Τετραγωνισμοί

Μιχάλης Α. Πόλης Εκπαιδευτικός Η αναφορά στη ρύμη του λόγου της έκφρασης « τετραγωνισμός του κύκλου» οριοθετεί την έννοια ενός άκρως δισεπίλυτου προβλήματος, κάτι σαν τον γόρδιο δεσμό. Η ρίζα της έκφρασης οφείλεται στους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς, οι οποίοι προσπαθούσαν να κατασκευάσουν με χάρακα και διαβήτη τετράγωνο ίσου  εμβαδού με κύκλο γνωστής ακτίνας. Αν και διάφοροι  μαθηματικοί όπως ο Αρχιμήδης, ο Ιππίας και άλλοι εισηγήθηκαν ευφυείς τρόπους επίλυσης του προβλήματος, οι λύσεις αυτές δεν τηρούσαν την βασική αρχή της αρχαίας Ελληνικής Γεωμετρίας που ήταν η προσπέλαση των προβλημάτων μόνο με το σχεδιασμό ευθειών γραμμών και τόξων δηλαδή με τη χρήση χάρακα και διαβήτη. Ο λόγος της αδυναμίας λύσης του προβλήματος γεωμετρικά, είναι αντικειμενικά μαθηματικός, γιατί ο αριθμός π=3,14159..είναι άρρητος και υπερβατικός και μη κατασκευάσιμος με χάρακα και διαβήτη. Η αδυναμία γεωμετρικής επίλυσης του προβλήματος αποδείχτηκε από το γερμανό μαθηματικό Lindemann το 1882. Η ερασιτεχνική μελέτη των μαθηματικών, μια διαχρονική αγαπημένη απασχόληση, καταπιεσμένη από την βιοτική ανάγκη, τη δουλειά, τις καθημερινές μέριμνες κλπ βρίσκει διέξοδο τις μέρες της σχόλης, ιδίως τις καλοκαιρινές διακοπές, που παρέχουν χρόνο για αυτοσυγκέντρωση και πνευματική άσκηση. Αν και ο τετραγωνισμός του κύκλου δεν μπορεί να επιτευχθεί με χάρακα και διαβήτη, ο τετραγωνισμός απλών γεωμετρικών σχημάτων όπως το ορθογώνιο και το τρίγωνο είναι απλός με την κλασσική ευκλείδεια μέθοδο. Μακριά από το πολύβουο περιβάλλον του σχολείου, μόνος στο γραφείο μου, υπάρχει άφθονος χρόνος για να πάρω το χάρακα και το διαβήτη και με σκέψη και περισυλλογή να αγγίξω την ουσία της μεθόδου των αρχαίων Ελλήνων γεωμετρών. Είμαι χαρούμενος γιατί   απασχολούμαι  με μια δραστηριότητα που με ενδιαφέρει. Στα πλαίσια αυτά θα παρουσιάσω δύο σχετικά απλά παραδείγματα τετραγωνισμού ευθυγράμμων σχημάτων. 1.      Τετραγωνισμός δοθέντος ορθογωνίου Αν έχουμε ένα τυχαίο ορθογώνιο πώς μπορούμε μόνο με χάρακα και διαβήτη να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο με ίσο εμβαδόν; Ας θυμηθούμε ότι ο χάρακας απλώς χαράζει ευθείες γραμμές ακαθόριστου μήκους, ενώ ο διαβήτης τόξα κύκλου. Ο χάρακας μας δεν χρησιμοποιείται σαν την ρίγα, ενώ ο διαβήτης μπορεί εκτός από τόξα  να οριοθετεί ίσα διαστήματα πάνω σε δεδομένες γραμμές.  Ας πάμε όμως στο πρώτο πρόβλημα πιο αναλυτικά. Παρουσίαση του προβλήματος Το 14ο λήμμα του Δευτέρου Βιβλίου των Στοιχείων¹ του Ευκλείδη λύει το πρόβλημα της κατασκευής τετραγώνου, ίσου προς δοθέν ορθογώνιο με γνωστές τις διαστάσεις ως εξής: ( Η απόδοση του λεκτικού του προβλήματος και της μεθοδολογίας λύσης που ακολουθεί χρησιμοποιεί σύγχρονη μαθηματική ορολογία) Έστω ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ κατά  ΒΕ = ΒΓ. Ακολούθως διχοτομούμε¹ την ΑΕ και έστω Ο το μέσον αυτής. Με ακτίνα ΑΟ γράφουμε ημικύκλιο εκτός του ορθογωνίου ΑΒΓΔ και ακολούθως επεκτείνουμε την ΒΓ προς την πλευρά του Β μέχρι να τέμνει το ημικύκλιο σε σημείο της περιφέρειας το οποίο ονομάζουμε Ζ. Η ΒΖ είναι η ζητούμενη πλευρά του  τετραγώνου που έχει ίσο εμβαδόν με το ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Ακολούθως κατασκευάζουμε το τετράγωνο προσδιορίζοντας το σημείο Η στην προέκταση της ΑΕ τέτοιο ώστε ΒΖ = ΒΗ Ύστερα προσδιορίζουμε την τέταρτη κορυφή του ζητούμενου τετραγώνου γράφοντας από τα σημεία Ζ και Η τόξα κύκλου ακτίνας ίσης με τη ΒΖ και ορίζοντας το Θ ως το σημείο τομής τους. Το τετράγωνο ΒΗΘΙ είναι το ζητούμενο σχήμα. ( Τα σχήματα επισυνάπτονται σε ξεχωριστό έγγραφο ) Απόδειξη: Έστω ότι ΑΒ = α, και ΒΓ = β. Προφανώς το εμβαδόν του ΑΒΓΔ = α. β ΒΕ = β και άρα ΑΕ = α + β Προφανώς η ακτίνα του κύκλου ΑΟ = ½ (α + β) ΟΒ= ΟΕ- ΒΕ=½ (α + β) - β = =½ (α-β) Αφού το τρίγωνο ΒΟΖ είναι ορθογώνιο μπορούμε να ορίσουμε το μήκος του ΒΖ με τη χρήση του πυθαγορείου θεωρήματος. ΒΖ² = ΟΖ² - ΟΒ² ⇾ ΒΖ² = [ ½ (α + β)]² - [ ½ (α - β)]²                    (σημ. 2) ⇾ ΒΖ² = [ ½ (α + β) + ½ (α - β)] [ ½ (α + β) - ½ (α - β)]  ΒΖ² = α. β = ΑΒ. ΒΓ Εφόσον ΒΖ² = ΑΒ. ΒΓ είναι φανερό ότι το ΑΒΓΔ έχει ίσο εμβαδόν με το τετράγωνο ΒΗΘΖ και άρα η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί 2. Τετραγωνισμός τριγώνου Η ενασχόληση μου με το πρόβλημα του τετραγωνισμού του τριγώνου είναι μια προσπάθεια να εφαρμόσω και επεκτείνω τη γνώση του προηγούμενου προβλήματος στη λύση ενός άλλου παρόμοιου. Δεν πήρα τη λύση από κάποιο βιβλίο, απλώς ήταν μια δική μου προσπάθεια. Αυτό δεν σημαίνει ότι είναι πρωτότυπη. Εξάλλου είναι απλή εφαρμογή στοιχειωδών γνώσεων γεωμετρίας. Το πρόβλημα Ζητείται όπως κατασκευαστεί, μόνο με τη χρήση χάρακα και διαβήτη τετράγωνο ίσου εμβαδού με δοθέν τρίγωνο ΑΒΓ Η λύση Έστω τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ. Από το σημείο Γ γράφουμε το ύψος³ ΓΔ επί της πλευράς ΑΒ. Προεκτείνουμε την ΑΒ κατά  ΒΕ = ΓΔ.  Ακολούθως διχοτομούμε την ΑΕ και έστω Ο το μέσον αυτής. Με ακτίνα ΑΟ γράφουμε ημικύκλιο εκτός του τριγώνου ΑΒΓ και ακολούθως γράφουμε κάθετο επί της ΑΕ στο σημείο   Β που τέμνει το ημικύκλιο σε σημείο της περιφέρειας το οποίο ονομάζουμε Ζ.  Διχοτομούμε τη ΒΖ και έστω Η το μέσον αυτής. Προσδιορίζουμε ακολούθως σημείο Θ επί της ΒΕ τέτοιο ώστε ΒΗ = ΒΘ. Γράφουμε την ΗΘ που είναι η πλευρά του ζητούμενου τετραγώνου. Σχεδιάζουμε ακολούθως κάθετες γραμμές επί της ΗΘ στα σημεία Η και Θ Προσδιορίζουμε σημεία Ι και Κ πάνω στις κάθετες τέτοια ώστε ΗΘ = ΘΚ = ΚΙ = ΙΗ. Το ΗΘΙΚ είναι το ζητούμενο  τετράγωνο που έχει ίσο εμβαδόν με το αρχικό τρίγωνο ΑΒΓ. ( Τα σχήματα επισυνάπτονται σε ξεχωριστό έγγραφο) Απόδειξη Έστω ότι ΑΒ = α, και ΓΔ = υ. Προφανώς το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ = ½ α. υ ΒΕ = υ και άρα ΑΕ = α + υ ΑΟ = ½  και άρα ΑΟ = ½ (α+ υ) ΟΑ =ΟΕ = ΟΖ = ½ (α+ υ) αφού όλες είναι ακτίνες του ιδίου κύκλου. ⇾ΟΒ = ΟΕ – ΒΕ = ½ (α+ υ) – υ ⇾ ΟΒ =  ½ (α- υ) Εφόσον το τρίγωνο ΒΖΟ είναι ορθογώνιο (Β ορθή ) εκ του πυθαγορείου θεωρήματος προκύπτει ότι: ΒΖ² = ΟΖ² - ΟΒ² ⇾ ΒΖ² = [½ (α+ υ)] ² - [½ (α- υ)] ² ⇾ ΒΖ² = α. υ και άρα ΒΖ = √(α. υ) Όμως ΒΗ = ΒΘ = ΒΖ/2 ⇾ ΒΗ = ½√(α. υ) Αφού το τρίγωνο ΒΗΘ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος της ΗΘ που είναι η πλευρά του ζητούμενου τετραγώνου με τη χρήση του πυθαγορείου θεωρήματος. ΗΘ² = ΒΗ²  + ΒΘ² = 2 ΒΗ² ⇾ ΗΘ² = 2 [  ½√(α. υ)]² ⇾ ΗΘ² = ½ α . υ Και προφανώς το τετράγωνο ΗΘΙΚ έχει ίσο εμβαδόν με το αρχικό τρίγωνο ΑΒΓ. Σημειώσεις 1.      Για τη διχοτόμηση δοθέντος τμήματος γράφομε κυκλικά τόξα ίσης ακτίνας από τα άκρα του. Η ακτίνα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μισό του τμήματος. Τα κυκλικά τόξα ορίζουν τη μεσοκάθετη του τμήματος η οποία το τέμνει ακριβώς στη μέση. 1.      Η παράσταση [ ½ (α + β)]² - [ ½ (α - β)]²   είναι διαφορά τετραγώνων και αναλύεται με βάση τη γνωστή ταυτότητα α² - β² = (α + β ) ( α – β ). 1.      Για να φέρουμε το ύψος από την κορυφή τριγώνου προς την απέναντι πλευρά ενεργούμε ως εξής. Από την κορυφή του τριγώνου γράφουμε τόξο κύκλου που τέμνει την απέναντι πλευρά σε δύο σημεία. Ακολούθως διχοτομούμε το ευθύγραμμο τμήμα που προκύπτει από τα δύο σημεία με βάση όσα αναφέρονται στη σημείωση 1. Ενώνουμε το μέσο του τμήματος με την κορυφή του τριγώνου και έχουμε το ζητούμενο ύψος. 2.        Βιβλιογραφία – πηγές 1.      Cuomo S Αρχαία Μαθηματικά, Εκδόσεις Ενάλιος 2001 1.      Δημήτρης Τσιμπουράκης, Η γεωμετρία και οι εργάτες της στην αρχαία Ελλάδα, εκδόσεις  ALIEN 1985 1.      Χρ. Γ. Παπανικολάου, Ευκλείδειος Γεωμετρία, Εκδόσεις ΟΕΔΒ 1978

Ηράκλειτος και Χριστιανισμός: Οι ουσιώδεις διαφορές

1)      Ο Χριστιανισμός θεωρεί ότι το σύμπαν δημιουργήθηκε από το Θεό εκ του μηδενός με μόνο το λόγο του. Ο Ηράκλειτος θεωρεί τον κόσμο ως αυθύπαρκτη οντότητα, που περιοδικά δημιουργείται και καταστρέφεται. Δεν υπάρχει αρχή του κόσμου σύμφωνα με αυτή τη θεώρηση. Ο κόσμος θεωρείται αιώνιος.  Περεταίρω δεν αποτελεί κατά τον σκοτεινό Εφέσιο το σύμπαν δημιούργημα κανενός θεού ή ανθρώπου, αλλά είναι αείζωο πυρ που δημιουργείται και καταστρέφεται, ανάβει και σβήνει με βάση κάποιους φυσικούς νόμους, μέτρα τους ονομάζει, και όχι άτακτα και χαοτικά. Χαρακτηριστικό είναι το απόσπασμα 30 που λέει ότι « Τον κόσμο αυτό, που είναι ο ίδιος για όλα τα όντα δεν τον έπλασε μήτε θεός μήτε άνθρωπος...» Η σαφής αυτή ομολογία θα ήταν ικανή να εξασφαλίσει την εσχάτη των ποινών μπροστά σε ένα θρησκευτικό δικαστήριο του Μεσαίωνα. Ευτυχώς γιαυτόν που τη διατύπωσε, είχε ζήσει πολλούς αιώνες πριν την χριστιανική ιερή εξέταση.

 Απεναντίας το σύμπαν της ύλης για τους χριστιανούς έχει αρχή και τέλος. Ο ουρανός και η γη θα παρέλθουν λέει ο Ιησούς ( Μάρκος, κεφ.13 , 29 ) οι δε λόγοι μου θα μείνουν αιώνια. Κατ’ επέκταση ο χριστιανικός χρόνος είναι γραμμικός, ένας μονόδρομος που οδηγεί από τη Δημιουργία στην Δευτέρα Παρουσία. Πριν και μετά τα ορόσημα αυτά η αιωνιότητα. Από την άλλη η φιλοσοφία του Εφέσιου σοφού οδηγεί στην άποψη ότι ο χρόνος είναι κυκλικός. Υπάρχουν άπειρες δημιουργίες και καταστροφές αυτού του κόσμου. Αρχή της δημιουργίας η φωτιά, που μετατρέπεται σε θάλασσα και αυτή σε γη και ουρανό. Στο τέλος αυτά εκπυρώνονται και η διαδικασία επαναλαμβάνεται αενάως.

