Οι " Μεταλλικοί" αριθμοί μέρος Α

Ορισμός

Μεταλλικοί καλούνται οι αριθμοί οι οποίοι αποτελούν πραγματικές ρίζες εξίσωσης, η οποία παίρνει τη μορφή

  

Χ ª = Χ ª ˉ¹ + Χ ª ˉ²  ......Χ ² + Χ + 1

Για a = 2 έχουμε Χ² = Χ+1 και Ρ2=1,618.....

Για a = 3 έχουμε  Χ³=Χ² + Χ+1 και Ρ3=1,839....

Οι ρίζες αυτές , για τις οποίες ισχύει ότι 1 < Ρ < 2, είναι άπειρες τον αριθμό εφόσον το  a  μπορεί να πάρει τιμές στο διάστημα 2  ≤ a < ∞ και a ∊N

Πρόταση 1

Όταν α → ∞ τότε ρ → 2 από τις μικρότερες τιμές.

Απόδειξη

Εφόσον το δεύτερο σκέλος της εξίσωσης

Χ ª = Χ ª ˉ¹ + Χ ª ˉ²  ......Χ ² + Χ + 1          (1)

παριστάνει άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου με λόγο Χ, τότε με βάση τον τύπο που δίνει το άθροισμα γεωμετρικής προόδου έχουμε:

Χ ª ˉ¹+  Χ ª ˉ²  ......Χ ² + Χ + 1 = (Χ ª – 1) / (Χ-1)         (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2)  προκύπτει ότι

Χ ª (Χ-1) = Χ ª – 1

ðΧ ª+¹ = 2 Χ ª – 1

ð Χ = 2 – (1/ Χ ª)

Όταν a → ∞ ð (1/ Χ ª) → 0

ð Χ → 2 από τις μικρότερες τιμές.

Πρόταση 2

Οι μεταλλικοί αριθμοί είναι άρρητοι

Απόδειξη

Μέθοδος: Δια της εις άτοπον απαγωγής.

Έστω ρ τυχαίος μεταλλικός αριθμός . Θέτουμε ρ = μ / ν (1), όπου μ, ν φυσικοί αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους και μ>ν. Προφανώς με βάση την παραδοχή (1),το κλάσμα  μ / ν είναι καταχρηστικό και ανάγωγο , μη επιδεχόμενο οποιασδήποτε απλοποίησης.

Από την (1) έχουμε:

(μ / ν) ª = (μ / ν) ª ˉ¹  + (μ / ν) ª ˉ² + ...... (μ / ν) ² + (μ / ν)  + 1      (2)

Κάνουμε τα κλάσματα της εξίσωσης ομώνυμα με κοινό παρονομαστή ν ª και εξισώνουμε τους αριθμητές στις 2 πλευρές της εξίσωσης. Έχουμε:

μ ª = ν μ  ª ˉ¹  + ν ² μ ª ˉ² ........ν ª ˉ² μ ² + ν ª ˉ¹ μ + ν ª

 ð μ ª = ν  (μ  ª ˉ¹  + ν  μ ª ˉ² ........ν ª ˉ³ μ ² + ν ª ˉ² μ + ν  ª ˉ¹  ) (3)

ð ότι το ν είναι παράγοντας του μ, γεγονός το οποίο ακυρώνει την αρχική μας παραδοχή ότι οι φυσικοί αριθμοί μ και ν είναι μεταξύ τους πρώτοι. Άρα δεν μπορούμε να γράψουμε το ρ υπό την μορφή ανάγωγου κλάσματος.

Ας συνεχίσουμε όμως τον συλλογισμό μας:

Αφού το ν είναι παράγοντας του μ, μπορούμε να πούμε ότι  μ = ν. Β  (4) με Β ∊N. Εφαρμόζοντας τη (4) στην (3) καταλήγουμε στην εξίσωση:

Β ª = Β ª ˉ¹ + Β ª ˉ²  ......Β ² + Β + 1, όμως το Β προφανώς δεν μπορεί να είναι ακέραιος αφού από την εξίσωση 1 < Β < 2. Αν θεωρήσουμε ότι το Β μπορεί να γραφεί ως ανάγωγο κλάσμα, αποδεικνύεται με βάση τη διαδικασία της παραδοχής (1) ότι είναι άτοπο. Η διαδικασία (1) μπορεί να επαναληφθεί άπειρες φορές, πράγμα άτοπο εφόσον κανένα κλάσμα δεν μπορεί να απλοποιείται συνεχώς και ποτέ να μην καταλήγει σε ανάγωγο κλάσμα. Είναι φανερό λοιπόν ότι η αρχική μας παραδοχή καταλήγει όχι μόνο σε άτοπο αλλά και σε λογικό αδιέξοδο.

Συμπέρασμα

Ο ρ όπως και κάθε μεταλλικός αριθμός είναι άρρητος.