη αρμονία που αυτή έχει. Συμβολίζει την ανισορροπία των δυνάμεων γιατί δεν μπορεί να χωριστεί σε δύο ίσα μέρη και άρα είναι η κινητήριος δύναμη της εξέλιξης των πεπερασμένων όντων. Ακόμα είναι ιερός αριθμός και συμβολίζει τη νίκη του πνεύματος επί της ύλης. Δηλώνει επίσης την γεωμετρική αρχιτεκτονική δομή του κόσμου στον οποίο έχουμε τρεις διαστάσεις, στις οποίες υπάρχουν αντικείμενα που προσδιορίζονται από 4 γεωμετρικά χαρακτηριστικά δηλαδή το σημείο, τη γραμμή , την επιφάνεια και τον όγκο. Ακόμα τις περιόδους της ανθρώπινης ζωής δηλαδή την βρεφική, νηπιακή, παιδική, εφηβική, νεανική, μέση και γεροντική.

      Το 8 είναι ο πρώτος κύβος, μετά το 1, μέσα στην δεκάδα. Είναι όμως ο κύβος το σύμβολο της γης που είναι μητέρα όλων μας. Άρα το 8 συμβολίζει τη μητρότητα, τη γέννηση, τη ζωή, αφού 8 = 2.2.2 και το 2 συμβολίζει την θήλεια αρχή. Συμβολίζει επίσης τις μουσικές αρμονίες, εφόσον υπάρχει στους διάφορους μουσικούς λόγους και τις μουσικές κλίμακες (οκτάβες )

Συμβολίζει επίσης τη δικαιοσύνη και την ισορροπία, αφού μπορεί να χωριστεί σε 2 ίσα μέρη, αυτό δε μπορεί να συνεχιστεί και για τα μέρη αυτά.

     Ο αριθμός 9 συμβολίζει τη γέννηση λόγω των 9 μηνών της κύησης. Συμβολίζει τον ορίζοντα, το υπέρτατο όριο αφού είναι ο μέγιστος των μονοψηφίων αριθμών. Είναι τρεις τέλεια αφού είναι το τετράγωνο του τέλειου τρία. Συμβολίζει την κορύφωση πριν από την κάμψη αφού ο επόμενος αριθμός, το 10 , επιστρέφει, με βάση την αριθμολογική πρόσθεση στην μονάδα. ( 10=1+0=1 , 11= 1+1=2 κλπ. )

       Η δεκάδα συμβολίζει το συμπαν , ορατό και αόρατο, πνευματικό και υλικό, αφού περιέχει μέσα του την ιερή τετρακτύ δηλαδή 1+2+3+4=10=1+0=1 Από την ανεκδήλωτη θεότητα μονάδα , προχωρούμε στην εκδήλωση του κόσμου μέσω της γέννησης και της εκδήλωσης της αντίθεσης (2) , με ανάδοχο την ιερή τριάδα που παρέχει την χρονικότητα στο σύμπαν και την τετράδα που συμβολίζει την τρισδιάστατη πραγματικότητα. Μέσω του 10 όλα τα ανωτέρω επιστρέφουν στην μονάδα και ο κύκλος ολοκληρώνεται. Από την ενότητα στην πολλαπλότητα και πάλι στην ενότητα. Αριθμολογικά η δεκάδα ισούται με την μονάδα, πράγμα προφανές αν προσθέσουμε τα ψηφία του 10. Με το 10 ο κοσμικός κύκλος ολοκληρώνεται επιστρέφοντας στην μονάδα, που δηλώνει την βαθύτερη ενότητα του παντός.

     Οι αριθμοί πέραν του 10 ανάγονται σε ένα από τους μονοψήφιους αριθμούς με βάση την αριθμολογική πρόσθεση . Αν πάρουμε για παράδειγμα τον 258 , έχουμε 2+5+8=15 , 1+5=6 και άρα ο 258 έχει τις ιδιότητες του 6. ομοίως μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς για οποιοδήποτε άλλο αριθμό.

    Ο Πυθαγόρας συνέδεσε τον αριθμό 10 με ισάριθμο αριθμό ζευγών αντιθέτων δράσεων, που ως πρωταρχικές ροπές κινούν και μορφώνουν τον κόσμο. Τα ζεύγη αυτά είναι το πέρας και το άπειρο, το ενεργητικό και το παθητικό, η ενότητα και η πολλαπλότητα, οι δύο διευθύνσεις κίνησης σε μια ευθεία, το άρρεν και το θήλυ ( περιττόν και άρτιο ), η κίνηση και η ακινησία, η ευθεία και η καμπύλη γραμμή, το φώς και το σκοτάδι, το καλό και το κακό , η ισότητα και η ανισότητα. Αυτά τα ζεύγη, φαινομενικά αντίθετα και σε πόλεμο, ουσιαστικά όμως συνεργαζόμενα δημιουργούν τον κόσμο. Η άποψη αυτή πλησιάζει την ανάλογη Ηρακλείτια και αναδεικνύει τη συγγένεια των σκέψεων των δύο φιλοσόφων.

      Βλέπουμε γενικά πως για τον Πυθαγόρα οι αριθμοί έχουν την ίδια θέση που είχαν για τον Πλάτωνα οι ιδέες. Όλος ο κόσμος στηρίζεται σε αριθμητικές και όχι ποιοτικές σχέσεις. Κάθε έννοια συγκεκριμμένη ή αφηρημένη μπορεί να αναχθεί σε ένα αριθμό. Τα πάντα είναι αριθμοί έλεγαν οι Πυθαγόριοι. Ακόμα πίστευε στην αρμονία ως συνένωση των αντιθέτων, θέση που πλησιάζει την αντίστοιχη του Ηράκλειτου. Ο κόσμος συντελείται με την αλληλεπίδραση ζευγών αντιθέτων δυνάμεων γιαυτό και ο Πυθαγόρας συμβολίζει τη δημιουργική ύπαρξη με το δύο (2) .Ηράκλειτος και Πυθαγόρας πιστεύουν στην δημιουργική σύνθεση των αντιθέτων και την παραγόμενη αρμονία. Φτάνουν στο ίδιο αποτέλεσμα όμως από διαφορετικό μονοπάτι. Έναντι του φιλοσοφικού στοχασμού του σκοτεινού φιλοσόφου, ο Σάμιος αντιπαραβάλλει τον Μαθηματικό στοχασμό και την αριθμοσοφία για να φτάσει στα ίδια συμπεράσματα.Η πίστη του Σάμιου σοφού στην μετενσάρκωση μας θυμίζει την ανάλογη άποψη του Εφέσιου σοφού. Σύμβολο του θεού για τον Πυθαγόρα είναι ο κύκλος. Το σχήμα αυτό είναι άναρχο και άπειρο (χωρίς πέρατα ). Ο Ηράκλειτος χρησιμοποιεί τον κύκλο για να αποδείξει την ουσιαστική ενότητα των αντιθέτων , αφού κάθε σημείο της περιφέρειας είναι ταυτόχρονα αρχή και τέλος της, ο δε κύκλος είναι ταυτόχρονα άπειρος και πεπερασμένος. Δεν έχει πέρατα , αλλά ταυτόχρονα είναι περιορισμένος σε ορισμένο χώρο. Ταυτόχρονα ο Θεός είναι ένας διαχέεται δε μέσα στον κόσμο εκδηλωνόμενος είτε ως εντελέχεια των όντων είτε ως πολλές επιμέρους θεότητες. Ο Θεός συνδυάζει την ενότητα και την πολλαπλότητα. Τα πάντα προέρχονται από το ένα, από δε το ένα τα πάντα. Η θέση αυτή υπάρχει και στην Πυθαγόρεια αριθμοσοφία, αφού από την θεία μονάδα προκύπτουν όλοι οι αριθμοί , αλλά και οι αριθμοί μπορούν να επιστρέψουν στην αφετηρία τους, το ένα.

        Ο Πυθαγόρας, ανακαλύπτοντας τους άρρητους αριθμούς, έφερε την ύστατη εφαρμογή του νόμου της αντίθεσης, αφού ανακάλυψε ότι τα Μαθηματικά, κατ’ επέκταση δε ο κόσμος που αυτά συμβολίζουν συνδυάζουν τις δύο ακρότατες αντίθετες δυνάμεις, την τάξη και το χάος. Η διαπίστωση ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου δεν μπορεί να εκφραστεί με οποιοδήποτε ρητό αριθμό, ήταν μια συγκλονιστική εμπειρία για τους Πυθαγόρειους. Το μετρήσιμο συνδυάζεται με το άμετρο, το πεπερασμένο με το άπειρο και το απειροστό. Ένα πεπερασμένο μέγεθος όπως η√2 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα απείρων, χωρίς κανονικότητα δεκαδικών αριθμών. Από την τάξη των αριθμών προκύπτει χάος μπορούμε όμως να βεβαιώσουμε και το αντίθετο;

      Η ανακάλυψη των αρρήτων αριθμών σίγουρα ήταν μια τραυματική εμπειρία για τον Πυθαγόρα και την κλειστή μυστική κοινότητα των μαθητών του. Η προσπάθεια στήριξης της γνώσης, στην Μαθηματική νομοτέλεια και λογική κατέρρευσε μπροστά στο χάος που έσπειραν οι άρρητοι αριθμοί. Η πίστη , ότι ο θεός έκτισε τον κόσμο με βάση τον μαθηματικό λόγο κατέρρευσε. Ο κόσμος φαινόταν χωρίς κανονικότητα. Η πίστη στον Μαθηματικό , Θεό Λόγο ήταν ανεπαρκής. Εδώ βλέπουμε μια ουσιαστική διαφορά μεταξύ Ηράκλειτου και Πυθαγόρα. Ο πρώτος πάντοτε πίστευε στην ύπαρξη του θεϊκού νου , του Λόγου που με αυστηρή άτρεπτη και απαραβίαστη κανονικότητα δομή τον κόσμο σε ένα συνεχές γίγνεσθαι. Η δομή του Ηρακλειτικού Λόγου, ο τρόπος ενέργειας του δεν είναι εύκολα κατανοητός. Η φύση αρέσκεται στο να κρύβει τα μυστικά της κατά τον Ηράκλειτο, οστόσο το μεγάλο σχέδιο υπάρχει. Από την άλλη ο Πυθαγόρας ανακαλύπτει τον Λόγο στα Μαθηματικά, ένα δομημένο σχέδιο στηριγμένο στην πλέον αιτιοκρατική επιστήμη, αυτή των αριθμών...που οστόσο καταρρέει μέσα στο χάος που κρύβει στα σπλάχνα της.

      Κοινή πίστη και των δύο σοφών είναι ότι η γνώση είναι βίωμα και μύηση και όχι λεκτικό αναμάσημα γνώσεων και φλυαρία. Πηγή όμως της γνώσεως για τον Εφέσιο είναι η ενδοσκόπηση, η γνώση του όλου μέσω του μέρους, του κόσμου μέσω του εαυτού. Αν και δεν απερρίπτετο η άποψη αυτή από τους πυθαγορίους, η κοινοβιακή δομή της κοινότητας τους έφερε τον μύστη Πυθαγόρα ως την πηγή της γνώσης την οποία οι μαθητές έπρεπε να πάρουν από αυτόν.

