Φυσικοί αριθμοί έξι διαστάσεων

Φυσικοί αριθμοί γινόμενο έξι περιττών πρώτων

Έστω Π1, Π2, Π3, Π4, Π5, Π6  περιττοί πρώτοι  με 5 ≤ Π1 < Π2< Π3 < Π4< Π5< Π6

 και Π2 ≥ 7,  Π3 ≥ 11, Π4 ≥ 13, Π5 ≥ 17, Π6 ≥ 19

Ζητείται Π1. Π2 . Π3 . Π4. Π5. Π6 > Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠΖ.  ΠΤ. ΠΩ ] +   Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠΖ.  ΠΩ ] +   Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠΖ ] +   Σ [ΠΧ .ΠΨ]  + ΣΠΧ  + 1

Απόδειξη:

Έστω  Π1. Π2 . Π3 . Π 4 . Π5 . Π6   = Ν                και Ν φυσικός αριθμός

Και

Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠΖ.  ΠΤ. ΠΩ ] +  Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠΖ.  ΠΩ ] +   Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠΖ ] +   Σ [ΠΧ .ΠΨ]  + ΣΠΧ  + 1  =  Σπ

Θα αποδείξουμε ότι όλοι οι φυσικοί αριθμοί που προκύπτουν ως γινόμενο έξι διαφορετικών περιττών πρώτων που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του πέντε είναι ατελείς. Αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα των γνησίων διαιρετών τους είναι μικρότεροι από τον αριθμό.

Άρα:

Π1. Π2 . Π3. Π4. Π5 ≤ Ν/19    85085

Π1. Π2 . Π3. Π4. Π6  ≤ Ν/17    95095

Π1. Π2. Π3 . Π5 . Π6 ≤ Ν/13   124355

Π1. Π2. Π4. Π5.Π6  ≤ Ν/11   146965

Π1. Π3. Π4. Π5.Π6  ≤ Ν/7     230945

Π2. Π3. Π4. Π5.Π6  ≤ Ν/5     323323

→ Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠΖ.  ΠΤ. ΠΩ ] ≤ 1005768 Ν/1616615

Π1. Π2. Π3.Π4 ≤ Ν/323           5005

Π1. Π2. Π3. Π5 ≤ Ν/247          6545

Π1. Π2. Π3. Π6  ≤ Ν/221        7315

Π1. Π2. Π4. Π5  ≤ Ν/209        7735

Π1. Π2. Π4. Π6 ≤ Ν/187          8645

Π1. Π2. Π5. Π6  ≤ Ν/143       11305

Π1. Π3. Π4. Π5 ≤ Ν/133         12155

Π1. Π3. Π4. Π6  ≤ Ν/119        13585

Π1. Π3. Π5. Π6  ≤ Ν/91         17765

Π1. Π4. Π5.Π6 ≤ Ν/77          20995

Π2. Π3. Π4. Π5 ≤ Ν/95         17017

Π2. Π3. Π4. Π6  ≤ Ν/85         19019

Π2. Π3. Π5. Π6  ≤ Ν/65         24871

Π2. Π4. Π5. Π6  ≤ Ν/55         29393

Π3. Π4. Π5. Π6  ≤ Ν/35         46189

→ Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠΖ. ΠΩ ] ≤  247539 Ν/  1616615

Π1 . Π2. Π3  ≤ Ν/4199           385

Π1 . Π2. Π4  ≤ Ν/3553           455

Π1 . Π2. Π5 ≤ Ν/2717            595

Π1 . Π2. Π6  ≤ Ν/2431           665

Π1 . Π3. Π4 ≤ Ν/2261            715

Π1 . Π3. Π5  ≤ Ν/1729            935  

Π1 . Π3. Π6  ≤ Ν/1547          1045

Π1 . Π4. Π5  ≤ Ν/1463          1105

Π1 . Π4. Π6  ≤ Ν/1309           1235

Π1 . Π5. Π6  ≤ Ν/1001           1615

Π2 . Π3. Π4  ≤ Ν/1615           1001

Π2 . Π3. Π5  ≤ Ν/1235           1309

Π2 . Π3. Π6  ≤ Ν/1105           1463

Π2 . Π4. Π5  ≤ Ν/1045           1547

Π2 . Π4. Π6  ≤ Ν/935           1729

Π2 . Π5. Π6  ≤ Ν/715           2261

Π3 . Π4. Π5  ≤ Ν/665           2431

Π3 . Π4. Π6  ≤ Ν/595           2717

Π3 . Π5. Π6  ≤ Ν/455           3553

Π4 . Π5. Π6  ≤ Ν/385           4199

→ Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠΖ] ≤ 30960 Ν/ 1616615

Π1. Π2  ≤ Ν/ 46189                35

Π1. Π3 ≤ Ν/  29393               55

Π1. Π4 ≤ Ν/  24871               65

Π1. Π5 ≤ Ν/  19019               85

Π1. Π6 ≤ Ν/  17017               95

Π2. Π3 ≤ Ν/  20995               77

Π2. Π4 ≤ Ν/  17765               91

Π2. Π5 ≤ Ν/  13585             119

Π2. Π6 ≤ Ν/  12155             133

Π3. Π4 ≤ Ν/  11305             143

Π3. Π5 ≤  Ν/  8645              187

Π3. Π6 ≤ Ν/  7735               209

Π4. Π5 ≤ Ν/  7315               221

Π4. Π6 ≤ Ν/  6545               247

Π5. Π6 ≤ Ν/  5005            323

→ Σ [ΠΧ . ΠΨ] ≤  2085 Ν/ 1616615

Π1 ≤ Ν/323323                 5

Π2 ≤ Ν/ 230945                7

Π3 ≤ Ν/ 146965              11

Π4 ≤ Ν/ 124355               13

Π5 ≤ Ν/   95095               17

Π6 ≤ Ν/  85085               19

→ 1 + Σ ΠΧ  ≤ 73Ν/  1616615

→ Σπ ≤  1286425 Ν/  1616615                    0,795752235..