Το πρόβλημα της Δήλου, ο Χρησμός του Απόλλωνα και ο Πάππος

 Το Δήλιο πρόβλημα ήταν ένα από τα τρία άλυτα προβλήματα της Ελληνικής Αρχαιότητας. Για την ιστορία του προβλήματος, ο Θέωνας ο Σμυρναίος διασώζει την ακόλουθη ιστορία στον Διάλογο του με τίτλο «Πλατωνικός»

Στο ιερό νησί του Απόλλωνα, τη Δήλο, ξέσπασε φοβερή επιδημία. Απελπισμένοι οι κάτοικοι έστειλαν αντιπροσωπία στους Δελφούς για να ζητήσουν χρησμό σωτηρίας από τον Απόλλωνα. Η Πυθία τους είπε ότι ο Θεός της Μουσικής, θα έδιωχνε την επιδημία, αν οι νησιώτες διπλασίαζαν τον όγκο του βωμού του Θεού. Οι κομιστές του χρησμού επέστρεψαν στη Δήλο, όμως διαπίστωσαν ότι δεν ήταν καθόλου εύκολο να διπλασιάσουν τον όγκο ενός κύβου με χάρακα και διαβήτη γιατί η ακμή του διπλάσιου κύβου είναι ασύμμετρη με την ακμή του κανονικού. Με άλλα λόγια όποια τιμή και να έδιναν στην ακμή δεν μπορούσαν να φτάσουν στον διπλασιασμό, όσο καλή προσέγγιση και να πετύχαιναν, πάντα υπήρχε λάθος.

  Αν θέσουμε ως β την ακμή του κύβου που ζήτησε ο Θεός και α την ακμή του υφιστάμενου κύβου τότε έχουμε  β³ =2α³ και β =α ³√2 . Η κυβική ρίζα του δύο είναι αριθμός άρρητος και αδύνατο να παρασταθεί ως λόγος φυσικών αριθμών.Σύμφωνα με τον Κλέωνα το πρόβλημα τέθηκε στην Πλατωνική Ακαδημία όμως ο Πλάτωνας τους απάντησε ότι ο Θεός τους έθεσε την απαίτηση, όχι γιατί είχε ανάγκη για μεγαλύτερο βωμό, ή γιατί έλπιζε ότι μπορούσαν να βρουν τη λύση, αλλά για να τους διδάξει ότι για να μορφωθούν πραγματικά έχουν ανάγκη να μάθουν μαθηματικά και γεωμετρία. (Στο βαθμό που μπορούσαν….)

Αν και κανένας από τους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες δεν μπόρεσε να λύσει το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου με χάρακα και διαβήτη, εντούτοις αξιόλογες λύσεις του προβλήματος δόθηκαν με μεθόδους κινητικής γεωμετρίας.

Μια τέτοια λύση έδωσε και ο μέγας μαθηματικός της ύστερης αρχαιότητας Πάππος από την Αλεξάνδρεια, (4^ος αιώνας μ.Χ) την οποία παρουσιάζουμε σε σχέδιο πιο κάτω.