Προσεγγιστικός υπολογισμός αθροίσματος σειράς αντιστρόφων κύβων

1.     Σε προηγούμενο άρθρο έχουμε αποδείξει ότι η σειρά των αντιστρόφων κύβων συγκλίνει. Στο άρθρο αυτό θα κάνουμε μια πρώτη προσέγγιση του αθροίσματος θέτοντας το κατώτερο και το ανώτερο όριο που το άθροισμα των απείρων όρων της  κυμαίνεται.

         Η άπειρη σειρά της οποίας οι διαδοχικοί όροι είναι οι αντίστροφοι των κύβων των φυσικών αριθμών, ονομάζεται η σειρά των αντιστρόφων κύβων.   (1)

2      Αν πολλαπλασιάσουμε  τη σειρά των αντιστρόφων κύβων με τον τρίτο όρο της προκύπτει μια νέα σειρά ίση με το ένα εικοστό έβδομο της αρχικής, η οποία περιέχει τους όρους, στους οποίους ο παρονομαστής είναι πολλαπλάσιο του τρία. (2)

3.       Κάθε όρος της σειράς των αντιστρόφων κύβων με παρονομαστή πολλαπλάσιο του τρία υπερέχει του ημιαθροίσματος των δύο όρων της σειράς των αντιστρόφων κύβων που ακολουθούν.  (3)

4.       Προφανώς το άθροισμα των απείρων όρων της σειράς (1) , εξαιρουμένων του πρώτου και του δεύτερου όρου, υπολείπεται του ενός ενάτου του αθροίσματος των απείρων όρων της σειράς. Συνακόλουθα το άθροισμα των δύο πρώτων όρων [ 1+1/8 ] υπερέχει των οκτώ ενάτων του αθροίσματος των απείρων όρων της σειράς των αντιστρόφων κύβων (4)

5.       Συμπερασματικά το άθροισμα της σειρά των αντιστρόφων κύβων υπερέχει του αριθμού 1,125 και υπολείπεται του αριθμού 1,265625           (5), (6), (7)

Τ    Τα πιο πάνω παρουσιάζονται σε μαθηματική γλώσσα στην εικόνα που ακολουθεί: