Χάλκινη Ακολουθία
1. Έστω η ακολουθία αριθμών 1, 1, 1, 1, 4,
7, 13, 25, 49, 94, 181, 349, 673, 1297, 2500, 4819, 9289, 17905, 34513,
66526, 128233, 247177, 476449 , 918385,
1770244, 3412255 ,6577333,
12678217, 24438049, 47105854,
90799453, 175021577, 337364933, 650291817, 1253477780, 2416156107, 4657290637,
8977216341, 17304140865, 33354803950.....
Στην ακολουθία αυτή
ισχύει ότι ο ν-οστός όρος ισούται με τους τέσσερεις προηγούμενους, δηλαδή
Αν= Αν-1 + Αν-2 + Αν-3 + Αν-4. Αν υπολογίσουμε τα διαδοχικά πηλίκα Αν/ Αν-1 τότε βλέπουμε ότι αυτά συγκλίνουν προς συγκεκριμένο άρρητο αριθμό. Έτσι έχουμε:
Α5/ Α4 = 4... Α6/ Α5 = 1,75 Α7/ Α6 = 1,857142857 Α8/ Α7 = 1,82352941..
Α9/ Α8 = 1,923076923.. Α10/ Α9 = 1,918367347.. Α11/ Α10 = 1,925531915
Α12/ Α11 = 1,928176796... Α13/ Α12 = 1,928366762... Α14/ Α13 = 1,927191679..
Α15/ Α14 = 1,927525058... Α16/ Α15 = 1,9276... Α17/ Α16 = 1,927578336...
Α18/ Α17 = 1,927548714.. Α19/ Α18 = 1,927562133.. Α20/ Α19 = 1,927563527..
Α21/ Α20 = 1,927562156 Α22/ Α21 = 1,927561548.. Α23/ Α22 = 1,92756203
Α24/ Α23 = 1,927562027.. Α25/ Α24 =1,92756197 Α26/ Α25 =1,927561963
Α27/ Α26 = 1,927561979.. Α28/ Α27 = 1,927561977.. Α29/ Α28 = 1,927561975..
Ο αριθμός στον
οποίο συγκλίνουν τα πηλίκα των διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας μας, είναι μια
από τις πραγματικές ρίζες της εξίσωσης τετάρτου βαθμού.
χ⁴ - χ³ - χ² - χ –1 = 0.
Ο αριθμός μας ρ είναι άρρητος. Έχουμε υπολογίσει τα πρώτα 9 δεκαδικά ψηφία του . Είναι ρ=1,927561975... .
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου