Φυσικοί αριθμοί πέντε διαστάσεων

Φυσικοί αριθμοί γινόμενο πέντε περιττών πρώτων

Έστω Π1, Π2, Π3, Π4, Π5  περιττοί πρώτοι  με 5 ≤ Π1 < Π2< Π3 < Π4< Π5

 και Π2 ≥ 7,  Π3 ≥ 11, Π4 ≥ 13, Π5 ≥ 17

Ζητείται Π1. Π2 . Π3 . Π4. Π5 > Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠΖ.  ΠΩ ] +   Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠΖ ] +   Σ [ΠΧ .ΠΨ]  + ΣΠΧ  + 1

Δηλαδή θα αποδείξουμε ότι το απειροσύνολο των φυσικών αριθμών που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό πέντε διαφορετικών περιττών πρώτων, μεγαλύτερων ή ίσων του 5 αποτελείται από ατελείς αριθμούς.

Απόδειξη:

Έστω  Π1. Π2 . Π3 . Π 4 . Π5  = Ν

Και

 Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠΖ.  ΠΩ ] +   Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠΖ ] +   Σ [ΠΧ .ΠΨ]  + ΣΠΧ  + 1  =  Σπ

Άρα:

Π1. Π2 . Π3. Π4 ≤ Ν/17    5005

Π1. Π2 . Π3. Π5 ≤ Ν/13    6545

Π1. Π2. Π4 . Π5≤ Ν/11     7735

Π1. Π3. Π4. Π5 ≤ Ν/7     12155

Π2. Π3. Π4. Π5 ≤ Ν/5     17017

→ Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠΖ.  ΠΩ ] ≤ 48457 Ν/  85085

Π1. Π2. Π3 ≤ Ν/221           385

Π1. Π2. Π4 ≤ Ν/187           455

Π1. Π2. Π5 ≤ Ν/143           595

Π1. Π3. Π4 ≤ Ν/119           715

Π1. Π3. Π5 ≤ Ν/91             935

Π1. Π4. Π5 ≤ Ν/77           1105

Π2. Π3. Π4 ≤ Ν/85           1001

Π2. Π3. Π5 ≤ Ν/65           1309

Π2. Π4. Π5 ≤ Ν/55           1547

Π3. Π4. Π5 ≤ Ν/35           2431

→ Σ [ΠΧ . ΠΨ. ΠΖ ] ≤ 10478 Ν/  85085

Π1 . Π2 ≤ Ν/2431           35

Π1 . Π3 ≤ Ν/1547           55

Π1 . Π4 ≤ Ν/1309           65

Π1 . Π5 ≤ Ν/1001           85

Π2 . Π3 ≤ Ν/1105           77

Π2 . Π4 ≤ Ν/935             91

Π2 . Π5 ≤ Ν/715           119

Π3 . Π4 ≤ Ν/595           143

Π3 . Π5 ≤ Ν/455           187

Π4 . Π5 ≤ Ν/385           221

→ Σ [ΠΧ . ΠΨ] ≤ 1078 Ν/  85085

Π1 ≤ Ν/ 13013                5

Π2 ≤ Ν/ 12155                7

Π3 ≤ Ν/ 7735                11

Π4 ≤ Ν/ 6545                13

Π5 ≤ Ν/ 5005                17

→ 1 + Σ ΠΧ  ≤ 54 Ν/  85085

→ Σπ ≤ 60067 Ν/  85085                     0,706

→ Σπ ≤  0,706 Ν

Η απόδειξη ολοκληρώθηκε