Ηράκλειτος και Στωική Φιλοσοφία

            Ο Ζήνωνας ο Κιτιέας, έμπορος από το Κίτιο της Κύπρου, αποφάσισε να ασχοληθεί με τη φιλοσοφία μετά την ανάγνωση των απομνημονευμάτων του Ξενοφώντα. Πήγε λοιπόν στην Αθήνα και μαθήτευσε σε διάφορους δασκάλους όπως τον κυνικό Κράτη, τον Πολέμωνα, που στα τέλη του 4^ου π.Χ. αιώνα ήταν επικεφαλής της Πλατωνικής Ακαδήμιας και άλλων επιφανών δασκάλων της εποχής. Η διάρκεια της μαθητείας του κοντά σε γνωστούς δασκάλους των Αθηνών βοήθησε τον Ζήνωνα να αποκρυσταλλώσει την δική του φιλοσοφία. Ώριμος φιλοσοφικά ίδρυσε το 300π.Χ. τη δική του σχολή στην Ποικίλη Στοά. Δίδαξε δε εκεί για 36 χρόνια μέχρι το 264 π.Χ. που πέθανε αυτοκτονώντας. Έγραψε πολυάριθμα έργα από τα οποία σώθηκαν μόνο κάποια αποσπάσματα. Κοντά του μαθήτευσαν επιφανή πρόσωπα όπως ο Αντίγονος ο Γονατάς βασιλιάς της Μακεδονίας. Είναι ο ιδρυτής της στωικής φιλοσοφίας, την οποία διαίρεσε σε Λογική, φυσική και ηθική. Ο Ζήνωνας δέκτηκε επιδράσεις από τον Ηράκλειτο, όπως θα δούμε και πιο κάτω αναπτύσσοντας τη φιλοσοφία του.

        Ο Ζήνωνας πίστευε ότι ο Θεός είναι Λόγος και πρόνοια που ενυπάρχει στην ύλη την κινεί, την πλάθει και τη δημιουργεί με βάση ένα λογικό σχέδιο.

Είναι η ζωντανή δύναμη που συνέχει το παν , ο Σπερματικός Λόγος που μορφοποιεί το σύμπαν. Όπως το σπέρμα  με την ενεργητικότητα του διαπερνά το ωάριο το γονιμοποιεί και δημιουργεί νέα ζωή έτσι και ο Θεός Λόγος γονιμοποιεί την αδρανή νεκρή και παθητική ύλη, δημιουργώντας τον κόσμο. Στο σημείο αυτό δεν μπορεί παρά να διακρίνουμε σημεία ομοιότητας μεταξύ του Ηρακλειτικού Λόγου και της Θεότητας της Στωϊκής φιλοσοφίας ως της ενεργητικής αρχής που δημιουργεί και συνέχει τον κόσμο. Ο φιλόσοφος της Εφέσου συχνά αναφέρεται στον Λόγο ως το συμπαντικό νου και τον καθολικό νόμο που ελέγχει τα πάντα και τα πάντα γίνονται σύμφωνα με αυτόν. Τίποτε και κανένας, ούτε θεός ούτε άνθρωπος δεν μπορεί να ξεφύγει από τα μέτρα, που ο καθολικός Λόγος εφαρμόζει οικοδομώντας αενάως το σύμπαν.

       Ο Λόγος του σκοτεινού φιλοσόφου είναι καθαρόν πυρ, όπως πύρ είναι η ουσία των όντων. Βλέπουμε λοιπόν ότι ο Ηρακλείτιος Θεός Λόγος είναι ομοούσιος της ύλης , τα πάντα έχουν μέσα τους το θεό και ο Θεός βρίσκεται παντού σε όλα τα αντικείμενα εφόσον τα πάντα είναι πυρ. Ομοίως και ο Ζήνωνας αναπτύσσει μια παρόμοια πανθεϊστική αντίληψη. Ο δικός του Λόγος, ο θεός ορθός Λόγος αποτελείται από το συνδυασμό των ενεργητικών στοιχείων του Πυρός και του αέρος. Από την άλλη το παθητικό στοιχείο του σύμπαντος, η ύλη είναι ο συνδυασμός της γης και του ύδατος. Παρά τη διαφοροποίηση είναι αξιοσημείωτη η κοινή πίστη και των δύο φιλοσόφων στην πύρινη υπόσταση του θεϊκού Λόγου. Όπως θα λέγαμε με σημερινούς όρους, μεταφράζοντας το πύρ σε ενέργεια, τα πάντα είναι ενέργεια, ανταλλάζονται με ενέργεια, κινούνται , μορφοποιούνται δομούνται και αποδομούνται λόγω αυτής. Η σημερινή ενέργεια οστόσο εκλαμβάνεται από τους φυσικούς ως μια άλογη μεταβάλλουσα αρχή, ενώ από την άλλη Ηράκλειτος και Ζήνωνας την βλέπουν ως την λογική θεϊκή διάνοια που δρα μορφοποιώντας τον κόσμο βάση σχεδίου. Η αναλογία πυρός και αέρος είναι διαφορετική στα διάφορα όντα.

    Ο Ζήνωνας πίστευε στην ύπαρξη ενός θεού και ερμήνευε το δωδεκάθεο του Ολύμπου, ως σύμβολο των διαφορετικών εκδηλώσεων της μίας θεότητας στον κόσμο της ύλης. Οι ανθρωπόμομορφοι θεοί αλληγορικά συμβολίζουν διάφορες ιδιότητες της μίας θεότητας. Η μυώδης μορφή του Δία συμβολίζει την θεϊκή δύναμη και σταθερότητα. Ο κεραυνός του Διός συμβολίζει την πύρινη και ενεργητική φύση της θεότητας. Η Ήρα από την άλλη , κατά τους στωικούς συμβολίζει την δεύτερη ενεργητική δύναμη, δηλαδή τον αέρα. Ο συμβολισμός υπάρχει στο ίδιο το όνομα που αποτελεί αναγραμματισμό της λέξεως αήρ. Στο σημείο αυτό συμφωνεί όχι μόνο με τον Ηράκλειτο, αλλά και με τους περισσότερους αρχαίους φιλοσόφους που ήταν βασικά μονοθεϊστές. Μεταγενέστερες αναφορές που χαρακτηρίζουν τους αρχαίους Έλληνες ως ειδωλολάτρες, είναι λοιπόν αναληθείς.

        Η ηθική του Ζήνωνα στηρίζεται στην άκαμπτη αντίθεση μεταξύ αρετής και κακίας.

Στο σημείο αυτό θα μπορούσαμε να επισημάνουμε μια ουσιώδη διαφορά με τον Ηράκλειτο ο οποίος στο απ. 58 δηλώνει την ενότητα και την συμπληρωματικότητα καλού και κακού. ( Ακόμα και τη σχετικότητα τους θα πρόσθετα εγώ). Ο Ζήνωνας στον τομέα αυτό τουλάχιστο,  δεν συμμερίζεται την άποψη για την βαθύτερη και ουσιαστικότερη ενότητα των αντιθέτων. Παρόλα αυτά η έννοια του κακού ήταν ένα αγκάθι, μια δυσλειτουργεία στην στωϊκή ερμηνεία του κόσμου. Αν το σύμπαν είναι ένα οικοδόμημα δομημένο σε ένα λογικό σχέδιο, ένα απαύγασμα λογικής και σοφίας, ποια θέση είχε το κακό σε αυτό το λογικό οικοδόμημα; Πως μπορούσαν λοιπόν να ερμηνευτούν λογικά τα κακά αυτού του κόσμου; Ο πόνος, η πείνα, οι φυσικές καταστροφές; Αν το σύμπαν είναι δομημένο με βάση ένα λογικό σχέδιο γιατί υπάρχει τόσο χάος σ’αυτό; Η τυπική λογική δεν μπορεί να δώσει ικανοποιητική απάντηση και σίγουρα ο Ζήνωνας θα πέρασε αρκετές νύκτες ξάγρυπνος προσπαθώντας να διατυπώσει μια λογική απάντηση που όμως δεν την βρήκε ποτέ. Αυτό γιατί και στο σημείο αυτό δεν κατάφερε να συλλάβει την ουσιαστική ενότητα των αντιθέτων. Λογική και παράλογο, τάξη και αταξία , δομή και χάος δεν είναι ασυμβίβαστες έννοιες όπως τις έβλεπαν οι στωϊκοί αλλά δυμαμικές ενότητες που νοηματοδοτούν η μια την άλλη. Όπως ένας μαγνήτης έχει δύο πόλους αλλά σχηματίζει ένα μαγνητικό πεδίο, η ύπαρξη δε ενός μαγνητικού μονοπόλου είναι αδύνατη, έτσι η τάξη και το χάος είναι οι δύο όψεις της μιας πραγματικότητας του κόσμου που , σε αντίθεση με τον Ηράκλειτο οι Στωϊκοί δεν κατόρθωσαν να δούν.  Στο σημείο αυτό ας θυμηθούμε τον Ηράκλειτο που λέγει(Απ. 51)

«Δεν καταλαβαίνουν πως κάτι που έχει μέσα του αντίθετες τάσεις συμφωνεί με τον εαυτό του»

Ακόμα οι άνθρωποι δυσκολεύονται πολλές φορές να πιστεύσουν ότι το καλό και το κακό μπορεί να μην σημαίνουν τίποτε, αν τα δούμε στην κοσμική τους διάσταση. Βλέπουν το σύμπαν μέσα από τη δική τους μικρή υποκειμενική άποψη, και σαν τον προκρούστη προσπαθούν να το φέρουν στα δικά τους μέτρα. Όμως η φύση συνήθως αδιαφορεί για τις δικές μας προκαταλήψεις.....

          Ο Ζήνωνας πίστευε ότι πηγή της γνώσης είναι οι αισθήσεις. Από τις αισθήσεις ο εγκέφαλος σχηματίζει εικόνες και κατ’ επέκταση έννοιες και σταδιακά και συσσωρευτικά με την εμπειρία γνώσεις. Ο Ηράκλειτος δεν θα διαφωνούσε στον τομέα αυτό. Είναι γνωστή η άποψη του που διατυπώνεται στο απ. 55 ότι προτιμά να μαθαίνει όσα μπορεί να δεί και να ακούσει. Ακόμα στο  απ. 101^α δηλώνει ότι θεωρεί τα μάτια καλύτερο μάρτυρα, όσο αφορά την πρόσβαση στην γνώση. Παρόλα αυτά όμως δεν περιορίζεται στις αισθήσεις ως πηγές γνώσεις. Θεωρεί την αυτοέρευνα ως πηγή της ουσιαστικής γνώσης. Εφόσον τα πάντα είναι ένα, η γνώση του εαυτού οδηγεί στην βαθύτερη γνώση του σύμπαντος. Στο απόσπασμα 101 δηλώνει: Αναζήτησα τον εαυτό μου. Σαν να θέλει να πεί. Ο εξωτερικός και ο εσωτερικός κόσμος είναι ένα και το αυτό. Αν θέλετε να γνωρίσετε τον κόσμο μάθετε τον εαυτό σας, γιατί ο υποκειμενικός και ο αντικειμενικός κόσμος ανήκουν στην ίδια ενιαία ομοούσια ενότητα.

