Η μαθηματική επαγωγή: Η εφαρμογή του domino effect στα Μαθηματικά

Οι μαθηματικοί έχουν αναπτύξει διάφορες μεθόδους απόδειξης. Μια τέτοια μέθοδος για απόδειξη προτάσεων  που αφορούν τους φυσικούς αριθμούς είναι η Μαθηματική ή Τελεία Επαγωγή. Μια διαισθητική κατανόηση της μεθόδου είναι αυτή της αντιστοίχησης της με το φαινόμενο ντόμινο. Θα περιγράψουμε την Μαθηματική Επαγωγή με το ακόλουθο παράδειγμα για να εννοήσουμε τη σύνδεση της με το φαινόμενο.

Έστω η ακολουθία των   αριθμών   1, 8, 27, 64, 125……..

Ποιοι είναι άραγε οι επόμενοι αριθμοί της ακολουθίας; Για να τους βρούμε πρέπει να ψάξουμε αν υπάρχει κάποιο μοτίβο στη σειρά των αριθμών. Για να το βρούμε αρκεί να παρατηρήσουμε ότι οι 5 αριθμοί που έχουμε γράψει είναι οι  κύβοι των διαδοχικών φυσικών αριθμών 1,2,3,4,5. Προφανώς λοιπόν ο 6^ος αριθμός της ακολουθίας είναι ο 6³ δηλαδή ο αριθμός 216, ο 7^ος είναι ο 7³ δηλαδή ο 343 κοκ. Ακολούθως διατυπώνουμε  την ακολουθία  γράφοντας εκτός από τους αρχικούς όρους το γενικό όρο της και τον όρο τάξεως ν+1 που τον ακολουθεί. Οι τελείες που έπονται του όρου τάξεως ν+1 δείχνουν ότι έχουμε μια ακολουθία με μη πεπερασμένο πλήθος όρων.

1³ , 2³, 3³, 4³, 5³…..ν³ , (ν +1 )³, …..

Ας υποθέσουμε ότι κάποιος θέλει να υπολογίσει το άθροισμα των ν πρώτων όρων της ακολουθίας των κύβων των φυσικών αριθμών σε συνάρτηση του φυσικού αριθμού ν δηλαδή θέλει να υπολογίσει το άθροισμα των ν πρώτων όρων της  σειράς που στη μαθηματική γλώσσα γράφεται ως εξής:

ν

Σ ρ³ = 1³ + 2³ +  3³ + 4³ + 5³…..+ ν³ 

1

Το κεφαλαίο γράμμα Σ προέρχεται από την αγγλική λέξη SUM που σημαίνει άθροισμα. Παρατηρούμε ότι:

Αν το ν ισούται με 1 το άθροισμα  ισούται με 1 δηλαδή: [1² . 2² ] / 4

Αν το ν ισούται με 2 το άθροισμα των δύο πρώτων όρων ισούται με 9 δηλαδή: [2² . 3² ] / 4

Αν το ν ισούται με 3 το άθροισμα των τριών πρώτων όρων ισούται με 36 δηλαδή: [3² . 4² ] / 4

Αν το ν ισούται με 4 το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων ισούται με 100 δηλαδή

[4² . 5² ] / 4

Θα μπορούσαμε άραγε να γενικεύσουμε την παρατήρηση αυτή και να πούμε ότι το άθροισμα των ν πρώτων κύβων ισούται με το ένα τέταρτο του γινομένου των τετραγώνων των διαδοχικών φυσικών αριθμών ν και ν +1 , δηλαδή ότι:

ν

Σ ρ³ =  ¼ [ ν² ( ν + 1 ) ²]

1

Αν και η παρατήρηση φαίνεται εύλογη εντούτοις δεν αποτελεί αδιάσειστη απόδειξη ακόμα και αν συνεχίσουμε να την επαληθεύουμε για μεγαλύτερα ν. Αποτελεί απλώς μια μαθηματική εικασία που πρέπει να αποδειχθεί. Αυτό γιατί υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί και όσες επαληθεύσεις και να κάνουμε πάντα υπάρχει η πιθανότητα ενός αντιπαραδείγματος. Για να αντιπαρέλθουμε αυτή τη φαινομενικά ανυπέρβλητη δυσκολία εισάγουμε την λεγόμενη επαγωγική υπόθεση.  Στην περίπτωση μας υποθέτουμε ότι για κάποιο τυχαίο φυσικό αριθμό κ ισχύει η πρόταση μας δηλαδή ότι:

