Φυσικοί αριθμοί εφτά διαστάσεων

Φυσικοί αριθμοί γινόμενο επτά περιττών πρώτων

Έστω Π1, Π2, Π3, Π4, Π5, Π6, Π7  περιττοί πρώτοι  με 5 ≤ Π1 < Π2< Π3 < Π4< Π5< Π6< Π7

 και Π2 ≥ 7,  Π3 ≥ 11, Π4 ≥ 13, Π5 ≥ 17, Π6 ≥ 19, Π7 ≥ 23

Ζητείται Π1. Π2 . Π3 . Π4. Π5. Π6 . Π7 > Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ.  ΠΤ. ΠΩ.  ] +   Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ.  ΠΤ ] +   Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ  ] +   Σ [ΠΧ .ΠΨ. ΠY.]  + Σ[ ΠΧ . ΠΨ ]   + Σ ΠΧ + 1

Δηλαδή θα αποδείξουμε ότι το άπειρο σύνολο των φυσικών αριθμών που προκύπτει ως γινόμενο επτά διαφορετικών περιττών πρώτων μεγαλύτερων ή ίσων του πέντε αποτελείται από ατελείς αριθμούς.

Απόδειξη:

Έστω  Π1. Π2 . Π3 . Π 4 . Π5 . Π6. Π7   = Ν                και Ν φυσικός αριθμός

Και

Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ.  ΠΤ. ΠΩ.  ] +   Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ.  ΠΤ ] +   Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ  ] +   Σ [ΠΧ .ΠΨ. ΠY.]  + Σ[ ΠΧ . ΠΨ ]   + Σ ΠΧ + 1  =  Σ Π

Άρα:

Π1. Π2 . Π3. Π4. Π5 . Π6 ≤ Ν/23    1616615

Π1. Π2 . Π3. Π4. Π5. Π7  ≤ Ν/19    1956955

Π1. Π2. Π3 . Π4 . Π6. Π7 ≤ Ν/17    2187185

Π1. Π2. Π3. Π5.Π6 . Π7 ≤ Ν/13    2860165

Π1. Π2. Π4. Π5.Π6 . Π7  ≤ Ν/11   3380195

Π1. Π3. Π4. Π5. Π6 . Π7  ≤ Ν/7    5311735

Π2. Π3. Π4. Π5. Π6 . Π7  ≤ Ν/5    7436429

→ Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ.  ΠΤ. ΠΩ.  ]  ≤  24 749 279 Ν/ 37 182 145

Π1. Π2. Π3.Π4. Π5 ≤ Ν/437           85085

Π1. Π2. Π3. Π4. Π6 ≤ Ν/391          95095  

Π1. Π2. Π3. Π4. Π7  ≤ Ν/323       115115

Π1. Π2. Π3. Π5. Π6  ≤ Ν/299       124355

Π1. Π2. Π3. Π5 . Π7 ≤ Ν/247       150535

Π1. Π2. Π3. Π6 . Π7  ≤ Ν/221      168245

Π1. Π2. Π4. Π5 . Π6  ≤ Ν/253      146965

Π1. Π2. Π4. Π5. Π7   ≤ Ν/209      177905

Π1. Π2. Π4. Π6 . Π7  ≤ Ν/187      198835

Π1. Π2. Π5. Π6. Π7 ≤ Ν/143     260015

Π1. Π3. Π4. Π5 . Π6  ≤ Ν/161   230945          1753095

Π1. Π3. Π4. Π5. Π7  ≤ Ν/133   279565

Π1. Π3. Π4. Π6 . Π7  ≤ Ν/119  312455

Π1. Π3. Π5. Π6 . Π7  ≤ Ν/91    408595

Π1. Π4. Π5. Π6. Π7  ≤ Ν/77     482885

Π2. Π3. Π4. Π5. Π6  ≤ Ν/115   323323

Π2. Π3. Π4. Π5. Π7  ≤ Ν/95     391391

Π2. Π3. Π4. Π6. Π7  ≤ Ν/85     437437

Π2. Π3. Π5. Π6. Π7  ≤ Ν/65     572033

Π2. Π4. Π5. Π6. Π7  ≤ Ν/55     676039

Π3. Π4. Π5. Π6. Π7  ≤ Ν/35   1062347

→ Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ.  ΠΤ  ]  ≤   6 699 165Ν/ 37 182 145

