Η τριγωνομετρική εξίσωση της τριτοβάθμιας εξίσωσης από τον Francois Viete

Για τη λύση της ελλιπούς τριτοβάθμιας, ο Franscois Viete¹ χρησιμοποίησε όχι μόνο αλγεβρικό, αλλά και τριγωνομετρικό μετασχηματισμό της εξίσωσης του Del Ferro. Ας δούμε λοιπόν την λύση που έδωσε

Έστω λοιπόν η εξίσωση χ³ =pχ+q   με p, q πραγματικούς αριθμούς και p>0

1^ος Μετασχηματισμός

Έστω p= 3 α² και q= α² β και άρα η εξίσωση μας παίρνει τη μορφή

χ³ =3 α² χ+  α² β        (1)

2^ος Μετασχηματισμός

Θέτουμε  cos θ = χ/2 α και αντικαθιστούμε τον τελευταίο μετασχηματισμό στην  

τριγωνομετρική ταυτότητα² 

cos³ θ = ¾ cos θ + ¼ cos 3θ

έχουμε:

(χ³/8 α³) = (3 χ / 8 α ) + ¼  cos 3θ

→ χ³ = 3 α² χ + 2 α³ cos 3θ             (2)

Συνδυάζοντας τις  εξισώσεις (1) και (2) που προκύπτουν από τους αντίστοιχους μετασχηματισμούς έχουμε:

α² β = 2 α³ cos 3θ

→ cos 3θ = β/2 α

→3θ = arc cos (β/2 α)

→ θ = ⅓ [arc cos (β/2 α)]

χ = 2 α cos θ

→ χ = 2 √ (p/3) cos { ⅓[arc cos ( 3 √3 q /2 p√ p )] }

Παραδείγματα επίλυσης  τριτοβάθμιας κατά Viete:

1^ον Παράδειγμα

 Έστω η εξίσωση χ³ = 20 χ + 25

p = 20 → α² = 20/3

→ α= 2 √ (5/3)

q = α² β → β = q / α² = 25/ (20/3)

→ β = 15/4

cos 3θ = β/2 α = (15 √3 ) / (16√ 5 )

cos 3θ = 0,726184377

3θ = 360 κ ± 43°, 43253656    και κ = 0,1,2

Για κ = 0, θ = 14°, 47751219  και θ = - 14°, 47751219 

Για κ = 1, θ = 134°, 47751219  και θ = 105°, 5224878

Για κ = 2, θ = 254°, 47751219  και θ = 225°, 5224878

Εφαρμόζουμε τις λύσεις της τριγωνομετρικής εξίσωσης  στον τύπο Χ = 2 α cos θ, που προκύπτει αν λύσουμε τον δεύτερο μετασχηματισμό ως προς Χ.

Χ1 = 2 α cos θ = 4 √ (5/3) . cos  14°, 47751219 

Χ1 = 5

Όμοια Χ1 = 5 για θ = - 14°, 47751219 

Χ2 = 2 α cos θ = 4 √ (5/3) . cos 134°, 47751219

Χ2 = - 3,618033983...

Όμοια Χ2 = - 3,618033983...για θ = 225°, 5224878..

Χ3 = 2 α cos θ = 4 √ (5/3) . cos 254°, 47751219

Χ3 = -1,381966019

Όμοια Χ3 = -1,381966019...για θ = 105°, 5224878..

2^ον Παράδειγμα

Έστω η εξίσωση χ³ = 19 χ - 30

p = 19 → α² = 19/3

→ α=  √ (19/3)

q = α² β → β = q / α² = - 30/ (19/3)

→ β = - 90/ 19

cos 3θ = β/2 α = (- 90 √3 ) / (38√ 19 )

cos 3θ = -0,941115095...

3θ = 360 κ ± 160°,239673339..     και κ = 0,1,2

Για κ = 0, θ =53°, 41322445,... και θ = - 53°, 41322445,...

Για κ = 1, θ = 173°,4132244...  και θ = 66°, 58677555...

Για κ = 2, θ = 293,413224433...  και θ = 186°, 586775567...

Εφαρμόζουμε τις λύσεις της τριγωνομετρικής εξίσωσης  στον τύπο Χ = 2 α cos θ, που προκύπτει αν λύσουμε τον δεύτερο μετασχηματισμό ως προς Χ.

Χ1 = 2 α cos θ = 2√ (19/3) . cos   53°, 41322445,...  

Χ1 = 3

Όμοια Χ1 = 3 για θ = -  53°, 41322445,...   

Χ2 = 2 α cos θ = 2 √ (19/3) . cos 173°, 41322445..  

Χ2 = - 5

Όμοια Χ2 = - 5 για θ = 186°, 586775567...

Χ3 = 2 α cos θ = 2 √ (19/3) . cos 293,413224433

Χ3 = 2

Όμοια Χ3 = 2 για θ = 66°, 58677555.....

Σημειώσεις

1. Ο Franscois Viete (1540-1603) ήταν Γάλλος Μαθηματικός με αξιοσημείωτο έργο στην άλγεβρα. Ήταν δικηγόρος, σύμβουλος των βασιλέων της Γαλλίας Ερρίκου 3^ου και 4^ου . Το μαθηματικό του έργο το ανέπτυσσε κατά τον ελεύθερο του χρόνο, ως πάρεργο. (hobby)

2. Ο τύπος  cos³ θ = ¾ cos θ + ¼ cos 3θ μπορεί να προέλθει ως ειδική περίπτωση του τύπου

cos ( φ + θ ) = cos φ cos θ -   sin φ sin θ.

Θέτοντας φ = 2 θ έχουμε

cos 3 θ = cos 2 θ cos θ  -   sin 2 θ  sin θ              (1)

Όμως cos 2 θ = cos² θ - sin² θ  και sin² θ = 1 - cos² θ

→ cos 2 θ = 2 cos² θ – 1   (2)

Επίσης sin 2 θ  = 2 sin θ cos  θ  (3)

Συνδυάζοντας τις προτάσεις (1), (2) και (3) έχουμε:

cos 3 θ = (2 cos² θ – 1 ) cos θ  -  2 sin² θ cos  θ   

→  cos 3 θ = 2 cos³ θ – cos θ  -  2 (1 - cos ² θ ) cos  θ 

→ cos 3 θ = 4 cos³ θ –  3 cos θ 

→   cos³ θ = ¾ cos θ + ¼ cos 3θ

Μ. Πόλης.

Πνευματικά Δικαιώματα: Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου της πιο πάνω εργασίας με αναφορά στο όνομα του συγγραφέα και της ιστοσελίδας 

Λόγοι του Ηράκλειτου, μέρος Θ

126)Τζέτζης σχολ. Εις εξήγησιν ΙΙ σελ 126

« Τα ψυχρά ζεσταίνονται, το θερμό ψύχεται, το υγρό ξηραίνεται, το ξηρό υγραίνεται »

Υπάρχει κυκλική εναλλαγή των καταστάσεων της ύλης. Η φυσική ροπή της θερμότητας, βέβαια, είναι από το ζεστό στο ψυχρό, όμως και η αντίθετη διαδικασία λαμβάνει χώρα. Για παράδειγμα , η φύση είναι πιο ψυχρή το χειμώνα, θερμαίνεται το καλοκαίρι, ξαναγίνεται ψυχρή το χειμώνα. Υπάρχει εναλλαγή των αντιθέτων, σε αλληλοδιάδοχους όμοιους κύκλους. Τα αντίθετα δεν είναι στατικά, αλλά το ίδιο σώμα σε διαφορετικές χρονικές περιόδους αλλάζει καταστάσεις. Παρόμοια κυκλική εναλλαγή υπάρχει και στις καταστάσεις της ύλης. Τα νερά της επιφάνιας εξατμίζονται και γίνονται σύννεφα, τα σύννεφα υγροποιούνται και γίνονται βροχή και ο κύκλος επαναλαμβάνεται αέναα.

Η πιο πάνω αναφορά θυμίζει τις σύγχρονες θεωρίες για τη θερμότητα και τη κίνηση. Η αύξηση της θερμοκρασίας ενός σώματος σημαίνει την αύξηση της κινητικότητας των μορίων του. Όταν το περιβάλλον είναι πιο ψυχρό από το σώμα που εξετάζουμε, μέρος της ενέργειας του σώματος ρέει προς το περιβάλλον μέχρι που οι θερμοκρασίες εξισωθούν. Αυτό κατά βάση σημαίνει μείωση της κινητικής ενέργειας των μορίων του σώματος και εξίσωση της με το περιβάλλον. Το αντίθετο συμβαίνει όταν το περιβάλλον είναι θερμότερο από το σώμα που εξετάζουμε. Τότε αυξάνεται η κινητική ενέργεια των μορίων του σώματος αφού αυτό παίρνει τώρα κινητική ενέργεια από το περιβάλλον.

Είναι αξιοσημείωτο να παρατηρήσουμε ότι ακόμα και πίσω από φυσικά φαινόμενα όπως η υγροποίηση, η εξάτμιση ή πήξη κρύβεται η αιώνια ηρακλείτια αρχή, δηλαδή η κίνηση. Η θερμοκρασία τροποντινά είναι το μέτρο της κινητικής κατάστασης της ύλης σε μοριακό επίπεδο. Ένα σώμα εξωτερικά ακίνητο, στερεό, σταθερό και αμετάβλητο αποτελείται από δισεκατομμύρια σώματίδια που ταλαντώνονται συνεχώς επιβεβαιώνοντας ότι η κίνηση είναι ο αμετάβλητος νόμος του σύμπαντος.

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑΤΑ ΑΜΦΙΒΟΛΟΥ ΠΡΟΕΛΕΥΣΕΩΣ:

       Εκτός από τα προαναφερθέντα αποσπάσματα υπάρχουν και άλλα, των οποίων η προέλευση είναι αμφίβολη. Αυτό που αμφισβητείται, κυρίως, είναι η πατρότητα τους και όχι η φιλοσοφία που εκφράζουν, η οποία απηχεί σε γενικές γραμμές τη φιλοσοφία του Ηράκλειτου. Με άλλα λόγια, είναι πιθανόν , κάποιοι σχολιαστές, να απόδοσαν δικά τους αποσπάσματα στον Ηράκλειτο, ή να παράφρασαν απόψεις του παρουσιάζοντας τις παραφράσεις ως τα αυτούσια λόγια του σκοτεινού φιλοσόφου. Τα αποσπάσματα αυτά θα παρατεθούν, και όπου χρειάζεται θα σχολιαστούν πιο κάτω.

1) Ανατόλιος, Περί δεκάδος, 36:

« Σύμφωνα με τον τρόπο που ρυθμίζεται ο χρόνος, η εβδομάδα ενώνεται με τη σελήνη, αλλά διαιρείται με τις άρκτους  που είναι σημάδια αθάνατης μνήμης »

      Ένας μέσος σεληνιακός μήνας ισούται με 29,5 ημέρες , το οποίο υπερβαίνει κατά 1,5 μέρες το τετραπλάσιο μιας περιόδου 7 ημερών. Είναι φανερό ότι ο συγγραφέας του αποσπάσματος προσπαθεί να συνδέσει τον αριθμό εφτά με την διάρκεια των φάσεων της σελήνης. Οι τελευταίες είναι τέσσερεις, και η διάρκεια κάθε μιας , περίπου είναι εφτά μέρες. Εφτά είναι και τα μεγαλύτερα αστέρια του αστερισμού της μεγάλης Αρκτου. Ο αριθμός 7, σύμφωνα με την πυθαγόρεια αριθμοσοφία είναι ιερός, γιατί δεν προέρχεται από κανένα των 10 πρώτων αριθμών, δεν είναι δηλαδή ούτε πολλαπλάσιο ούτε διαιρέτης κανενός, σχετίζεται μόνο με τη μονάδα, που θεωρείται ως το σύμβολο της ανεκδήλωτης, μίας , θείας πρώτης ουσίας.

      Ο νοητός κύκλος που προσδιορίζει τα όρια της πολικής ζώνης λέγεται αρκτικός. Προφανώς παίρνει το όνομα του από τις άρκτους τους υπερκείμενους αστερισμούς του βορείου ημισφαιρίου. Στην πολική ζώνη, επικρατεί σκότος για ένα εξάμηνο, φώς δε για το επόμενο. Επίσης οι φάσεις της σελήνης σηματοδοτούν ένα αέναο παιγνίδι φωτός και σκότους πάνω στην σεληνιακή επιφάνια. Από την πλήρη απουσία φωτισμού φτάνουμε στην πανσέληνο, και πάλι στην έλλειψη φωτισμού της σελήνης και πάλι.... Μιά αέναη διαδοχή φωτός και σκότους. Η συνεχής μεταβολή των μορφών να το κεντρικό μήνυμα του χωρίου. Η εναλλαγή και η συμπληρωματικότητα των αντιθέτων. Στην περίπτωση μας του φωτός και του σκοταδιού. Τα προαναφερθέντα αγγίζουν την ουσία της πραγματικότητας, του Λόγου, του υπέρτατου δηλαδή νου που εκφράζει την ανέκφραστη μια ουσία. Γιαυτό και η σύνδεση με τον ιερό αριθμό εφτά.

      Το πάντρεμα στοιχείων της πυθαγόρειας αριθμοσοφίας και της Ηρακλείτικης σκέψης είναι το στοιχείο που προσδιορίζει, ίσως, τη μη αυθεντικότητα του χωρίου. Τα πέραν της αριθμοσοφίας όμως στοιχεία του είναι σαφώς ηρακλειτικά.

            

2) Ανώνυμος, Εις Πλάτωνος Θεαίτητον:

« Κάθε πράγμα αυξάνει με διαφορετικό τρόπο, ανάλογα με τι του λείπει.»

       Το απόσπασμα αυτό έχει στοιχεία που σε πείθουν ότι εκφεύγει της κλασσικής ηρακλείτικης άποψης. Η έννοια της έλλειψης, της σταδιακής δε και ιδιόρυθμης αύξησης μέχρι αυτή να εκλείψει, εισάγει σε μια γραμμική θεώρηση των γεγονότων. Ο Ηράκλειτος όμως βλέπει τον κόσμο όχι γραμμικά, αλλά κυκλικά. Γιαυτόν δεν υπάρχει μόνον ανήφορος αλλά και ο κατήφορος. Δεν υπάρχει μόνο αύξηση αλλά και μείωση. Περιπλέον τα αντίθετα, για παράδειγμα η αύξηση και η μείωση, ο κορεσμός και η εκπύρωση, συντρέχουν, συνυπάρχουν και δεν έχουν χρονική απόσταση. Το χωρίο βλέπει την μονόπλευρη αύξηση των πραγμάτων, χωρίς να την αντιδιαστέλλει με τη μείωση που είναι το άλλο της μισό. ( Παράβαλε: ο ανήφορος και ο κατήφορος είναι ο ίδιος δρόμος ). Η έλλειψη, που οδηγείται στην πλήρωση με διαφορετικούς ρυθμούς, προεικονίζει ένα τέλος, όπως έχουμε ήδη πει. Μετά το τέλος όμως; Μήπως η συμπλήρωση φαίρνει απραξία; Αν κάθε πράγμα αυξάνεται όταν έχει έλλειψη, όταν επέλθει κορεσμός δεν εξυπονοείται η απραξία; Σε αυτή την περίπτωση έχουμε αντίφαση με τον ηρακλειτικό νόμο της αέναης αλλάγης. Τα πάντα ρει είπε ο Ηράκλειτος και δεν έθεσε χρονικά, τοπικά ή ποσοτικά ορόσημα στην αλλαγή αυτή. Η αρχή και το τέλος, δεν υφίστανται για τον Ηράκλειτο ως αξεπέραστα όρια, αλλά ως δικά μας ορόσημα, στην προσπάθεια μας να περιγράψουμε την αέναη πορεία......

3) Αριστόκριτος, Θεοσοφία 69:

« Ο ίδιος είπε στους Αιγυπτίους: « Αν είναι θεοί, γιατί τους θρηνείτε; Αν πάλι τους θρηνείτε, μην τους θεωρείτε πια θεούς»

και

4) Αριστόκριτος, Θεοσοφία 74:

« Ο Ηράκλειτος, βλέποντας τους Έλληνες να κάνουν προσφορές στους θεούς είπε: Προσεύχονται στ’ αγάλματα των θεών που δεν τους ακούουν ωσάν να τους άκουγαν, που δεν δίδουν τίποτα σαν να μην τους ζήτησαν ποτέ»

        Στα προαναφερθέντα αποσπάσματα καυτηριάζεται η τάση των περισσοτέρων ανθρώπων να συγχίζουν τον θεό με τα ομοιώματα του, δηλαδή τα αγάλματα και τις εικόνες. Ο Θεός, αν τον εξετάσει κανείς στην ουσία του είναι ο μέγας άνθρωπος. Όπως διαχρονικά μαρτυρεί η αποφατική θεολογία, ουσιαστικά δεν ξέρουμε τίποτε για το τί είναι ο θεός, ούτε εμπίπτει στην άμεση εμπειρία μας για να τον περιγράψουμε.

      Ο απλοϊκός άνθρωπος δεν αισθάνεται άνετα με αυτή την κατάσταση. Όπως ένα παιδί θέλει να ζεί κοντά στους γονείς του, να τους βλέπει, να τους αγγίζει , να αισθάνεται τη φροντίδα τους, έτσι και αυτός θέλει να αισθάνεται τον Θεό ως στοργικό πατέρα, προστάτη και φίλο του σε κάθε δύσκολη περίσταση. Για να το πετύχει αυτό προσδίδει ανθρωπομορφικά χαρακτηριστικά στον θεό. Τον εικονίζει σε εικόνες και αγάλματα. Προσπαθεί δε με διάφορες κολακείες, τάματα και προσφορές να κολακεύσει τον θεό, να μετατοπίσει πιθανή εκδίκηση του αλλού, να πετύχει με την εύνοια της θεότητας τις επιδιώξεις του. Διαχρονικά όλα τα ιερατεία των θρησκειών, εκμεταλεύτηκαν την ανθρωπομορφική αντίληψη των ανθρώπων για τους θεούς. Γιατί, βέβαια, ποτέ κανένα άγαλμα δεν ζήτησε προσφορές, ούτε βέβαια κατανάλωσε κάποια από τα αγαθά που της προσφέρθηκαν. Από την άλλη, για το διαχρονικό ιερατείο οι προσφορές αυτές ήταν ένα απο τα βασικά μέσα επιβίωσης τους.

          Ιδιαίτερα καυστικός ο συντάκτης του 3^ου αποσπάσματος μέμφεται τους Αιγυπτίους που θρηνούν τους θεούς. Είναι φανερό ότι οι θρηνούντες δεν γνωρίζουν το απαθές της θεότητας. Ο Θεός δεν έχει πάθη κατ’ επέκταση δε ούτε πονεί ούτε υποφέρει. Είναι αθάνατος και ως συνέπεια τούτου δεν πεθαίνει κατ’ επέκταση δε εφόσον δεν πεθαίνει ούτε ανασταίνεται. Αυτοί που τον θρηνούν δεν γνωρίζουν , έστω κατ’ ελάχιστον τις ιδιότητες της θεότητας, υποβαθμίζουν δε το θεό στα ανθρώπινα μέτρα. Έτσι αν θα θρηνούν τις θεότητες ας ξέρουν τουλάχιστον ότι αυτοί που θρηνούν μόνο κατ’ όνομα θεοί είναι.

      Η αναφορά στην προσευχή των πιστών στην άψυχη ύλη των αγαλμάτων, που ούτε ακούει τους πιστούς, ούτε συγκινείται από τα αιτήματα τους, όσο δικαιολογημένα και να είναι είναι διαχρονικά επίκαιρη. Αν ο Ηράκλειτος ζούσε 1300 χρόνια αργότερα από την εποχή του, πιθανόν να συνταυτιζόταν με το κίνημα των εικονομάχων. Αν ζούσε σήμερα, σίγουρα θα λοιδορούσε τη στάση των πιστών μπροστά στις εικόνες... Τις γονυκλισίες, τις προσευχές και τα αφιερώματα....Την πίστη του ανθρώπου ότι με παρακάλια μπορεί να μεταστρέψει τη θεία θέληση. Ότι υπάρχουν ομοιόματα τα οποία είναι περισσότερο ή λιγότερο θαυματουργικά από άλλα και άλλες συναφείς αντιλήψεις.

      Το πρώτο από τα δύο αποσπάσματα θεωρήθηκε νόθο γιατί παρουσιάζει τον Ηράκλειτο να μιλά στους Αιγυπτίους, ενώ δεν υπάρχει μαρτυρία για ταξίδι του σκοτεινού φιλόσοφου στην Αίγυπτο. Οι απόψεις όμως που παρουσιάζονται και στα δύο, δεν αφίστανται των θέσεων του φιλοσόφου, όπως αυτές παρουσιάζονται στο απ. 5. Στο απόσπασμα αυτό, του οποίου η γνησιότητα δεν αμφισβητείται, τονίζει τρία πράγματα:

Α) Αυτός που προσπαθεί να εξαγνιστεί με αιματηρές θυσίες, μοιάζει με αυτόν που δοκιμάζει να καθαριστεί από τη λάσπη με λάσπη.

Β) Αυτός που προσεύχεται στα αγάλματα ομοιάζει με αυτόν που μιλά στους τοίχους.

Γ) Ο προσκυνητής των εικόνων και των αγαλμάτων δεν γνωρίζει καθόλου, στην ουσία του, το θεό.

5) Διογένης ο Λαέρτιος VII 6:

«Ο Πυθαγόρας, ο γιος του Μνήσαρχου, αναζήτησε τη γνώση περισσότερο από κάθε άλλον. Επιλέγοντας ανάμεσα στα συγγράματα που συγκέντρωσε, έφτιαξε δική του φιλοσοφία, συρραφή πολλών γνώσεων, τέχνη απατηλή.»

     Μπορούμε να αντιπαραβάλουμε το απόσπασμα αυτό με τα γνήσια αποσπάσματα 40, 57,105. Μιλώντας για τη γνώση, μπορούμε να τη χωρίσουμε σε εξωτερική και εσωτερική. Η εξωτερική αποκτάται μέσω της μελέτης βιβλίων, την παρατήρηση, τη συστηματική προσπάθεια εύρεσης της νομοτέλειας που συνέχει, διοικεί και εξηγεί το φυσικό κόσμο. Αυτή η γνώση για τον Ηράκλειτο είναι μερική. Οι κάτοχοι της δεν αντιλαμβάνονται τη βαθύτερη νομοτελεία που συνέχει τα επιμέρους του κόσμου αυτού. Ποια είναι αυτή; Η βαθύτερη ενότητα των πάντων. Η ουσιαστική ενότητα και συμπληρωματικότητα των αντιθέτων. Η διάλυση του εγώ μέσα στην συμπαντική ψυχή. Η συνειδητοποίηση ότι ο εαυτός, είναι μέρος αξεδιάλυτο της ενότητας που λέγεται κόσμος. Ο μελετητής της επιφάνειας αφήνει το όλο για το μερικό. Η προσπάθεια του δεν φτάνει στην εσωτερική γνώση.

        Στο ανωτέρω χωρίο στόχος είναι ο Πυθαγόρας. Σε άλλα παρόμοια αποσπάσματα, γίνονται παρόμοιες αναφορές στον Όμηρο, τον Ησίοδο και άλλους. Η κατηγορία, εναντίον του Πυθαγόρα για εξωτερική γνώση, είναι υπερβολική και αβάσιμη. Αυτό γιατί ο Σάμιος σοφός δεν συστηματοποίησε το οικοδόμημα της μαθηματικής επιστήμης με τα θεωρήματα και την εξωτερική γνώση που κωδικοποίησε σε αυτά, αλλά μέσω της αριθμοσοφίας του οικοδόμησε ένα αξιόλογο εσωτερικό φιλοσοφικό σύστημα. Πολλές από τις βασικές θέσεις του συστήματος αυτού πλησιάζουν αντίστοιχες του σκοτεινού φιλοσόφου, όπως θα δούμε σε μεταγενέστερο σχετικό υποκεφάλαιο.

     Ακόμα, όπως έχουμε δεί σε γνήσιο απόσπασμα, ο Εφέσιος μύστης δεν αποκλείει, το αντίθετο μάλιστα, την απόκτηση γνώσης μέσω των αισθήσεων. Όσα μπορεί κανείς να τα δεί , να τα ακούσει , να τα μάθει, αυτά εγώ τα προτιμώ, μας λέει χαρακτηριστικά στο απόσπασμα 55. Πέραν όμως της γνώσης που προσφέρουν οι αισθήσεις υπάρχει γιαυτόν η ουσιαστική γνώση που προσφέρει η ενδοσκόπηση. Η έρευνα του εαυτού και μέσω αυτού, του κόσμου. Η επίκριση προς άλλους μεγάλους σοφούς της εποχής εκείνης προέρχεται πιθανότατα γιατί ο Ηράκλειτος πιστεύει πως αυτοί παραμέρισαν τον ουσιαστικό αυτό δρόμο προς τη μάθηση.

6) Γνωμολ. Manac. Lat. I  19.:

« Δεν αρμόζει να προκαλείς το γέλιο μέχρι του σημείου να φαίνεσαι ο ίδιος γελοίος.»

     Προφανώς δεν αποκλείεται το ευτράπελο από τη ζωή μας, ούτε πρέπει να είμαστε μονόπλευροι, μονόχνωτοι , σοβαροφανείς, και αγνοούντες το γέλιο ως τρόπο ζωής. Στον τομέα αυτό όμως, όπως και σε κάθε άλλο πρέπει να ισχύει το «παν μέτρο άριστο » Να είσαι ευχάριστος στους άλλους, να έχεις αίσθηση του χιούμορ ναι. Όχι όμως να καταντήσεις να εκπληπαρείς την προσοχή των άλλων γινόμενος γελωτοποιός. Ανεξάρτητα αν το απόσπασμα ειπώθηκε ή όχι από τον Ηράκλειτο εκφράζει μια σωστή άποψη. 

7) Γνωμολ. Paris., σημ. 209:

«Ο Ηράκλειτος έλεγε ότι η έπαρση ανακόπτει την πρόοδο»

   Ανεξάρτητα αν θεωρεί κανείς το απόσπασμα αυτό γνήσιο ή όχι, είναι φανερό ότι αυτό δεν αφίσταται γνωστών θέσεων του Ηράκλειτου, όπως αυτές διατυπώνονται στο γνήσιο απ. 43. Στο ρητό εκείνο ο Εφέσιος σοφός ανάφερε ότι τα αποτελέσματα της έπαρσης είναι χειρότερα από αυτά της πυρκαγιάς. Η έπαρση, σαν φωτιά καίει τη λογική και τη διάκριση κάθε ανθρώπου, γιαυτό ο καθένας πρέπει να φροντίζει να κατασβήνει το φλογερό αυτό πάθος.

        Από τη στιγμή που κάποιος γίνεται υπερόπτης κάθε πρόοδος του σταματά. Η υπεροψία, σαν παραμορφωτικός φακός που παρεμβάλεται μεταξύ της διάνοιας του επαρμένου και του κόσμου, τον κάνει να μην βλέπει καθαρά τον εαυτό του και τον κόσμο. Από την μια τείνει να υπερβάλει όσο αφορά την αποτίμηση των δικών του δυνάμεων. Απο την άλλη υποτιμά την αντικειμενική αξία των άλλων. Η πιο πάνω στρεβλή αντιμετώπιση της πραγματικότητας τον οδηγεί αναπόφευκτα σε λάθη. Η υπερεκτίμηση των δυνατοτήτων του οδηγεί στην ανάληψη έργων, στην ολοκλήρωση των οποίων δεν μπορεί, εξ’ αντικειμένου, να φτάσει. Από την άλλη η υποτίμηση πιθανών αντιπάλων, είναι σίγουρη συνταγή ήττας. Όποιος πετάει στα σύννεφα, έχει χάσει δηλαδή επαφή με την πραγματικότητα, μοιραία θα γκρεμοτσακιστεί στο έδαφος...

             Η πραγματική γνώση είναι συνυφασμένη με την ταπεινότητα. Όσο περισσότερο φτάνουμε στην αυτογνωσία, τόσο περισσότερο συνειδητοποιούμε τη μικρότητα μας απέναντι στο σύμπαν, το άπειρο, το Θεό. Σε αυτό το σημείο μπορούμε να δούμε τον σκοτεινό φιλόσοφο να πλησιάζει τη σωκρατική ρήση  «εν οίδα, ότι ουδέν οίδα » Η ουσιαστική γνώση, επέρχεται μόνο με τη συνειδητοποίηση της άγνοιας μας. Ο σοφός είναι ο ταπεινός μελετητής, χωρίς τίτλους και διπλώματα, που αγωνίζεται να κατακτήσει την γνώση χωρίς ούτε στιγμή να ξεχνά τις περιορισμένες δυνατότητες του. Είναι ερωτευμένος με τη γνώση, την αναζητά χωρίς να επιδιώκει να ικανοποιήσει καμμιά σκοπιμότητα. Συνειδητοποιώντας την άγνοια του, φτάνει σε μια ολική αντίληψη της γνώσης. Γνώση και άγνοια αποδεικνύονται, μέσω της αρμονίας των αντιθέτων ως ενότητα. Ο σοφός συνειδητοποιώντας με ταπεινότητα την άγνοια του φτάνει στη γνώση. Από την άλλη ο υπερόπτης, υπερεκτιμώντας τις (μερικές)γνώσεις του οδηγείται τελικά στην (ολική) άγνοια.

8) Γνωμολολ. Vatic. 743, σημ. 312:

« Οι τιμές υποδουλώνουν θεούς και ανθρώπους»

       Προφανώς αυτό το γνωρίζουν διαχρονικά οι κόλακες, οι οποίοι με διάφορες δωροδοκίες προσπαθούν να κερδίσουν την εύνοια των προϊσταμένων τους και να πετύχουν ευνοϊκή μεταχείριση. Ο άνθρωπος που κατέχει εξουσία αντιμετωπίζει σοβαρό κίνδυνο να υποδουλωθεί σε επιτήδειους, οι οποίοι με προσφορές επιδιώκουν και συχνά πετυχαίνουν τη χειραγώγηση του. Η ρήση ότι η εξουσία διαφθείρει έχει δυστυχώς περιεχόμενο. Είναι αξιοσημείωτο ότι ο Ηράκλειτος, απέρριψε τη βασιλική εξουσία της Εφέσου, για να αφοσιωθεί στην αναζήτηση της γνώσης. Αυτό δείχνει δύο πράγματα: Ότι πάνω από την εξουσία ιεραρχούσε τη γνώση και ότι γνώριζε τους κινδύνους που αντιπροσωπεύει η εξουσία για την ηθική υπόσταση του Ηγεμόνα. Ακόμα και αν το απόσπασμα δεν διατυπώθηκε από τον Εφέσιο σοφό, σίγουρα δεν αφίσταται της φιλοσοφίας του.

        Ο ηγέτης πρέπει να είναι απλός. Να επιδιώκει την κριτική, και να έχει τον κοινό νου να διακρίνει τους κόλακες για να τους απομονώσει. Όταν του προσφέρονται τιμές, ακόμα και αν τις αξίζει να τις αποποιείται με μετριοπάθεια. Να δηλώνει ότι τον αρκεί ότι εξυπηρέτησε το συλλογικό καλό και δεν δέχεται, εν ζωή τουλάχιστον οποιαδήποτε αμοιβή για τις κοινωφελείς πράξεις που έκανε. Όταν κάποιος ο οποίος έχει σχέση με την εξουσία ή συναλλάττεται με αυτή  του προσφέρει δώρο, όχι μόνο να μην το δέχεται, αλλά δημόσια να αποποιείται την προσφορά. Κανένας δεν προσφέρει οτιδήποτε αν δεν περιμένει αντάλλαγμα. Κανείς δεν μπορεί να κρίνει αντικειμενικά υπό την επίδραση της δωροδοκίας.

        Η αναφορά στους θεούς, οι οποίοι είναι επίσης επιρρεπείς στην δωροδοκία μέσω της απόδοσης τιμών είναι επίσης αξιοσημείωτη. Είναι γεγονός ότι ο Θεός, δεν ανταποκρίνεται στην ανθρώπινη κολακεία. Αυτό όμως δεν το γνωρίζει η πλειοψηφία των ανθρώπων, που τον αντιλαμβάνονται ανθρωπομορφικά. Πιστεύουν δε ότι με θυσίες, προσφορές και κολακείες μπορούν να εξαγοράζουν τα υπερφυσικά όντα. Την δεισιδαιμονία αυτή του όχλου διαχρονικά καλλιεργούν τα ιερατεία των διαφόρων θρησκειών. Αυτό γιατί οι αξιωματούχοι  αυτοί επωφελούνται των ( υλικών) προσφορών των πιστών και όχι η θεότητα στην οποία αυτές απευθύνονται. Έναντι της υλικής αυτής προσφοράς οι πιστοί υποτίθεται ότι παίρνουν κάποια ανταλλάγματα είτε στην παρούσα, είτε στην μέλλουσα ζωή. Το θρησκευτικό συναίσθημα εμπορικοποιείται, οι δε πονηροί εκμεταλλεύονται στο έπακρο την αφέλεια, την δυστυχία, την μιζέρια των απλών ανθρώπων για να τους πωλήσουν φύκια για μεταξωτές κορδέλες....

9) Γνωμολολ. Vatic. 313:

« Οι φαύλοι είναι αντίπαλοι των ανθρώπων που ξέρουν την αλήθεια.»

      Φαύλος είναι ο κακός, ο διεστραμμένος, ο αχρείος, ο ανήθικος άνθρωπος. Προσπαθεί δε με πλάγιους τρόπους, ψέματα, παραπλανητικές δηλώσεις, μισές αλήθειες να πετύχει τους ιδιοτελείς του σκοπούς. Πετυχαίνει δε τις επιδιώξεις του εκεί που περισσεύει η αμάθεια, η αφέλεια και η παραπληροφόρηση των ανθρώπων. Εκεί που δεν υπάρχει αντιπαράθεση αλήθειας και ψεύδους. Μέσα στο μισοσκόταδο της παραπληροφόρησης. Ο φαύλος αντιπαθεί τον φιλαλήθη άνθρωπο γιατί είναι σε θέση να αποκαλύψει το δικό του ψέμα. Η απάτη τότε μόνο αποκαλύπτεται αν έρθει σε αντιπαράθεση με την αλήθεια. Μέσα από την αντίθεση του χρηστού, του έντιμου πολίτη με τον φαύλο αναδεικνύονται τα χαρακτηριστικά και των δύο. Μόνο μέσα από την αντιπαράθεση των αντιθέτων μπορείς να δεις καθαρά, αυτό δε είναι καθαρή Ηρακλείτικη σκέψη. Τι μπορούμε άραγε να πούμε για τη γνησιότητα του αποσπάσματος; Τίποτε το θετικό. Ανεξάρτητα όμως από την ταυτότητα αυτού που είπε το λόγο αυτό, συνειδητά ή ασυνείδητα είχε επηρεαστεί από τον μεγάλο Εφέσιο.

10) Γνωμολολ. Vatic. 314:

« Η παιδεία είναι δεύτερος ήλιος για τους μορφωμένους »

       Ο ήλιος αναφέρεται σε πολλά χωρία του Ηράκλειτου. Το γεγονός αυτό κάνει το χωρίο που εξετάζουμε τώρα  μια πιθανή ρήση του φιλόσοφου της Εφέσου; Ας κάνουμε μια αναδρομή στις προηγούμενες ρήσεις για να πιθανολογήσουμε μια απάντηση. Στο απόσπασμα 3 { Τό πλάτος του ήλιου είναι ίσο μ’ ένα ανθρώπινο πόδι } δίνεται η υποκειμενική ανθρώπινη αντίληψη για τον κόσμο και τα μεγέθη του. Στο απόσπασμα 6 { Ο ήλιος κάθε μέρα είναι καινούριος } τονίζεται, με αφορμή την ανατολή του ήλιου, η αέναη κίνηση και αλλαγή των πραγμάτων. Στο απόσπασμα 94 { Ο ήλιος δεν θα ξεπεράσει τα καθορισμένα μέτρα ειδεμή θα τον βρουν οι Ερινύες, οι βοηθοί της δίκης } δηλώνεται η καθολική εφαρμογή, από θεούς και ανθρώπους, των φυσικών νόμων. Στο απόσπασμα 99 { Αν δεν υπήρχε ο ήλιος, όσο εξαρτάται από τ’άλλα άστρα θα ήταν νύκτα} τονίζεται η σημασία του ήλιου για το φωτισμό της γης. Ο ήλιος είναι ο πατέρας της μέρας στο φυσικό στερέωμα. Στο απόσπασμα 100 ο ήλιος ορίζεται σαν ο επόπτης και φύλακας των περιόδων του έτους. Ο ήλιος είναι λοιπόν κεντρικό σημείο αναφοράς, ένας ορατός φυσικός θεός που οριοθετεί τη ζωή μας στο υλικό στερέωμα. Κατ’ επέκταση θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι η μόρφωση, η γνώση είναι ένας ήλιος που φωτίζει το στερέωμα της πνευματικής αυτογνωσίας του καθενός μας; Είναι μια εύλογη μεταφορά. Σύμφωνα με τον Ηράκλειτο, ο Λόγος, ο συμπαντικός νους, το σχέδιο που κατευθύνει και συνέχει τον κόσμο είναι καθαρό πυρ. Το πυρ όμως δεν χαρακτηρίζεται μόνο από τη θερμότητα αλλά και από το φως. Ο φωτισμός , η μόρφωση νοείται ως η αδιαχώριστη ένωση του εγώ με τον πυρφόρο, φωτοδότη Λόγο. Ο θεός είναι φως και νόηση , κατ’ επέκταση δε η μόρφωση που οδηγεί στην γνώση είναι φωτισμός.  Είναι γνωστή η αναφορά των θεολόγων για το ιλαρό, το άκτιστο φως της θεότητας.Η πορεία προς τη γνώση σηματοδοτεί το τέλος του σκότους της άγνοιας. Υπάρχουν και άλλα φωτεινά σημεία στον πνευματικό ορίζοντα , μικρά άστρα, με ελάσσονα μόνο σημασία. Όπως τα άστρα δίνουν ένα φωτεινό στίγμα, αδυνατούν όμως να νικήσουν τη νύκτα, έτσι υπάρχουν θετικές δραστηριότητες και ποιότητες στον άνθρωπο, που όμως δεν διώχνουν το σκοτάδι της άγνοιας. Αυτό μπορεί να το κάνει μόνο η συστηματική, βιωματική, ισόβια παιδεία. Η απάντηση στο αρχικό ερώτημα είναι  θετική.Προφανώς η μόρφωση, η Παιδεία με την εσωτερική ηρακλείτια  διάσταση είναι ο φωτεινός ήλιος που φωτίζει το μορφωμένο στην πορεία του προς τη μόρφωση.

11) Γνωμολολ. Vatic. 315 :

« Ο συντομότερος δρόμος για ν’ αποκτήσεις  καλή φήμη είναι το να γίνεις καλός»

      Πώς θα μπορούσε η πιο πάνω πρόταση να συνδυαστεί με άλλες ρήσεις του Ηράκλειτου για το καλό και το κακό; Στο απόσπασμα 106 ο Ηράκλειτος ψέγει τον Ησίοδο που θεωρεί άλλες μέρες καλές και άλλες κακές γιατί δείχνει να μην αντιλαμβάνεται ότι όλες οι μέρες είναι οι ίδιες. Στο απόσπασμα 58 τονίζει ότι το καλό και το κακό αποτελούν ενότητα, τις δύο όψεις του ιδίου νομίσματος. Ο πόνος της θεραπείας, ένα οδυνηρό και εκ πρώτης όψεως κακό σύμπτωμα, είναι όμως αναγκαίος για τη θεραπεία και άρα μακροπρόθεσμα καλός. Η απάντηση είναι ότι είναι ασύνδετη. Ο Ηράκλειτος δεν ηθικολογεί, δεν είναι κράκτης του καλού αλλά βλέπει τη σχετικότητα του και την ενότητα του με το κακό. Προφανώς το απόσπασμα έμμεσα μας παροτρύνει να γίνουμε καλοί, αφού συνδυάζει το θετικό χαρακτηριστικό της καλής φήμης με την ιδιότητα του καλού. Δύσκολα θα μπορούσα να  σκεφτώ ότι ο Εφέσιος θα μας παρότρυνε να γίνουμε καλοί για να βελτιώσουμε τη φήμη μας. Τι θα σήμαινε για τον Ηράκλειτο η απόκτηση της ιδιότητας του καλού, αφού το σχετικοποιεί και το βλέπει ολιστικά σε σχέση με το κακό; Εφόσον φαίνεται να κινήται πέραν του δυισμού καλού και κακού, τότε είναι απίθανο να είναι δική του η ρήση αυτή. Προφανώς ο συγγραφέας της αποδίδει στον Ηράκλειτο κάποιες δικές του απόψεις.

12) ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΚΤΗΤΟΥ, BODL . σελ.71

« Οι ψυχές αυτών που σκοτώθηκαν στη  μάχη είναι καθαρότερες απ’τις ψυχές αυτών που πέθαναν από αρρώστια»

       Το απόσπασμα αυτό μπορούμε να το αντιπαραβάλουμε με τα γνήσια  αποσπάσματα 24 και 25. Σύμφωνα με το πρώτο όσοι σκοτώνονται στη μάχη τιμούνται από θεούς και ανθρώπους. Στο 25 αναφέρεται ότι όσοι πεθαίνουν για υψηλότερους σκοπούς παίρνουν μεγαλύτερες αμοιβές. Προφανώς οι νεκροί ήρωες των εθνικών αγώνων θα πρέπει εύλογα να είναι οι δέκτες των αμοιβών. Αυτό που δεν φαίνεται Ηρακλείτιο στο απόσπασμα, είναι η σύγκριση των ψυχών των νεκρών ηρώων, με τις ψυχές των νεκρών που πέθαναν από αρρώστια. Καμμιά διασύνδεση δεν υπάρχει μεταξύ των δύο ομάδων. Ούτε θα μπορούσα να φανταστώ τον μεγάλο Εφέσιο να αποδίδει την αρρώστια σε ένα είδος κατάρας ή θεϊκής ανταπόδοσης. Πως θα μπορούσε να συσχετισθεί η κατάσταση του σώματος με την καθαρότητα της ψυχής; Το απόσπασμα κατ’ εμένα δεν μπορεί να ανήκει στον σκοτεινό φιλόσοφο.

13) Στοβαίος, Εκλογαί  Ι  5, 15.

« Υπάρχουν πράγματα που είναι απόλυτα καθορισμένα από την μοίρα»

      Η άποψη αυτή δεν μπορεί να είναι Ηρακλείτια, γιατί ο φιλόσοφος της Εφέσου δεν είναι μοιρολάτρης αλλά πιστεύει στην ύπαρξη νομοτέλειας, συμπαντικού σχεδίου, μέτρων τα οποία ούτε θεοί ούτε άνθρωποι μπορούν να υπερβούν. Όπως φανερά αναφέρεται στο γνήσιο απόσπασμα 94, ο ήλιος δεν θα ξεπεράσει τα καθορισμένα μέτρα, διαφορετικά θα τον επαναφέρουν σε τάξη οι ερινύες, οι βοηθοί της δίκης. Στο απόσπασμα αυτό ο ήλιος φανερώνει τη θεότητα. Αν ο θεός δεν μπορεί να υπερβεί τους νόμους της φύσεως , πόσο μάλλον οι άνθρωποι. Η υπέρτατη ισχύς στο σύμπαν που διαφαντεύει θεούς και ανθρώπους είναι ο Λόγος, το συμπαντικό σχέδιο που καθορίζει την πορεία του γίγνεσθαι. Μια υπέρτατη διάνοια, ένας καθολικός νόμος μπορεί να μορφοποιεί τα όρια και την πορεία της εξέλιξης του σύμπαντος. Ο Ηράκλειτος είναι κοντά στην αιτιοκρατική και όχι τη μοιρολατρική ερμηνεία του σύμπαντος.

       Η αναφορά σε πράγματα που προκαθορίζονται από την μοίρα, εξυπονοεί την ύπαρξη πραγμάτων που δεν υπόκεινται σε αυτήν. Αυτή η άποψη επίσης δεν είναι Ηρακλείτια, εφόσον ο σκοτεινός πιστεύει στην καθολική ισχύ και εφαρμογή του Λόγου. Τα γνήσια αποσπάσματα 1 και 2 είναι αρκούντως αποκαλυπτικά και στο θέμα αυτό. Το πρώτο δηλώνει ότι τα πάντα γίνονται σύμφωνα με το Λόγο, τη συμπαντική νομοτέλεια. Το δεύτερο επαναβεβαιώνει την καθολική εφαρμογή του  Νόμου. Και τα δύο συνηγορούν ότι το αμφίβολο απόσπασμα 13 δεν ανήκει στον Ηράκλειτο.

14) COD. PARIS. 1630.

«Ποιο δρόμο ζωής να χαράξει κανείς; »

      Αξιόλογο ερώτημα. Αν ανήκει στον Ηράκλειτο δύσκολα μπορεί κανείς να υποθέσει. Οποιοσδήποτε άνθρωπος με φιλοσοφική διάθεση θα μπορούσε να το διατυπώσει. Από την απάντηση του, αν την είχαμε, θα μπορούσαμε να εκφέρουμε άποψη για την ταυτότητα του στοχαστή που το διατύπωσε.

15) CATAL.  CODD. ASTROL. GRAE. IV  32  VII 106.

«Η επιρροή των άστρων στον κόσμο φτάνει μόνο εκεί που επιτρέπει ο δημιουργός του »

       Η αναφορά σε δημιουργό των άστρων ( κατ’ επέκταση δε και του κόσμου) δεν είναι Ηρακλείτια. Για υποστήριξη της άποψης αυτής επικαλούμαι το γνήσιο απόσπασμα 30 που αναφέρει ότι τον κόσμο αυτό, που είναι ίδιος για όλα τα όντα δεν τον έπλασε κανείς, ούτε θεός ούτε άνθρωπος. Είναι αιώνια φωτιά που ανάβει και σβήνει παροδικά με μέτρο. Ο κόσμος του Εφέσιου σοφού δεν δημιουργήθηκε εκ του μηδενός όπως τον αντίστοιχο χριστιανικό. Υπήρχε και θα υπάρχει πάντα. Βέβαια σε ταχτά χρονικά διαστήματα καταστρέφεται και πάλι δημιουργείται από τα συντρίμια του. Σε ένα κυκλικά επαναλαμβανόμενο χωροχρόνο, όπως τον αντιλαμβάνεται ο Εφέσιος δεν υπάρχει ούτε αρχή, ούτε δημιουργός αλλά αιώνια κίνηση και αλλαγή των μορφών. Ενώ δε αυτές συνεχώς αλλάζουν η ύλη που τις αποτελεί παραμένει αναλλοίωτη και αιώνια. Οι συνδυασμοί αλλάζουν, η πρώτη ύλη παραμένει αναλλοίωτη.