     Η πίστη ότι υπάρχουν λίγοι μυημένοι , που αξίζει να καθοδηγούν το πλήθος είναι ένα ακόμη κοινό στοιχείο. Είναι γνωστή η ρήση του Ηράκλειτου ότι ο ένας αξίζει μύριους όταν είναι άριστος. Η κλειστή κοινότητα του Πυθαγόρα δομήθηκε πάνω σε παρόμοιο πρότυπο με επίκεντρο τον Σάμιο σοφό. Η σχολή ήταν κλειστή για τους αμύητους, ο δε Πυθαγόρας ο άριστος που ο λόγος του ήταν τεκμήριο αλήθειας, αφού κάτι θεωρείτο γνώση αν προερχόταν από αυτό. Η πίστη ότι μια ευνομούμενη πολιτεία πρέπει να κυβερνάται από άριστους φιλοσοφημένους πολίτες μας θυμίζει την αντίστοιχη θέση του Πλάτωνα. Βέβαια με τα σημερινά κριτήρια φαίνεται αντιδημοκρατική, όμως δείχνει την πίστη των αξιόλογων αυτών ανδρών ότι η γνώση και η φιλοσοφική κατάρτιση είναι εκ των όν ουκ άνευ για κάθε επίδοξο κυβερνήτη.

    Η ψυχή για τον Πυθαγόρα είναι ο θεϊκός σπινθήρας μέσα στον άνθρωπο, ένα κομμάτι του θεού που διαχεόταν μέσα στον κόσμο . Κάθε ψυχή περνούσε πολλές φάσεις ενσάρκωσης, σε μια πορεία τελείωσης. Η γέννηση δεν ήταν η αρχή της ψυχής ούτε ο θάνατος το τέλος. Κάθε γέννηση ένας σταθμός, μια δοκιμασία στον κόσμο της ύλης που θα μπορούσε να οδηγήσει σε καταξίωση και άνοδο στο πνευματικό στερέωμα. Παρόμοια ο Ηράκλειτος στο απόσπασμα 77 λέει ότι εμείς(οι άνθρωποι δηλαδή) ζούμε τον θάνατο των ψυχών και αυτές ζουν το δικό μας θάνατο δείχνοντας έτσι την πίστη του στην μετενσάρκωση. Όταν μια ψυχή ενσαρκώνεται, τότε ζει μέσα στην φυλακή της ύλης το σώμα. Είναι σαν να πεθαίνει, εφόσον παγιδεύεται στην ύλη. Όταν δε το σώμα πεθάνει , η ψυχή ζεί απελευθερωμένη μέχρι την επόμενη ενσάρκωση.  Η θεϊκή φύση της ψυχής, η ροπή της προς την αθανασία και τη θέωση, δείχνει τον προορισμό του ανθρώπου.Η τάση της ψυχής για ελευθερία άνοδο και θέωση, ομολογείται από τον Ηράκλειτο στ απόσπασμα 115. Σε αυτό αναφέρεται στην ύπαρξη λόγου , νομοτέλειας της ψυχής. Ο λόγος είναι αυτεξούσιος, αυξάνει μόνος του , οδηγώντας στην τελική ένωση με το όλο. Ακόμα στο απόσπασμα 45 δηλώνει ότι τα πέρατα της ψυχής είναι απροσπέλαστα.

        Ο Ηράκλειτος και ο Πυθαγόρας έχουν τελικά πολύ περισσότερα κοινά σημεία από ότι μια επιφανιακή εξέταση μπορεί να δείξει....

Συρακούσια το μεγαλύτερο πλοίο της ελληνικής αρχαιότητας

          .

Επιστημονικά και τεχνολογικά επιτεύγματα των αρχαίων Ελλήνων

         Υπερωκεάνεια , τάνκερς , αεροπλανοφόρα..... γιγάντια πλοία οργώνουν σήμερα τους ωκεανούς , εξοπλισμένα με δυνατές μηχανές που κάνουν το ταξίδι τους εύκολο και γρήγορο.Το μέγεθος τους τα κάνει να μοιάζουν με πλωτά νησιά. Ένα αεροπλανοφόρο για παράδειγμα , έχει μήκος 300 μέτρα , πλάτος 50 , μεταφέρει 60 αεροπλάνα και 4 χιλιάδες ναύτες. Ασφαλώς τα περισσότερα πλοία της αρχαιότητας θα φαίνονταν σαν μικρές βαρκούλες μπροστά του . Όμως κάθε κανόνας έχει και την εξαίρεση του . Το όνομα δε της εξαίρεσης είναι Συρακούσια , η «Κυρία των Συρακουσών »

         Ο τύρανος των Συρακουσών Ιέρωνας , (306-215 π.Χ. ) ανάθεσε στον ναυπηγό Αρχία την κατασκευή του μεγαλύτερου καραβιού που είχε δει ως τότε ο κόσμος.Το καράβι αυτό θα ήταν ταυτόχρονα ένα πλωτό φρούριο και ένα πλεούμενο παλάτι για τον βασιλιά. Ο Ιέρωνας που ήταν ματαιόδοξος, φιλοδοξούσε να καταπλήξει τον κόσμο με κάτι το ανεπανάληπτο.Κρίνετε από τα όσα θα διαβάσετε πιο κάτω αν το πέτυχε:

          Για την κατασκευή της Συρακούσιας , ο Αρχίας χρησιμοποίησε τόσο ξύλο , όσο θα χρειαζόταν για την κατασκευή 60 τριήρεων. Μια τριήρης ήταν ένα πολεμικό πλοίο της αρχαιότητας που είχε μήκος 37 μέτρα , πλάτος 5,2 μέτρα και συνολικό πλήρωμα 210-220 άντρες. Από τους άντρες αυτούς 170 ήταν κωπηλάτες και οι υπόλοιποι αποτελούσαν το ένοπλο προσωπικό του πλοίου. Σε κάθε πλευρά του πλοίου υπήρχαν 28 θέσεις κωπηλατών με τρεις κωπηλάτες και 3 κουπιά στην κάθε θέση εξ’ ου και το όνομα του πλοίου.