Π1 . Π2. Π3. Π4   ≤ Ν/7429           5005  

Π1 . Π2. Π3. Π5  ≤ Ν/5681            6545

Π1 . Π2. Π3. Π6  ≤ Ν/5083            7315

Π1 . Π2. Π3. Π7  ≤ Ν/4199            8855

Π1 . Π2. Π4. Π5  ≤ Ν/4807            7735

Π1 . Π2. Π4 . Π6 ≤ Ν/4301            8645  

Π1 . Π2. Π4 . Π7  ≤ Ν/3553         10465

Π1 . Π2. Π5 . Π6  ≤ Ν/3289         11305

Π1 . Π2. Π5 . Π7  ≤ Ν/2717         13685

Π1 . Π2. Π6 . Π7  ≤ Ν/2431         15295

Π1 . Π3. Π4 . Π5  ≤ Ν/3059         12155

Π1 . Π3. Π4 . Π6  ≤ Ν/2737         13585

Π1 . Π3. Π4 . Π7  ≤ Ν/2261         16445

Π1 . Π3. Π5 . Π6   ≤ Ν/2093        17765

Π1 . Π3. Π5. Π7  ≤ Ν/1729          21505

Π1 . Π3. Π6 . Π7  ≤ Ν/1547         24035

Π1 . Π4. Π5. Π6  ≤ Ν/1771          20995

Π1 . Π4. Π5 . Π7  ≤ Ν/1463         25415

Π1 . Π4. Π6 . Π7 ≤ Ν/1309         28405

Π1 . Π5. Π6. Π7  ≤ Ν/1001         37145  

Π2 . Π3. Π4. Π5  ≤ Ν/2185        17017 

Π2 . Π3. Π4. Π6  ≤ Ν/1955        19019  

Π2 . Π3. Π4. Π7  ≤ Ν/1615        23023

Π2 . Π3. Π5. Π6  ≤ Ν/1495        24871  

Π2 . Π3. Π5. Π7  ≤ Ν/1235        30107 

Π2 . Π3. Π6. Π7  ≤ Ν/ 1105      33649        459986

Π2 . Π4. Π5. Π6  ≤ Ν/ 1265     29393  

Π2 . Π4. Π5. Π7  ≤ Ν/ 1045    35581 

Π2 . Π4. Π6. Π7  ≤ Ν/ 935      39767

Π2 . Π5. Π6. Π7  ≤ Ν/ 715      52003

Π3 . Π4. Π5. Π6  ≤ Ν/ 805      46189 

Π3 . Π4. Π5. Π7  ≤ Ν/ 665      55913

Π3 . Π4. Π6. Π7  ≤ Ν/ 595     62491 

Π3 . Π5. Π6. Π7  ≤ Ν/ 455     81719

Π4 . Π5. Π6. Π7  ≤ Ν/ 385     96577 

→ Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY.  ΠΖ  ]  ≤  959619 Ν/ 37 182 145                        32408043