          Οι Στωικοί πίστευαν σε μια πλήρη αιτιοκρατική (ντετερμινιστική ) ερμηνεία του σύμπαντος. Με βάση αυτή την ερμηνεία πίστευαν ότι, η γνώση των αιτίων οδηγεί στην γνώση των αποτελεσμάτων. Για μια διάνοια αρκούντως ικανή, που θα μπορούσε να γνωρίζει όλες τις αιτιακές σχέσεις του σύμπαντος, τότε αυτή θα μπορούσε να προβλέψει όλα τα μελλοντικά γεγονότα, τα οποία υποχρεωτικά θα έμελλαν να συμβούν. Αυτό γιατί με βάση τη συλλογιστική τους ορισμένο αίτιο οδηγεί σε ορισμένο αποτέλεσμα. Μια τέτοια κατάσταση καταργεί την ανθρώπινη ελευθερία, οδηγεί δε σε μια μοιρολατρική και μηχανιστική ερμηνεία του κόσμου. Ο Ηράκλειτος δεν θα συμφωνούσε με μια τέτοια θεώρηση. Όπως λέει και στο απ. 18 όποιος δεν ελπίζει δεν θα βρει το ανέλπιστο. Το ανέλπιστο , το απίθανο δεν είναι αδύνατο. Ο άνθρωπος ο παρατηρητής είναι μέρος της παρατήρησης και μπορεί λοιπόν να την επηρεάσει. Όποιος έχει επαρκή θέληση μπορεί να αλλάξει τις αιτίες και άρα και τον κόσμο. Ο άνθρωπος δεν είναι λοιπόν δούλος της μοίρας του, κάποιοι θα ήθελαν να το πιστεύσει για να τον ποδηγετούν.

     Ο Ηράκλειτος και οι Στωικοί συμφωνούν ότι κατά περιοδικά διαστήματα, ο κόσμος καταστρέφεται με εκπύρωση και ξαναδημιουργείται . Η γραμμική ερμηνεία του χρόνου και του σύμπαντος που υπάρχει στον χριστιανικό κόσμο δεν γίνεται αποδεκτή από αυτούς. Ούτε η εκ του μηδενός συγκρότηση του κόσμου και της ύλης. Το σύμπαν υπάρχει αιώνια , οι μορφές όμως που το αποτελούν αλλάζουν συνεχώς. Η αλλάγη και η κίνηση είναι η ουσία του σύμπαντος. Η ιδέα μιας εσχατολογικής ερμηνείας του κόσμου θα ηχούσε παράξενα στ’αυτιά του Ηράκλειτου. Γιαυτόν  δημιουργία και καταστροφή αποτελούν όψεις του ιδίου δρόμου, κάτι σαν τον ανήφορο και τον κατήφορο, που ενώ αποτελούν το ίδιο οδόστρωμα παίρνουν το όνομα τους από την διεύθυνση κίνησης του ταξιδευτή....

Τα έπτα θαύματα της αρχαιότητας: Ο Φάρος της Αλεξάνδρειας:

275 χρόνια πριν από τη γέννηση του Χριστού , ο Βασιλιάς της Αιγύπτου  Πτολεμαίος ο 2^ος ο Φιλάδελφος, ανάθεσε στο διάσημο αρχιτέκτονα Σώστρατο την κατασκευή του φάρου της πόλης. Ενός έργου τεράστιου σε ύψος, μέγεθος και ομορφιά! Ο Πτολεμαίος φιλοδοξούσε να κτίσει κάτι το μοναδικό, σαν τις πυραμίδες που κοσμούσαν την όμορφη χώρα του. Ήθελε να τον θυμούνται εκατοντάδες χρόνια μετά το θάνατο του, σαν το δημιουργό ενός θαυμαστού οικοδομήματος . Ο Μακεδόνας βασιλιάς της Αιγύπτου των Ελληνιστικών χρόνων τα κατάφερε! Ο Φάρος της Αλεξάνδρειας έκανε τόσο μεγάλη εντύπωση που χαρακτηρίστηκε ως ένα από τα εφτά θαύματα του κόσμου! Ας δούμε όμως κάποιες λεπτομέρειες για την εξαιρετική αυτή κατασκευή.

       Στην είσοδο του λιμανιού της Αλεξάνδρειας βρισκόταν το νησάκι Φάρος. Το μέρος αυτό διάλεξε ο Σώστρατος για να κάνει πραγματικότητα τον «Πυροφόρο Πύργο » , ένα τεράστιο οικοδόμημα , που στην κορυφή του θα υπήρχε πάντα αναμμένη μια ακοίμητη φωτιά. Τεράστιοι καθρέφτες θα αντανακλούσαν το φως της στην θάλασσα , να το βλέπουν τα καράβια, να βρίσκουν το δρόμο τους για το μεγάλο λιμάνι της πόλης που έκτισε ο Αλέξανδρος.

      Η κατασκευή του θεόρατου πύργου κράτησε 12 ολόκληρα χρόνια. Όταν τελείωσε , το 263 π.Χ , είχε ύψος 140 ολόκληρα μέτρα. Το ύψος αυτό υπερβαίνει το ύψος ουρανοξύστη με 40 ορόφους. Αν το δικό σας σπίτι έχει ύψος 4 μέτρα , ο Φάρος είχε τόσο ύψος όσο ένα κτίριο 35 φορές ψηλότερο από αυτό! Τα υλικά για την κατασκευή του ήταν ο λευκόλιθος και ο γρανίτης,  γνωστός για την σκληρότητα και τη στερεότητα του. Όμως ο Φάρος δεν ήταν απλός ένας άκομψος πέτρινος γίγαντας, αλλά ένα όμορφο κτίριο που αποτελείτο από τα ακόλουθα 4 μέρη:

Α) Το πρώτο μέρος , που ήτανε το μεγαλύτερο, είχε σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου, σαν ένα είδος στενόμακρου κουτιού δηλαδή , με πολλά παράθυρα , που φώτιζαν άπλετα τα δωμάτια του μέρους αυτού. Το ύψος του ήταν 60 μέτρα.Εδώ έμεναν οι μηχανικοί και οι φρουροί του Πύργου. Από το κέντρο του πύργου περνούσε ένας ανελκυστήρας, ένα ασανσέρ δηλαδή, για την μεταφορά ανθρώπων, υλικών, και καυσίμων από και προς την κορυφή του πύργου. Ο μηχανισμός του ασανσέρ ήταν υδραυλικός.