           Μια τριήρης ήταν ένα μεγάλο σχετικά καράβι.... όμως μπροστά στην Συρακούσια ήταν ένας νάνος. Η Συρακούσια είχε συνολικό μήκος 80 μέτρα . Για τη συναρμολόγηση της χρησιμοποιήθηκαν γιγαντιαία καρφιά βάρους μέχρι και 4,5 κιλά. Το τεράστιο καράβι είχε όχι ένα , όπως στα υπόλοιπα πλοία , αλλά 3 καταστρώματα. Το πάνω κατάστρωμα ήταν ένα ολόκληρο πλωτό κάστρο. Ήταν εξοπλισμένο με πολεμικές μηχανές , όπως εκτοξευτές λίθων ,σιδερένιες αρπάγες , βαλίστρες, πύργους και άλλες πολεμικές μηχανές που είχεαν κατασκευαστεί με σχέδια που είχε κάνει ο Αρχιμήδης.

Το κατάστρωμα αυτό φρουρούσε η προσωπική φρουρά του βασιλιά, αποτελούμενη από μερικές εκατοντάδες βαριά εξοπλισμένους επίλεκτους άνδρες. Το μεσαίο κατάστρωμα αποτελούσε το πλωτό....παλάτι του βασιλιά Ιέρωνα. Εκτός από τα πολυτελή διαμερίσματα της βασιλικής οικογένειας, στο κατάστρωμα αυτό υπήρχε ναός της θεάς Αφροδίτης με αφιερώματα και χρυσά αγάλματα. Υπήρχαν γυμναστήρια με λουτρά, δεξαμενή με ζωντανά ψάρια και βιβλιοθήκη. Για την βελτίωση της αισθητικής του , ορισμένοι χώροι του καταστρώματος αυτού είχαν διαμορφωθεί σε κήπους, στους οποίους υπήρχαν λουλούδια και μικρά αναρριχητικά φυτά. Μέσα στον πλωτό αυτό κήπο υπήρχαν διάδρομοι για να κάνει ο βασιλιάς τον περίπατο του. Ο χώρος είχε διακοσμηθεί με γλυπτά, πολύτιμους λίθους και άλλα εκθέματα που μόνο σε ένα πραγματικό παλάτι θα μπορούσε κάποιος να βρει. Σίγουρα ο Ιέρωνας , υπερόπτης όπως ήταν θα σκέφτηκε ότι το πλωτό παλάτι του θα ήταν αβύθιστο...  Στο τρίτο κατάστρωμα υπήρχαν , εκτός από τα διαμερίσματα του προσωπικού, φούρνοι για την ετοιμασία φαγητού , ξυλουργεία, στάβλοι για τα άλογα , δεξαμενές νερού , αντλιοστάσιο για μεταφορά νερού στα πάνω καταστρώματα , τεράστια αποθήκη τροφίμων που επαρκούσε για πολλούς μήνες , μύλοι και άλλα βοηθητικά εργαστήρια, που καθιστούσαν το πλοίο αυτό ένα πλωτό νησί

           Το μεγάλο αυτό καράβι δεν είχε μόνο πλεονεκτήματα αλλά και μειονεκτήματα. Ένα από αυτά ήταν ότι ήταν τόσο μεγάλο που κανένα λιμάνι της Μεσογείου δεν το χωρούσε να μπεί μέσα. Εξάλλου για την συντήρηση του ο Ιέρωνας έπρεπε να δαπανά πάρα πολλά χρήματα. Αυτός ήταν και ο λόγος που ο βασιλιάς των Συρακουσών χάρισε το πλωτό νησί του στον Πτολεμαίο, βασιλιά της Αιγύπτου. Ο τελευταίος άλλαξε το όνομα του καραβιού και το ονόμασε Αλεξάνδρεια. Το ταξίδι στην Αλεξάνδρεια ήταν το μοναδικό που έκανε ο πλωτός γίγαντας. Ο Πτολεμαίος δεν το χρησιμοποίησε ποτέ....

Ηράκλειτος και Γνωστικισμός

Η σύγκριση, θα γίνει παράλληλα με παρουσίαση των κυριοτέρων πτυχών του γνωστικισμού.Η θρησκευτικοφιλοσοφική αυτή κίνηση άκμασε  τους πρώτους μεταχριστιανικούς αιώνες. Οι γνωστικοί πίστευαν ότι έχουν δυνατότητα πρόσβασης στην γνώση με την αυτοέρευνα και την ενορατική μόρφωση.Η γνώση γιαυτούς έχει εσωτερικό και αποκαλυπτικό χαρακτήρα, προσφέρεται δε στους εκλεκτούς που είναι ικανοί να την δεκτούν ως βίωμα. Ο μυημένος μετά από κοπιώδεις γνωστικές προσπάθειες, με αντικείμενο έρευνας τον εαυτό του, φτάνει εντελώς ξαφνικά στον ενορατικό φωτισμό, την αποκάλυψη της υπέρτατης αλήθειας. Η αξιοσημείωτη αναφορά στην αυτογνωσία και την ενόραση ως πηγων της γνώσης για τους γνωστικούς, ταυτίζεται σε σημαντικό βαθμό με την αναφορά του αποσπάσματος 101 που προσδιορίζει ως πηγή γνώσης τον εαυτό.