 

2) Είναι χαρακτηριστική η ρήση του Ηράκλειτου ότι ο ήλιος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα μέτρα γιατί αν το κάνει οι Ερινύες θα τον βρουν και θα τον τιμωρήσουν. (Απ. 94) Θεοί, άνθρωποι και σύμπαν υπόκεινται σε νόμους, τους οποίους δεν μπορούν να  παραβιάσουν. Ο υπέρτατος κύριος για τον Ηράκλειτο είναι ο φυσικός νόμος, που είναι εγγενές χαρακτηριστικό του Λόγου, του πυρφόρου συμπαντικού θεού που συνέχει το σύμπαν. Ο Χριστιανισμός δεν δέχεται το μέτρο που περιορίζει την εξουσία του θεού. Ο Τριαδικός Θεός είναι υπέρτερος του φυσικού νόμου, διότι αυτός τον δημιουργήσε. Όπως παρατηρούμε ήδη στην Παλαιά Διαθήκη, υπάρχει αναφορά σε υπερφυσικές παρεμβάσεις του Θεού στον κόσμο που εμφανώς παραβιάζουν το φυσικό νόμο. Σε μια περίπτωση ο Θεός φέρεται να σταμάτησε τον ήλιο, για να μπορέσουν οι Ισραηλίτες να τελειώσουν νικηφόρα μια μάχη. Ο Ιησούς στην Καινή Διαθήκη ανασταίνει νεκρούς, ξεπαιρνώντας το μη αναστρέξιμο του θανάτου. Χαρακτηριστικός δε είναι ο χαρακτηρισμός του Θεού ως παντοδύναμος, που φανερώνει ακριβώς την απεριόριστη ισχύ και δυνατότητες του.

3) Διαφορά υπάρχει και στον ορισμό του καλού και του κακού.Ο Χριστιανισμός θεωρεί τον Θεό ως το αιώνιο, άτρεπτο, αναλλοίωτο αγαθό ον, προσωποποίηση του καλού. Απεναντίας το κακό οντολογικά για τη μονοθεϊστική αυτή θρησκεία είναι ανύπαρκτο. Δεν υπάρχει εξ’αντικειμένου αλλά είναι η απομάκρυνση του ανθρώπου από το Θεό και η αυτονόμηση του. Ο Θεός ανέχεται την απομάκρυνση του ανθρώπου από αυτόν σεβόμενος την ελευθερία του και το αυτεξούσιο. Το κακό οριοθετεί την ροπή της ύλης προς το μηδέν, το μη ον. Βέβαια η ύλη έχει άκομα μια ροπή, αυτή της θέωσης που πραγματώνεται μόνο κοντά στο Θεό. καταληκτικά το καλό είναι ο Θεός, η απόλυτη και αιώνια ύπαρξη, το δε κακό είναι η αποστασία, η ανυπαρξία, το μηδεν.

    Από την άλλη ο Εφέσιος φυσικός φιλόσοφος θεωρεί ότι ο θεός υπερβαίνει την αντίθεση καλού και κακού. Είναι γενικά η υπέρβαση των αντιθέτων, που ως τέτοια συλλαμβάνονται από τους ανθρώπους. Είναι τρεπτός συμμετέχοντας στην συνεχή κίνηση και αλλαγή του σύμπαντος, αλλά και άτρεπτος αφού η ίδια η αλλάγη είναι αναλλοιώτος κανόνας. Η μορφή αλλάζει, η ουσία του σύμπαντος, δηλαδή το πύρ, είναι αναλλοίωτο. Το καλό και το κακό, το δίκαιο και το άδικο αποτελούν τις υποκειμενικές, μερικές απόψεις των πεπερασμένων όντων που τις βιώνουν. Από την άλλη ο Θεός μορφοποιώντας την ολότητα του σύμπαντος βρίσκεται πάνω από το καλό και το κακό. Όπως χαρακτηριστικά λέει το απόσπασμα  « για το θεό τα πάντα είναι καλά, αγαθά και δίκαια όμως οι άνθρωποι θεωρούν άλλα άδικα και άλλα δίκαια».Καλό και κακό είναι οι δύο όψεις του ιδίου νομίσματος, οι δύο αντίθετοι πόλοι του ιδίου μαγνήτη.

4) Ο Χριστιανισμός θεωρεί το Θεό ως κοινωνία τριών προσώπων. Απεναντίας ο θεός του Ηράκλειτου είναι απρόσωπος. Τα πρόσωπα της Αγίας Τριάδας κατά κάποιο τρόπο ομοιάζουν με τα ανθρώπινα πνευματικά χαρακτηριστικά. Αυτό γιατί οι  άνθρωποι είναι πλασμένοι κατ’εικόνα και ομοίωση του Θεού ότι και να σημαίνει αυτό. Ο αυτοδημιουργούμενος θεός του Ηράκλειτου είναι μια μη προσωπική, πανταχού διαχεόμενη, πυρφόρος , ενεργητική αρχή. Δεν μπορεί να ξεχωρίσει από το σύμπαν γιατί αποτελεί την συνεκτική του αρχή. Τα πάντα αρχίζουν και τελειώνουν στο πυρ, το ίδιο και ο πυρφόρος συμπαντικός νους ο Λόγος. Η δοξασία του Ηράκλειτου καταλήγει σε ένα πανθεϊσμό, αφού τα πάντα έχουν ένα μέρος της ουσίας του Θεού.Σε αντίθεση η ουσία του Χριστιανικού  Θεού αντιδιαστέλλεται από τη φθαρτή ουσία του σύμπαντος. Η Αγία Τριάδα είναι άτρεπτη και αναλλοίωτη, μη υποκείμενη σε οποιαδήποτε μεταβολή, είναι αιώνια εφόσον πάντοτε υπάρχει πάνω και πέραν από το χρόνο.

    Ο άνθρωπος, κατά τον Ηράκλειτο μπορεί να πλησιάσει να ενωθεί με το Θεό, χρησιμοποιώντας την ενδοσκόπηση, την ενόραση , την συστηματική αναζήτηση. Όταν οι άνθρωποι τον ρώτησαν πως γνωρίζει όσα γνωρίζει, τους απάντησε ότι ερεύνησε τον εαυτό του. ( απ. 101 ). Εξάλλου πίστευε ότι ο άνθρωπος μπορεί να γνωρίσει τον Θεό, αφού έλεγε ότι σοφία είναι να γνωρίζει κανείς την αρχή που κυβερνά κανείς τα πάντα δια των πάντων. (απ. 41 ). Προφανώς ο Θεός του Ηράκλειτου δεν διαφέρει στην ουσία του από τον κόσμο, κατά κάποιο τρόπο είναι ο κόσμος, και άρα είναι προσβάσιμος από τον άνθρωπο, που θα δεί την ολότητα και την ενότητα του σύμπαντος και θα βιώσει τον εαυτό του ως μέρος της ενότητας. Από την άλλη ο Θεός του Χριστιανισμού δεν είναι άμεσα προσβάσιμος στον άνθρωπο. Ότι ξέρουμε γιαυτόν είναι ότι ο ίδιος, μέσω του Ιησού Χριστού και των προφητών μας αποκάλυψε, στην ουσία του δε παραμένει άγνωστος.Ο άνθρωπος δεν μπορεί να γνωρίσει το Θεό, να ενωθεί με αυτόν, χωρίς την μεσιτεία του Ιησού Χριστού και των διαδόχων του, δηλαδή του Χριστιανικού Ιερατείου. Αν και κοινωνία προσώπων η Αγία Τριάδα είναι απρόσιτη στον πιστό χωρίς την ενέργεια των μεσαζόντων, του Ιερατείου, που έχει το δικαίωμα, αυτό και μόνο να εκτελεί τα μυστήρια της εκκλησίας. Αν και απρόσωπος δε ο Θεός του Ηράκλειτου είναι πιο οικίος γιατί είναι προσβάσιμος χωρίς μεσάζοντες από τον άνθρωπο που τον ζητά....

6)  Ο Χριστιανισμός βλέπει τον άνθρωπο ως ψυχοσωματική ενότητα. Η ψυχή υπάρχει όταν υπάρχει το σώμα, αυτό προφανώς συμβαίνει με τη σύλληψη. Δεν υπάρχει ψυχή πριν τη σύλληψη, όπως δεν υπάρχει και σώμα. Προφανώς ο Χριστιανισμός δεν δέχεται τη Θεωρία της μετενψύχωσης. Μετά το θάνατο του ανθρώπου το σώμα του αποσυντίθεται, η δε ψυχή περιμένει την Δευτέρα παρουσία του Χριστού και την τελική του κρίση. Αναλόγως της κρίσης αυτής το αναγεννημένο σώμα του ανθρώπου θα τοποθετηθεί στην κόλαση ή τον παράδεισο. Μιλάμε για αναγεννημένο σώμα εφόσον, άπαντες κατά τη Δευτέρα παρουσία θα αναστηθούν σωματικά και θα παρουσιαστούν μπροστά στον Κριτή.

    Ο Ηράκλειτος από την άλλη θεωρεί την ψυχή και το σώμα ως δύο διαφορετικές οντότητες. Η ψυχή προϋπάρχει του σώματος, το οποίο θεωρείται από αυτόν ως φυλακή της ψυχής, σύμφωνα και με τις ορφικές αντιλήψεις. Το απόσπασμα 77 πολύ χαρακτηριστικά λέει ότι για τις ψυχές είναι τέρψη ή θάνατος το να γίνουν υγρές. Τέρψη είναι το να πέσουν στον κόσμο της γεννήσεως. Είναι φανερή η πίστη στην ύπαρξη της ψυχής ανεξάρτητα και πριν από το σώμα. Στο ίδιο απόσπασμα ο Ηράκλειτος λέει : « Εμείς ζούμε το θάνατο εκείνων ( των ψυχών ), ενώ εκείνες ζουν το δικό μας θάνατο.» Για τις ψυχές η ενσάρκωση είναι κάτι σαν φυλακή, θάνατος. Ενσαρκούμενη η ψυχή φυλακίζεται στο υλικό σώμα, πέφτει, πεθαίνει στον κόσμο της ύλης. Με το θάνατο η ψυχή απελευθερώνεται, η φυλακή της δεν υπάρχει πλέον είναι ελεύθερη να φύγει. Η πιο πάνω Ηρακλείτια θεωρία δεν είναι ασύμβατη με την αντίστοιχη θεωρία της μετεμψύχωσης. Όστοσο δεν έχουν διασωθεί σαφείς αναφορές του Εφέσιου σοφού υπέρ της μετεμψύχωσης. Στο απόσπασμα 98 αναφέρεται ότι οι ψυχές οσφραίνονται στον Άδη. Ακόμα στο απόσπασμα 27 αναφέρει ότι μετά το θάνατο περιμένουν τους ανθρώπους όσα ούτε ελπίζουν ούτε φαντάζονται. Προφανώς υπάρχει αναφορά στην επιβίωση της ψυχής σε ένα άλλο κόσμο μετά τον θάνατο. Το αν η επιβίωση αυτή αποτελεί την εναλλακτική επιλογή μιας μετεμψύχωσης δεν διευκρινίζεται. Μήπως υπάρχει μια αρχή που ανάλογα με τα έργα της ψυχής θα την κρίνει; Μήπως μια αρνητική κρίση σημαίνει μετενσάρκωση ενώ μια θετική οδηγεί σε ένα Ηρακλείτιο παράδεισο; Τα διασωθέντα στοιχεία είναι ανεπαρκή για να δώσουμε απαντήσεις...

7) Ο Ηράκλειτος είναι εναντίον της προσκύνησης των ομοιομάτων των Θεών. Θεωρεί την πράξη αυτή ανόητη γιατί ο θεός στην ουσία του είναι άσχετος με το υλικό του ομοιώματος. Ένας άνθρωπος που προσεύχεται σε ένα άγαλμα είναι σαν να μιλά σε ένα τοίχο. Πόσο ανόητος είναι άραγε ένας άνθρωπος που απευθύνεται σε ένα ομοίωμα σαν να μιλά στον ίδιο το Θεό; Προφανώς ο άνθρωπος αυτός στερείται στοιχειώδους γνώσης αναφορικά με αυτό που προσκυνά. Οι απόψεις αυτές εκφράζονται στο απόσπασμα 5. Σ’αυτό κακίζονται όσοι προσεύχονται στ’αγάλματα ως μη έχοντες καμμιά επίγνωση της ουσίας των θεών, τους οποίους συγχίζουν με τα ομοιώματα τους. Ακόμα θεωρεί ότι το να προσπαθεί να εξαγνιστεί κάποιος με τα αίματα των θυσιών, ισοδυναμεί με το να προσπαθεί να ξεπλυθεί κάποιος με λάσπη.

    Αν ο Εφέσιος σοφός ζούσε την εποχή της εικονομαχίας θα ήταν εικονομάχος. Προφανώς θα διαφωνούσε και με τις ανάλογες υπερβολές που γίνονται σήμερα. Τι θα έλεγε άραγε ο Ηράκλειτος βλέποντας τους πιστούς να προσκυνούν κομμάτια από το τίμιο ξύλο  , χιτώνες και άλλα ενδύματα και υποδήματα του Χριστού και των αγίων, άγια οστά, δακρυροούσες εικόνες και άλλα συναφή προσκυνήματα; Πώς θα αντιμετώπιζε το γεγονός ότι εικόνες του ιδίου αγίου χωρίζονται σε θαυματουργές και μη;Σίγουρα θα κάκιζε την αφέλεια των πιστών. Θα έλεγε ότι το χρώμα μιας εικόνας, το υλικό ενός υφάσματος ή ένα οστό δεν αντιπροσωπεύει κατ’ ανάγκη κάτι το υπερφυσικό. Ακόμα πως είναι άτοπο το γεγονός ότι η εικόνα της Παναγίας ενός ναού δεν είναι θαυματουργή, ενώ άλλου είναι. Ακόμα ότι το ξύλο ή το ύφασμα ή το οστό δεν μπορεί να είναι άγιο, το ομοίωμα δεν μπορεί να ταυτίζεται με το πρωτότυπο. Προφανώς θα έλεγε ακόμα ξεκάθαρα ότι η όλη επιχείρηση προσκυνήματος ιερών αντικειμένων δεν βοηθά τον πιστό αλλά τα οικονομικά των ιερατείων, που εισπράττουν πάντοτε τις γενναίες εισφορές των πιστών.     

    

Τάδε έφη Ηράκλειτος κόσμον τόνδε, τὸν αὐτὸν ἁπάντων, οὔτε τις θεῶν οὔτε ἀνθρώπων ἐποίησεν, ἀλλ᾽ ἦν ἀεὶ καὶ ἔστιν καὶ ἔσται πῦρ ἀείζωον ἁπτόμενον μέτρα καὶ ἀποσβεννύμενον μέτρα.

Αυτόν εδώ τον κόσμο, τον ίδιο για όλους, ούτε κανείς θεός ούτε άνθρωπος τον έπλασε, αλλ’ ήταν από πάντα και είναι και θα είναι αιώνια ζωντανή φωτιά, που ανάβει με μέτρο και σβήνει με μέτρο.