Β) Πάνω από το πρώτο μέρος του Πύργου , ήταν ένα οκταγωνικό κτίριο γεμάτο ελικοειδείς σκάλες που οδηγούσαν προς την κορυφή. Ήταν στενότερο και μικρότερο από το πρώτο μέρος με παράθυρα συμμετρικά τοποθετημένα στις οκτώ πλευρές του.

Γ) Το τρίτο μέρος του φάρου ήταν κυκλικό, με κίονες στην περίμετρο του και οδηγούσε στο τελευταίο και σημαντικότερο μέρος του ....

Δ) Φτάσαμε τώρα στην κορυφή. Εδώ άναβε άσβεστη φωτιά , την λάμψη της οποίας αντανακλούσαν καθρέφτες σε απόσταση μέχρι και 300 στάδια! Για να καταλάβουμε όμως τι ακριβώς σημαίνει αυτό , ας κάνουμε μερικούς πρόχειρους υπολογισμούς. Το στάδιο, με το οποίο οι αρχαίοι Έλληνες μετρούσαν τις αποστάσεις, είχε μήκος 185 μέτρα. Είναι φανερό ότι με ένα απλό πολλαπλασιασμό βρίσκουμε ότι μια απόσταση 300 σταδίων ισούται , περίπου με 55 χιλιόμετρα. Αυτή η απόσταση , σε ευθεία γραμμή , είναι ίση με το διάστημα που διανύει ένα σύγχρονο πλοίο  σε 2 ώρες. Αν δε υπολογίσουμε την ταχύτητα των αρχαίων καραβιών , μπορούμε να πούμε με αρκετή ακρίβεια ότι έβλεπαν το φώς του Φάρου 4 –5 ώρες πριν φτάσουν στο λιμάνι. Σ’αυτό βοηθούσε και το μεγάλο ύψος του πύργου , που βοηθούσε στο να είναι ορατός από μεγάλες αποστάσεις.

     Ο πύργος ήταν ακόμα στολισμένος με αγάλματα, μερικά από τα οποία είχαν αυτόματους μηχανισμούς. Ένα άγαλμα που το δάκτυλο του ακολουθούσε την πορεία του ήλιου, ένα άγαλμα ρολόι...

Ο Πέτρινος γίγαντας της Αλεξάνδρειας ήταν ακόμα σπουδαίο ναυτικό παρατηρητήριο , αφού από την κορυφή του μπορούσαν να δουν εχθρικά πλοία από μίλια μακριά. Για χίλια ολόκληρα χρόνια , μέχρι και την αραβική κατάκτηση της Αιγύπτου, το θαύμα αυτό ήταν το στολίδι της Αλεξάνδρειας.

      Ο G. G. WOODWARD στηριγμένος στις αρχαίες περιγραφές έκανε το ακόλουθο σχέδιο του Φάρου της Αλεξάνδρειας. Σας το παρουσιάζω πιο κάτω για να παρέτε μια ιδέα για το πως ήταν το αρχαίο αυτό θαύμα της αρχιτεκτονικής.

Προσεγγιστικός υπολογισμός αθροίσματος σειράς αντιστρόφων κύβων

1.     Σε προηγούμενο άρθρο έχουμε αποδείξει ότι η σειρά των αντιστρόφων κύβων συγκλίνει. Στο άρθρο αυτό θα κάνουμε μια πρώτη προσέγγιση του αθροίσματος θέτοντας το κατώτερο και το ανώτερο όριο που το άθροισμα των απείρων όρων της  κυμαίνεται.

         Η άπειρη σειρά της οποίας οι διαδοχικοί όροι είναι οι αντίστροφοι των κύβων των φυσικών αριθμών, ονομάζεται η σειρά των αντιστρόφων κύβων.   (1)

2      Αν πολλαπλασιάσουμε  τη σειρά των αντιστρόφων κύβων με τον τρίτο όρο της προκύπτει μια νέα σειρά ίση με το ένα εικοστό έβδομο της αρχικής, η οποία περιέχει τους όρους, στους οποίους ο παρονομαστής είναι πολλαπλάσιο του τρία. (2)

3.       Κάθε όρος της σειράς των αντιστρόφων κύβων με παρονομαστή πολλαπλάσιο του τρία υπερέχει του ημιαθροίσματος των δύο όρων της σειράς των αντιστρόφων κύβων που ακολουθούν.  (3)

4.       Προφανώς το άθροισμα των απείρων όρων της σειράς (1) , εξαιρουμένων του πρώτου και του δεύτερου όρου, υπολείπεται του ενός ενάτου του αθροίσματος των απείρων όρων της σειράς. Συνακόλουθα το άθροισμα των δύο πρώτων όρων [ 1+1/8 ] υπερέχει των οκτώ ενάτων του αθροίσματος των απείρων όρων της σειράς των αντιστρόφων κύβων (4)

5.       Συμπερασματικά το άθροισμα της σειρά των αντιστρόφων κύβων υπερέχει του αριθμού 1,125 και υπολείπεται του αριθμού 1,265625           (5), (6), (7)

Τ    Τα πιο πάνω παρουσιάζονται σε μαθηματική γλώσσα στην εικόνα που ακολουθεί:

Ο Ηράκλειτος, ο Αριστοτέλης και οι ασύμβατες κοσμοθεωρίες τους

Τα βιογραφικά του Αριστοτέλη έχουν αναφερθεί σε προηγούμενο άρθρο. Εδώ θα δούμε την γνωσιοθεωρία, την φιλοσοφία και τη θεολογία του μεγάλου Σταγειρίτη και ακολούθως θα προσπαθήσουμε να ανιχνεύσουμε ομοιότητες και διαφορές με τον Ηράκλειτο.