     Βασική αρχή του γνωστικισμού είναι ο δυισμός, η πίστη στην ύπαρξη δύο θεμελιώδων, αλληλοσυγκρουόμενων δυνάμεων, του καλού και του κακού. Ενσάρκωση του κακού είναι η ύλη. Το υλικό σύμπαν και το ανθρώπινο σώμα είναι εξ’ ορισμού κακά, εφόσον προέρχονται από την ύλη. Η τελευταία δεν δημιουργήθηκε από το θεό αλλά από μια ατελή και κακή θεότητα τον δημιουργό. Ο Θεός , ως κατεξοχήν αρχέτυπο του καλού δεν μπορεί να δημιούργησε τον ατελή αυτό κόσμο, δηλαδή το κακό, γιατί έτσι είναι σαν να αυτοαναιρείται. Το υπέρτατο αυτό ον, το αρχέτυπο του καλού είναι εντελώς αφανέρωτο και άγνωστο στην ουσία του. Καμμιά περιγραφή δεν μπορεί να αποδοθεί σε αυτό, η μόνη δε γνώση περί αυτού είναι η γενική άγνοια. Σύμφωνα με την γνωστική μυθολογία, ο υπέρτατος θεός περιβάλλεται από 30 κύκλους, φρουρούμενους από ισάριθμους φρουρούς, που αποκαλούνται αιώνες. Ο υπέρτατος Θεός, οι κύκλοι και οι αιώνες, αποτελούν το Πλήρωμα της αλήθειας. Ο δημιουργός αυτού του κόσμου, αποτελεί αποκύημα του τελευταίου εξωτερικού αιώνα, της Σοφίας. Η Σοφία που τον γέννησε δεν τον αποδέκτηκε,γιατί ήταν κακός και ατελής.Οι γνωστικιστές δεν διευκρινίζουν ποιος ήταν ο πατέρας του δημιουργού. Ποιό κακό ον γονιμοποίησε την Σοφία όταν υπήρχε μόνο το πλήρωμα; Προφανώς και οι γνωστικοί δεν μπορούν να εξηγήσουν την εμφάνιση του κακού στον κόσμο αλλά αυτό είναι θέμα μιας άλλης συζήτησης.. Ο κακός ατελής θεός γέννησε τον υλικό κόσμο, κατ’εικόνα και ομοίωση του. Στον άνθρωπο όμως δεν υπάρχει μόνο το αρχέτυπο του κακού, δηλαδή η ύλη, αλλά η ψυχή και το πνεύμα. Το τελευταίο προέρχεται από το πλήρωμα,  έχει δε εγκλωβιστεί και ασφικτιά μέσα στην ύλη. Ως μέρος της θεϊκής ουσίας το πνεύμα  επιδιώκει να κατακτήσει την γνώση και να επανέλθει στο φυσικό του χώρο, το πλήρωμα. Κάτω από αυτό το πρίσμα ο Θεός της παλαιάς Διαθήκης θεωρήθηκε ως ο κατώτερος κακός θεός, το αποπαίδι της Σοφίας και όχι ο υπέρτατος Θεός.

Ο κακός δημιουργός μισεί τη γνώση γιαυτό και απαγορεύει στους πρωτόπλαστους να φάγουν από το ομώνυμο δέντρο που είναι στην μέση του παραδείσου.... Προφανώς η ιδέα της δημιουργίας του κόσμου είναι απαράδεκτη για τον Ηράκλειτο που πιστεύει πως αυτός είναι αιώνιος.

Είναι αξιοσημείωτο ότι ένα δεύτερο όνομα που χρησιμοποιούσαν οι γνωστικοί για το πνεύμα είναι ο σπινθήρ. Είναι φανερό ότι αυτό συνειρμικά μας θυμίζει τον Ηράκλειτο. Ο τελευταίος θεωρεί τον Λόγο ως καθαρό πυρ ταυτίζοντας το με το Θεό. Το θεϊκό στοιχείο του ανθρώπου είναι λοιπόν το πνεύμα, ουσιά ξηρότατη, φωτεινή και άριστη. Οι άνθρωποι θα πρέπει να ενωθούν με το Λόγο, με τον ίδιο τρόπο που για τους γνωστικούς το πνεύμα επιδιώκει να απελευθερωθεί από την ύλη και να επανέλθει στο φυσικό του χώρο το πλήρωμα. Αξίζει να επισημάνουμε τη συμφωνία Ηράκλειτου με τους γνωστικούς στην ύπαρξη του συμπαντικού νού, του Λόγου ως αρχής του σύμπαντος. Αν και ο Λόγος του Ηράκλειτου δεν είναι εξωκοσμικός, και διαφαίνεται ένας πανθεϊσμός στη φιλοσοφία του, είναι αξιοσημείωτη η κοινή πίστη των δύο θεωριών για την τάση του θεϊκού μέρους του ανθρώπου να ενωθεί με το ανώτατο ον.

     Ποιος όμως είναι ο ρόλος της Γνώσης ; Είναι η ελπίδα σωτηρίας του ανθρώπου. Όποιος την κατακτήσει μπορεί να απεγκλωβιστεί από τον υλικό κόσμο και να ενωθεί με το Πλήρωμα. Η Γνώση αποτελεί τον τρόπο απελευθέρωσης από την ύλη, ένα είδος ενορατικής θέασης του Πληρώματος. Ορισμένα γνωστικά συστήματα, επηρεασμένα από τον Χριστιανισμό, δεν αποδέχονται την ατομική λύτρωση αλλά ελπίζουν σε ένα προσωπικό λυτρωτή, που θα τους απελευθερώσει από την σκλαβιά της ύλης. Ο γνωστικιστικός Ιησούς, στον ρόλο του λυτρωτή, δεν αποτελείται από ύλη αλλά από πνεύμα. Με σημερινούς όρους μπορούμε να πούμε ότι τον έβλεπαν σαν ένα ολόγραμμα, μια οπτασία χωρίς υλική υπόσταση. Ο Μάνης, γνωστικιστής από την Περσία, υποστήριζε ότι αυτός που πραγματικά σταυρώθηκε στο σταυρό ήταν ο διάβολος και οι οπαδοί του, ενώ ο άυλος Ιησούς τους παρακολουθούσε. Οι Ιουδαίοι ξεγελάστηκαν και νόμισαν ότι σταύρωσαν τον Ιησού, ενώ ο εσταυρωμένος, ως υλικό σώμα ήταν μια ενσάρκωση του κακού, του διαβόλου. Παραλλαγές της πιο πάνω ιδέας υποστήριζαν οι Βασιλίδης, Μαρκίωνας και Βαλεντίνος. Ο Χριστιανισμός μετά την επικράτηση του τον τέταρτο αιώνα, καταδίωξε τις πιο πάνω ιδέες ως αιρετικές.Η ιδέα ενός λυτρωτή είναι άγνωστη για τον Ηράκλειτο, που πιστεύει σε ένα είδος αυτολύτρωσης.Η αναφορά του αποσπάσματος 63, που αναφέρεται σε ανάσταση νεκρών μπροστά σε εκείνων είναι ασαφές, δεν αποκλείεται δε να αποτελεί προσθήκη του Ιππόλυτου που το διάσωσε. Ακόμα δεν υπάρχει στον Ηράκλειτο αυτή η απέχθεια για την ύλη,  η τοποθέτηση της ως το υπέρτατο κακό, αφού ο Ηράκλειτος ξεπερνά την πάλη καλού και κακού.

