Ο Ευκλείδης αποδεικνύει ότι οι πρώτοι αποτελούν απειροσύνολο

Ο Ευκλείδης ¹ απέδειξε ότι το πλήθος των πρώτων αριθμών είναι άπειρο, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής. Θα παραθέσουμε κατωτέρω την απόδειξη του που είναι εξαιρετικά απλή.

Η απόδειξη του Ευκλείδη για το άπειρο του αριθμού των πρώτων

1. Αρχική παραδοχή

Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων παραγόντων με ένα μόνο τρόπο. (Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής )

2. Διατύπωση της αντίθετης υπόθεσης

Έστω ότι υπάρχει πεπερασμένος αριθμός πρώτων και ρ ο μέγιστος αυτών.

3. Επεξεργασία της υπόθεσης για να προκύψει άτοπον συμπέρασμα

Γράφουμε τον Α, φυσικό αριθμό, ο οποίος ισούται με το γινόμενο όλων των πρώτων αυξημένο κατά 1 μονάδα. Δηλαδή:

Α = ( 2.3.5.7......ρ) + 1

Είναι φανερό ότι κανένας από τους πρώτους αριθμούς δεν είναι παράγοντας του Α.  Η αρχική μας υπόθεση είναι λοιπόν άκυρη, γιατί η διαίρεση του Α με οποιοδήποτε από τους πρώτους δίνει υπόλοιπο 1. Εφόσον όμως κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων παραγόντων, σημαίνει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας πρώτος που δεν περιλαμβάνεται στον αρχικό μας πεπερασμένο κατάλογο και έστω ότι αυτός είναι ο q. Προφανώς ισχύει ότι q > ρ

Μπορούμε να επαναλάβουμε τη διαδικασία  και να σχηματίσουμε ένα νέο φυσικό αριθμό, τον Β, ο οποίος δεν διαιρείται ούτε με τον q, ούτε με τους υπόλοιπους πρώτους. Έτσι

 Β = ( 2.3.5.7......ρ q ) + 1

Είναι φανερό ότι ο Β  έχει παράγοντα κάποιο πρώτο πέραν των 2, 3, 5, 7, ..... ρ, q. Η διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί άπειρες φορές και ο κατάλογος των πρώτων να  διευρύνεται απεριόριστα. Εφόσον λοιπόν η διαδικασία παραγωγής πρώτων μπορεί να συνεχιστεί για πάντα, έχουμε αποδείξει  ότι ο αριθμός τους είναι άπειρος.

Παραδείγματα παραγωγής πρώτων με βάση το θεώρημα του Ευκλείδη

1. Μπορώ να παράγω όλους τους φυσικούς αριθμούς με τους πρώτους 2,3,5;

Όχι, γιατί ο 31= ( 2.3.5 ) + 1  δεν διαιρείται με την αρχική ομάδα πρώτων. Από τη διαδικασία

παράγεται ο πρώτος 31.

2. Μπορώ να παράγω όλους τους φυσικούς αριθμούς με τους πρώτους 2,3,5,7;

Όχι, γιατί  ο 211= ( 2.3.5.7 )  δεν διαιρείται από τους 2,3,5,7. Από τη διαδικασία παράγεται ο πρώτος 211.

3. Μπορώ να δημιουργήσω όλους τους αριθμούς με τους πρώτους 2,3,5,7,11.

Όχι, γιατί  ο 2311= ( 2.3.5.7.11 ) +1 δεν διαιρείται από τους 2,3,5,7,11. Από τη διαδικασία παράγεται ο πρώτος 2311.

Σημειώσεις

¹ Ευκλείδης (325-265)

Έλληνας Μαθηματικός της Ελληνιστικής εποχής. Έζησε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Στο έργο του Στοιχεία, αποτελούμενο από 13 βιβλία, συστηματοποίησε  γεωμετρικές και αριθμητικές γνώσεις της εποχής του, σε ένα αυστηρά δομημένο σύνολο θεωρημάτων και πορισμάτων. Αρχίζοντας με 4 αξιωματικές προτάσεις, κτίζει όλα τα επόμενα θεωρήματα, αποδεικνύοντας τα με αυστηρή λογική μαθηματική μέθοδο. Μέχρι σήμερα η Ευκλείδεια Γεωμετρία θεωρείται μια από τις διαχρονικές βάσεις των Μαθηματικών.