       Ο συγγραφέας της πιο πάνω ρήσεως είναι επηρεασμένος από τον γραμμικό χριστιανικό χωροχρόνο, που όπως ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει αρχή και τέλος. Αρχή είναι η δημιουργία, τέλος η Δευτέρα παρουσία. Όποιος και να είναι σίγουρα έζησε αρκετούς αιώνες μετά τον Ηράκλειτο...

Φυσικοί αριθμοί τεσσάρων διαστάσεων

Ορισμός:

Κάθε φυσικός αριθμός που προκύπτει ως γινόμενο τεσσάρων διαφορετικών περιττών πρώτων, ονομάζεται Φυσικός Αριθμός τεσσάρων διαστάσεων

Έστω Π1, Π2, Π3, Π4  περιττοί πρώτοι  με 3 ≤ Π1 < Π2< Π3 < Π4

 και 

Π2 ≥ 5, 

Π3 ≥ 7, 

Π4 ≥ 11

Μαθηματική Πρόταση:

Κάθε Φυσικός αριθμός, που ανήκει στο απειροσύνολο* των  αριθμών τεσσάρων διαστάσεων είναι ατελής, δηλαδή είναι μεγαλύτερος από το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του.

Δηλαδή ζητείται να αποδειχθεί ότι:

Π1. Π2 . Π3 . Π4 > {[Π1. Π2. Π3  + Π1. Π2.Π4 +  Π1. Π3. Π4  + Π2. Π3.Π4 ]+  [ Π1.Π2 +  Π1.Π3  + Π1.Π4 +  Π2.Π3  + Π2.Π4 +  Π3.Π4 ] +[ Π1 +  Π2 + Π3 + Π4] + 1 }

Απόδειξη:

Έστω  Π1. Π2 . Π3 . Π 4 = Σ

Και

{ [Π1. Π2. Π3  + Π1. Π2.Π4 +  Π1. Π3. Π4  + Π2. Π3.Π4 ]+  [ Π1.Π2 +  Π1.Π3  + Π1.Π4 +  Π2.Π3  + Π2.Π4 +  Π3.Π2 ] +[ Π1 +  Π2 + Π3 + Π4] + 1 }= Σπ

Άρα:

Π1. Π2 . Π3 ≤ Σ/11    105

Π1. Π2 . Π4 ≤ Σ/ 7     165

Π1. Π3. Π4 ≤ Σ/ 5      231

Π2. Π3. Π4≤ Σ/ 3      385

Π1. Π2≤ Σ/ 77           15

Π1 . Π3 ≤ Σ/55           21

Π1 . Π4 ≤ Σ/35           33

Π2 . Π3 ≤ Σ/33           35

Π2 . Π4 ≤ Σ/21           55

Π3 . Π4 ≤ Σ/15           77

Π1 ≤ Σ/ 385                  3

Π2 ≤ Σ/ 231                  5

Π3 ≤ Σ/ 165                  7

Π4 ≤ Σ/ 105                11

1≤  Σ/ 1155                    1

                              

→  Σπ ≤  1149 Σ / 1155                       0,995    

     

Η πρόταση έχει αποδειχθεί

Παράδειγμα

Έστω ο αριθμός τεσσάρων διαστάσεων 1365. Να αποδειχθεί ότι είναι ατελής.

1365 = 3.5.7.13

Το σύνολο των γνησίων διαιρετών του 1365 περιλαμβάνει τους ακόλουθους αριθμούς:

Σπ = { 1 , 3 , 5, 7, 13, 15, 21, 35, 39, 65, 91, 105, 195, 273, 455 }

Το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του είναι:

1+3+5+7+13+15+21+35+39+65+91+105+195+273+455 = 1323

1323<1365 και 1323/1365 = 0,969230769... και άρα 1365 ατελής

Παράρτημα 1

Τετραψήφιοι αριθμοί τεσσάρων διαστάσεων

1155 = 3.5.7.11          2145 = 3.5.11.13        3315 = 3.5.13.17      4845 = 3.5.17.19     6555 = 3.5.19.23
1365 = 3.5.7.13          2805 = 3.5.11.17        3705 = 3.5.13.19      5865 = 3.5.17.23     8265 = 3.5.19.29
1785 = 3.5.7. 17         3135 = 3.5.11.19        4485 = 3.5.13.23      7395 = 3.5.17.29     8835 = 3.5.19.31
1995 = 3.5.7.19          3795 = 3.5.11.23        5655 = 3.5.13.29      7905 = 3.5.17.31
2415 = 3.5.7.23          4785 = 3.5.11.29        6045 = 3.5.13.31      9435 = 3.5.17.37    9177 = 3.7.19.23
3045= 3.5.7.29           5115 = 3.5.11.31        7215 = 3.5.13.37
3255 = 3.5.7.31          6105 = 3.5.11.37        7995 = 3.5.13.41      6783 = 3.7.17.19    7735 = 5.7.13.17
3885 = 3.5.7.37          6765 = 3.5.11.41        8385 = 3.5.13.43      8211 = 3.7.17.23    8645 = 5.7.13.19
4305 = 3.5.7.41          7095 = 3.5.11.43        9165 = 3.5.13.47
4515 = 3.5.7.43          7755 = 3.5.11.47
4935 = 3.5.7.47          8745 = 3.5.11.53        4641 = 3.7.13.17      5005 = 5.7.11.13
5565 = 3.5.7.53          9735 = 3.5.11.59        5187 = 3.7.13.19      6545 = 5.7.11.17
6195 = 3.5.7.59                                             6279 = 3.7.13.23      7315 = 5.7.11.19
6405 = 3.5.7.61                                             7917 = 3.7.13.29      8855 = 5.7.11.23
7035 = 3.5.7.67         3003 = 3.7.11.13         8463 = 3.7.13.31
7455 = 3.5.7.71         3927 = 3.7.11.17
7665 = 3.5.7.73         4389 = 3.7.11.19        7293 = 3.11.13.17
8295 = 3.5.7.79         5313 = 3.7.11.23        8151 = 3.11.13.19
8715 = 3.5.7.83         6699 = 3.7.11.29        9867 = 3.11.13.23
9345 = 3.5.7.89         7161 = 3.7.11.31

                                  8547 = 3.7.11.37
                                  9471 = 3.7.11.41
                                  9933 = 3.7.11.43

Παράρτημα 2

Οι περιττοί πρώτοι  αποτελούν σύνολο με πληθικό αριθμό μετρήσιμα άπειρο, ίσο με το άπειρο σύνολο των Φυσικών αριθμών. Οι συνδυασμοί τους ανά τέσσερις είναι επίσης άπειροι και άρα το πληθικό σύνολο του απειροσυνόλου των αριθμών τεσσάρων διαστάσεων είναι μετρήσιμα άπειρο.
Παρόλο που οι αριθμοί τεσσάρων διαστάσεων συγκροτούν υποσύνολο των περιττών αριθμών εντούτοις ο πληθικός αριθμός του υποσυνόλου αυτού είναι ίσος με τον πληθικό αριθμό του απειροσυνόλου των περιττών αριθμών, με τον ίδιο τρόπο που το απειροσύνολο των περιττών είναι πληθικά ισοδύναμο με το απειροσύνολο των φυσικών.

Η κατασκευή της σήραγγας του Ευπαλίνου στη Σάμο

       Η σημερινή τεχνολογία έχει να δείξει μεγάλα τεχνικά έργα . Αν , για παράδειγμα έχετε περάσει από το δρόμο Λεμεσού Πάφου , θα έχετε δει ότι ο δρόμος σχηματίζει μεγάλη σήραγγα που περνά μέσα από το βουνό. Στο εξωτερικό , υπάρχουν ακόμα μεγαλύτερα τεχνικά έργα. Μεγάλοι δρόμοι περνούν κάτω από τις Άλπεις και συνδέουν το βόρειο με το νότιο τμήμα της Ελβετίας. Η Αγγλία και η Γαλλία συνδέονται με υπόγειο αυτοκινητόδρομο παρ’ όλο που η πρώτη είναι νησί ! Η σήραγγα που ενώνει την γαλλική με την αγγλική ακτή περνά κάτω από το βυθό της θάλασσας.

       Θα μπορούσαν όμως να γίνουν όλα αυτά τα έργα χωρίς την δύναμη των σύγχρονων μηχανημάτων; Χωρίς την ύπαρξη εκσκαφέων , γιγαντιαίων τρυπανιών και δυναμίτη που αποτελούν τα πανίσχυρα όπλα των συγχρόνων μηχανικών; Ακόμα η διάνοιξη μιας μεγάλης σήραγγας , όπως και οποιουδήποτε άλλου μεγάλου μηχανικού εργού, απαιτεί την διεκπεραίωση δύσκολων μαθηματικών υπολογισμών , που γίνονται με την βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών. Η κατασκευή της μεγάλης σήραγγας του Ευπαλίνου στην Σάμο, χωρίς τεχνολογική υποστήριξη, είναι ένα έργο που προκαλεί το θαυμασμό ακόμα και σήμερα. Ας πάρουμε όμως τα πράγματα με τη σειρά:

        Το 520 π.Χ. ο τύρρανος της Σάμου Πολυκράτης ,έφερε στο νησί το Μεγαρέα μηχανικό Ευπαλίνο , με σκοπό να σχεδιάσει και επιβλέψει την κατασκευή υδραυλικών έργων με σκοπό την υδροδότηση της πρωτεύουσας του νησιού . Ο Ευπαλίνος είχε να αντιμετωπίσει το πρόβλημα της παρεμβολής του βούνου Άμπελος μεταξύ της πηγής και της πόλης Σάμου ( σημερινό Πυθαγόρειο ) .Πως θα μπορούσε να εξασφαλίσει την ροή του νερού προς την πόλη; Η πηγή βρισκόταν πολύ πιο χαμηλά από το βουνό , και έτσι η ροή του προς τη πόλη ήταν αδύνατη.

        Το σχέδιο του Ευπαλίνου χώριζε το αρδευτικό έργο σε 2 μέρη. Το εξωτερικό μέρος ξεκινούσε από την πηγή , στην σημερινή τοποθεσία Αγιάδες , και έφτανε μέχρι τις πρόποδες του βουνού Άμπελος. Αποτελείτο από ένα σύστημα αγωγών και ορυγμάτων μήκους 1800 μέτρων και αυτό ήταν το εύκολο μέρος.....

       Το δεύτερο και δυσκολότερο μέρος ήταν η διάνοιξη της σήραγγας μήκους μεγαλύτερου του ενός χιλιομέτρου  μέσα από τα έγκατα του βουνού. Δύο ομάδες εργατών έσκαβαν από τις 2 πλευρές του βουνού με σκοπό να συναντηθούν στην μέση. Τα 2 συνεργεία έπρεπε να προχωρούν σε ευθεία γραμμή χωρίς να παρεκλίνουν . Ένα λάθος μερικών μέτρων θα σήμαινε ότι οι 2 ομάδες δεν θα συναντιούνταν ποτέ και το έργο θα ναυαγούσε. Το λάθος όμως δεν έγινε και μετά από δέκα χρόνια επίπονων εργασιών η σήραγγα επιτέλους ανοίχθηκε και το φως από την μια πλευρά, πέρασε στην άλλη μεριά του βουνού. Οι 2 εικόνες  δείχνουν την τέλεια , σχεδόν χωρίς αποκλίσεις ευθύγραμμη πορεία της σήραγγας. Μια μικρή καμπύλωση της πορείας του αγωγού , υπάρχει μόνο σε σημεία που έπρεπε να παρακαμφθεί συμπαγής σκληρός βράχος.  Όταν τα 2 συνεργεία συναντήθηκαν στην μέση του βουνού, ο Ευπαλίνος πήγε να τρελαθεί από τη χαρά του. Αυτό που είχε πετύχει ήταν σχεδόν ακατόρθωτο....

           Η σήραγγα είχε συνολικό μήκος 1040 μέτρα , το δε ύψος και το πλάτος της ήταν περίπου 2 μέτρα.Στο δάπεδο της ανοίχτηκε τεράστιος αγωγός , ο οποίος με κατεύθυνση από βορρά προς νότο διέσχιζε τα έγκατα του βουνού και μετέφερε νερό στην πόλη μέσα σε κεραμικούς σωλήνες. Ο αγωγός ήταν κατωφερής , είχε δηλαδή μικρή κλίση με το νότιο μέρος να βρίσκεται πιο χαμηλά για να υπάρχει ροή του νερού προς την πόλη. Το νερό που έβγαινε από τη σήραγγα συγκεντρωνόταν σε υπέργειες ( ανυψωμένες ) δεξαμενές , και μετά διοχετευόταν στα σπίτια.

          Αποτελεί πραγματικό αίνιγμα για τους σύγχρονους μηχανικούς , με ποιο τρόπο ο Ευπαλίνος κατάφερε να οδηγεί τα συνεργεία επί 10 χρόνια χωρίς να λανθάνουν της ευθείας πορείας τους. Ας μην ξεχνούμε ότι τότε δεν υπήρχαν ούτε πυξίδες , ούτε ραντάρ για να βοηθήσουν στον εντοπισμό της θέσης του άλλου συνεργείου. Ο Μηχανικός από τα Μέγαρα πρέπει να βοηθήθηκε από οπτικές μεθόδους και από την καλή γνώση της γεωμετρίας. Το έργο του υδροδότησε τη Σάμο για πάνω από 1000 χρόνια και ακόμα και σήμερα σώζεται σε άριστη κατάσταση , θυμίζοντας μας τον πολιτισμό που πριν 25 αιώνες έκανε πράξη την τελειότητα...

Εικόνες του Ευπαλίνιου ορύγματος. Ο Ευπαλίνος δημιούργησε τη σήραγγα , μέσα από το βουνό Άμπελος για να υδροδοτήσει την πόλη της Χίου.

Ο υπολογιστής των Αντικυθήρων

         Η θάλασσα κρύβει στα ανήλιαγα βάθη της μεγάλα μυστικά. Αυτό θα σκέφτονταν οι σφουγγαράδες από την Σύμη , που στα 1901 ανακάλυψαν το ναυάγιο στα ανοικτά του μικρού νησιού Αντικύθηρα μεταξύ Πελοπονήσου και Κρήτης. Και αληθινά είχαν ανακαλύψει ένα θησαυρό. Ανάμεσα στα αντικείμενα που ήρθαν στο φως ήταν ένα σύνολο πλακών, γραναζιών και μικρών τροχών,  μισοφαγωμένων από την αρμύρα της θάλασσας. Ένα αινιγματικό αντικείμενο που ανάτρεπε όσα πίστευαν οι ιστορικοί για την ανάπτυξη της τεχνολογίας στην αρχαιότητα.