  Οι μορφωμένοι γνωστικιστές σίγουρα δεν θα διαφωνούσαν με τη ρήση του Ηράκλειτου ότι για τις ψυχές είναι θάνατος να γίνονται υγρές. Στην θέση όμως της ψυχής θα έβαζαν την λέξη πνεύμα. Προφανώς και αυτοί θα έβλεπαν το σώμα ως τόπο εξορίας του πνεύματος, ως φυλακή που το κρατά μακριά από το φυσικό του χώρο δηλαδή το Πλήρωμα, ως χονδροειδές υλικό περίβλημα. Ακόμα δεν θα διαφωνούσαν με την άποψη του Ηράκλειτου για την πάλη των αντιθέτων. Η αντίθεση του καλού και του κακού, του φωτός και του σκότους θυμίζει την αντίστοιχη Ηρακλείτια θεώρηση. Εδώ όμως αρχίζουν και οι διαφορές, εφόσον οι γνωστικοί προσβλέπουν στην τελική επικράτηση του καλού, ενώ ο Εφέσιος φιλόσοφος δεν εστιάζεται στην επικράτηση του ενός των αντιθέτων, αλλά στην υπέρβαση τους. Το καλό και το κακό είναι για τον σκοτεινό φιλόσοφο οι δύο όψεις του ιδίου νομίσματος, συμπληρωματικές εικόνες του μεγαλύτερου πανοράματος. Δεν υπάρχει ορισμός του ενός χωρίς το άλλο καθώς όπως χαρακτηριστικά λέει στο απόσπασμα 23 « Το όνομα της δίκης δεν θα το γνώριζαν ( οι άνθρωποι} αν δεν υπήρχαν τα άδικα» . Εξάλλου ο διαχωρισμος σε καλά και κακά είναι σύμφωνος με την περιορισμένη ανθρώπινη οπτική, είναι δε σίγουρο για τον Ηράκλειτο ότι δεν ισχύει για το θεό αφού « Για το θεό όλα είναι ωραία και αγαθά και δίκαια ενώ οι άνθρωποι άλλα τα θεωρούν άδικα και άλλα δίκαια» Απεναντίας οι γνωστικοί μένουν στην αντίθεση, αδυνατώντας να φτάσουν στην υπέρβαση. Η εμμονή τους αυτή σίγουρα τους εμποδίζει να δούν τη συνολική ενότητα του κόσμου. Η μονόπλευρη θεώρηση της ύλης ως κακού σίγουρα δεν θα ενθουσίαζε τον Ηράκλειτο. Ο κόσμος δεν είναι άσπρο και μαύρο. Ακόμα, σύμφωνα με την ελληνική άποψη τίποτε δεν είναι εξολοκλήρου καλό ή κακό, αλλά τα πάντα εμπεριέχουν τα πάντα...

       Ακόμα ο Ηράκλειτος βλέπει την θεία ουσία ως την ενδελέχεια του υλικού κόσμου. Ο Θεός του Ηράκλειτου είναι παντού και τα πάντα, είναι ο νους που συνέχει το σύνολο του κόσμου,  είναι ολότητα και ενότητα. Είναι πιο κοντά στον άνθρωπο από τον απόκοσμο Θεό των γνωστικών. Ο Ηράκλειτος ξεπερνάει την διαμάχη καλού και κακού, άρα δεν έχει πρόβλημα να δει τον θεό ως μέρος αυτού του κόσμου. Η ιδέα ενός υπερκόσμιου θεού, καθολικά άγνωστου και απροσπέλαστου στον άνθρωπο δεν ταιριάζει στον Ηράκλειτο, όμως ανάγεται σε δόγμα από τους γνωστικούς στην προσπάθεια τους να εξηγήσουν την επικράτηση του κακού σε αυτή τη ζωή..

        Η γνώση ως σκοπός της ζωής του ανθρώπου, ως λυτρωτική ενορατική θέωση υπάρχει και στον Ηράκλειτο. Υπάρχει επίσης η ελιτιστική άποψη για το απροσπέλαστο της από την πλειοψηφία των ανθρώπων. Ενώ ο Λόγος είναι καθολικός, λέει ο μεγάλος Εφέσιος, οι περισσότεροι άνθρωποι ζουν σαν να χουν ιδιωτική σκέψη. Η αδυναμία της ανθρωπότητας να ενωθεί με τον συμπαντικό Λόγο, το Θεό, δεν θυμίζει την γνωστική άποψη για την φυλάκιση του πνεύματος στον κόσμο της ύλης; Αυτός ο απροσπέλαστος, ακατανόητος, απρόσιτος θεός των γνωστικών είναι το ίδιο άγνωστος στους ανθρώπους όπως και ο Λόγος του Ηράκλειτου.

