Φυσικοί αριθμοί τεσσάρων διαστάσεων

Ορισμός:

Κάθε φυσικός αριθμός που προκύπτει ως γινόμενο τεσσάρων διαφορετικών περιττών πρώτων, ονομάζεται Φυσικός Αριθμός τεσσάρων διαστάσεων

Έστω Π1, Π2, Π3, Π4  περιττοί πρώτοι  με 3 ≤ Π1 < Π2< Π3 < Π4

 και 

Π2 ≥ 5, 

Π3 ≥ 7, 

Π4 ≥ 11

Μαθηματική Πρόταση:

Κάθε Φυσικός αριθμός, που ανήκει στο απειροσύνολο* των  αριθμών τεσσάρων διαστάσεων είναι ατελής, δηλαδή είναι μεγαλύτερος από το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του.

Δηλαδή ζητείται να αποδειχθεί ότι:

Π1. Π2 . Π3 . Π4 > {[Π1. Π2. Π3  + Π1. Π2.Π4 +  Π1. Π3. Π4  + Π2. Π3.Π4 ]+  [ Π1.Π2 +  Π1.Π3  + Π1.Π4 +  Π2.Π3  + Π2.Π4 +  Π3.Π4 ] +[ Π1 +  Π2 + Π3 + Π4] + 1 }

Απόδειξη:

Έστω  Π1. Π2 . Π3 . Π 4 = Σ

Και

{ [Π1. Π2. Π3  + Π1. Π2.Π4 +  Π1. Π3. Π4  + Π2. Π3.Π4 ]+  [ Π1.Π2 +  Π1.Π3  + Π1.Π4 +  Π2.Π3  + Π2.Π4 +  Π3.Π2 ] +[ Π1 +  Π2 + Π3 + Π4] + 1 }= Σπ

Άρα:

Π1. Π2 . Π3 ≤ Σ/11    105

Π1. Π2 . Π4 ≤ Σ/ 7     165

Π1. Π3. Π4 ≤ Σ/ 5      231

Π2. Π3. Π4≤ Σ/ 3      385

Π1. Π2≤ Σ/ 77           15

Π1 . Π3 ≤ Σ/55           21

Π1 . Π4 ≤ Σ/35           33

Π2 . Π3 ≤ Σ/33           35

Π2 . Π4 ≤ Σ/21           55

Π3 . Π4 ≤ Σ/15           77

Π1 ≤ Σ/ 385                  3

Π2 ≤ Σ/ 231                  5

Π3 ≤ Σ/ 165                  7

Π4 ≤ Σ/ 105                11

1≤  Σ/ 1155                    1

                              

→  Σπ ≤  1149 Σ / 1155                       0,995    

     

Η πρόταση έχει αποδειχθεί

Παράδειγμα

Έστω ο αριθμός τεσσάρων διαστάσεων 1365. Να αποδειχθεί ότι είναι ατελής.

1365 = 3.5.7.13

Το σύνολο των γνησίων διαιρετών του 1365 περιλαμβάνει τους ακόλουθους αριθμούς:

Σπ = { 1 , 3 , 5, 7, 13, 15, 21, 35, 39, 65, 91, 105, 195, 273, 455 }

Το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του είναι:

1+3+5+7+13+15+21+35+39+65+91+105+195+273+455 = 1323

1323<1365 και 1323/1365 = 0,969230769... και άρα 1365 ατελής

Παράρτημα 1

Τετραψήφιοι αριθμοί τεσσάρων διαστάσεων

1155 = 3.5.7.11          2145 = 3.5.11.13        3315 = 3.5.13.17      4845 = 3.5.17.19     6555 = 3.5.19.23
1365 = 3.5.7.13          2805 = 3.5.11.17        3705 = 3.5.13.19      5865 = 3.5.17.23     8265 = 3.5.19.29
1785 = 3.5.7. 17         3135 = 3.5.11.19        4485 = 3.5.13.23      7395 = 3.5.17.29     8835 = 3.5.19.31
1995 = 3.5.7.19          3795 = 3.5.11.23        5655 = 3.5.13.29      7905 = 3.5.17.31
2415 = 3.5.7.23          4785 = 3.5.11.29        6045 = 3.5.13.31      9435 = 3.5.17.37    9177 = 3.7.19.23
3045= 3.5.7.29           5115 = 3.5.11.31        7215 = 3.5.13.37
3255 = 3.5.7.31          6105 = 3.5.11.37        7995 = 3.5.13.41      6783 = 3.7.17.19    7735 = 5.7.13.17
3885 = 3.5.7.37          6765 = 3.5.11.41        8385 = 3.5.13.43      8211 = 3.7.17.23    8645 = 5.7.13.19
4305 = 3.5.7.41          7095 = 3.5.11.43        9165 = 3.5.13.47
4515 = 3.5.7.43          7755 = 3.5.11.47
4935 = 3.5.7.47          8745 = 3.5.11.53        4641 = 3.7.13.17      5005 = 5.7.11.13
5565 = 3.5.7.53          9735 = 3.5.11.59        5187 = 3.7.13.19      6545 = 5.7.11.17
6195 = 3.5.7.59                                             6279 = 3.7.13.23      7315 = 5.7.11.19
6405 = 3.5.7.61                                             7917 = 3.7.13.29      8855 = 5.7.11.23
7035 = 3.5.7.67         3003 = 3.7.11.13         8463 = 3.7.13.31
7455 = 3.5.7.71         3927 = 3.7.11.17
7665 = 3.5.7.73         4389 = 3.7.11.19        7293 = 3.11.13.17
8295 = 3.5.7.79         5313 = 3.7.11.23        8151 = 3.11.13.19
8715 = 3.5.7.83         6699 = 3.7.11.29        9867 = 3.11.13.23
9345 = 3.5.7.89         7161 = 3.7.11.31

                                  8547 = 3.7.11.37
                                  9471 = 3.7.11.41
                                  9933 = 3.7.11.43

Παράρτημα 2

Οι περιττοί πρώτοι  αποτελούν σύνολο με πληθικό αριθμό μετρήσιμα άπειρο, ίσο με το άπειρο σύνολο των Φυσικών αριθμών. Οι συνδυασμοί τους ανά τέσσερις είναι επίσης άπειροι και άρα το πληθικό σύνολο του απειροσυνόλου των αριθμών τεσσάρων διαστάσεων είναι μετρήσιμα άπειρο.
Παρόλο που οι αριθμοί τεσσάρων διαστάσεων συγκροτούν υποσύνολο των περιττών αριθμών εντούτοις ο πληθικός αριθμός του υποσυνόλου αυτού είναι ίσος με τον πληθικό αριθμό του απειροσυνόλου των περιττών αριθμών, με τον ίδιο τρόπο που το απειροσύνολο των περιττών είναι πληθικά ισοδύναμο με το απειροσύνολο των φυσικών.