         Αν διαβάσατε πότε για τα ρολόγια και την ιστορία τους, θα γνωρίζετε  ότι τα πρώτα μηχανικά ρολόγια , με γρανάζια και οδοντωτούς τροχούς, κατασκευάστηκε γύρω στα 1000 μ. Χ.Πριν από την χρονολογία αυτή υπήρχαν απλά ρολόγια , με υποτυπώδεις μηχανισμούς , όπως οι κλεψύδρες, τα ηλιακά ρολόγια κ.λ.π. Η ανακάλυψη όμως του υπολογιστή ανάτρεψε την πιο πάνω άποψη. Γιατί οι δύτες δεν είχαν ανακαλύψει ένα απλό ρολόι, αλλά ένα μοναδικό εύρημα που δεν έχει ποτέ βρεθεί ξανά στον κόσμο και του οποίου η αξία , επιστημονική και ιστορική , είναι τεράστια.

         Για 20 ολόκληρα χρόνια , από το 1955 μέχρι το 1975 , Έλληνες και Βρετανοί επιστήμονες εξέταζαν τον υπολογιστή και θαύμαζαν την τελειότητα της κατασκευής του. 27 διαφορετικά γρανάζια , μικρά και μεγάλα , συνδεδεμένα με οδοντωτούς τροχούς συγκροτούσαν ένα μηχανισμό που η λειτουργία του άγγιζε την τελειότητα. Μια χειρολαβή μπορούσε να θέσει σε κίνηση τα γρανάζια , που μέσω των οδοντωτών τους τροχών έκαναν το σύστημα να λειτουργεί με τελειότητα. Οι κατασκευαστές του οργάνου είχαν θέσει σε εφαρμογή ένα εκπληκτικό σχέδιο , που ακόμα και η αντιγραφή του στο χαρτί δείχνει άριστη γνώση της μηχανικής και της γεωμετρίας. Η ακρίβεια της λειτουργίας του ξεπερνούσε τουλάχιστον 1000 χρόνια την εποχή του. Ο Ντέρεκ ντε Σόλα Πράις , ειδικός στους ωρολογιακούς μηχανισμούς της αρχαιότητας , αναφέρει ότι ο υπολογιστής ( βλέπε πρώτο σχέδιο) αποτελεί τον πιο πολύπλοκο μηχανισμό που δημιουργήθηκε στον κόσμο, τουλάχιστον ως το 1200 μ.Χ.

         Ποια όμως ήταν η χρησιμότητα του υπολογιστή ; Οι επιστήμονες υπολογίζουν πως ήταν ένα αστρονομικό όργανο μεγάλης ακρίβειας. Με αυτό υπολόγιζαν τις φάσεις της Σελήνης, τις κινήσεις της γης και του ήλιου και έκαναν υπολογισμούς. Δεν αποκλείεται να πρόβλεπαν τις εκλείψεις του ήλιου και της Σελήνης, να μετρούσαν τον χρόνο ανάμεσα στις ισημερίες και τα ηλιοστάσια, να μετρούσαν την αέναη ροή του χρόνου......

          Ποιοί όμως κατασκεύασαν τον μηχανισμό και πόσο αρχαίος είναι ; Ο Πράις σε συνεργασία με το ίδρυμα πυρηνικών ερευνών «Δημόκριτος» χρονολόγησε το εύρημα με την μέθοδο του άνθρακα 14 , που έδειξε ότι πρέπει να κατασκευάστηκε μεταξύ του 95 και του 65 π.Χ. Είναι πιθανόν να δημιουργήθηκε στην σχολή του Ποσειδώνιου στην Ρόδο. Ο τελευταίος διατηρούσε σχολή στο νησί αυτό , και είχε την φήμη μεγάλου αστρονόμου , γεωγράφου , φυσικού και φιλόσοφου. Έγραψε 26 έργα που δυστυχώς δεν διασώθηκαν.

         Αν καμιά φορά πάτε στην Αθήνα ,περάστε από το Εθνικό Μουσείο . Εκεί βρίσκεται ένα από τα 2 αντίγραφα του υπολογιστή των Αντικυθήρων , που κατασκεύασε ο Πράις και δώρισε στην Ελλάδα. Το πρωτότυπο , στην αρχική του μορφή όπως κατασκευάστηκε πριν 2100 χρόνια πρέπει να είχε την μορφή που φαίνεται στο σχήμα β .

Στο μουσείο μπορείτε να δείτε 3 τμήματα του αρχικού μηχανισμού , που έχουν συντηρηθεί και κοσμούν τις βιτρίνες. Φαίνονται τα κατάλοιπα των τροχών και οι θέσεις όπου εφάρμοζαν τα καρφιά που συγκροτούσαν τον μηχανισμό. Παρ’ όλα τα χρόνια και την σκουριά που συσσωρεύτηκε , δεν μπορούμε παρά να θαυμάσουμε την αριστοτεχνική σύλληψη και κατασκευή του....

        Τελειώνοντας τον σημερινό μας περίπατο στα μονοπάτια της αρχαιοελληνικής μας κληρονομιάς , δεν μπορούμε παρά να εκφράσουμε την περηφάνια μας που είμαστε οι κληρονόμοι ενός τόσο μεγάλου πολιτισμού , και την ελπίδα ότι θα σταθούμε αντάξιοι του.

Λόγοι του Ηράκλειτου μέρος Η΄

89)  Πλούταρχος, Περί δεισιδαιμονίας 3, 166c

« Για τους ξυπνητούς ο κόσμος είναι ένας και κοινός, ενώ ο καθένας από τους κοιμισμένους καταφεύγει στο δικό του κόσμο»

Ενώ οι άνθρωποι που βρίσκονται σε εγρήγορση αντλούν εικόνες, ήχους, μυρωδιές και γεύσεις από τον περιβάλλοντα, κοινό για όλους σύμπαν , αυτοί που κοιμούνται απομονώνονται στο σύμπαν του προσωπικού τους υποσυνειδήτου. Αυτό απελευθερώνεται την ώρα του ύπνου και διαχέεται στα όνειρα μας. Τα τελευταία τα βλέπουμε μόνο εμείς, ενώ τις εμπειρίες μας , όταν είμαστε ξύπνιοι μπορούμε να τις μοιραστούμε με τους άλλους. Ο κόσμος των ονείρων δεν είναι πραγματικός, δεν έχει υπόσταση πέραν από το υποκείμενο που τα βλέπει. Αποτελούν το προσωπικό μας κόσμο, καμωμένο από υλικό του προσωπικού μας υποσυνείδητου κόσμου.

      Σε προέκταση των πιο πάνω, μπορούμε να πούμε ότι ο άνθρωπος που δεν είναι ενωμένος με το Λόγο, την εκφραση του  συμπαντικού νόμου και νου, έχει τόση επαφή με την πραγματικότητα, όσο έχει το όνειρο με τον πραγματικό κόσμο , ο κοιμισμένος με την πραγμάτικότητα. Αυτός που δεν κατέχει την συμπαντική σοφία, έστω και αν έχει επιμέρους γνώσεις και εμπειρίες, είναι όπως αυτόν που κοιμώμενος ζει μέσα στο όνειρο.

94)Πλούταρχος, Περί φυγής ΙΙ  604^α

«Ο ήλιος δεν θα ξεπεράσει τα καθορισμένα μέτρα. Ειδεμή θα τον βρούν οι Ερινύες, οι βοηθοί της δίκης. ( Για να τον επαναφέρουν σε τάξη )

Το σύμπαν υπακούει σε φυσικούς νόμους, η παραβίαση των οποίων είναι αδύνατη. Σε αντίθεση με τον χριστιανισμό που δέχεται ότι ο θεός , σε εξαιρετικές περιπτώσεις όταν θαυματουργεί, μπορεί να αναστείλει την λειτουργία των νόμων της φύσης , ο Ηράκλειτος δέχεται ότι οι νόμοι αυτοί δεν μπορούν να παραβιαστούν ούτε από τους ανθρώπους ούτε από τους θεούς. Η τήρηση των νόμων αυτών είναι ουσιώδης για την ύπαρξη δυναμικής ισορροπίας μεταξύ των αντιθέτων τάσεων και δυνάμεων που κινούνται και αντιπαλεύουν στο σύμπαν.

     Ο Υπέρτατος θεός του Ηράκλειτου είναι ο Νόμος που καθορίζει την πορεία των υλικών και των άυλων δυνάμεων, των ανθρώπων και των Θεών. Οι τελευταίοι μοιάζουν με τους μονάρχες των οποίων η εξουσία περιορίζεται από το Σύνταγμα, που ως υπέρτατος Νόμος υπερέχει τόσο του άρχοντα, όσο και των αρχομένων. Από την άλλη, ο Θεός της παλαιάς διαθήκης, μοιάζει με απόλυτο άρχοντα, που διοικά μόνος, χωρίς καμμιά δύναμη να περιορίζει την εξουσία του. Μια τέτοια ανεξέλεκτη εξουσία δεν πρέπει να γίνεται αποδεκτή γιατί είναι ανεξέλεκτη, νομιμοποιούμενη μόνο, από τη δύναμη και τη βία.

      Πέραν των φυσικών νόμων, αξιοσημείωτη είναι η πίστη του Ηράκλειτου σε ένα απόλυτο σύστημα δικαιόσυνης, με καθολική εφαρμογή που ρυθμίζει τα του κόσμου με ακρίβεια, ισομέρεια και υποδειγματική αμεροληψία. Το σύστημα αυτό θα ήταν καλό να τεθεί ως παράδειγμα, για την ανθρώπινη δικαιοσύνη, που απέχει πολύ από του να έχει τα πιο πάνω χαρακτηριστικά. Όπως χαρακτηριστικά αναφέρεται και στο απόσπασμα 114, οι ανθρώπινοι νόμοι πρέπει να τρέφονται , δηλαδή να έχουν ως πρότυπο τους θείους.

       Αν όμως ούτε Θεοί ούτε άνθρωποι δεν μπορούν να υπερβούν τους νόμους που πάει η ελευθερία ως χαρακτηριστικό; Ούτε εξαφανίζεται αλλά ούτε γίνεται απόλυτη ασυδοσία. Αυτό φαίνεται και στα φυσικά φαινόμενα. Οι νόμοι είναι πιθανοκρατικοί. Προβλέπουν τις πιθανότητες διαφορετικών αποτελεσμάτων ποτέ τα ίδια τα αποτελέσματα. Ο απόλυτος ντεντερμινισμός δεν ισχύει, αλλά ούτε και η θεωρία του χάους. Από την αιτιοκρατία προκύπτει το χάος και αυτό ενίοτε αναδιαμορφώνεται σε τάξη. Η ελευθερία περιορίζεται από κανόνες, που ορίζουν τα πλαίσια επιλογής μας σε κάθε περίπτωση. Το πόσο περιθώριο επιλογών μας αφήνουν είναι θέμα μιας άλλης μεγάλης συζήτησης.

       

95) Πλούταρχος, Συμποσιακών προβλημάτων ΙΙΙ  pr. 1, 644f

« Την αμάθεια του καλύτερα να την κρύβει κανείς, παρά να τη βγάζει στην αγορά»

       Όποιος παριστάνει τον επαϊοντα σε ένα θέμα , το οποίο αναπτύσσει χωρίς να ξέρει, καταντά περίγελο αυτών που τον ακούουν και είναι πραγματικά γνώστες. Είναι χαρακτηριστικό των φρονίμων ανθρώπων « να μην βγάζουν τη γλώσσα τους περίπατο » όταν δεν ξέρουν , αλλά σιωπηλοί , προσεκτικοί και με δίψα γνώσεως να ακούουν αυτά που δεν ξέρουν από τους ειδικούς. Ακόμα οι φρόνιμοι δεν αγαπούν την πολυλογία, αλλά με λίγα λόγια και επιγραμματική λιτότητα λένε πολλά. Ο Ηράκλειτος όπως έχει πει σε άλλο χωρίο του , απεχθάνεται τη φλυαρία. Αντιθέτως πολλοί αμαθείς χαρακτηρίζονται από θρασύτητα, εγωισμό και τάσεις αυτοπροβολής της ανύπαρκτης γνώσης τους.

      Υπάρχουν βέβαια και οι πονηροί, οι οποίοι ακολουθούν το δόγμα  «μεταξύ των τυφλών βασιλεύει ο μονόφθαλμος». Όταν αντιληφθούν ότι οι συνομιλητές τους δεν γνωρίζουν τίποτε, παριστάνουν τους μορφωμένους εκ του ασφαλούς. Λένε ψέματα και ανακρίβειες με ύφος καθηγητών, βέβαιοι πως κανείς από τους αμαθείς συνομιλητές τους δε θα τους αντιληφθεί. Αυτοί στο τέλος την παθαίνουν από κάποιο πραγματικό γνώστη, που καταλαβαίνει από τις ανακρίβειες τους την αμάθεια τους.

      Όσο πιο μορφωμένος είναι ένας άνθρωπος, τόσο πιο ταπεινός είναι, αφού συνειδητοποιεί τα περιορισμένα όρια της ανθρώπινης γνώσης. Αποφεύγει τους δογματισμούς και τους αποκλεισμούς. Είναι έτοιμος να αναθεωρήσει τις απόψεις του αν του δοθούν τα κατάλληλα έγκυρα στοιχεία που θεμελιώνουν την αναθεώρηση. Είναι μετριοπαθής και δεν φέρεται υπεροπτικά ακόμα και στον πλέον αμόρφωτο εκ των συνομιλητών του.  Όταν δεν έχεις αυτιά και μάτια ανοικτά για να μαθαίνεις, είσαι καταδικασμένος στην άγνοια. Η γνώση είναι ταξίδι χωρίς τέλος, μια συναρπαστική περιπέτεια ικανή να δώσει νόημα και ουσία όχι σε μια αλλά σε δεκάδες ζωές. Ακόμα και χίλια χρόνια να είχα μπροστά μου δεν είναι αρκετά για να χορτάσω την ακόρεστη δίψα για μάθηση...

97) Πλούταρχος, Ει πρεσβυτέρω πολιτευτέον 7, 787c

«Τα σκυλιά γαυγίζουν όσους δεν γνωρίζουν»

       Οι άνθρωποι αποδέχονται εκείνους τους συνανθρώπους τους που τους μοιάζουν, που ακολουθούν τα πρότυπα της κοινωνίας, που ακολουθούν τον συρμό, τις συνήθειες , τον τρόπο ζωής του μέσου ανθρώπου. Από την άλλη δεν αποδέχονται αυτούς που παρεκκλίνουν από τα πρότυπα και δεν ακολουθούν την πεπατημένη. Δείχνουν δυσπιστία στους αλλόφυλους, αυτούς που έχουν διαφορετικό χρώμα, διαφορετική Θρησκεία. Αντιπαθούν όσους διατυπώνουν απόψεις που θίγουν τις προκαταλήψεις τους. Ζηλεύουν τους τολμηρούς που έχουν το θάρρος της γνώμης τους, γιατί ενδόμυχα, τους κάνουν να ντρέπονται για τη δική τους δειλία. Αντιμετωπίζουν τους διανοητές, που θέτουν ερωτήματα και διατυπώνουν απαντήσεις ως αργόσχολους γραφικούς τύπους. Στην πραγματικότητα τους αντιπαθούν γιατί τους κάνουν να αντιληφθούν τη δική τους πνευματική νωθρότητα. Όπως τα σκυλιά, είναι έτοιμοι να «δαγκώσουν» αυτόν που δεν γνωρίζουν. Εκ’ φύσεως συντηρητικοί, είναι έτοιμοι να κατασπαράξουν οποιαδήποτε καινοτομία, ή νέα ιδέα, που απειλεί να αλλάξει την πεπατημένη της καθημερινής ζωής τους.

Η ανοχή προς το διαφορετικό είναι μεγάλη αρετή. Πλην όμως σπάνια ευρίσκεται ανάμεσα στους ανθρώπους που, όπως τα σκυλιά, δείχνουν την εύνοια τους μόνο στους οικίους τους.

98)Πλούταρχος, Περί ...της σελήνης  28, 943e

«Οι ψυχές οσφραίνονται στον Άδη»

        Το αινιγματικό αυτό απόσπασμα φανερώνει την πίστη του Ηράκλειτου στην επιβίωση της ψυχής μετά τον θάνατο, σε μια άλλη πραγματικότητα που ονομάζεται Άδης. Είναι σίγουρα ένα απόσπασμα που δεν αρέσει σε ένα υλιστή να διαβάζει εφόσον, φανερώνει την πίστη αυτού που το διατύπωσε στην ύπαρξη ενός άλλου κόσμου πέραν της υλικής πραγματικότητας που ζούμε.  Το ότι το σώμα αντιμετωπίζεται ως μια φυλακή της ψυχής, στο πεπερασμένο χρονικό διάστημα της ζωής είναι γνωστό. Μετά το θάνατο η ψυχή ενώνεται με το Λόγο, το συμπαντικό νου, και αποκτά μέσω του μια ολική θέαση του σύμπαντος. Είναι πιθανόν να διατηρείται η αυτοσυνείδηση της ύπαρξης, παρά την πιο πάνω σύνδεση. Αυτό θα μπορούσε να σημαίνει το ρήμα οσφραίνεται, που δηλεί ατομική αίσθηση. Γιατί όμως ο Ηράκλειτος αναφαίρεται στην όσφρηση και όχι την ακοή ή την όραση; Ακούουν και βλέπουν οι ψυχές στον Άδη ή μόνο μυρίζονται; Τι δε υπάρχει στον Άδη και τι οσμή αναδίδει;

      Προφανώς δεν θα μιλούμε για γήινες αισθήσεις. Στο Άδη οι ψυχές πρέπει να διατηρούν κάποιο κριτήριο, με το οποίο διακρίνουν πράγματα. Κάθε αντικείμενο μπορεί να αναγνωριστεί από κάποια χαρακτηριστικά του, χωρίς πάντα να το βλέπουμε ή να το ακούουμε. Το ίδιο θα συμβαίνει με τις ψυχές στον Άδη, που με κάποιο είδος αίσθησης διακρίνουν τα αλλότρια .

       Ανεξάρτητα αν συμφωνεί η όχι κανείς με τον σκοτεινό φιλόσοφο, στο θέμα της μετά θάνατο επιβίωσης της ψυχής, θα έπρεπε να είχαμε περισσότερες πληροφορίες. Το απόσπασμα δημιουργεί περισσότερες ερωτήσεις από τις απαντήσεις που δίνει. Αν είχαμε περισσότερα συμφραζόμενα, θα είχαμε μια καλύτερη εικόνα των μεταφυσικών δοξασιών του μεγάλου Εφέσιου φιλοσόφου.

99) Πλούταρχος, Περί του πότερον ύδωρ ή πύρ χρησιμότερον 7, 957^α

« Αν δεν υπήρχε ο ήλιος, όσο εξαρτάται από  τ’άλλα άστρα θα ήταν νύκτα »

και

100) Πλούταρχος, Πλατωνικά ζητήματα 8, 4, 1007d

« Ο ήλιος σαν επόπτης και φύλακας των περιόδων του έτους δημιουργεί τις μεταβολές και τις εποχές που φέρνουν τα πάντα»

Ο Ηράκλειτος αναγνωρίζει τον κυρίαρχο ρόλο που έχει ο ήλιος στον καθορισμό του γήϊνου κλίματος , της μεταβολής των εποχών , της διαδοχής μέρας και νύκτας. Κατ’ επέκταση θεωρεί ότι σε κάθε ομάδα αντικειμένων ή οντοτήτων υπάρχουν μέλη ξεχωριστά και διακεκριμμένα. Είναι γνωστή η άποψη του ότι ένας άριστος άνθρωπος ισοδυναμεί με χιλιάδες κοινών ανθρώπων, αν είναι άριστος. Η φράση αυτή δείχνει την περιφρόνηση του για την αμάθεια του πλήθους. Ο χαρισματικός ηγέτης φωτίζει, όπως τον ήλιο, την εποχή του και δίνει λύση στα προβλήματα της. Η απουσία του χαρισματικού ηγέτη, είναι όπως τη απουσία του ήλιου από την ημέρα. Οι άλλοι άνθρωποι , μικροί σαν τ’ αστρα , δεν μπορούν να διώξουν τη νύκτα.

      Είναι όμως οι ιστορικές συνθήκες δημιούργημα των ηγετών ή οι ηγέτες διαμορφώνουν τις συνθήκες; Η προσωπική μου άποψη είναι ότι το ένα συνυφαίνεται  επηρεάζει και δημιουργεί το άλλο. Οι συνθήκες βοηθούν το χαρισματικό άτομο να μεταβληθεί σε ηγέτη, ο οποίος από τη θέση του τείνει να δημιουργήσει τις συνθήκες εκείνες που θα βοηθήσουν την επίτευξη των στόχων του. 

    Το απόσπασμα φανερώνει επίσης ότι ο Ηράκλειτος είχε σημαντικές αστρονομικές γνώσεις. Σίγουρα θα εγνώριζε τις ισημερείες και τα ηλιοστάσια, τα οποία οριοθετούν τις περιόδους του έτους, δηλαδή τις εποχές. Την περίοδο που ο ήλιος απομακρύνεται από το βόρειο ημισφαίριο , έχουμε βροχές, πτώση θερμοκρασίας χειμώνα. Το αντίθετο συμβαίνει το καλοκαίρι που ο ήλιος επανέρχεται στο βόρειο ημισφαίριο. Υπάρχει η διαισθητική γνώση στο απόσπασμα, ότι τα πάντα στην γη καθορίζονται από τον ήλιο. Η ζωή πάνω στον πλανήτη μας είναι το δώρο του μεγάλου Θεού της ημέρας.Χωρίς αυτόν αιώνια νύκτα θα κυριαρχούσε στην γη μας. Τα άλλα άστρα, μακρινά και αδύνατα δεν θα μπορούσαν να την επηρεάσουν. Χωρίς τον ήλιο η γη θα ήταν ένας νεκρός, κρύος και σκοτεινός βράχος περιφερόμενος στις ερημιές του σύμπαντος.

105)

« Ο Ηράκλειτος αποκαλεί τον Όμηρο αστρολόγο»

106) Πλούταρχος, Καμίλλος 19

« Ο Ηράκλειτος ψέγει τον Ησίοδο, που θεωρεί άλλες μέρες κακές κι άλλες καλές, γιατί αγνοεί ότι η φύση των ημερών είναι μία και η αυτή»

     Όπως το καλό και το κακό είναι σχετικά, ανάλογα με την υποκειμενική άποψη εκείνου που τα εξετάζει, έτσι και οι μέρες δεν μπορούν να χωριστούν σε καλές και κακές λόγω της σχετικότητας της έννοιας. Στα μάτια μας διάνοιας που εποπτεύει το σύμπαν οι μέρες είναι οι ίδιες. Ο Ηράκλειτος δεν είχε σε μεγάλη εκτίμηση τον Ησίοδο γιατί αγνοούσε τον νόμο της ενότητας των αντιθέτων που κατά τον μεγάλο Εφέσιο αποτελεί ουσιαστικό στοιχείο της κοσμοθεωρίας του. 

110) Στοβαίος, Ανθολόγιον Ι  176

« Δεν είναι το καλύτερο για τους ανθρώπους να εκπληρώνονται οι επιθυμίες τους »

Αν και εφόσον ο άνθρωπος δεν γνωρίζει τον εαυτό του, δεν έχει γνώση των πραγματικών του αναγκών. Αυτά που ζητεί δεν είναι ωφέλιμα, άρα η εκπλήρωση τους μπορεί να είναι βλαβερή. Οι άνθρωποι δεν είναι σε θέση να γνωρίζουν τις πραγματικές τους ανάγκες , ούτε να κάνουν ιεράρχηση τους. Είναι δούλοι των παθών τους και δεν έχουν αυτοκυριαρχία και εγκράτεια. Αν μπορούσαν να έχουν ότι θέλουν πιθανόν να έφταναν στην αυτοκαταστροφή.

       Οι σωματικές απολαύσεις κάνουν τις ψυχές των ανθρώπων «υγρές», τους αποχαυνώνουν, ακυρώνουν οποιαδήποτε προσπάθεια για αυτογνωσία. Η άποψη ότι η εγκράτεια και ο αυτοέλεγχος  είναι ουσιαστικά στοιχεία για τη βελτίωση του ανθρώπου δείχνει ότι ανάλογες αρχές του χριστιανισμού , ήταν γνωστές εκατοντάδες χρόνια πριν την εγκαθίδρυση της θρησκείας αυτής. Αρκετοί από τους αρχαίους Έλληνες φιλοσόφους είχαν διαμορφώσει ηθικά συστήματα που δεν υστερούν της χριστιανικής ηθικής.

       Ένα τέτοιο μήνυμα είναι επίκαιρο και σήμερα, που οι διαφημίσεις και ο μιμητισμός δημιουργούν συνέχεια νέες ανάγκες στον άνθρωπο. Ανάγκες που δεν είναι πραγματικές αλλά ψεύτικες. Ο σημερινός άνθρωπος συνέχεια καταναλώνει απλώς για  να καταναλώνει. Αγοράζει πράγματα με ωραίο περιτύλιγμα αλλά κακό περιεχόμενο. Δεν σκέφτεται αλλά υποκύπτει συνεχώς στους διαφημιστές, που σαν σύγχρονες σειρήνες του υποβάλλουν συνεχώς ότι έχει και νέες επιθυμίες. Η σύγχρονη διαφήμιση χρησιμοποιεί τα πορίσματα της σύγχρονης ψυχολογίας για να περάσει τα μηνύματα της στον καταναλωτή. Επηρεάζει τόσο το συνειδητό όσο και το ασυνείδητο μέσο της προσωπικότητας. Χρησιμοποιεί λέξεις όπως «έκπτωση» , «άτοκες δόσεις» «ψωνίστε και..κερδίστε » με απίστευτα παραπλανητικό τρόπο. Υποθάλπει με τη χρήση ημίγυμνων γυναικών τα ένστικτα των καταναλωτών. Ψεύδεται ασύστολα εφόσον προσπαθεί να πείσει ότι ο καταναλωτής είναι πάντα ο κερδισμένος. (Προφανώς ο κερδισμένος είναι ο πωλητής ) Χρησιμοποιεί αριστοτεχνικά την προπαγάνδα επηρεάζοντας, μεταξύ άλλων τα παιδιά που είναι ιδιαίτερα τρωτά.

       Όσοι είναι γονείς δεν πρέπει να υποκύπτουν πάντοτε στις απαιτήσεις των παιδιών. Θα πρέπει να συζητούν μαζί τους. Αντικείμενο του διαλόγου ο ορθολογικός προσδιορισμός των αναγκών και η ιεράρχηση τους με βάση τα οικονομικά της οικογένειας. Παραφράζοντας τον Ηράκλειτο λέγω ότι δεν είναι το καλύτερο για να παιδιά να εκπληρώνονται πάντα οι επιθυμίες τους. Αν το κάνουμε θα δημιουργήσουμε άτομα αχάριστά, ματαιόδοξα, που δεν εκτιμούν ούτε την προσφορά μας ούτε τον κόπο μας. Ο καταναλωτισμός ως τρόπος ζωής φανερώνει πνευματική ρηχότητα, αστάθεια χαρακτήρα, ανερμάτιστη προσωπικότητα. Ακούστε λοιπόν τα μηνύματα του σκοτεινού φιλοσόφου και ενστερνηστείτε τα.Διαπαιδαγωγείστε τα παιδιά σας στην εγκράτεια  για να τα κάνετε σωστούς και ενάρετους ανθρώπους.

111) Στοβαίος, Ανθολόγιον Ι,  177

«Η αρρώστια κάνει την υγεία πράγμα ευχάριστο και αγαθό, η πείνα το χόρτασμα, η κούραση την ανάπαυση»

Η στέρηση των αγαθών μας κάνει να συνειδητοποιήσουμε την αξία τους. Μόνο ο άρρωστος καταλαβαίνει την αξία της υγείας, ο κουρασμένος την αξία της ξεκούρασης και ο πεινασμένος την απόλαυση της τροφής. Αυτός που δεν έχει πεινάσει ποτέ του δεν μπορεί να βιώσει την απόλαυση της τροφής. Πόσοι άνθρωποι πετούν την τροφή τους στη δύση, ενώ σε χώρες του τρίτου κόσμου άλλοι πεθαίνουν από τη πείνα! Εκατομμύρια παιδιά πεθαίνουν από πείνα στην Αφρική, τη στιγμή που οι δικοί μας μπόμπιρες σνομπάρουν το φαγητό, είναι ιδιότροποι, δεν τρώνε ότι και ότι. Ακόμα και να πεις στο παιδί σου ότι συνομίληκοι του πεθαίνουν από την πείνα, δεν μπορεί να το καταλάβει, φαντάζει γιαυτόν απόμακρο, κάτι σαν παραμύθι.   Παρόμοια ο αργόσχολος και άπρακτος άνθρωπος δεν μπορεί να ζήσει το χαλάρωμα και την ηδονή της ξεκούρασης. Είναι μυγιάγκιχτος, παραπονιέται με το παραμικρό, η μη απασχόληση του του προκαλεί ανία, η ζωή του δεν έχει ρυθμό.Αν δεν ανεβείς δεν μπορείς να κατεβείς. Η προϋπόθεση της ξεκούρασης είναι η κούραση, τραβώντας τον συλλογισμό στα άκρα, ακόμα και σε θρησκευτικά θέματα, η προϋπόθεση της μετάνοιας είναι η αμαρτία...

      Προφανώς, αυτός που δεν κινδύνευσε σοβαρά από αρρώστια, δεν προσέχει την υγεία του και μόνο ο κίνδυνος του επικείμενου θανάτου ή η αγωνία στο κρεβάτι του πόνου, τον κάνει να λάβει κάθε ιατρικό μέτρο για να σωθεί. Όλοι ξέρουμε ότι η πρόληψη είναι προτιμότερη από τη θεραπεία, όσο όμως είμαστε καλά καταναλώνουμε ασύστολα, καπνίζουμε, δεν γυμναζόμαστε. Όταν αρρωστήσουμε, τρέχουμε εκ των υστέρων να βρούμε την υγεία μας σε γιατρούς και φάρμακα, πολλές φορές όμως είναι αργά. Βλέπουμε ανθρώπους να πεθαίνουν σε τροχαία ατυχήματα εντούτοις συνεχίζουμε να προκαλούμε το θάνατο με την αμελή μας οδήγηση, δίνοντας την εντύπωση ότι πιστεύουμε ότι ο θάνατος είναι μόνο για τους άλλους..Στην πραγματικότητα αυτό που αγνοούμε είναι το προφανές για τον μεγάλο Εφέσιο. Ότι βιώνουμε, εννοούμε καταλαβαίνουμε το κάθε τι μόνο μέσα από το αντίθετο του... Προφανώς καμμιά φορά όταν γίνει αυτό είναι αργά....

 Ακούμε καθημερινά για διάφορα κοινωνικά δράματα όπως δυστυχήματα, εγκληματικές πράξεις ναρκωτικά, αρρώστια και θάνατο, όμως δεν συνειδητοποιούμε την ανθρώπινη δυστυχία. Επαναλαμβάνω φορτικά ότι κάθε χαρακτηριστικό αναδεικνύεται μέσα από τη σύγκριση με το αντίθετο του. Η αντίθεση, φαινομενική ή πραγματική, δίνει υπόσταση στα αντίθετα, βοηθώντας τον προσδιορισμό τους.