       Σημαντική είναι η άποψη των γνωστικών ότι υπάρχει δυνατότητα αυτοπραγμάτωσης του ανθρώπου και συνάντησης του με τον Θεό χωρίς τη μεσολάβηση του Ιερατείου. Όπως ο Ηράκλειτος έζησε μια ζωή ασκητική, αναζητώντας μέσα του τον καθολικό Λόγο, έτσι και πολλοί γνωστικοί  με την ασκητική ζωή που έκαναν έξαχναν μέσα τους το πνεύμα, τον σκλαβωμένο θεό που προσπαθούσε να απελευθερωθεί από την ύλη. Αρκετές κοινότητες γνωστικών ζούσαν σε κοινόβια. Είχαν ως αρχή την κοινοκτημοσύνη των πάντων ακόμα και των γυναικών. Χαρακτηριστική είναι η περίπτωση των Καρποκρατικών της Αλεξάνδρειας, που έβλεπαν την παράβαση των νόμων και των ηθών της κοινωνίας ως μέσο για απελευθέρωση από τον κόσμο.

Η ιδέα ότι οι άνθρωποι μπορούσαν να ενωθούν με το Θεό μόνοι τους, περιφρονώντας τα θέσμια του κόσμου αντιμετωπίστηκε με οργή από το Χριστιανικό Ιερατείο, που κατηγόρησε τους γνωστικούς για σεξουαλική ελευθεριότητα και τους κυνήγησε.

      Η άποψη του Ηράκλειτου που εμφανίζεται στο απόσπασμα 20 ότι οι άνθρωποι αφήνουν πίσω τους παιδιά για να γίνουν και αυτά βορά του θανάτου, συμφωνεί με την απέχθεια των γνωστικών για τον κόσμο αυτό. Σίγουρα πολλοί γνωστικοί πίστευαν ότι δεν ήταν σωστό να έρχονται άνθρωποι σ’αυτό τον κόσμο, γιατί ένα μέρος του Πληρώματος εγκλωβιζόταν στον κόσμο αυτό, με την γέννηση . Ο θάνατος και όχι η γέννηση αποτελούσε λύτρωση, η μάλλον αρχή της λύτρωσης για το γνωστικό. Η απελευθερωμένη ψυχή, αφήνοντας το σώμα, άρχιζε το μεγάλο ταξίδι, μια πραγματική οδύσσεια για να φτάσει το πλήρωμα. Στο σημείο αυτό δεν μπορούμε παρά να θυμηθούμε το απόσπασμα 27 του σκοτεινού φιλοσόφου « Τους ανθρώπους τους περιμένουν μετά τον θάνατο όσα ούτε ελπίζουν ούτε φαντάζονται» Παρόλο που δεν διευκρινίζεται τι θα συναντήσουμε μετά το θάνατο, αυτά είναι σίγουρα φανταστικά και ανέλπιστα. Μήπως θα διαφωνούσαν με μια τέτοια διαπίστωση οι γνωστικοί; Ασφαλώς όχι. Η πορεία προς το Πλήρωμα, η απελευθέρωση από το υλικό σώμα θα ήταν σίγουρα μια πραγματικότητα  πέραν οποιασδήποτε φαντασίας. Οι γνωστικοί είχαν υιοθετήσει εσχατολογικές αντιλήψεις ανάλογες με τις χριστιανικές. Μετά το θάνατο καθαρτήρια και κολάσεις περιμένουν τις ψυχές που δεν έζησαν με το σωστό τρόπο σ’αυτή τη ζωή. Όσες δεν θα μπορέσουν να καθαρθούν θα ζήσουν ένα τελικό εκμηδενιστικό θάνατο, ενώ οι καθαρές ψυχές αποϋλοποιημένες και πλήρεις θεϊκού πνεύματος θα ζήσουν ενωμένες με το πλήρωμα στην αιωνιότητα.

      Ασφαλώς η γραμμική θεώρηση του χρόνου θα ξένιζε τον Ηράκλειτο. Προφανώς δεν υπάρχει εσχατολογική θεώρηση των πραγμάτων γιαυτόν, αλλά αέναη κυκλική επανάληψη. Η ύλη εκπυρώνεται, αλλάζει μορφές σαν τον Πρωτέα αλλά δεν καταργείται. Το σύμπαν δημιουργείται και καταστρέφεται αενάως. Οι γνωστικοί θα απέριπταν με απέχθεια τέτοιες δοξασίες. Η ιδέα ότι η ύλη  είναι αθάνατη, ισοδυναμεί με νίκη του κακού. Η ύλη στα έσχατα καταστρέφεται και εκμηδενίζεται παραμένει δε επανενωμένο, αιώνιο και φωτεινό το πλήρωμα στην αρχετυπική του δόξα....

Η μέτρηση του μήκους της γήινης περιφέρειας από τον Ερατοσθένη

Επιστημονικά και τεχνολογικά κατορθώματα των αρχαίων Ελλήνων.

Η ανακάλυψη του σχήματος και η μέτρηση του μήκους του μεσημβρινού της γης:

        Η γη μας είναι μια τεράστια σφαίρα. Περιστρέφεται γύρω από τον ήλιο , ολοκληρώνοντας μια περιστροφή σε ένα χρόνο , και γύρω από τον άξονα της σε 24 ώρες. Το σφαιρικό σχήμα της γης μπορούμε να το δούμε βλέποντας τις φωτογραφίες της που έστειλαν οι δορυφόροι και τα διαστημόπλοια . Μέχρι πριν 400 χρόνια οι άνθρωποι ζώντας μέσα στην αμάθεια πίστευαν ότι η γη ήταν επίπεδη , ότι ο ήλιος και τ’ αστέρια γύριζαν γύρω από την γη. Χίλια  χρόνια ζοφερού μεσαίωνα και προκαταλήψεων είχαν σβήσει την γνώση που είχε γεννηθεί στην κοιτίδα του πολιτισμού, την Αρχαία Ελλάδα. Εκεί πριν 2300 χρόνια ο άνθρωπος ανακάλυψε το σχήμα της γης και μέτρησε τις διαστάσεις της.

         Ο Αρίσταρχος έζησε στη Σάμο, μεταξύ του 320 και του 250π.Χ. Ασχολήθηκε με την αστρονομία σε όλη του τη ζωή. Πρώτος αυτός εξακρίβωσε και δίδαξε ότι η γη είναι σφαίρα και ότι περιστρέφεται γύρω από τον ήλιο.Ο τελευταίος αποτελούσε για τον Σάμιο αστρονόμο το κέντρο του σύμπαντος . Γύρω από τον ήλιο περιστρέφονταν οι 7 γνωστοί πλανήτες μαζί τους και η γη. Η αστρονομική ιδιοφυία του Αρίσταρχου είναι αξιοθαύμαστη αν σκεφτούμε ότι δεν είχε τα επιστημονικά μέσα που έχουν οι σύγχρονοι επιστήμονες. Οι άνθρωποι τότε δεν κατάλαβαν την θεωρία του και συνέχισαν να πιστεύουν ότι η γή είναι επίπεδη και ο ήλιος κινήται γύρω από αυτήν. 18 ολόκληρους αιώνες μετά τον Αρίσταρχο , ο Πολωνός αστρονόμος Νικόλαος Κοπέρνικος στο έργο του « Περι της κινήσεως των ουρανίων σωμάτων » ανακαλύπτει ξανά το ηλιοκεντρικό σύστημα . Ο Κοπέρνικος είχε μελετήσει αρχαίους Έλληνες συγγραφείς από τους οποίους πληροφορήθηκε για τις απόψεις του Αρίσταρχου , τις οποίες αποδέκτηκε και επέκτεινε......

           Οι αρχαίοι Έλληνες αστρονόμοι δεν ανακάλυψαν μόνο το γεγονός πως η γη είναι μια σφαίρα που κινήται γύρω από τον ήλιο. Η δόξα της μέτρησης των διαστάσεων της γης ανήκει σε αρχαίο Έλληνα επιστήμονα. Ο Ερατοσθένης που γεννήθηκε στην Κυρήνη ,  αποικία της Θήρας στην Β. Αφρική, το 276 π.Χ. Σπούδασε στην Αλεξάνδρεια και την Αθήνα κοντά στους διασημότερους δασκάλους της εποχής. Ασχολήθηκε με τα μαθηματικά , την φυσική , την γεωγραφία και την αστρονομία και έγραψε σπουδαία βιβλία.Ο Βασιλιάς της Αιγύπτου Πτολεμαίος ο Γ (246-222π.Χ.), ανάθεσε στον Κυρήνιο σοφό την διεύθυνση της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, της μεγαλύτερης βιβλιοθήκης του αρχαίου κόσμου. Ακόμα αναγνωρίζοντας την πολυμάθεια του, του ανάθεσε την διαπαιδαγώγηση του διαδόχου του Αιγυπτιακού θρόνου. Πολύ γνωστό είναι το κόσκινο του Ερατοσθένη που είναι μέθοδος εύρεσης πρώτων αριθμών. Δυστυχώς σώθηκε μόνο ένα μικρό μέρος των εργασιών του.

         Ο Ερατοσθένης μέτρησε το μήκος του μεσημβρινού της γης εκτελώντας το ακόλουθο πείραμα:

 Την ημέρα του θερινού ηλιοστασίου ( είναι η μέρα με τη μεγαλύτερη ηλιοφάνεια. Συμπίπτει με την 21^η Ιουνίου κάθε χρόνου ) , ο Έλληνας σοφός παρατήρησε ότι οι ακτίνες του ήλιου στην Συήνη ( σημερινό Ασσουάν ) φωτίζουν κατά το μεσημέρι τον πυθμένα των πηγαδιών και άρα πέφτουν κάθετα στη γη . Την ίδια μέρα και ώρα στην Αλεξάνδρεια, που βρίσκεται βόρεια της Συήνης , οι ακτίνες του ήλιου φωτίζουν τη γη υπό γωνία 7,2 μοιρών.Όπως φαίνεται και στο σχέδιο  , η γωνία που σχηματίζουν με την κατακόρυφο οι ηλιακές ακτίνες στην Αλεξάνδρεια είναι ίση με την επίκεντρο γωνία που αντιστοιχεί στο τόξο Συήνη-Αλεξάνδρεια. Η γωνία αυτή αντιστοιχεί , στο 1/50 της πλήρους γωνίας που είναι 360 μοίρες.  Η πλήρης γωνία συμπίπτει με τον κύκλο.

          Η απόσταση Συήνης Αλεξάνδρειας λοιπόν ισοδυναμούσε με το 1/50 της περιφέρειας της γης. Ο Ερατοσθένης ήξερε ότι η απόσταση αυτή ήταν ίση με 5040 στάδια , άρα υπολόγισε το μήκος του μεσημβρινού της γης σε 50 Χ 5040 = 252 000 στάδια. Αν υπολογίσουμε όμως ότι το αλεξανδρινό στάδιο ισοδυναμούσε με 157,5 μέτρα , τότε τα 252 000 στάδια ισοδυναμούν με 39 690 χιλιόμετρα. Σήμερα με τη χρήση των πιο συγχρόνων τεχνολογικών μέσων οι επιστήμονες υπολόγισαν το μήκος του μεσημβρινού της γης σε 40000 χιλιόμετρα. Η μέτρηση λοιπόν του Ερατοσθένη αποτελεί μια εκπληκτική προσέγγιση , αν σκεφτούμε τα μέσα της εποχής εκείνης. Ένα ακόμα κατόρθωμα του αθάνατου ελληνικού πολιτισμού.....