Το παράδοξο του ευθύγραμμου τμήματος

 Το ορισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το σημείο Α και τέλος το σημείο Β  είναι ταυτόχρονα άπειρο σε μήκος, πεπερασμένο σε μήκος και με μηδενικό μήκος.

1.      Το ΑΒ ως απειροσύνολο αδιάστατων σημείων λογικά πρέπει να είναι και αυτό αδιάστατο και άρα   χωρίς μήκος, αφού αποτελεί άθροισμα ανύπαρκτων μηδενικού μήκους σημείων, όπως προκύπτει από το παράδοξο του σημείου¹. Το άθροισμα προσθετέων ίσων με μηδέν επίσης ισούται με μηδέν

2.      Ταυτόχρονα το ΑΒ όπως το έχουμε εξ’ αρχής ορίσει, και ο χάρακας μας βεβαιώνει, έχει ορισμένο πεπερασμένο μήκος το οποίο μπορούμε να μετρήσουμε.

3.      Μπορούμε να χωρίσουμε το ΑΒ σε μικρότερα ίσα ευθύγραμμα τμήματα. Το μήκος αυτών των ευθυγράμμων τμημάτων μπορεί να γίνει οσοδήποτε μικρό θέλουμε και, αντίστοιχα, ο αριθμός τους οσοδήποτε μεγάλος και άρα μεγαλύτερος από οποιοδήποτε πεπερασμένο φυσικό αριθμό. Μπορούμε δηλαδή να θεωρήσουμε το ΑΒ ως το άθροισμα απείρων ίσων ευθυγράμμων τμημάτων μη μηδενικού μήκους. Το γινόμενο όμως του απείρου με οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό είναι άπειρο, άρα το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει άπειρο μήκος.

Εσείς τι λέτε; Πώς λύνεται το παράδοξο;

Σημειώσεις

1.      Το παράδοξο του σημείου

Ένα σημείο της (Ε) εξ’ ορισμού υπάρχει και δεν υπάρχει.

Υπάρχει γιατί αναφερόμαστε σε αυτό και μπορούμε να το σημειώνουμε με ένα γράμμα.

Δεν υπάρχει γιατί ως αδιάστατο έχει μηδενικές διαστάσεις  ( μηδέν ύψος, πλάτος,  μήκος ) και άρα είναι ανύπαρκτο εφόσον δεν έχει όγκο ή εμβαδόν ή μήκος.