Χάλκινη ακολουθία Μέρος Β

Τις ιδιότητες της αναδρομικής ακολουθίας την οποία αυθαίρετα ονόμασα χάλκινη μελέτησα επισταμένα και παραθέτω κατωτέρω κάποια μαθηματικά γυμνάσματα που έκανα επ' αυτής:

Πρόταση 1 

Αν = Αν-1 + Αν-2 + Αν-3 + Αν-4 να αποδειχθεί ότι  Αν / Αν-1→ ρ όταν ν→ ∞ , όπου ρ πραγματική ρίζα της τεταρτοβάθμιας εξίσωσης χ⁴  - χ³ - χ² - χ –1 = 0. 

 Αν = Αν-1 + Αν-2 + Αν-3+ Αν-4

 ð Αν / Αν-1 = 1 + (Αν-2 / Αν-1) + (Αν-3 / Αν-1) + (Αν-4 / Αν-1)

 ð Αν / Αν-1 = 1 + [1/(Αν-1 / Αν-2) ] + [1/ (Αν-1 / Αν-2) (Αν-2 / Αν-3) ]  + [1/ (Αν-1 / Αν-2) (Αν-2 / Αν-3) (Αν-3 / Αν-4)  ]                (1)

 Όταν ν → ∞ τότε οι λόγοι Αν-1 / Αν-2 ,  Αν-2 / Αν-3, Αν-3 / Αν-4 μπορούν να γραφούν ισοδύναμα με το λόγο Αν / Αν-1 με βάση την εξίσωση (1). Αντικαθιστούμε λοιπόν τους προαναφερθέντες λόγους με Χ στην εξίσωση (1) και αυτή μετασχηματίζεται σε 

 χ = 1 + (1/χ) + (1/χ²) + (1/χ³) ή χ⁴ =χ³ + χ² + χ +1  (3)

 Η εξίσωση (3) έχει μια και  πραγματική ρίζα στο διάστημα (1,2) . Η ρίζα αυτή είναι ο άρρητος αριθμός 1,927561975.. στον οποίο συγκλίνουν τα διαδοχικά πηλίκα Αν / Αν-1 όταν ν → ∞

 Πρόταση 2

 Ο αριθμός ρ= 1,927561975.... είναι άρρητος.

 Απόδειξη 1^η

 Μέθοδος: Δια της εις άτοπον απαγωγής.

 Υπόθεση

Έστω ότι  ρ είναι ο ρητός αριθμός   μ / ν (1), όπου μ, ν φυσικοί αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους. Προφανώς με βάση την παραδοχή (1),το κλάσμα  μ / ν είναι ανάγωγο, μη επιδεχόμενο οποιασδήποτε απλοποίησης.

 Από την (1) έχουμε:

 (μ / ν)⁴  = (μ / ν) ³ + (μ / ν) ² + (μ / ν)  + 1

 Κάνουμε τα κλάσματα της εξίσωσης ομώνυμα με κοινό παρονομαστή ν⁴ και εξισώνουμε τους αριθμητές στις 2 πλευρές της εξίσωσης. Έχουμε:

 μ⁴  = ν μ ³  + ν ² μ ² +ν³  μ  + ν⁴  

 ð μ⁴ = ν  (μ³ + ν μ ²+ν ²μ  + ν³  )     (2)

  Από το οποίο προκύπτει ότι το ν διαιρεί το μ, γεγονός το οποίο ακυρώνει την αρχική μας παραδοχή ότι οι φυσικοί αριθμοί μ και ν είναι μεταξύ τους πρώτοι. Άρα δεν μπορούμε να γράψουμε το ρ υπό την μορφή ανάγωγου κλάσματος άρα ρ είναι άρρητος.

 Προχωρώντας περαιτέρω και ως αποτέλεσμα της 2, θέτουμε μ = ν. Β   καταλήγουμε στην εξίσωση:

 Β⁴ = Β³ +Β ² + Β + 1, όμως το Β προφανώς δεν μπορεί να είναι ακέραιος αφού 1 < Β < 2. Αν θεωρήσουμε ότι το Β μπορεί να γραφεί ως ανάγωγο κλάσμα, αποδεικνύεται με βάση τη διαδικασία της παραδοχής (1) ότι είναι άτοπο. Η διαδικασία (1) μπορεί να επαναληφθεί άπειρες φορές, πράγμα άτοπο εφόσον κανένα κλάσμα δεν μπορεί να απλοποιείται επ’ άπειρον και ποτέ να μην καταλήγει σε ανάγωγο κλάσμα. Είναι φανερό λοιπόν ότι η αρχική μας παραδοχή καταλήγει όχι μόνο σε άτοπο αλλά και σε λογικό αδιέξοδο.

 Συμπέρασμα

 Ο ρ όπως  είναι άρρητος.