112) Στοβαίος, Ανθολόγιον Ι,  178

«Το να σκέφτεται κανείς σωστά είναι μέγιστη αρετή, και σοφία είναι να λέει κανείς την αλήθεια και να ενεργεί σύμφωνα με τη φύση, αφού τη γνωρίσει »

Η  σκέψη διαφοροποιεί τον άνθρωπο από τα ζώα, στα οποία κυριαρχούν τα ένστικτα και οι παρορμήσεις. Αρετή όμως δεν είναι η οποιαδήποτε σκέψη, αλλά η σωστή, η σύμφωνη με το Λόγο . Ποια όμως είναι η ορθή σκέψη; Αυτή που οδηγεί στην α-ληθεια , τη διαχρονική μνήμη, τη γνώση του ορθού. Ο άνθρωπος φτάνει στην γνώση της φύσης γνωρίζοντας τον εαυτό του. Θέτει τα ερωτήματα, διαλέγεται με άλλους ανθρώπους προφορικά ή μέσω των συγγραμμάτων τους, διαλέγεται με τον εαυτό του, φτάνει στην γνώση ενορατικά ή ορθολογικά. Αφού γνωρίσει ο άνθρωπος, δεν πρέπει να μείνει μόνο στη θεωρία  αλλά να προχωρήσει στην πράξη. Η ενέργεια του δεν πρέπει να αντιστρατεύεται τη φύση και τους νόμους που διέπουν τη διαχρονική αλληλεπίδραση των όντων. Κύριος νόμος η βαθύτερη ενότητα των πάντων, προερχόμενη από την ουσιαστική ενότητα των αντιθέτων. Να γιατί γνώση και αυτογνωσία είναι ένα, αφού ο άνθρωπος είναι αξεδιάλυτο μέρος της συμπαντικής ολότητας.

Η κομβική θέση του ανθρώπου μέσα στο σύμπαν, υποστηρίζεται από την ανθρωπική αρχή, που είναι σύγχρονη επιστημονική θεωρία. Σύμφωνα με αυτήν το σύμπαν είναι κατασκευασμένο με τέτοιο τρόπο, ούτως ώστε να οδηγεί στην εμφάνιση του ανθρώπου. Αν οι σταθερές της φυσικής ήταν κατ’ ελάχιστα διαφοροποιημένες, τότε δεν θα υπήρχε ούτε ζωή ούτε νοημοσύνη. Ο άνθρωπος κατά κάποιο τρόπο αποτελεί την χρυσή τομή μεταξύ του μικρόκοσμου και του μακρόκοσμου, όντας μέσος ανάλογος μεταξύ των υποατομικών σωματιδίων και των γαλαξιών.Με απλά λόγια, ακόμη και γραμμικά, ως μέγεθος να τον εξετάσομε, είναι τόσο πιο μικρός από το σύμπαν, όσο πιο μεγάλος είναι από ένα υποατομικό σωματίδιο. Ο ίδιος ο άνθρωπος αποτελεί ένα σύμπαν σε μικρογραφία, αποτελούμενο όχι από δισεκατομμύρια άστρα, αλλά κύτταρα.

      Ο Ηράκλειτος διαισθητικά εγνώριζε τα πιο πάνω, γιαυτό, πιστεύω, επιδίωξε να φτάσει στη γνώση μέσω της αυτογνωσίας. Η αλήθεια όμως δεν πρέπει να μένει κρυφή. Δεν αρκεί μόνο να σκέφτεσαι σωστά, να γνωρίζεις. Πρέπει να κάνεις τους άλλους κοινωνούς της γνώσης. Με τον τρόπο αυτό εξανθρωπίζεις την ανθρωπότητα.

113) Στοβαίος, Ανθολόγιον Ι  179

« Η φρόνηση είναι στη διάθεση όλων των ανθρώπων»

και

116) Στοβαίος, Ανθολόγιον V  6

« Όλοι οι άνθρωποι έχουν τη δυνατότητα να γνωρίσουν τον εαυτό τους και να φτάσουν στη φρόνηση»

Αν συμβαίνει αυτό, είναι αξιοσημείωτο το ότι πολλοί άνθρωποι  δεν γνωρίζουν τον εαυτό τους, ούτε έχουν φρόνηση.Η θεωρητική δυνατότητα να αποκτήσεις κάτι δεν επαρκεί, αν δεν υπάρχει η ισχυρή θέληση και η επίμονος προσπάθεια να το φτάσεις. Οι άνθρωποι δεν πιστεύουν στις δυνατότητες τους, ούτε συγκεντρώνουν επί πολύ και στο ίδιο πράγμα την προσοχή τους. Μοιάζουν με υπνοβατούντες ή μεθυσμένους, με αισθήσεις θολές, που αντιδρούν μηχανικά στις λάμψεις και στους ήχους που βομβαρδίζουν τις αισθήσεις τους.Χρειάζεται μια ισχυρή δόνηση για να αφυπνιστούν και συνεχείς αγώνες για να παραμείνουν ξύπνιοι...Προφανώς ελάχιστοι το καταφέρνουν.

Το συλλογικό παρελθόν της ανθρωπότητας, με τη σπανιότητα της φρόνησης που το χαρακτηρίζει, δεν μπορεί τελεσίδικα να προσδιορίσει και το μέλλον. Ίσως, κάποτε στο μέλλον ο άνθρωπος σταματήσει να είναι το εγωκεντρικό, αιμοσταγές , βλακώδες κατά βάθος χτήνος που είναι σήμερα. Ίσως η απληστία δώσει τη θέση της στην εγκράτεια. Η αμάθεια στην γνώση. Η μισαλλοδοξία στην φρόνηση. Η τελευταία από θεωρητική δυνατότητα θα γίνει πράξη. Αν ποτέ συμβεί αυτό τότε ο κόσμος θα αλλάξει θα γίνει καλύτερος. Οι άριστοι που κατά τον Ηράκλειτο είναι ελάχιστοι θα πολλαπλασιαστούν. Αυτό το αισιόδοξο μήνυμα, της δυνατότητας όλων των ανθρώπων να φτάσουν τη φρόνηση και τη σοφία φανερώνει και κάτι άλλο πιο σημαντικό. Την πίστη του Ηράκλειτου στον μέσο άνθρωπο και τις δυνατότητες. Ότι ο μεγάλος σόφος δεν ήταν ένας ολιγαρχικός ελιτιστής, όπως μια επιφανιακή ανάγνωση κάποιων αποσπασμάτων του δείχνει. Το γεγονός ότι χωρίς ωραιοποιήσεις φανερώνει την άθλια, από πνευματική άποψη, κατάσταση των συμπολιτών του, δεν αναιρεί το γεγονός της βαθύτερης πίστης του στις ανθρώπινες δυνατότητες...

        Η πίστη στη δυνατότητα της αυτογνωσίας μας θυμίζει τη ρήση «Γνώθι σ’ αυτόν» που ήταν γραμμένη στην είσοδο του Θεού Απόλλωνα στους Δελφούς. Η προστακτική της σύνταξη τονίζει και επαναβεβαιώνει την πίστη στην δυνατότητα όλων των ανθρώπων για αυτογνωσία, γνώση, φρόνηση. Δεν αποκλείεται το ρητό αυτό να επηρέασε τον Ηράκλειτο οδηγώντας στη διατύπωση της πιο πάνω ρήσης.

115) Στοβαίος, Ανθολόγιον Ι  180a

«Στην ψυχή υπάρχει ένας λόγος που αυξάνει μόνος του»

      Ο Λόγος ( με λ κεφαλαίο ) έχουμε δει ότι είναι ο συμπαντικός νους, η ενεργητική αρχή στην οποία πίστευε ο Ηράκλειτος , η οποία καθορίζει με κάποιους απαράβατους νόμους την κίνηση, εξέλιξη και λειτουργία του σύμπαντος. Κατ’ επέκταση, στον άνθρωπο, ο οποίος είναι ένας κόσμος σε μικρογραφία, υπάρχει, κατ’ αναλογία,  μια ενεργητική αρχή που κυβερνά τον ανθρώπινο κόσμο. Η ανθρώπινη ψυχή έχει τη δυνατότητα εξέλιξης, αυτεπίγνωσης, αυτογνωσίας. Ο άνθρώπινος λόγος, ως αυτόνομη ενεργητική αρχή, μπορεί να αναπτυχθεί απεριόριστα και μέσω της ένωσης με το συμπαντικό Λόγο να φτάσει στην αυτογνωσία. Ο λόγος οδηγεί την ψυχή στην αυτοπραγμάτωση. Οι ανθρώπινες δυνατότητες δεν έχουν πρακτικά πέρας. Η αύξηση του ανθρώπινου λόγου ισοδυναμεί με την πορεία προς το τέλειο, το άπειρο, τη θέωση. Η αύξηση του λόγου σηματοδοτεί την αυτόνομη, ελεύθερη πορεία της ψυχής προς την ένωση με το συμπαντικό όλο.

      Η ανωτέρω θεωρία είναι απότοκο της γενικότερης θεωρίας του Ηράκλειτου για αέναο κίνηση αλλάγη και εξέλιξη του σύμπαντος. Εφόσον ο κόσμος φέρνει ως εγγενές χαρακτηριστικό του την κίνηση και την διαρκή μεταβολή, είναι σαφές ότι τα ίδια χαρακτηριστικά θα έχει και η ανθρώπινη ψυχή. Ο κόσμος για τον Ηράκλειτο πάντα υπήρχε και πάντα θα υπάρχει και το μόνο αμετάβλητο χαρακτηριστικό του είναι η αιώνια μεταβολή του. Κατ’ επέκταση είναι φανερό ότι ο Ηράκλειτος πιστεύει στην αιωνιότητα της ανθρώπινης ψυχής τόσο πρίν τη γέννηση όσο και μετά το θάνατο, αφού από την μια ασπάζεται τις απόψεις των ορφικών ότι το σώμα είναι ο τάφος της ψυχής και από την άλλη αναφέρεται στις ψυχές που οσφραίνονται στον Άδη. Πίστευε όμως ο Ηράκλειτος στην μετενσάρκωση της ψυχής; Αυτό δεν συνάγεται από το απόσπασμα 115, και θα ήταν παρακινδυνευμένο να το υποστηρίζαμε, χωρίς και να το αποκλείουμε βέβαια.

120)Στράβων, 16 σελ.3

« Τα τέρματα της αυγής και της εσπέρας είναι η άρκτος, κι απέναντι στην άρκτο το όριο του φωτεινού Δία»

Ενώ το λυκαυγές και το λυκοφώς φαίνεται να σηματοδοτούν την έναρξη δύο φαινομενικά αντιθέτων χρονικών περιόδων, δηλαδή της μέρας και της νύκτας, εντούτοις είναι όμοιες τόσο ώς προς το φωτισμό του ουρανού, όσο και σε σχέση με τους αστερισμούς που διαγράφονται στον ορίζοντα. Η ουσιαστική ενότητα και ομοιότητα των αντιθέτων σηματοδοτείται και με αυτό το παράδειγμα. Το απόσπασμα ίσως υπονοεί σοβαρές γνώσεις που είχε ο Ηράκλειτος για τη γη. Αν η Άρκτος είναι ο Αρκτικός κύκλος, το έναντι της άρκτου όριο του φωτός είναι ο Ανταρκτικός κύκλος. Κατά το εξάμηνο που ορίζεται από την εαρινή και την φθινοπωρινή ισημερία, ο ήλιος βρίσκεται στο βόρειο ημισφαίριο, κατά συνέπεια την ίδια χρονική περίοδο, επικρατεί εξάμηνη μέρα στον βόρειο πόλο. Κατά το ίδιο εξάμηνο σκότος επικρατεί στον νότιο πόλο. Τα όρια της νότιας πολικής περιοχής είναι ο ανταρκτικός κύκλος, που ορίζει το όριο του φωτός, πέραν του οποίου επικρατεί η πολική νύκτα. Η κατάσταση αντιστρέφεται μεταξύ Φθινοπωρινής και εαρινής ισημερίας. Στην περίοδο αυτή ο ήλιος φαίνεται να κάνει κύκλους γύρω από το νότιο πόλο, ενώ στον βόρειο επικρατεί σκότος.

     Αν τα πιο πάνω αληθεύουν σημαίνουν ότι ο Ηράκλειτος είχε σοβαρές αστρονομικές γνώσεις σχετικά με τη σφαιρικότητα της γης, την φαινομενική πορεία του ήλιου στον ουρανό, τις ισημερίες, τα ηλιοστάσια κ.α.

121) Στράβων, XIV 25 σελ. 642. Διογένης Λαέρτιος, IX 2

«Τους ενήλικους Εφέσιους αξίζει να τους κρεμάσει κανείς όλους και ν’ αφήσει την πόλη στους ανήλικους, γιατί εξόρισαν τον Ερμόδωρο, τον πιο χρήσιμο απ’όλους τους λέγοντας:ας μην υπάρχει ανάμεσα μας κανείς παρά πολύ χρήσιμος. Ειδεμή ας πάει να ζήσει αλλού με άλλους ανθρώπους.

Κοινό χαρακτηριστικό των ανθρώπων να φθονούν και να κατατρέχουν τους άριστους, αυτούς που υπερβαίνουν τα κοινά μέτρα. Έτσι διώχνουν τον άριστο, έστω και αν αυτό είναι εις βάρος των κοινών συμφερόντων, για να ικανοποιήσουν τη ζήλια τους. Η πράξη αυτή θεωρείται από τον Ηράκλειτο τόσο μικρόνοη, που προτιμά να αφήσει τη διοίκηση της πόλης στα παιδιά παρά στους συμπατριώτες του.Το απόσπασμα τονίζει τον μικρόνοο εγωκεντρισμό των περισσότερων ανθρώπων που ζουν και ενεργούν πρώτιστα για το ατομικό και ελάχιστα για το συλλογικό καλό. Βλέποντας με αυτό το φακό τον κόσμο, διώκουν τους άριστους, όχι γιατί έχουν να πάθουν κάτι από τη δράση τους, το αντίθετο μάλιστα, αλλά γιατί αυτοί φανερώνουν τη δική τους μικρότητα. Ξέρουν ότι ο Ερμόδωρος είναι πολύ χρήσιμος παρόλα αυτά τον διώχνουν. Η εγωπάθεια σε όλο το καταστροφικό της μεγαλείο...

     Γιατί όμως τα παιδιά είναι καταλληλότερα των ενηλίκων, για τη διοίκηση της πόλης; Γιατί τους λείπει ο φθόνος. Γιατί είναι αθώα. Δεν κρατούν κακία. Μαλλώνουν και μετά είναι πάλι φίλοι. Δεν τηρούν προσχήματα. Είναι αυθόρμητα στην συμπεριφορά τους. Η πιο πάνω στάση του Ηράκλειτου θυμίζουν ανάλογες ρήσεις, που το ευαγγέλιο αποδίδει στον Ιησού. Ο ιδρυτής της χριστιανικής θρησκείας καλεί τους ενήλικούς να γίνουν σαν τα παιδιά αν θέλουν να κερδίσουν τη βασιλεία των ουρανών. Παραμερίζει τους μεγάλους και καλεί τα παιδιά κοντά του....Ο Ηράκλειτος ακόμα μια φορά παρουσιάζεται προτοπόρος...

      Η παιδικότητα σε σχέση με την κατάσταση του ενήλικου ανθρώπου. Ότι λείπει από τη μια το έχει η άλλη. Η σοφία, η ωριμότητα δεν έγκειται στο να παραμείνουμε παιδιά, εξάλλου αυτό είναι αδύνατο.Μεγαλώνοντας πρέπει να κρατήσουμε ζωντανό το παιδί μέσα μας. Αυτό σημαίνει ότι ωριμάζοντας δεν πρέπει να χάσουμε τον αυθορμητισμό, την αθωότητα, την ευθυκρισία μας.