         Πως φτάνουμε στην γνώση; Η λέξη κλειδί για την απάντηση είναι η λέξη εποπτεία. Αυτή σημαίνει την γνώση των γενικών αρχών και αξιωμάτων της Λογικής. Από τα επιμέρους δεδομένα της φυσικής πραγματικότητας μέσω των αισθήσεων ( διαισθητικά δηλαδή) ομαδοποιούμε τα ειδικά σε μεγαλύτερα σύνολα ομοειδών αντικειμένων ή εννοιών μέχρι να φτάσουμε τις γενικές αρχές, πέραν των οποίων δεν μπορούμε να γενικεύσουμε. Η όλη διαδικασία από το μερικό στο γενικό καλείται επαγωγή. Αλλά η επαγωγή είναι ο προθάλαμος και μόνο...

        Η καθαυτό αριστοτελική επιστήμη και λογική είναι παραγωγική. Με βάση τις γενικές αυτές αλήθειες μπορούμε να συνάγουμε μερικότερα συμπεράσματα. Από τα γενικά αποδεικνύουμε τα επιμέρους, και από αυτά μπορούμε να καταλήξουμε σε ακόμα ειδικότερα συμπεράσματα. Αυτή η διαδικασία ονομάζεται παραγωγική λογική και σχηματοποιείται ως εξής:

Αν μια γενική προτάση ( Αξίωμα )  περιέχει ( επαληθεύει ) μια ειδική πρόταση, περεταίρω δε η μερική πρόταση επαληθεύει μια ακόμα μερικότερη  πρόταση, τότε η πρώτη γενική πρόταση επαληθεύει την Τρίτη. Με Μαθηματικό συλλογισμό:

Αν   Α > Β και Β> Γ , περεταίρω δε Α → Β και Β → Γ τότε  Α → Γ. 

     Ο Αριστοτέλης ανάπτυξε την Λογική του στα έργα Αναλυτικά Πρότερα και Αναλυτικά ΄|Υστερα.  Οι βασικοί νόμοι της Αριστοτελικής ( Τυπικής )Λογικής, που στηρίζονται πάνω στον Ορθό Λόγο, είναι οι ακόλουθοι τέσσερεις:

Α) Ο Νόμος της ταυτότητας: Κάθε αντικείμενο, έννοια, ιδέα ταυτίζεται με τον εαυτό του. Με Μαθηματική διατύπωση: Α≡ Α ( Αυτό σημαίνει ότι το Α ταυτίζεται με τον εαυτό του )

Β) Ο Νόμος της Αντίφασης: Κάθε έννοια δεν μπορεί να ταυτιστεί με την αντίθετο της. Δεν μπορεί , ταυτόχρονα, να είναι και να μήν είναι κάτι. Με μαθηματική διατύπωση αν Α≡ Α τότε Α≠ Όχι Α. ( Εφόσον Α ταυτίζεται με Α, δεν μπορεί το Α να ταυτίζεται με οποιαδήποτε έννοια διαφορετική του Α.

Γ) Ο Νόμος του αποκλεισμού του τρίτου. Αν έχουμε δύο αντιφατικές προτάσεις τότε, είτε η μιά , είτε η άλλη θα είναι σωστή. Δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα ορθές και οι δύο.

Δ)Ο Νόμος του επαρκούς λόγου: Κάθε πρόταση τότε μόνο θεωρείται αληθής , αν αποδειχθεί η αλήθεια της με αδιαμφισβήτητα δεδομένα που οδηγούν στην επαλήθευση της. Χωρίς απόδειξη, τίποτε δεν γίνεται εκ των προτέρων αποδεκτό.

     Η τυπική λογική του Αριστοτέλη δεν συμφωνεί με τους κανόνες της διαλεκτικής λογικής, πατέρας της οποίας μπορεί να θεωρηθεί ο Ηράκλειτος. Για την ασυμφωνία αυτή όμως θα μιλήσουμε σε επόμενη παράγραφο.

       Σε αντίθεση με τον δάσκαλο του τον Πλάτωνα, που διαχωρίζει τον κόσμο των ιδεών από τον κόσμο των αισθητών, ο Αριστοτέλης θεωρεί ότι οι έννοιες, οι ιδέες ενυπάρχουν στα φαινόμενα ως ενδελέχεια. Η ιδέα είναι μέρος της ύλης, και της δίνει τη δυνατότητα να πάρει μορφή και να γίνει μέρος του αισθητού κόσμου. Για τον Αριστοτέλη δεν υπάρχει το πρόβλημα να εξηγήσει πως ο κόσμος των ιδεών επιδρά στον κόσμο της ύλης, αφού η ύλη εμπεριέχει την ιδέα, ως δυνατότητα εκδήλωσης.

