Α. Με δεδομένο ότι το σταθερό σημείο είναι εκτός κύκλου
Έστω κύκλος (Κ, Ρ ) και σταθερό σημείο Ο εκτός αυτού. Να αποδειχθεί ότι ΟΑ.ΟΒ σταθερό, όπου Α,Β σημεία της περιφέρειας του κύκλου και του ευθυγράμμου τμήματος ΟΒ.
Από το Ο φέρουμε ευθεία που τέμνει τον κύκλο (Κ, Ρ ) στα σημεία Α και Β. Ακολούθως σχεδιάζουμε την εφαπτομένη ΟΓ του κύκλου και γράφουμε την ευθεία ΑΓ. Τα τρίγωνα ΟΒΓ και ΟΓΑ είναι όμοια εφόσον η γωνία Ο είναι κοινή και οι γωνίες ΑΒΓ και ΑΓΟ είναι ίσες. Προφανώς λοιπόν ισχύει ότι: ΟΒ/ΟΓ = ΟΓ/ΟΑ , δηλαδή ΟΓ² = ΟΒ.ΟΑ. Εκ του ορθογωνίου τριγώνου ΟΓΚ όμως προκύπτει ότι: ΟΓ² = ΟΚ² - ΚΓ² = ΟΚ² - Ρ² άρα ΟΓ² σταθερό εφόσον ΟΚ δεδομένο και ΚΓ = Ρ. Άρα είναι φανερό ότι: ΟΑ.ΟΒ σταθερό ανεξαρτήτως της θέσεως των σημείων Α και Β
Β Με δεδομένο ότι το σταθερό σημείο είναι εντός του κύκλου.
Έστω κύκλος (Κ, Ρ ) και σταθερό σημείο Α εντός αυτού. Φέρουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΒΑΓ όπου Β, Γ σημεία της περιφέρειας του κύκλου. Ζητείται να αποδειχθεί ότι ΑΒ.ΑΓ είναι σταθερό.
Απόδειξη: Γράφουμε τη διάμετρο ΔΑΚΕ. Τα τρίγωνα ΒΔΑ και ΕΓΑ είναι όμοια γιατί οι γωνίες ΒΑΔ και ΕΑΓ είναι ίσες ως κατακορυφήν. Επίσης οι γωνίες ΔΒΓ και ΓΕΑ είναι ίσες αφού είναι εγγεγραμμένες στο τόξο ΔΓ. Εκ της ομοίοτητας των τριγώνων έχουμε: ΒΑ/ΑΕ = ΔΑ/ΑΓ. Άρα ΑΒ.ΑΓ =ΑΕ.ΑΔ. ΈΣτω ΑΚ = δ και δ σταθερό εφόσον Α,Ε σταθερά και ορισμένα. Άρα ΑΕ. ΑΔ = (Ρ+δ) (Ρ-δ) = Ρ² - δ² = σταθερό.
Αφού ΑΕ.ΑΔ = ΑΒ.ΑΓ τότε ΑΒ.ΑΓ επίσης σταθερό.
Έστω κύκλος (Κ, Ρ ) και σταθερό σημείο Ο εκτός αυτού. Να αποδειχθεί ότι ΟΑ.ΟΒ σταθερό, όπου Α,Β σημεία της περιφέρειας του κύκλου και του ευθυγράμμου τμήματος ΟΒ.
Από το Ο φέρουμε ευθεία που τέμνει τον κύκλο (Κ, Ρ ) στα σημεία Α και Β. Ακολούθως σχεδιάζουμε την εφαπτομένη ΟΓ του κύκλου και γράφουμε την ευθεία ΑΓ. Τα τρίγωνα ΟΒΓ και ΟΓΑ είναι όμοια εφόσον η γωνία Ο είναι κοινή και οι γωνίες ΑΒΓ και ΑΓΟ είναι ίσες. Προφανώς λοιπόν ισχύει ότι: ΟΒ/ΟΓ = ΟΓ/ΟΑ , δηλαδή ΟΓ² = ΟΒ.ΟΑ. Εκ του ορθογωνίου τριγώνου ΟΓΚ όμως προκύπτει ότι: ΟΓ² = ΟΚ² - ΚΓ² = ΟΚ² - Ρ² άρα ΟΓ² σταθερό εφόσον ΟΚ δεδομένο και ΚΓ = Ρ. Άρα είναι φανερό ότι: ΟΑ.ΟΒ σταθερό ανεξαρτήτως της θέσεως των σημείων Α και Β
Β Με δεδομένο ότι το σταθερό σημείο είναι εντός του κύκλου.
Έστω κύκλος (Κ, Ρ ) και σταθερό σημείο Α εντός αυτού. Φέρουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΒΑΓ όπου Β, Γ σημεία της περιφέρειας του κύκλου. Ζητείται να αποδειχθεί ότι ΑΒ.ΑΓ είναι σταθερό.
Απόδειξη: Γράφουμε τη διάμετρο ΔΑΚΕ. Τα τρίγωνα ΒΔΑ και ΕΓΑ είναι όμοια γιατί οι γωνίες ΒΑΔ και ΕΑΓ είναι ίσες ως κατακορυφήν. Επίσης οι γωνίες ΔΒΓ και ΓΕΑ είναι ίσες αφού είναι εγγεγραμμένες στο τόξο ΔΓ. Εκ της ομοίοτητας των τριγώνων έχουμε: ΒΑ/ΑΕ = ΔΑ/ΑΓ. Άρα ΑΒ.ΑΓ =ΑΕ.ΑΔ. ΈΣτω ΑΚ = δ και δ σταθερό εφόσον Α,Ε σταθερά και ορισμένα. Άρα ΑΕ. ΑΔ = (Ρ+δ) (Ρ-δ) = Ρ² - δ² = σταθερό.
Αφού ΑΕ.ΑΔ = ΑΒ.ΑΓ τότε ΑΒ.ΑΓ επίσης σταθερό.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου