Η τριγωνομετρική εξίσωση της τριτοβάθμιας εξίσωσης από τον Francois Viete

Για τη λύση της ελλιπούς τριτοβάθμιας, ο Franscois Viete¹ χρησιμοποίησε όχι μόνο αλγεβρικό, αλλά και τριγωνομετρικό μετασχηματισμό της εξίσωσης του Del Ferro. Ας δούμε λοιπόν την λύση που έδωσε

Έστω λοιπόν η εξίσωση χ³ =pχ+q   με p, q πραγματικούς αριθμούς και p>0

1^ος Μετασχηματισμός

Έστω p= 3 α² και q= α² β και άρα η εξίσωση μας παίρνει τη μορφή

χ³ =3 α² χ+  α² β        (1)

2^ος Μετασχηματισμός

Θέτουμε  cos θ = χ/2 α και αντικαθιστούμε τον τελευταίο μετασχηματισμό στην  

τριγωνομετρική ταυτότητα² 

cos³ θ = ¾ cos θ + ¼ cos 3θ

έχουμε:

(χ³/8 α³) = (3 χ / 8 α ) + ¼  cos 3θ

→ χ³ = 3 α² χ + 2 α³ cos 3θ             (2)

Συνδυάζοντας τις  εξισώσεις (1) και (2) που προκύπτουν από τους αντίστοιχους μετασχηματισμούς έχουμε:

α² β = 2 α³ cos 3θ

→ cos 3θ = β/2 α

→3θ = arc cos (β/2 α)

→ θ = ⅓ [arc cos (β/2 α)]

χ = 2 α cos θ

→ χ = 2 √ (p/3) cos { ⅓[arc cos ( 3 √3 q /2 p√ p )] }

Παραδείγματα επίλυσης  τριτοβάθμιας κατά Viete:

1^ον Παράδειγμα

 Έστω η εξίσωση χ³ = 20 χ + 25

p = 20 → α² = 20/3

→ α= 2 √ (5/3)

q = α² β → β = q / α² = 25/ (20/3)

→ β = 15/4

cos 3θ = β/2 α = (15 √3 ) / (16√ 5 )

cos 3θ = 0,726184377

3θ = 360 κ ± 43°, 43253656    και κ = 0,1,2

Για κ = 0, θ = 14°, 47751219  και θ = - 14°, 47751219 

Για κ = 1, θ = 134°, 47751219  και θ = 105°, 5224878

Για κ = 2, θ = 254°, 47751219  και θ = 225°, 5224878

Εφαρμόζουμε τις λύσεις της τριγωνομετρικής εξίσωσης  στον τύπο Χ = 2 α cos θ, που προκύπτει αν λύσουμε τον δεύτερο μετασχηματισμό ως προς Χ.

Χ1 = 2 α cos θ = 4 √ (5/3) . cos  14°, 47751219 

Χ1 = 5

Όμοια Χ1 = 5 για θ = - 14°, 47751219 

Χ2 = 2 α cos θ = 4 √ (5/3) . cos 134°, 47751219

Χ2 = - 3,618033983...

Όμοια Χ2 = - 3,618033983...για θ = 225°, 5224878..

Χ3 = 2 α cos θ = 4 √ (5/3) . cos 254°, 47751219

Χ3 = -1,381966019

Όμοια Χ3 = -1,381966019...για θ = 105°, 5224878..

2^ον Παράδειγμα

Έστω η εξίσωση χ³ = 19 χ - 30

p = 19 → α² = 19/3

→ α=  √ (19/3)

q = α² β → β = q / α² = - 30/ (19/3)

→ β = - 90/ 19

cos 3θ = β/2 α = (- 90 √3 ) / (38√ 19 )

cos 3θ = -0,941115095...

3θ = 360 κ ± 160°,239673339..     και κ = 0,1,2

Για κ = 0, θ =53°, 41322445,... και θ = - 53°, 41322445,...

Για κ = 1, θ = 173°,4132244...  και θ = 66°, 58677555...

Για κ = 2, θ = 293,413224433...  και θ = 186°, 586775567...

Εφαρμόζουμε τις λύσεις της τριγωνομετρικής εξίσωσης  στον τύπο Χ = 2 α cos θ, που προκύπτει αν λύσουμε τον δεύτερο μετασχηματισμό ως προς Χ.

Χ1 = 2 α cos θ = 2√ (19/3) . cos   53°, 41322445,...  

Χ1 = 3

Όμοια Χ1 = 3 για θ = -  53°, 41322445,...   

Χ2 = 2 α cos θ = 2 √ (19/3) . cos 173°, 41322445..  

Χ2 = - 5

Όμοια Χ2 = - 5 για θ = 186°, 586775567...

Χ3 = 2 α cos θ = 2 √ (19/3) . cos 293,413224433

Χ3 = 2

Όμοια Χ3 = 2 για θ = 66°, 58677555.....

Σημειώσεις

1. Ο Franscois Viete (1540-1603) ήταν Γάλλος Μαθηματικός με αξιοσημείωτο έργο στην άλγεβρα. Ήταν δικηγόρος, σύμβουλος των βασιλέων της Γαλλίας Ερρίκου 3^ου και 4^ου . Το μαθηματικό του έργο το ανέπτυσσε κατά τον ελεύθερο του χρόνο, ως πάρεργο. (hobby)

2. Ο τύπος  cos³ θ = ¾ cos θ + ¼ cos 3θ μπορεί να προέλθει ως ειδική περίπτωση του τύπου

cos ( φ + θ ) = cos φ cos θ -   sin φ sin θ.

Θέτοντας φ = 2 θ έχουμε

cos 3 θ = cos 2 θ cos θ  -   sin 2 θ  sin θ              (1)

Όμως cos 2 θ = cos² θ - sin² θ  και sin² θ = 1 - cos² θ

→ cos 2 θ = 2 cos² θ – 1   (2)

Επίσης sin 2 θ  = 2 sin θ cos  θ  (3)

Συνδυάζοντας τις προτάσεις (1), (2) και (3) έχουμε:

cos 3 θ = (2 cos² θ – 1 ) cos θ  -  2 sin² θ cos  θ   

→  cos 3 θ = 2 cos³ θ – cos θ  -  2 (1 - cos ² θ ) cos  θ 

→ cos 3 θ = 4 cos³ θ –  3 cos θ 

→   cos³ θ = ¾ cos θ + ¼ cos 3θ

Μ. Πόλης.

Πνευματικά Δικαιώματα: Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου της πιο πάνω εργασίας με αναφορά στο όνομα του συγγραφέα και της ιστοσελίδας