    Για τον Αριστοτέλη ο Θεός είναι αμετάβλητος και ακίνητος. Είναι  το αίτιο κάθε κίνησης και μεταβολής στον κόσμο, γιαυτό στα Φυσικά του ο Σταγειρίτης τον ονόμαζει το «Πρώτον Κινούν Ακίνητο» Ο Θεός πάντα υπάρχει και πάντα προκαλεί την κίνηση που είναι το μέτρο του χρόνου. Η κίνηση και ο χρόνος είναι αιώνια όπως και ο Θεός. Αν ο χρόνος είχε αρχή, το ερώτημα τι συνέβαινε πριν την αρχή αυτή θα είχε νόημα, αν προϋπήρχε ο χρόνος, πράγμα που αναιρεί την αρχική υπόθεση. Η κίνηση διαφέρει ανάλογα με το στοιχείο που αναφέρεται. Η Γη και το νερό κινούνται ευθύγραμμα και προς τα κάτω, ο δε αέρας και η φωτιά ευθύγραμμα και προς τα πάνω. Ο αιθέρας, το πέμπτο στοιχείο κινείται κυκλικά. Το στοιχείο αυτό αποτελεί την ουσία των ουρανίων σωμάτων. Με την τελευταία αυτή παραδοχή ο Αριστοτέλης ερμηνεύει την κίνηση των άστρων , που κινούνται πάνω σε ομόκεντρες σφαίρες με κοινό κέντρο πάνω στη γη.

      Ο Αριστοτέλης είναι ο θεμελιωτής της καταφατικής θεολογίας, επειδή προσδίδει στο θεό συγκεκριμμένα χαρακτηριστικά. Το Ανώτατο Ον του Αριστοτέλη είναι ένας, ακίνητος, αίτιο κάθε κίνησης και μεταβολής. Εμπνέει αγάπη και επιθυμία στις ουράνιες σφαίρες. Είναι ουσία διαφορετική από τον κόσμο. Έχει στον υπέρτατο βαθμό νόηση, αυτογνωσία και αυτοσυνειδησία. Έχει ως γνωρισμά του την μακαριότητα, ως αποτέλεσμα της αυτογνωσίας του. Είναι άναρχος αιώνιος και τέλειος. Δεν προνοεί για τον κόσμο, τον οποίο , σε αντίθεση με τον χριστιανικό Θεό δεν έχει δημιουργήσει εκ του μηδενός. Αν όμως ο Αριστοτελικός Θεός δεν είναι ο δημιουργός του κόσμου, αποτελεί το τέλος, το σκόπο δηλαδή του κόσμου και κάθε επιμέρους ύπαρξης. Αυτό σημαίνει την πορεία προς την γνώση, την αυτογνωσία. Ο Θεός ως υπέρτατη νόηση, περιέχει το σύνολο της γνώσης που είναι ο σκόπος κάθε ύπαρξης. Ο άνθρωπος που πετυχαίνει την αυτογνωσία , πλησιάζει την κατάσταση του Θεού. Το «Γνώθι Σαυτόν » είναι ο δρόμος προς τη θέωση.

    

Υπάρχει διάσταση στις θεωρήσεις Ηράκλειτου και Αριστοτέλη ως προς τη θέαση του κόσμου, του θεού , του γίγνεσθαι. Ο Εφέσιος, σε αντίθεση με τον Αριστοτέλη, δεν εξαιρεί το Ανώτατο Ον από τον βασικό νόμο της κίνησης, της μεταβολής, της αλλαγής των μορφών. Ο Θεός Λόγος του Ηράκλειτου καθάρο αεικίνητο πυρ, μετέχει της κίνησης του κόσμου, είναι ο κόσμος, είναι το υπερσύνολο που ενοποιεί τις μορφές στο υπέρτατο ένα. Όπως τα πάντα είναι αλλάγες του πυρός έτσι και ο Λόγος είναι πυρ που ανάβει και σβήνει με μέτρο. Από την άλλη το Αριστοτελικό Πρώτον Κινούν Ακίνητο είναι η αιτία της μορφοποίησης , διαφοροποίησης, κίνησης εν χρόνω του σύμπαντος κόσμου, πλην όμως το ίδιο είναι αδιαφοροποίητο, ακίνητο, άχρονο και αιώνιο.

     Κοινό σημείο των δύο σοφών, αλλά και γενικά της αρχαιοελληνικής διανόησης και φιλοσοφίας, είναι η ανάδειξη του κόσμου σε αιώνιο μόρφωμα , χωρίς αρχή μέσα στον χρόνο. Για τους αρχαίους Έλληνες η εκ του μηδενός δημιουργία του υλικού κόσμου, είναι αδιανόητη. Ο Θεός του Αριστοτέλη μπορεί να είναι η αιτία της κίνησης του κόσμου, όμως δεν είναι ο δημιουργός του κόσμου. Τίποτε, για την αρχαιοελληνική διανόηση δεν δημιουργείται εκ του μή όντος , η δε ιδέα ενός θεού που , με μόνο τον λόγο του, οδηγεί τον ανύπαρκτο κόσμο στην ύπαρξη θα τους φαινόταν αδιανόητη.

      Η μέγιστη διάσταση όμως μεταξύ του Εφέσιου και του Σταγειρίτη, βρίσκεται στους κανόνες της λογικής. Η αρμονία των αντιθέτων, η βαθύτερη ενότητα τους είναι κάτι αδιανόητο για την τυπική λογική. Η ρήση του Ηράκλειτου ότι το Παν είναι γεννητό και αγέννητο, διαιρετό και αδιαίρετο , θνητό και αθάνατο βρίσκεται σε σύγκρουση με τον Νόμο της Αντίφασης που ορίζει ότι κανένα πράγμα δεν μπορεί να ταυτιστεί με το αντίθετο του. Ο Ηράκλειτος, πατέρας της διαλεκτικής λογικής, θα περιγελούσε τον Αριστοτέλη για την άποψη του αυτή. Ευτυχώς όμως για τον Σταγειρίτη είναι μεταγενέστερος , και την κριτική του σκοτεινού φιλοσόφου υπέστησαν ο Όμηρος και ο Ισίοδος.