κ

Σ ρ³ =   κ² ( κ + 1 )² / 4

1

Ακολούθως προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι η πρόταση μας ισχύει για ν=κ+1. Η κίνηση αυτή δεν είναι τυχαία. Αποτελεί την αναγκαία και ικανή συνθήκη για πυροδότηση του domino effect. Αφού αν η πρόταση μας ισχύει για δύο διαδοχικές τυχαίες τιμές και δεδομένου ότι υπάρχει η αρχική τιμή που επαληθεύει το συμπέρασμα, θα οδηγήσει την αλυσιδωτή επαλήθευση του συμπεράσματος για όλα τα επόμενα μερικά αθροίσματα όπως θα δείξουμε κατωτέρω. Το άθροισμα των (κ+1) πρώτων όρων είναι:

κ+1

Σ ρ³ =   [κ² ( κ + 1 )² / 4] + ( κ +1)³

1

Οι αριθμοί εντός της αγκύλης εμπίπτουν στην παραδοχή της επαγωγικής υπόθεσης με βάση την οποία δεχτήκαμε ότι:

1³ + 2³ + 3³ + … + κ³ = κ² ( κ + 1 )² / 4

Άρα κτίζοντας πάνω στην επαγωγική υπόθεση μπορούμε εύλογα να αποδείξουμε ότι:

κ+1

Σ ρ³ =   [κ² ( κ + 1 )² / 4] + ( κ +1)³ =  ( κ + 1 )²/4 [ κ² +4κ + 4 ] = [( κ + 1 )²  ( κ + 2)² ] /4

1

Προφανώς έχουμε αποδείξει ότι η πρόταση ισχύει για δύο τυχαίους διαδοχικούς αριθμούς, τον κ και τον κ+1 . Πώς μπορεί όμως αυτό να μας οδηγήσει στη γενική απόδειξη; Στο σημείο αυτό είναι βοηθητικό να σκεφτούμε τη Μαθηματική Επαγωγή σε αναλογία με μια σειρά από ντόμινο

τοποθετημένα όρθια το ένα πολύ κοντά στο άλλο. Αν σπρώξουμε το πρώτο στη σειρά ντόμινο, αυτό θα πέσει και θα παρασύρει στην πτώση το δεύτερο ντόμινο και αυτό με τη σειρά του το τρίτο και ούτω καθεξής, μέχρι να πέσουν όλα, όσα πολλά και αν είναι. Στην περίπτωση μας το πρώτο ντόμινο είναι ο έλεγχος της επαγωγικής υπόθεσης για την αρχική τιμή ν=1.

Αν θέσουμε λοιπόν κ = 1 προφανώς η πρόταση μας ισχύει 

Προφανώς όμως η πρόταση μας ισχύει και για ν = 2 αφού έχουμε αποδείξει ότι ισχύει για ν = κ+1 και έχουμε καταδείξει την ισχύ της για ν=κ=1

Τα ντόμινο έχουν αρχίσει να πέφτουν αλυσιδωτά και χωρίς σταματημό, αφού αν θέσουμε ότι κ=2 τότε η πρόταση ισχύει για  κ+1 δηλαδή για ν=3 . Αν θέσουμε κ=3 τότε προφανώς ισχύει για κ=4 κοκ. Για κάθε επόμενη τιμή «που πέφτει» δηλαδή επαληθεύεται αυτή παρασύρει στην «πτώση» της την επόμενη τιμή. Η επαγωγική αυτή επαλήθευση δεν έχει τέλος αφού διατρέχει όλο το άπειρο σύμπαν των φυσικών αριθμών. Η πρόταση έχει αποδειχτεί  επαγωγικά για κάθε ν που είναι φυσικός αριθμός.

Σε μαθηματική γλώσσα η τελεία επαγωγή αποτελείται από τα παρακάτω τρία βήματα:

1. Απόδειξη ισχύος της προς απόδειξη πρότασης για την αρχική τιμή της: δείχνουμε ότι η πρόταση P(ν) ισχύει για ν = 1,

2. Επαγωγική υπόθεση: υποθέτουμε ότι η πρόταση P(ν) είναι αληθής για κάποιο ν = κ, δηλαδή ότι ισχύει P(κ).

3. Επαγωγικό βήμα: χρησιμοποιώντας ως εφαλτήριο την επαγωγική υπόθεση προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι η πρόταση ισχύει για  ν = κ + 1 δηλαδή  ότι ισχύει P(κ + 1).

Αν αποδείξουμε το επαγωγικό βήμα τότε έχουμε καταφέρει να αποδείξουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για κάθε  φυσικό αριθμό αφού η δεδομένη ισχύς της για την αρχική τιμή ν = 1 δείχνει ότι  η πρόταση ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς καθώς όλοι τους είναι ίσοι με τον προηγούμενο αυξημένο κατά ένα και αποτελούν τα στοιχεία ενός ντόμινο που η πτώση του πρώτου παρασύρει κάθε επόμενο αριθμό σε πτώση.