 

122)Σουίδα, Λεξικόν.

« Αγχιβασία = Πλησίασμα »

124) Θεόφραστος, Τα μετά τα φυσικά 15 σελ. 7^α

« Εκείνο θα φαινόταν παράλογο, αν ολόκληρος ο Ουρανός και το καθένα από τα μέρη του διέπονταν από τάξη και αναλογία, διαθέτοντας μορφές και δυνάμεις και περιοδικές κινήσεις, αλλά στις πρώτες αρχές δεν υπήρχε κάτι τέτοιο, αλλά ήταν σκουπίδια περιχυμένα στην τύχη ο ωραιότατος κόσμος, όπως λέει και ο Ηράκλειτος.

     Το σύμπαν βρίσκεται σε διαρκή κίνηση. Φθορά και δημιουργία, χαλασμός και κτίσιμο, μάζεμα και ξεχώρισμα...Ένα πολύπλοκο χάος αντιθέσεων, ένας κόσμος απρόβλεπτος, που στηρίζεται στην τύχη , σε πιθανοκρατικούς και όχι αιτιοκρατικούς νόμους. Παρόλα αυτά ο κόσμος είναι όμορφος, γιατί είναι απρόβλεπτος , ζωντανός , αεικίνητος. Έτσι μέσα από το χάος γεννιέται τάξη και από την τάξη χάος , σε ένα συνεχές αλληλοσυμπλήρωμα, αφού τάξη και χάος είναι το ίδιο πράγμα, οι δύο όψεις του κόσμου που αενάως μεταβάλλεται....

       Η εικόνα ενός κόσμου δημιουργημένου από μια ανώτερη δύναμη δεν επιβεβαιώνεται από αυτό το απόσπασμα. Ένα σύμπαν δημιουργημένο με σοφία, ότι και να πεις δεν είναι το ίδιο με ένα σορό σκουπίδια περιχυμένα στην τύχη.Αυτός ο άμορφος σωρός δεν είχε περιοδικές κινήσεις, τάξη και μέτρο. Τότε πώς από το χάος αυτό προήλθε ο κόσμος; Πώς οι πρώτες αρχές μεταμορφώθηκαν στο σημερινό σύμπαν; Η μεταμόρφωση ήταν απρόβλεπτη. Ο κόσμος δημιουργήθηκε τυχαία. Ο άπειρος χρόνος έδωσε το περιθώριο να δοκιμαστούν όλοι οι συνδυασμοί, μέχρι που εξελικτικά έφτασαν σε ένα καλύτερο πλην όχι τέλειο οικοδόμημα. Κάτι σαν την θεωρία της εξέλιξης, αλλά σε συμπαντικό επίπεδο. Πως όμως από την τύχη φτάνουμε στην οικοδόμηση του κόσμου; Ας δούμε ένα παράδειγμα για να πάρουμε μια ιδέα...

      Φανταζόμαστε ένα μηχανισμό που κινεί τα πλήκτρα μιας γραφομηχανής. Γράφει ένα γράμμα η ψηφίο με τυχαία σειρά κάθε δευτερόλεπτο. Ο μηχανισμός αυτός γράφει γράμματα επ’άπειρο. Αν παρακολουθήσουμε την γραμματοσειρά για μερικά λεπτά θα διαβάζουμε πιθανότατα μια ασυνάρτητη χωρίς νόημα γραμματοσειρά. Αν συνεχίσουμε να την παρακολουθούμε, από ώρα σε ώρα θα προκύπτουν τυχαία λέξεις με νόημα μέσα στο χάος της ασυναρτησίας. Αν συνεχίσουμε αδιάλειπτα για μέρες την παρακολούθηση ίσως δούμε μια ολόκληρη πρόταση να προκύπτει μέσα από την τυχαία γραμματοσειρά μας. Αν είχαμε μια αιωνιότητα μπροστά μας τότε θα μπορούσε να προκύψει μια ολόκληρη τραγωδία μπροστά μας σαν την Αντιγόνη ή ένα ποίημα σαν την Ιλιάδα. Ο άπειρος χρόνος αντισταθμίζει την απειροελάχιστα μικρή πιθανότητα. Τίποτε δεν είναι αδύνατο να προκύψει αν υπάρχει το χρονικό περιθώριο.

       Κατ’ επέκταση: Ο όμορφος κόσμος μας θα μπορούσε να έχει προέλθει από την τυχαία, αιώνια κίνηση του χάους. Να είναι ένα στατιστικό παράδοξο, που έγινε πραγματικότητα λόγο της άπειρης χρονικής διάρκειας που έδωσε το διάστημα να εφαρμοστούν όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί. Διαβλέπω ότι η πιο πάνω θεωρία δεν είναι αρεστή. Είναι πιο όμορφο να πιστεύεις στην ύπαρξη ενός ανθρωπόμορφου Θεού, που σαν φιλόστοργος πατέρας φροντίζει για τα παιδιά του , την ανθρωπότητα δηλαδή, δημιουργώντας ένα όμορφο κόσμο, ένα παράδεισο. Άραγε μια τέτοια πραγματικότητα δεν είναι πολύ καλή για να είναι αληθινή; Μήπως την χρειαζόμαστε γιατί βρισκόμαστε σε ένα παιδικό στάδιο νοητικής ανάπτυξης;Ο Ηράκλειτος στο απόσπασμα αυτό βλέπει ότι ο κόσμος δημιουργήθηκε τυχαία από το χάος.

     Όμως ποιος κινεί το χάος; Ποιος καθορίζει το μέγεθος της κάθε πιθανότητας; Σίγουρα, κατά τον Ηράκλειτο υπάρχει ο συμπαντικός νους, ο Λόγος. Αυτός δεν αναμιγνύεται στο παιγνίδι της πιθανότητας, όμως σαν ένα είδος διαιτητή, παρακολουθεί την τήρηση των κανόνων. Αν αυτός έθεσε τους κανόνες , οι αν αυτός είναι οι κανόνες είναι θέμα άποψης, κλείνω μάλλον όμως προς την δεύτερη εκδοχή. Η κίνηση του σύμπαντος αιώνια, οι κάνονες, πιθανοκρατικής μορφής επίσης παρόντες. Το αποτέλεσμα: Τάξη από το χάος ή χάος από την τάξη; Μάλλον και τα δυό αν λάβουμε υπόψη τον νόμο των αντιθέτων. Τάξη και χάος οι δύο όψεις της αυτής πραγματικότητας.

125) Θεόφραστος, de vertig. 9

« Ακόμα κα ο κυκεώνας διαλύεται, όταν δεν κινείται »

Ο κυκεώνας ήταν ένα ποτό των αρχαίων Ελλήνων. Αποτελείτο από κρασί, τριμμένο τυρί και κριθάρι. Τα στερεά συστατικά  συνεχώς ανακατεύονταν για να μην κατακαθίσουν και χάσει το μίγμα την ομοιογένεια του. Με αυτή την τόσο οικία και παραστατική εικόνα, ο Εφέσιος φιλόσοφος ήθελε να δείξει ότι  εγγενές χαρακτηριστικό της ύπαρξης είναι η κίνηση.Χωρίς τη διαρκή αντιθετική κίνηση η πραγματικότητα δεν έχει υπόσταση. Τα πάντα λοιπόν κινούνται και τίποτε δεν μένει ακίνητο. Αυτή η θεμελιώδης αλήθεια δεν μπορεί να αντικρουστεί εύκολα. Η σύγχρονη φυσική επιβεβαιώνει την κίνηση των πάντων από τα υποατομικά σωματίδια μέχρι τους πλανήτες, τα άστρα, τα σμήνη των γαλαξιών. Πολλές κινήσεις σε πανσυμπαντικό επίπεδο, καμπύλες, ελλειπτικές. Χωρίς αυτές το γνωστό σχήμα του σύμπαντος καταρρέει, όπως ο κυκεώνας διαλύεται  (κόβει).

Τον κυκεώνα έθετε σε κίνηση ένα ανθρώπινο χέρι. Ποιος θέτει σε κίνηση το σύμπαν; Το ερώτημα αυτό θα είχε περισσότερη σημασία αν κάποτε ο κόσμος ήταν ακίνητος, ή ανύπαρκτος όμως στην κοσμοθεωρία του Ηράκλειτου δεν είναι αυτή η περίπτωση. Ο μεγάλος Εφέσιος δεν παραδεχόταν μια εκ του μηδενός δημιουργία του κόσμου όπως αυτή που παραδέχεται ο Ιουδαϊσμός και ο Χριστιανισμός. Ούτε δέχεται ότι κάποτε ο κόσμος βρισκόταν σε αδράνεια , όπως προϋποθέτει η σύγχρονη επιστημονική θεωρία της μεγάλης έκρηξης*. Ο κόσμος του Ηράκλειτου ήταν και θα είναι αιωνίως παρόν και κινούμενος, με βάση νόμους με απόλυτη ισχύ.

* Συμφωνα με τη θεωρία της μεγάλης έκρηξης, το σύμπαν διαρκώς διαστέλλεται, δηλαδή η απόσταση των γαλαξιών συνεχώς αυξάνεται. Προβάλλοντας αυτή την κίνηση στο παρελθόν, οι αστρονόμοι υπολόγισαν ότι η ύλη του σύμπαντος πριν 20 δισεκατομμύρια χρόνια ήταν συγκεντρωμένη σε ένα υπέρπυκνο σημείο. Όλο το σύμπαν ήταν το υπέρπυκνο σημείο και τίποτε πέραν αυτού!Το σύμπαν χαρακτηριζόταν από άπειρη πυκνότητα και καμπυλότητα. Ακολούθησε η διαστολή του σύμπαντος η οποία ονομάστηκε μεγάλη έκρηξη ( διαστολή ). Το μοντέλο της μεγάλης έκρηξης θεωρεί ότι ερωτήσεις όπως τι υπήρχε πριν τη μεγάλη έκρηξη ή τι οδήγησε στην παραδοξότητα της συγκέντρωσης της ύλης του σύμπαντος σε ένα αδιάστατο σημείο,. ως μη έχουσες νόημα. Μπορούμε να θέσουμε όμως τις ερωτήσεις αυτές και να θεωρήσουμε ως μειονέκτημα της σύγχρονης θεωρίας το γεγονός ότι δεν τις απαντά. Από την  άλλη η θεωρία του Ηράκλειτου της αιώνιας ύπαρξης του σύμπαντος παρακάμπτει τέτοιες ερωτήσεις, εφόσον θεωρεί ότι το σύμπαν είναι αιώνιο.

125β) Τζέτζης, εις Αριστοφάνους Πλούτον 88.

« Είθε να μη σας λείψει, Εφέσιοι, ο Πλούτος, για να φανεί έμπρακτα η κακία σας »

Το ότι ο πλούτος, στα χέρια κακών ανθρώπων, είναι μέσο για την εκδήλωση κακών έργων είναι ολοφάνερο.  Αυτό δεν υποδηλώνει ότι , ο πλούτος, καθεαυτό είναι καλός ή κακός. Είναι όμως μεγάλη δύναμη, που ανάλογα με τα κίνητρα του κατόχου της θα φέρει αποτελέσματα. Ο Ηράκλειτος, που συχνά κατέκρινε τους συμπολίτες του για διάφορα πράγματα εδώ τους κατακρίνει για την κακία τους. Η ευχή του σίγουρα θα άρεσε στους συμπολίτες του, παρόλο που αυτός δεν την είπε για το καλό τους. Όπως είπε σε άλλο απόσπασμα είναι κακό για τον άνθρωπο το να εκπληρώνονται οι επιθυμίες του  και σίγουρα ο πλούτος είναι μέσο για την εκπλήρωση των επιθυμιών. Το χρήμα είναι μεγάλη δύναμη. Στα χέρια κακών ανθρώπων η δύναμη αυτή πολλαπλασιάζει την ικανότητα εκτέλεσης δολίων πράξεων. Οι Εφέσιοι θα χρησιμοποιούσαν τον πλούτο όχι για να κάνουν πράξεις που  θα τους οδηγούσαν στη γνώση και την αυτογνωσία, αλλά σε έργα ματαιοδοξίας, ναρκισσισμού, εκμετάλλευσης των άλλων, εξαγορά συνειδήσεων και ανομολογήτων ηδονών και ότι άλλο μια διαστρεμμένη φαντασία θα μπορούσε να επιθυμήσει.

 Προφανώς οι πλούσιοι δεν το βλέπουν έτσι αφού  ο πλούτος βοηθώντας στην ικανοποίηση ακόμα και των πλέον παραλόγων απαιτήσεων  διανθίζει την καθημερινή ζωή τους με ποικιλία που διώχνει την ανία. Από την άλλη η ανάδειξη της κακίας μέσω του πλούτου δεν τους επηρεάζει, διότι αποδέκτες των κακών πράξεων είναι οι άλλοι συμπολίτες τους. Οι κάτοχοι του πλούτου πέραν των άλλων ελαττωμάτων τους είναι κατ’ εξοχήν εγωκεντρικά όντα.

      Η στάση του Ηράκλειτου για τον πλούτο δεν μπορεί παρά να μας θυμίσει ανάλογες απόψεις που ο Ιησούς διατυπώνει στην Καινή Διαθήκη. Ο Ιδρυτής της χριστιανικής θρησκείας σίγουρα θεωρεί τους πλούσιους ως επιρρεπείς στην εκτέλεση κακών πράξεων, εγωκεντρικούς και ανόητους. Ο ανόητος πλούσιος της παραβολής σκέφτεται να κάνει καινούριες αποθήκες για να φυλάξει τους καρπούς του και ξεχνά ότι είναι θνητός και ότι ανά πάσα στιγμή ο Θεός μπορεί να του πάρει το δώρο της ζωής. Ο πλούσιος είναι πολύ δύσκολο να κερδίσει την βασιλεία των ουρανών, αφού είναι πιο εύκολο να περάσει κάμηλος την τρύπα του βελονιού παρά πλούσιος στην ουράνια βασιλεία. Αλλού ο Ιησούς καλεί τους οπαδούς του να μην θησαυρίζουν θησαυρούς επί της γης, δηλώνοντας έτσι ότι ο πλούτος μπορεί να καταστεί επικίνδυνος για τη σωτηρία των πιστών. Την άποψη αυτή δεν φαίνεται να ενστερνίζονται οι σύγχρονοι εκκλησιαστικοί ηγέτες που, σε αντίθεση με τον πτωχόν Ιησούν διαχειρίζονται μεγάλον πλούτον. Την δε μεγάλην περιουσία της εκκλησίας δεν την θεωρούν μειονέκτημα αλλά πλεονέκτημα διότι καθιστά ευκολότερο το έργο της εκκλησίας. Η άποψη αυτή θεωρείται τουλάχιστον περίεργη αφού σύμφωνα με την εκκλησιαστική θεωρία, πρέπει να επιζητούμε τα ουράνια αιώνια αγαθά και όχι τα επίγεια και φθαρτά.

      Πέραν όμως των σχολίων αυτών για άλλη μια φορά παρατηρούμε ότι ο Ηράκλειτος προτοπορεί, διατυπώνοντας απόψεις που ο χριστιανισμός διατύπωσε αιώνες αργότερα. Ο μεγάλος Εφέσιος στην περίπτωση αυτή δεν δίδαξε μόνο με λόγια αλλά με έργα. Απαρνήθηκε τον πλούτο και την ηγεμονία της Εφέσου και έζησε μια ταπεινή ζωή, αναζητώντας τη γνώση.