Η σύγκλιση της άπειρης σειράς των αντιστρόφων κύβων

Ορισμός1
 Ένας αντίστροφος κύβος είναι ένας ρητός αριθμός (κλάσμα ) του οποίου ο αριθμητής είναι η μονάδα και ο παρονομαστής ο κύβος ενός φυσικού αριθμού.

Ορισμός 2:

Η άπειρη σειρά των αντιστρόφων κύβων περιλαμβάνει τους αντίστροφους κύβους των διαδοχικών φυσικών αριθμών δηλαδή τα ακόλουθα κλάσματα:

1, 1/8, 1/27, 1/64, ... 1/ν³, 1/(ν+1)³….

Το πλήθος των όρων της σειράς είναι άπειρο δηλαδή είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε φυσικό αριθμό.

Στο άρθρο αυτό θα αποδείξουμε ότι η άπειρη σειρά των αντιστρόφων κύβων συγκλίνει. Αυτό σημαίνει ότι όσους όρους της και να προσθέσουμε το άθροισμα που προκύπτει είναι μικρότερο από κάποιο δεδομένο φυσικό αριθμό που θα προσδιορίσουμε. Η μαθηματική απόδειξη παρουσιάζεται στην εικόνα που ακολουθεί. 

Η απόδειξη της σύγκλισης προκύπτει με τους εξής απλούς συλλογισμούς:

1. Αν πολλαπλασιάσουμε την άπειρη  σειρά των αντιστρόφων κύβων  επί το δεύτερο όρο της [ επί ένα όγδοο δηλαδή ] προκύπτει ότι το άθροισμα των όρων της σειράς με άρτιο παρονομαστή ισούται με το ένα όγδο του αθροίσματος της σειράς των αντιστρόφων κύβων.

2. Το άθροισμα των όρων της άπειρης σειράς των αντιστρόφων κύβων με περιττό παρονομαστή μεγαλύτερο ή ίσο του τρία  είναι εξ ορισμού μικρότερο από το άθροισμα των όρων της ιδίας σειράς με άρτιο παρονομαστή

3. Προφανώς λοιπόν το άθροισμα όλων των όρων της σειράς των αντιστρόφων κύβων, εξαιρουμένου του πρώτου όρου, υπολείπεται των τριών τετάρτων του απείρου αθροίσματος της σειράς των αντιστρόφων κύβων.

4. Είναι λοιπόν φανερό ότι ο πρώτος όρος της σειράς των αντιστρόφων κύβων, η μονάδα δηλαδή, υπερβαίνει από μόνος του τα τρία τέταρτα του αθροίσματος των απείρων όρων της σειράς.

5. Εκ της παρ. (4) προκύπτει ότι το άθροισμα των απείρων όρων της σειράς των αντιστρόφων όρων υπολείπεται του καταχρηστικού κλάσματος των τεσσάρων τρίτων και προφανώς η σειρά συγκλίνει.