Ηράκλειτος και Χριστιανισμός: Σημεία προσέγγισης

1) Ο Χριστός μίλησε με παραβολές. Αυτό γιατί ο λόγος του έπρεπε να γίνει κατανοητός από τον κόσμο. Παρόλο που ο Λόγος του ήταν κοινός, υπήρχαν δύο επίπεδα κατανόησης. Το ένα για τους πολλούς , τον λαό που άκουε τις παραβολές και μέ αυτές προσέγγιζε την αλήθεια. Σε ένα δεύτερο, υψηλότερο επίπεδο, οι μαθητές άκουγαν τις ίδιες ιστορίες, εμβάθυναν το νόημα τους με την βοήθεια του δασκάλου τους.  Ο πολύς λαός άκουγε τον Ιησού αλλά δεν καταλάβαινε, έβλεπαν  και ήταν σαν να μην έβλεπαν. Τα μυστήρια της βασιλείας του Θεού δίνονται στους μαθητές, ενώ στους υπόλοιπους με παραβολές γιατί δεν είναι όλοι άξιοι να τον κατανοήσουν. Παρόμοια αντίληψη για την κατανόηση του λόγου από το πλήθος εκφράζει και ο Ηράκλειτος. Ο Λόγος είναι κοινός, λέει στο απόσπασμα 2, όλοι τον ακούουν όμως οι πολλοί έχουν δική τους αντίληψη και φρόνηση για το ίδιο πράγμα. Όσοι δεν μπορούν να τον κατανοήσουν, παρόλο που τον ακούν μοιάζουν με κουφούς.(Απ. 34) Ενώ είναι παρόντες στη διδαχή είναι σαν να είναι απόντες. Η διαφορά Ιησού και Ηράκλειτου, είναι ότι ο δεύτερος απολαμβάνει το σκοτεινό, δυσνόητο ύφος του αφήνοντας τον καθένα να κατανοήσει μέχρι εκεί που μπορεί.

2) Ο Ιησούς αφήνει μια σημαντική θέση για τα παιδιά στην διδασκαλία του. Τα παιδιά είναι αθώα και όποιος θέλει να κατακτήσει τον παράδεισο πρέπει να γίνει σαν και αυτά. Το ίδιο και ο Ηράκλειτος. Ο τελευταίος προτιμούσε να παίζει με τα παιδιά παρά να ασχολείται με τις κοινές υποθέσεις της Εφέσου. Ονόμαζε το χρόνο παιδί που παίζει, συμπληρώνοντας ότι είναι η βασιλεία ενός παιδιού.( Απ. 52) Πίστευε ότι η διακυβέρνηση της Εφέσου έπρεπε να αφαιρεθεί από τους ενήλικους και να δοθεί στους ανήλικους.(απ.121) . Η παιδική ανθρώπινη φύση, πριν να νοθευτεί από τις κακίες των ενηλίκων, αποτελεί κοινό πρότυπο και για τους δύο.

3) Ο Λόγος για τον Ηράκλειτο είναι ο Θεϊκός συμπαντικός νους, η ενεργητική κινητήρια δύναμη που συνέχει, κινεί , οργανώνει τον κόσμο με βάση τη συμπαντική νομοτέλεια που ως φυσικός νόμος διοικεί άτεγκτα τον κόσμο. Τα πάντα γίνονται με βάση αυτή την νομοτέλεια. (Απόσπ. 1) Είναι αιώνιος και υπάρχει πάντα (απόσπ. 1) και στην ουσία του είναι πυρ. Ο Λόγος , με βάση το κατά Ιωάννη Ευαγγέλιο είναι Θέος, είναι αιώνιος. Είναι σαφώς η ενεργητική αρχή, ο δημιουργός του σύμπαντος γιατί τα πάντα έγιναν δια μέσω αυτού και χωρίς αυτό ουδέν. Μέσα στο Χριστιανικό Λόγο υπάρχει η ζωή, και η ζωή είναι το φως των ανθρώπων. Το φως θυμίζει την φωτιά που φωτίζει και ζεσταίνει τον κόσμο.

    Ο Χριστιανικός Λόγος, το δεύτερο πρόσωπο της Χριστιανικής Θεϊκής τριάδας, παρόλη την αιώνια ύπαρξη του ήταν άγνωστος στον περισσότερο κόσμο. Επ’ αυτού ο Ιωάννης ( κεφ. Α  10), λέγει ότι ήταν στον Κόσμο ( Ο Λόγος ), ο κόσμος έγινε από αυτόν, παραταύτα ο κόσμος δεν τον εγνώριζε. Αυτό συμφωνεί με τη ρήση του Ηράκλειτου που λέει ότι παρόλη την κοινότητα του Λόγου ανάμεσα στους ανθρώπους αυτός είναι βασικά ακατάληπτος από τους πολλούς. Γιατί όμως το πλήθος, παρόλο που έχει αυτιά και μάτια δεν αντιλαμβάνεται τον Λογό; Γιατί οι οφθαλμοί και τα ώτα είναι κακοί μάρτυρες για ανθρώπους που έχουν βάρβαρες ψυχές μας λέει ο μεγάλος Εφέσιος. Η ψυχή μορφοποιεί τα δεδομένα των αισθήσεων. Ένας άνθρωπος κακής ποιότητος, μια χυδαία ψυχή, εκχυδαϊζεί μέσα της τον κόσμο.Ενώ έχει μάτια ζει ουσιαστικά μέσα στο σκοτάδι, γιατί σκοτεινή είναι η ψυχή του. Βλέπει αλλά δεν βλέπει, ακούει αλλά δεν ακούει, βλέπει τα πάντα από ένα παραμορφωτικό πρίσμα. Όπως λέει και ο Λουκάς ( Κεφ.11, 35 ) προσέχετε, μήπως το φως το εσωτερικό ( της ψυχής σας ) είναι σκοτάδι. Αν συμβαίνει αυτό οι εξωτερικές αισθήσεις δεν θα σας βοηθήσουν να εννοήσετε τον Λόγο.

4) Οι άνθρωποι ζηλεύουν, μισούν, υποβλέπουν τους ξεχωριστούς, αυτούς που διαφοροποιούνται από τα κοινά ανθρώπινα. Οι μαθητές του Ιησού, καθώς και ο ίδιος θα συγκεντρώσουν το μίσος του κόσμου, γιατί είναι ξένοι προς αυτόν, όντες πολίτες της ουράνιας βασιλείας. Όπως χαρακτηριστικά είπε ο Ιωάννης ( κεφ. 15, στ. 18) ο Ιησούς είπε τα ακόλουθα λόγια απευθυνόμενος προς τους μαθητές του:

« Αν σας μισά ο κόσμος, να ξέρετε ότι πρώτον εμένα εμίσησε.Αν είσαστε πολίτες αυτού του κόσμου, τότε ο κόσμος θα σας αγαπούσε.»

       Προφανώς ο κόσμος αναγνωρίζει τους δικούς του και δεν αντιδρά εναντίον τους, γιατί το όμοιο αναγνωρίζει το όμοιο. Η διδαχή αυτή του Χριστού ομοιάζει με την αντίστοιχη του Ηράκλειτου, όπως αυτή διασώζεται στο απόσπασμα 97. Σ’ αυτό ο μεγάλος Εφέσιος πολύ χαρακτηριστικά λέει ότι τα σκυλιά γαυγίζουν όσους δεν γνωρίζουν. Ο κόσμος είναι συντηρητικός. Αρέσκεται να ακολουθεί την πεπατημένη. Όπως τα πρόβατα παθητικά ακολουθούν την αγέλη, έτσι και ο πολύς κόσμος αποδέχεται τα κυρίαρχα δόγματα χωρίς να τα εξετάζει. Η πνευματική αυτή νωθρότητα του πλήθους είναι η αιτία που επιτρέπει στα κατεστημένα να διαιωνίζονται και να θριαμβεύουν.