     Διαλεκτική και τυπική λογική είναι δύο συστήματα ασυμβίβαστα. Η πρώτη περιγράφει τους κανόνες ενός κόσμου που βρίσκεται διαρκώς σε κίνηση, μεταβολή, ένα διαρκές γίγνεσθαι. Η δεύτερη εξετάζει ενά κόσμο στατικό, αμετάβλητο, μια σύνθεση αιώνιων στιγμών, κάτι σαν φωτοστιγμιότυπα. Είναι ένα σύστημα πλήρες, αλλά δεν περιγράφει τον πραγματικό κόσμο. Ο Ηράκλειτος, ξεπερνώντας τον κόσμο της αντίφασης, διαβλέποντας ότι τα αντίθετα σε ένα βαθύτερο επίπεδο είναι ομώνυμα κατάφερε να δει την μεγάλη εικόνα ενός κόσμου που συνεχώς μεταβάλλεται και παρά ταύτα είναι ο ίδιος. Όπως θα δούμε σε μεταγενέστερο κεφάλαιο, η άποψη αυτή κερδίζει σήμερα έδαφος, σε κλάδους της σύγχρονης επιστήμης, όπως την κβαντική φυσική.

Η σύγκλιση της άπειρης σειράς των αντιστρόφων κύβων

Ορισμός1
 Ένας αντίστροφος κύβος είναι ένας ρητός αριθμός (κλάσμα ) του οποίου ο αριθμητής είναι η μονάδα και ο παρονομαστής ο κύβος ενός φυσικού αριθμού.

Ορισμός 2:

Η άπειρη σειρά των αντιστρόφων κύβων περιλαμβάνει τους αντίστροφους κύβους των διαδοχικών φυσικών αριθμών δηλαδή τα ακόλουθα κλάσματα:

1, 1/8, 1/27, 1/64, ... 1/ν³, 1/(ν+1)³….

Το πλήθος των όρων της σειράς είναι άπειρο δηλαδή είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε φυσικό αριθμό.

Στο άρθρο αυτό θα αποδείξουμε ότι η άπειρη σειρά των αντιστρόφων κύβων συγκλίνει. Αυτό σημαίνει ότι όσους όρους της και να προσθέσουμε το άθροισμα που προκύπτει είναι μικρότερο από κάποιο δεδομένο φυσικό αριθμό που θα προσδιορίσουμε. Η μαθηματική απόδειξη παρουσιάζεται στην εικόνα που ακολουθεί. 

Η απόδειξη της σύγκλισης προκύπτει με τους εξής απλούς συλλογισμούς:

1. Αν πολλαπλασιάσουμε την άπειρη  σειρά των αντιστρόφων κύβων  επί το δεύτερο όρο της [ επί ένα όγδοο δηλαδή ] προκύπτει ότι το άθροισμα των όρων της σειράς με άρτιο παρονομαστή ισούται με το ένα όγδο του αθροίσματος της σειράς των αντιστρόφων κύβων.

2. Το άθροισμα των όρων της άπειρης σειράς των αντιστρόφων κύβων με περιττό παρονομαστή μεγαλύτερο ή ίσο του τρία  είναι εξ ορισμού μικρότερο από το άθροισμα των όρων της ιδίας σειράς με άρτιο παρονομαστή

3. Προφανώς λοιπόν το άθροισμα όλων των όρων της σειράς των αντιστρόφων κύβων, εξαιρουμένου του πρώτου όρου, υπολείπεται των τριών τετάρτων του απείρου αθροίσματος της σειράς των αντιστρόφων κύβων.

4. Είναι λοιπόν φανερό ότι ο πρώτος όρος της σειράς των αντιστρόφων κύβων, η μονάδα δηλαδή, υπερβαίνει από μόνος του τα τρία τέταρτα του αθροίσματος των απείρων όρων της σειράς.

5. Εκ της παρ. (4) προκύπτει ότι το άθροισμα των απείρων όρων της σειράς των αντιστρόφων όρων υπολείπεται του καταχρηστικού κλάσματος των τεσσάρων τρίτων και προφανώς η σειρά συγκλίνει.  

Οι Σπαρτιάτες η σκυτάλη και η αρχαία κρυπτογραφία

Τι είναι η Κρυπτογραφία; Είναι μια επιστήμη, που σκοπό έχει την ασφαλή μετάδοση ενός μηνύματος. Τι όμως να σημαίνει αυτό; Φανταστείτε ότι πρέπει να μεταδώσετε ένα μυστικό μήνυμα. Το μήνυμα πρέπει να το διαβάσει μόνο ο Παραλήπτης του. Τι γίνεται όμως αν το μήνυμα πέσει στα χέρια κάποιου άλλου; Εδώ αρχίζει η κρυπτογραφία. Το μήνυμα , ακόμα και αν πέσει σε λάθος χέρια θα είναι ασφαλισμένο. Αυτός που το βρήκε δεν θα μπορεί να το διαβάσει. Γιατί όμως να συμβεί αυτό; Απλούστατα  γιατί το μηνυμα θα είναι κωδικοποιημένο. Αυτό σημαίνει ότι θα είναι γραμμένο με τέτοιο τρόπο, που μόνο ο αποστολέας και ο παραλήπτης μπορούν να το διαβάσουν, επειδή ξέρουν τον κώδικα ( τρόπο ) κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης. Τα πιο πάνω φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί.

Οι κανόνες και το λεξιλόγιο της κρυπτογραφίας

Κρυπτογραφία	Είναι η επιστήμη της ασφαλούς μετάδοσης ενός μηνύματος
Αποστολέας	Το άτομο που στέλνει το μήνυμα.
Παραλήπτης	Αυτός που θα πάρει το μήνυμα.
Κώδικας κρυπτογράφησης του μηνύματος.	Τρόπος γραφής του μηνύματος με τον οποίο διασφαλίζεται ότι κανένας δεν μπορεί να το διαβάσει εκτός αν έχει τον κώδικα αποκρυπτογράφησης.
Κώδικας αποκρυπτογράφησης του μηνύματος	Ο τρόπος με τον οποίο το κρυπτογραφημένο μήνυμα μεταφράζεται και πάλι στην κανονική γλώσσα.
Προϋπόθεση ασφαλούς κρυπτογραφίας	Οι κώδικες κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης να είναι γνωστοί μόνο στον αποστολέα και τον Παραλήπτη.

   Οι αρχαίοι Σπαρτιάτες είχαν ανακαλύψει ένα έξυπνο σύστημα ασφαλούς κρυπτογράφησης. Όλοι ξέρετε τι είναι μια σκυτάλη. Έχετε δει αγώνες σκυταλοδρομίας και όλοι σας έχετε πάρει στα χέρια σας μια. Ενώ όμως στην σκυταλοδρομία χρησιμοποιούμε μια σκυτάλη, οι Σπαρτιάτες χρησιμοποιούσαν δύο όμοιες σκυτάλες για την αποστολή και τη λήψη των μηνυμάτων. Τη μιά σκυτάλη την κρατούσαν οι Έφοροι της Σπάρτης , και την άλλη ο αρχηγός του Σπαρτιατικού στρατού που βρισκόταν σε εκστρατεία. Ας δούμε ένα συγκεκριμμένο παράδειγμα:

Το 410 π.Χ. ο Ιπποκράτης , γραμματέας του Ναύαρχου Μίνδαρου που μόλις είχε πεθάνει στις Αργινούσες, έστειλε το ακόλουθο μήνυμα στους 5 εφόρους στην Σπάρτη:

Χ	Α	Θ	Η	Κ	Α	Ν		Τ	Α
Π	Λ	Ο	Ι	Α		Ο		Μ	Ι	Ν
Δ	Α	Ρ	Ο	Σ		Σ	Κ	Ο	Τ	Ω
Θ	Η	Κ	Ε		Ο	Ι		Α	Ν	Δ
Ρ	Ε	Σ		Π	Ε	Ι	Ν	Ο	Υ	Ν
	Ε	Ι	Μ	Α	Σ	Τ	Ε		Σ	Ε
Α	Π	Ο	Ρ	Ι	Α		Τ	Ι		Π
Ρ	Ε	Π	Ε	Ι		Ν	Α		Κ	Α
Ν	Ο	Υ	Μ	Ε

Εύκολα μπορούμε να το διαβάσουμε. Το μήνυμα είναι: ΧΑΘΗΚΑΝ ΤΑ ΠΛΟΙΑ, Ο ΜΙΝΔΑΡΟΣ ΣΚΟΤΩΘΗΚΕ, ΟΙ ΑΝΔΡΕΣ ΠΕΙΝΟΥΝ, ΕΙΜΑΣΤΕ ΣΕ ΑΠΟΡΙΑ ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ. Θα μπορούσαμε να το διαβάσουμε όμως, αν διαβάζαμε τα γράμματα ,με τη σειρά που φαίνονται στις στήλες; Ας γράψουμε την πρώτη στήλη ,από πάνω προς τα κάτω, μετά την δεύτερη μέχρι την τελευταία. Το αποτέλεσμα είναι το ακόλουθο:

 ΧΠΔΘΡ ΑΡΝΑΛΑΗΕΕΠΕΟΘΟΡΚΣΙΟΠΥΗΙΟΕ ΜΡΕΜΚΑΣ ΠΑΙΙΕΑ  ΟΕΣΑ  ΝΟΣΙΙΤ Ν   Κ ΝΕΤΑ ΤΜΟΑΟ Ι  ΑΙΤΝΥΣ Κ  ΝΩΔΝΕΠΑ

     Τί; Ακαταλαβίστικα; Το ίδιο θα έλεγε όποιος εχθρικός στρατιώτης τυχόν αιχμαλώτιζε τον αγγελιαφόρο του Ιπποκράτη. Το «ακαταλαβίστικο» αυτό μήνυμα ήταν γραμμένο σε μια μακρόστενη ταινία από κατεργασμένο δέρμα. Τα γράμματα στην ταινία ακολουθούσαν τη σειρά που φαίνεται όταν διαβάζουμε τις κατακόρυφες στήλες  Όταν η ταινία ετυλίγετο γύρω από τη σκυτάλη, τότε εμφανίζετο το αρχικό μήνυμα.  Γιατί όμως γινόταν αυτό; Απλούστατα γιατί η περίμετρος της σκυτάλης είχε το ίδιο μήκος με τις στήλες του μηνύματος. Όταν η ταινία τυλιγόταν, το πρώτο γράμμα της πρώτης στήλης έπεφτε δίπλα από το πρώτο γράμμα της δεύτερης στήλης, αυτό δίπλα από το πρώτο γράμμα της τρίτης στήλης κ.ο.κ. Όταν όλη η ταινία τυλιγόταν γύρω από την σκυτάλη, το αρχικό μήνυμα εμφανιζόταν. Τις 2 όμοιες σκυτάλες όμως είχαν μόνο οι έφοροι και ο αρχηγός του εκστρατευτικού σώματος των Σπαρτιατών, άρα μόνο αυτοί μπορούσαν να διαβάσουν το μήνυμα. Την Σκυτάλη των Σπαρτιατών μπορείτε να δείτε στο σχέδιο που ακολουθεί:

    Δύο χιλιάδες χρόνια μετά, η κρυπτογραφία  αναπτύχθηκε ξανά στην Ευρώπη. Οι Ευρωπαίοι κρυπτογράφοι ανάπτυξαν διάφορους κώδικες με χρήση μετάθεσης ή αντικατάστασης γραμμάτων. Παραμένει όμως γεγονός ότι ο πρώτος , ιστορικά γνωστός κώδικας μετάθεσης, αναπτύχθηκε στην αρχαία Σπάρτη!