"Χάλκινη Ακολουθία" μέρος Α

 Χάλκινη Ακολουθία

1. Έστω η ακολουθία αριθμών 1, 1, 1, 1, 4, 7, 13, 25, 49, 94, 181, 349, 673, 1297, 2500, 4819, 9289, 17905, 34513, 66526,  128233,  247177, 476449 ,  918385,  1770244,  3412255  ,6577333,  12678217,  24438049, 47105854, 90799453, 175021577, 337364933, 650291817, 1253477780, 2416156107, 4657290637, 8977216341, 17304140865, 33354803950.....

Στην ακολουθία αυτή ισχύει ότι ο ν-οστός όρος ισούται με τους τέσσερεις προηγούμενους, δηλαδή

Αν= Αν-1 + Αν-2 + Αν-3 + Αν-4. Αν υπολογίσουμε τα διαδοχικά πηλίκα Αν/ Αν-1  τότε βλέπουμε ότι αυτά συγκλίνουν προς συγκεκριμένο άρρητο αριθμό. Έτσι έχουμε:

Α5/ Α4 = 4...  Α6/ Α5 = 1,75     Α7/ Α6 = 1,857142857     Α8/ Α7 = 1,82352941.. 

Α9/ Α8 = 1,923076923..      Α10/ Α9 = 1,918367347..       Α11/ Α10 = 1,925531915 

Α12/ Α11 = 1,928176796...   Α13/ Α12 = 1,928366762...   Α14/ Α13 = 1,927191679..  

Α15/ Α14 = 1,927525058...     Α16/ Α15 = 1,9276...  Α17/ Α16 = 1,927578336...

Α18/ Α17 = 1,927548714..  Α19/ Α18 = 1,927562133..    Α20/ Α19 = 1,927563527..

Α21/ Α20 = 1,927562156     Α22/ Α21 = 1,927561548..   Α23/ Α22 = 1,92756203 

Α24/ Α23 = 1,927562027..  Α25/ Α24 =1,92756197         Α26/ Α25 =1,927561963   

Α27/ Α26 = 1,927561979..  Α28/ Α27 = 1,927561977..     Α29/ Α28 = 1,927561975..

Ο αριθμός στον οποίο συγκλίνουν τα πηλίκα των διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας μας, είναι μια από τις πραγματικές ρίζες της εξίσωσης τετάρτου βαθμού.

 χ⁴  - χ³ - χ² - χ –1 = 0.    

Ο αριθμός μας ρ  είναι άρρητος. Έχουμε υπολογίσει τα πρώτα 9 δεκαδικά ψηφία του . Είναι  ρ=1,927561975... .