        Ο κάθε κανόνας έχει την εξαίρεση του. Υπάρχουν οι λίγοι που ξεχωρίζουν από το πλήθος. Που δεν αποδέχονται ότι τους δίνεται αν δεν το περάσουν από τη βάσανο της λογικής. Που δεν διστάζουν να συγκρουστούν με τα κατεστημένα για χάρη της αλήθειας. Που έχουν το θάρρος της γνώμης τους. Οι πολλοί ενδόμυχα αναγνωρίζουν την αξία των λίγων πρωτοπόρων. Αισθάνονται δε ζήλια γιαυτούς γιατί αισθάνονται, μέσω σύγκρισης τη δική τους μικρότητα. Από την άλλη, οι λίγοι συνειδητοί συνένοχοι που αποτελούν το κατεστημένο τους καταδιώκουν, τους λοιδωρούν, τους περιθωριοποιούν. Αλίμονο για το κατεστημένο αν τα πρόβατα πάψουν να είναι πρόβατα. Αλίμονο αν ξυπνήσει το ζαλισμένο κοπάδι. Τότε οι διάφοροι χειραγωγοί, ποιμένες και απατεώνες αυτού του κόσμου θα χάσουν τη λεία τους.

        Ο Ιησούς συγκέντρωσε το μίσος αυτού του κόσμου γιατί δεν ανήκε στον κόσμο. Ήταν ένας αναθεωρητής του θρησκευτικού δόγματος, γιαυτό και το κυρίαρχο ιερατείο τον μίσησε μέχρι θανάτου. Στηλίτευσε την υποκρισία και τη διαφθορά των φαρισαίων μπροστά στον κόσμο. Αποτελούσε ένα υπαρκτο κίνδυνο για την ιουδαϊκή αριστοκρατία που καλοπερνούσε συνεργαζόμενη με τους ρωμαίους κατακτητές. Αυτή τη διαφορετικότητα, το θάρρος, την ευθύτητα του χαρακτήρα τα πλήρωσε με τη ζωή του. Κατ’ανάλογο τρόπο ο Ηράκλειτος ουδέποτε ακολούθησε την πεπατημένη. Άσκησε οξύτατη κριτική, χωρίς ίχνος κολακείας για τους συμπολίτες του. Έγινε αντικείμενο αντιπάθειας από αυτούς γιατί πάντα ασκούσε άφοβη κριτική. Θυσίασε το θρόνο της Εφέσου για μια ζωή μοναχικής αναζήτησης της αλήθειας.

5)  Ο Ηράκλειτος πίστευε ότι ο πόλεμος, δηλαδή η συγκρουσιακή κίνηση αντιθέτων ανθρωπίνων και φυσικών δυνάμεων, είναι η δύναμη που μορφοποιεί τον κόσμο στα πλαίσια μιας αέναης διαδικασίας. Ο πόλεμος είναι πατέρας των πάντων, είναι η διαδικασία συνεχούς δημιουργίας μέσω της υπέρβασης των αντιθέτων που συγκρούονται.Αυτή η διαδικασία  υπάρχει και στη διδαχή του Ιησού. Ο ίδιος ο Ιησούς πίστευε πως  ήταν η κινητοποιός δύναμη της νέας σύγκρουσης, που θα έφερνε την αλλάγη στο κόσμο. Αυτό φαίνεται στα ακόλουθα χαρακτηριστικά χωρία:

Ματθαίος, κεφ.10,  34-35Μην νομίσετε ότι ήλθα να φέρω ειρήνη στη γη αλλά μάχαιρα( πόλεμο, διχασμό). Ήλθα να φέρω διχόνοια μεταξύ του πατέρα και του υιού, της μητέρας κατά της κόρης, της νύμφης κατά της πεθεράς»

Ακόμα Λουκάς, κεφ. 12  49,  51-52 Περεταίρω « Ήλθα να βάλω φωτιά πάνω στη γή, τι δε περισσότερο θέλω αν αυτή έχει ήδη ανάψει...» « Νομίζετε ότι ήρθα να δώσω ειρήνη στη γη; Όχι ήρθα να φέρω διχασμό.Θα χωριστούν δε οι πέντε που θα κατοικούν σε ένα σπίτι τρεις εναντίον δύο.»  

   Ο πόλεμος μεταξύ των φορέων μιας νέας ιδέας με αυτούς της παλιάς είναι η απαραίτητη προϋπόθεση για το νέο κόσμο. Οι φορείς του παλαιού κατεστημένου θα συγκρουστούν με τις νέες ιδέες. Η οξύτητα της ρήξης που θα φέρει ο Ιησούς τονίζεται από τη διάσταση που θα φέρει μεταξύ συγγενών. Η αλληγορική εικόνα του Ιησού ως εμπρηστή, συνειρμικά θυμίζει το πύρ του Ηράκλειτου, την κινητήριο δύναμη του κόσμου.  Ό μεγάλος διχασμός προοιωνίζει τη ριζική διαφοροποίηση της νέας μορφής που θα προκύψει.Η πάλη θα περάσει από διάφορα στάδια. Στο τέλος το νέο θα γονιμοποιήσει το παλιό, θα το τροποποιήσει, θα οδηγήσει στην νέα σύνθεση. Το νέο θα νικήσει, παρόλα αυτά το παλιό δε θα εξαληφθεί, στοιχεία του θα επιβιώσουν στη νέα σύνθεση. Όπως χαρακτηριστικά είπε και ο Ιησούς εγώ δεν ήρθα να καταργήσω το Νόμο, αλλά να τον συμπληρώσω. Οι αντιμαχόμενες δυνάμεις μόνο εξωτερικά αντιμάχονται. Στο βάθος συνεργάζονται για την κυοφορία της νέας κατάστασης. Αυτή δεν είναι μια εκ των δύο παλαιών, αλλά η υπέρβαση τους, η νέα σύνθεση.

6) Ο Χριστιανισμός θεωρεί την ταπεινότητα ως μέγιστη αρετή. Ο ίδιος ο Ιησούς αυτοχαρακτηρίζεται ως πράος και ταπεινός. (Λουκάς, κεφ. 11 , 29 ). Στο σημείο αυτό υπάρχει συμφωνία με το απόσπασμα 43 του Ηράκλειτου που χαρακτηρίζει την έπαρση χειρότερο κακό από την πυρκαγιά.Περισσότερο από την πυρκαγιά πρέπει κάποιος να κατασβήσει την έπαρση την περηφάνια. Ο υπερόπτης χάνει επαφή με την πραγματικότητα. Υποτιμά τους άλλους. Υπερεκτιμά τον εαυτό του, τις γνώσεις τους. Το αντίδοτο της πνευματικής αυτής ασθένειας είναι η ταπεινότητα. Όσο ο άνθρωπος αποκτά την αυτογνωσία, όσο γνωρίζει τον κόσμο, γίνεται ταπεινός γιατί αντιλαμβάνεται τις περιορισμένες δυνατότητες του.     

 Προφανώς βλέπουμε σημαντικές ομοιότητες μεταξύ του Λόγου του Ηρακλείτου και του αντίστοιχου Χριστιανικού. Προφανώς οι ομοιότητες είναι αξιοσημείωτες χωρίς να φτάνουμε σε πλήρη ταύτιση. Υπάρχουν όμως σημαντικές διαφορές που άπτονται στην θεώρηση του κόσμου του ανθρώπου και του Θεού.

7) Ο Ηράκλειτος πιστεύει ότι η συμμετοχή των πιστών στις Θρησκευτικές τελετές, τότε μόνο καταξιώνεται, όταν αυτοί συμμετέχουν συνειδητά και έχουν επίγνωση της σημασίας των τελουμένων πράξεων.  Στο απόσπασμα 15 αναφέρεται χαρακτηριστικά ότι «Αν δεν ήταν ο Διόνυσος, προς τιμήν του οποίου κάνουν τη βακχική πομπή και ψάλλουν το άσμα στα αιδοία, θα έκαναν κάτι αναιδέστατο.» Ένα θρησκευτικό δρώμενο είναι επιλήψιμο όταν αυτοί που το τελούν το κάνουν από συνήθεια, ως ένα επαναλαμβανόμενο έθιμο, χωρίς να είναι σε θέση να κάνουν αποσυμβολισμούς, να εννοήσουν νοήματα, να βιώσουν τη θεότητα μέσα από την τελετουργία. Η επιφανειακή αντιμετώπιση των θρησκευτικών τελετών είναι κοινό φαινόμενο για την πλειοψηφία των ανθρώπων.Ελάχιστοι, μετρημένοι στα δάκτυλα εξαγνίζονται και προετοιμάζονται πνευματικά πριν από την τέλεση των θυσιών. Αντίθετα οι πολλοί προσφέρουν υλικές θυσίες χωρίς εμβάθυνση και υποπέφτουν μέχρι την χυδαιότητα. Όταν ο Ηράκλειτος κατακρίνει εκείνους που μετέχουν στις νυκτερινές οργιαστικές τελετές, εναντίον των βάκχων, των μαινάδων...το κάνει γιατί « είναι ανίερος ο τρόπος που μυούνται στα μυστήρια που συνηθίζουν να τελούν οι άνθρωποι. Απ. 14 » και όχι γιατί κατακρίνει τα μυστήρια αυτά καθ’εαυτά. Υπάρχουν χυδαίοι άνθρωποι και όχι χυδαίες τελετουργίες.

    Ομοίως ο χριστιανισμός απαιτεί από τους πιστούς του να προετοιμάζονται και να συμμετέχουν συνειδητά στα μυστήρια. Να μην πηγαίνουν από συνήθεια στην εκκλησία αλλά λόγω πνευματικής ανάγκης. Να μην είναι υποκριτές παριστάνοντας τους πιστούς για το θεαθήναι. Να κάνουν πνευματικό αγώνα και να προσεύχονται συνεχώς. Πριν κοινωνήσουν, να κάνουν κάθαρση σώματος και ψυχής από τις αμαρτίες. Να προετοιμάζονται με νηστεία. Να συγχωρούν τους εχθρούς. Να μελετούν την Γραφή και την Ιερή παράδοση της εκκλησίας. Κατά το δυνατόν να συμμετέχουν ουσιαστικά και όχι τυπικά στα διαδραματιζόμενα στον ναό. Να βιώνουν την θεία ευχαριστία ως αναίμακτη θυσία του θεανθρώπου και όχι ως κατάποση άρτου και οίνου. Μπροστά στο νοερό θυσιαστήριο πρέπει να νοιώθουν δέος, γιατί ένας ολόκληρος θεός θυσιάζεται για να σώσει την ανθρωπότητα.

     Δεν θα απέχει κάποιος πολύ από την αλήθεια αν διατυπώσει την άποψη ότι οι περισσότεροι είναι μόνο τυπικά χριστιανοί, ελάχιστα γνωρίζοντες για τα δόγματα, χωρίς βιώματα, όντες χριστιανοί γιατί έτυχαν να γεννηθούν σε μια χώρα που ο χριστιανισμός είναι επικρατούσα θρησκεία. Ακολουθούν την κυρίαρχη θρησκεία για να μην έρχονται σε αντίθεση με την κυρίαρχη θρησκευτική τάξη. Τους χαμολέοντες αυτούς κατακρίνει τόσο ο Χριστιανισμός όσο και ο Εφέσιος φιλόσοφος, που κατ’αναλογία αναφέρεται σε αντίστοιχα φαινόμενα της εποχής του.

Φυσικοί αριθμοί εφτά διαστάσεων

Φυσικοί αριθμοί γινόμενο επτά περιττών πρώτων

Έστω Π1, Π2, Π3, Π4, Π5, Π6, Π7  περιττοί πρώτοι  με 5 ≤ Π1 < Π2< Π3 < Π4< Π5< Π6< Π7

 και Π2 ≥ 7,  Π3 ≥ 11, Π4 ≥ 13, Π5 ≥ 17, Π6 ≥ 19, Π7 ≥ 23

Ζητείται Π1. Π2 . Π3 . Π4. Π5. Π6 . Π7 > Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ.  ΠΤ. ΠΩ.  ] +   Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ.  ΠΤ ] +   Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ  ] +   Σ [ΠΧ .ΠΨ. ΠY.]  + Σ[ ΠΧ . ΠΨ ]   + Σ ΠΧ + 1

Δηλαδή θα αποδείξουμε ότι το άπειρο σύνολο των φυσικών αριθμών που προκύπτει ως γινόμενο επτά διαφορετικών περιττών πρώτων μεγαλύτερων ή ίσων του πέντε αποτελείται από ατελείς αριθμούς.

Απόδειξη:

Έστω  Π1. Π2 . Π3 . Π 4 . Π5 . Π6. Π7   = Ν                και Ν φυσικός αριθμός

Και

Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ.  ΠΤ. ΠΩ.  ] +   Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ.  ΠΤ ] +   Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ  ] +   Σ [ΠΧ .ΠΨ. ΠY.]  + Σ[ ΠΧ . ΠΨ ]   + Σ ΠΧ + 1  =  Σ Π

Άρα:

Π1. Π2 . Π3. Π4. Π5 . Π6 ≤ Ν/23    1616615

Π1. Π2 . Π3. Π4. Π5. Π7  ≤ Ν/19    1956955

Π1. Π2. Π3 . Π4 . Π6. Π7 ≤ Ν/17    2187185

Π1. Π2. Π3. Π5.Π6 . Π7 ≤ Ν/13    2860165

Π1. Π2. Π4. Π5.Π6 . Π7  ≤ Ν/11   3380195

Π1. Π3. Π4. Π5. Π6 . Π7  ≤ Ν/7    5311735

Π2. Π3. Π4. Π5. Π6 . Π7  ≤ Ν/5    7436429

→ Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ.  ΠΤ. ΠΩ.  ]  ≤  24 749 279 Ν/ 37 182 145

Π1. Π2. Π3.Π4. Π5 ≤ Ν/437           85085

Π1. Π2. Π3. Π4. Π6 ≤ Ν/391          95095  

Π1. Π2. Π3. Π4. Π7  ≤ Ν/323       115115

Π1. Π2. Π3. Π5. Π6  ≤ Ν/299       124355

Π1. Π2. Π3. Π5 . Π7 ≤ Ν/247       150535

Π1. Π2. Π3. Π6 . Π7  ≤ Ν/221      168245

Π1. Π2. Π4. Π5 . Π6  ≤ Ν/253      146965

Π1. Π2. Π4. Π5. Π7   ≤ Ν/209      177905

Π1. Π2. Π4. Π6 . Π7  ≤ Ν/187      198835

Π1. Π2. Π5. Π6. Π7 ≤ Ν/143     260015

Π1. Π3. Π4. Π5 . Π6  ≤ Ν/161   230945          1753095

Π1. Π3. Π4. Π5. Π7  ≤ Ν/133   279565

Π1. Π3. Π4. Π6 . Π7  ≤ Ν/119  312455

Π1. Π3. Π5. Π6 . Π7  ≤ Ν/91    408595

Π1. Π4. Π5. Π6. Π7  ≤ Ν/77     482885

Π2. Π3. Π4. Π5. Π6  ≤ Ν/115   323323

Π2. Π3. Π4. Π5. Π7  ≤ Ν/95     391391

Π2. Π3. Π4. Π6. Π7  ≤ Ν/85     437437

Π2. Π3. Π5. Π6. Π7  ≤ Ν/65     572033

Π2. Π4. Π5. Π6. Π7  ≤ Ν/55     676039

Π3. Π4. Π5. Π6. Π7  ≤ Ν/35   1062347

→ Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ.  ΠΤ  ]  ≤   6 699 165Ν/ 37 182 145

Π1 . Π2. Π3. Π4   ≤ Ν/7429           5005  

Π1 . Π2. Π3. Π5  ≤ Ν/5681            6545

Π1 . Π2. Π3. Π6  ≤ Ν/5083            7315

Π1 . Π2. Π3. Π7  ≤ Ν/4199            8855

Π1 . Π2. Π4. Π5  ≤ Ν/4807            7735

Π1 . Π2. Π4 . Π6 ≤ Ν/4301            8645  

Π1 . Π2. Π4 . Π7  ≤ Ν/3553         10465

Π1 . Π2. Π5 . Π6  ≤ Ν/3289         11305

Π1 . Π2. Π5 . Π7  ≤ Ν/2717         13685

Π1 . Π2. Π6 . Π7  ≤ Ν/2431         15295

Π1 . Π3. Π4 . Π5  ≤ Ν/3059         12155

Π1 . Π3. Π4 . Π6  ≤ Ν/2737         13585

Π1 . Π3. Π4 . Π7  ≤ Ν/2261         16445

Π1 . Π3. Π5 . Π6   ≤ Ν/2093        17765

Π1 . Π3. Π5. Π7  ≤ Ν/1729          21505

Π1 . Π3. Π6 . Π7  ≤ Ν/1547         24035

Π1 . Π4. Π5. Π6  ≤ Ν/1771          20995

Π1 . Π4. Π5 . Π7  ≤ Ν/1463         25415

Π1 . Π4. Π6 . Π7 ≤ Ν/1309         28405

Π1 . Π5. Π6. Π7  ≤ Ν/1001         37145  

Π2 . Π3. Π4. Π5  ≤ Ν/2185        17017 

Π2 . Π3. Π4. Π6  ≤ Ν/1955        19019  

Π2 . Π3. Π4. Π7  ≤ Ν/1615        23023

Π2 . Π3. Π5. Π6  ≤ Ν/1495        24871  

Π2 . Π3. Π5. Π7  ≤ Ν/1235        30107 

Π2 . Π3. Π6. Π7  ≤ Ν/ 1105      33649        459986

Π2 . Π4. Π5. Π6  ≤ Ν/ 1265     29393  

Π2 . Π4. Π5. Π7  ≤ Ν/ 1045    35581 

Π2 . Π4. Π6. Π7  ≤ Ν/ 935      39767

Π2 . Π5. Π6. Π7  ≤ Ν/ 715      52003

Π3 . Π4. Π5. Π6  ≤ Ν/ 805      46189 

Π3 . Π4. Π5. Π7  ≤ Ν/ 665      55913

Π3 . Π4. Π6. Π7  ≤ Ν/ 595     62491 

Π3 . Π5. Π6. Π7  ≤ Ν/ 455     81719

Π4 . Π5. Π6. Π7  ≤ Ν/ 385     96577 

→ Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ  ]  ≤  959619 Ν/ 37 182 145                        32408043

Π1. Π2 . Π3  ≤ Ν/ 96577               385

Π1. Π2. Π4 ≤ Ν/ 81719                455 

Π1. Π2. Π5  ≤ Ν/ 62491               595

Π1. Π2. Π6 ≤ Ν/ 55913                665 

Π1. Π2. Π7 ≤ Ν/ 46189                805 

Π1. Π3 . Π4 ≤ Ν/ 52003               715

Π1. Π3 . Π5 ≤ Ν/ 39767               935

Π1. Π3. Π6  ≤ Ν/ 35581         1045 

Π1. Π3 . Π7  ≤ Ν/29393         1265  6865

Π1. Π4 . Π5 ≤ Ν/ 33649         1105 

Π1. Π4 . Π6 ≤  Ν/30107        1235

Π1. Π4 . Π7 ≤ Ν/24871         1495   

Π1. Π5 . Π6 ≤ Ν/23023        1615 

Π1. Π5 . Π7 ≤ Ν/19019        1955 

Π1. Π6 . Π7 ≤ Ν/ 17017       2185  

Π2. Π3 . Π4 ≤ Ν/ 37145       1001 

Π2. Π3 . Π5 ≤ Ν/ 28405       1309 

Π2. Π3 . Π6 ≤ Ν/ 25415       1463 

Π2. Π3 . Π7 ≤ Ν/ 20995       1771

Π2. Π4 . Π5 ≤ Ν/ 24035       1547 

Π2. Π4 . Π6 ≤ Ν/ 21505       1729

Π2. Π4 . Π7 ≤ Ν/ 17765       2093 

Π2. Π5 . Π6 ≤ Ν/ 16445       2261    29629

Π2. Π5 . Π7 ≤ Ν/ 13585       2737 

Π2. Π6 . Π7 ≤ Ν/ 12155       3059

Π3. Π4 . Π5 ≤ Ν/ 15295       2431 

Π3. Π4 . Π6 ≤ Ν/ 13685       2717 

Π3. Π4 . Π7 ≤ Ν/ 11305       3289 

Π3. Π5 . Π6 ≤ Ν/ 10465       3553 

Π3. Π5 . Π7 ≤ Ν/   8645       4301 

Π3. Π6 . Π7 ≤ Ν/   7735       4807 

Π4. Π5 . Π6 ≤ Ν/   8855       4199 

Π4. Π5 . Π7 ≤ Ν/   7315       5083 

Π4. Π6 . Π7 ≤ Ν/   6545       5681 

Π5. Π6 . Π7 ≤ Ν/   5005       7429 

→ Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY  ]  ≤  78915 Ν/ 37 182 145                        32 486 958

Π1 . Π2  ≤ Ν/1062347       35     

Π1.  Π3 ≤ Ν/   676039       55      

Π1 . Π4 ≤ Ν/   572033       65

Π1 . Π5  ≤ Ν/ 437437        85

Π1 . Π6 ≤ Ν/ 391391         95  

Π1 . Π7 ≤ Ν/ 323323       115      

Π2 . Π3 ≤ Ν/ 482885        77      

Π2 . Π4 ≤ Ν/ 408595        91      

Π2 . Π5 ≤ Ν/ 312455     119      

Π2 . Π6 ≤ Ν/ 279565     133      

Π2 . Π7 ≤ Ν/ 230945     161     

Π3 . Π4 ≤ Ν/ 260015     143     

Π3 . Π5 ≤ Ν/ 198835     187   

Π3 . Π6 ≤ Ν/ 177905     209     

Π3 . Π7 ≤ Ν/ 146965     253     

Π4 . Π5 ≤ Ν/ 168245     221     

Π4 . Π6 ≤ Ν/ 150535     247     

Π4 . Π7 ≤ Ν/ 124355     299     

Π5 . Π6 ≤ Ν/ 115115     323     

Π5 . Π7 ≤ Ν/   95095     391     

Π6 . Π7 ≤ Ν/   85085     437     

→ Σ [ΠΧ . ΠΨ  ]  ≤  3741 Ν/ 37 182 145                        32 490 699                 0,874          

Π1   ≤ Ν/7 436 429         5 

Π2  ≤ Ν /5 311 735         7 

Π3   ≤ Ν/3 380 195       11 

Π4   ≤ Ν/2 860 165       13 

Π5   ≤ Ν/ 2 187 185       17 

Π6   ≤ Ν/ 1 956 955       19 

Π7   ≤ Ν/ 1 616 615       23 

→ 1 + Σ ΠΧ  ≤ 96Ν/  37 182 145

→ ΣΠ ≤  32 490 805 Ν/  37 182 145                                          0,874    

Ο μικρότερος αριθμός επτά διαστάσεων είναι ο 37 182 145