Π1. Π2 . Π3  ≤ Ν/ 96577               385

Π1. Π2. Π4 ≤ Ν/ 81719                455 

Π1. Π2. Π5  ≤ Ν/ 62491               595

Π1. Π2. Π6 ≤ Ν/ 55913                665 

Π1. Π2. Π7 ≤ Ν/ 46189                805 

Π1. Π3 . Π4 ≤ Ν/ 52003               715

Π1. Π3 . Π5 ≤ Ν/ 39767               935

Π1. Π3. Π6  ≤ Ν/ 35581         1045 

Π1. Π3 . Π7  ≤ Ν/29393         1265  6865

Π1. Π4 . Π5 ≤ Ν/ 33649         1105 

Π1. Π4 . Π6 ≤  Ν/30107        1235

Π1. Π4 . Π7 ≤ Ν/24871         1495   

Π1. Π5 . Π6 ≤ Ν/23023        1615 

Π1. Π5 . Π7 ≤ Ν/19019        1955 

Π1. Π6 . Π7 ≤ Ν/ 17017       2185  

Π2. Π3 . Π4 ≤ Ν/ 37145       1001 

Π2. Π3 . Π5 ≤ Ν/ 28405       1309 

Π2. Π3 . Π6 ≤ Ν/ 25415       1463 

Π2. Π3 . Π7 ≤ Ν/ 20995       1771

Π2. Π4 . Π5 ≤ Ν/ 24035       1547 

Π2. Π4 . Π6 ≤ Ν/ 21505       1729

Π2. Π4 . Π7 ≤ Ν/ 17765       2093 

Π2. Π5 . Π6 ≤ Ν/ 16445       2261    29629

Π2. Π5 . Π7 ≤ Ν/ 13585       2737 

Π2. Π6 . Π7 ≤ Ν/ 12155       3059

Π3. Π4 . Π5 ≤ Ν/ 15295       2431 

Π3. Π4 . Π6 ≤ Ν/ 13685       2717 

Π3. Π4 . Π7 ≤ Ν/ 11305       3289 

Π3. Π5 . Π6 ≤ Ν/ 10465       3553 

Π3. Π5 . Π7 ≤ Ν/   8645       4301 

Π3. Π6 . Π7 ≤ Ν/   7735       4807 

Π4. Π5 . Π6 ≤ Ν/   8855       4199 

Π4. Π5 . Π7 ≤ Ν/   7315       5083 

Π4. Π6 . Π7 ≤ Ν/   6545       5681 

Π5. Π6 . Π7 ≤ Ν/   5005       7429 

→ Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠY  ]  ≤  78915 Ν/ 37 182 145                        32 486 958

Π1 . Π2  ≤ Ν/1062347       35     

Π1.  Π3 ≤ Ν/   676039       55      

Π1 . Π4 ≤ Ν/   572033       65

Π1 . Π5  ≤ Ν/ 437437        85

Π1 . Π6 ≤ Ν/ 391391         95  

Π1 . Π7 ≤ Ν/ 323323       115      

Π2 . Π3 ≤ Ν/ 482885        77      

Π2 . Π4 ≤ Ν/ 408595        91      

Π2 . Π5 ≤ Ν/ 312455     119      

Π2 . Π6 ≤ Ν/ 279565     133      

Π2 . Π7 ≤ Ν/ 230945     161     

Π3 . Π4 ≤ Ν/ 260015     143     

Π3 . Π5 ≤ Ν/ 198835     187   

Π3 . Π6 ≤ Ν/ 177905     209     

Π3 . Π7 ≤ Ν/ 146965     253     

Π4 . Π5 ≤ Ν/ 168245     221     

Π4 . Π6 ≤ Ν/ 150535     247     

Π4 . Π7 ≤ Ν/ 124355     299     

Π5 . Π6 ≤ Ν/ 115115     323     

Π5 . Π7 ≤ Ν/   95095     391     

Π6 . Π7 ≤ Ν/   85085     437     

→ Σ [ΠΧ . ΠΨ  ]  ≤  3741 Ν/ 37 182 145                        32 490 699                 0,874          

Π1   ≤ Ν/7 436 429         5 

Π2  ≤ Ν /5 311 735         7 

Π3   ≤ Ν/3 380 195       11 

Π4   ≤ Ν/2 860 165       13 

Π5   ≤ Ν/ 2 187 185       17 

Π6   ≤ Ν/ 1 956 955       19 

Π7   ≤ Ν/ 1 616 615       23 

→ 1 + Σ ΠΧ  ≤ 96Ν/  37 182 145

→ ΣΠ ≤  32 490 805 Ν/  37 182 145                                          0,874    

Ο μικρότερος αριθμός επτά διαστάσεων είναι ο 37 182 145