Σύγκλιση άπειρου αθροίσματος αντιστρόφων τετραγώνων

 

Πιττακός ο Μυτιληναίος μέρος Β

 Διογένης Λαέρτιος, Βίοι Φιλοσόφων, Α 77 – 79 )

Ρητά

Ο Σιμωνίδης¹ διασώζει ότι ο Πίττακος έλεγε ότι είναι δύσκολο να είσαι καλός και αγαθός². Ο Πλάτωνας διασώζει επίσης τη ρήση του  «ἀνάγκᾳ δ᾽ οὐδὲ θεοὶ μάχονται.» δηλαδή ότι η ανάγκη οδηγεί ακόμα και τους Θεούς περί του πρακτέου. Άλλα ρητά του σοφού από την Μυτιλήνη:

1.       «ἀρχὴ ἄνδρα δείκνυσιν.» Δηλαδή η ανάληψη της αρχής θα φανερώσει την ποιότητα του Ανδρός που κυβερνά και όχι αυτά που λέει όταν είναι εκτός εξουσίας.

2.       τί ἄριστον; «τὸ παρὸν εὖ ποιεῖν.» Όταν ρωτήθηκε τι είναι το καλύτερο απάντησε: να κάνεις καλά αυτό που κάνεις, κάθε χρονική στιγμή.

3.        τίς ἀρχὴ μεγίστη; «ἡ τοῦ ποικίλου,» ἔφη, «ξύλου,» σημαίνων τὸν νόμον. Απαντώντας στον Κροίσο που τον ρώτησε ποια είναι η άριστη διοίκηση; Απάντησε αυτή που έχει ηγεμόνα το Νόμο.

4.       ἔλεγε δὲ καὶ τὰς νίκας ἄνευ αἵματος ποιεῖσθαι. Η μέγιστη νίκη είναι αυτή η οποία κερδίζεται με το νου και όχι με τη βία.

5.       Τον ενάρετο άνθρωπο δεν θα τον βρεις μετά από συνεχές ψάξιμο αλλά απρόσμενα.

6.       Το πιο απρόβλεπτο πράγμα είναι το μέλλον, ενώ το παρόν το πλέον ευχάριστο αν ξέρεις να το ζεις σωστά.

7.       Η στεριά είναι αξιόπιστη ( ασφαλής ) ενώ η θάλασσα αναξιόπιστη³ ( απρόβλεπτη, ύπουλη )

8.       «ἔλεγέ τε συνετῶν μὲν ἀνδρῶν, πρὶν γενέσθαι τὰ δυσχερῆ, προνοῆσαι ὅπως μὴ γένηται»· Οι συνετοί άνθρωποι προνοούν και λαμβάνουν μέτρα έγκαιρα, για να αντιμετωπίσουν τις δυσκολίες αν και όταν έρθουν.

9.       Οι ανδρείοι άνθρωποι αντιμετωπίζουν σωστά⁴ ( με θάρρος ) τις δυσκολίες.

10.   Πρώτα κάνε αυτό που σκοπεύεις και μετά, εφόσον  το πετύχεις, τότε  μίλα γι’ αυτό. Διαφορετικά ο κόσμος θα σε κακολογήσει⁵.

11.   «ἀτυχίαν μὴ ὀνειδίζειν, νέμεσιν αἰδόμενον.» Μην κοροϊδέψεις αυτόν που ατύχησε στη ζωή του για να μην πάθεις χειρότερα από τη Νέμεση⁶.

12.   Πάντοτε να επιστρέφεις ότι δεν είναι δικό σου στον ιδιοκτήτη.

13.   «φίλον μὴ λέγειν κακῶς, ἀλλὰ μηδὲ ἐχθρόν» Να μην κακολογείς κανένα, ούτε εχθρό ούτε φίλο.

14.    . Να ασκείς την ευσέβεια και την σωφροσύνη. Να είσαι φιλαλήθεις, επιμελής, επιδέξιος, πιστός φίλος⁷

15.   καιρὸν γνῶθι. Να γνωρίζεις τη συγκυρία και να πράττεις το καθετί την κατάλληλη στιγμή.

Ποίηση, συγγραφή και ζωή

Ο Πιττακός έγραψε νομικό σύγγραμμα καθώς και αρκετά ποιήματα, κοντά εξακόσιους ελεγειακούς στίχους. Στα συμπόσια τραγουδούσαν το ακόλουθους στίχους του: Τον κακό άνθρωπο άοπλος ποτέ μην πλησιάζεις/ πώς να εμπιστευτείς τη ζωή σου άοπλος στα απατηλά του λόγια/ αφού φωλιάζει το ψέμα και η απάτη στη ψυχή του; Άκμασε κατά την 42^η Ολυμπιάδα⁸.

Ο Σοφός Μυτηλιναίος πέθανε το τρίτο έτος της 52^ης Ολυμπιάδας, δηλαδή το 570 π.Χ. σε ηλικία άνω των 70 ετών. Στον τάφο του γράφηκε το απόφθεγμα: οἰκείοις δακρύοις ἁ γειναμένα κατακλαίει/ Πιττακὸν ἥδ᾽ ἱερὰ Λέσβος ‹ἀποφθίμενον›.⁹

Σημειώσεις

1.       Σιμωνίδης από την Κέα ( 6^ος – 5^ος αιώνας π.Χ.). Επιγραμματοποιός και λυρικός Ποιητής

2.       «ἄνδρ᾽ ἀγαθὸν ἀλαθέως γενέσθαι χαλεπόν,

3.       τί  πιστόν; «γῆ·» ἄπιστον; «θάλασσα.»

4.       ἀνδρείων δέ, γενόμενα εὖ θέσθαι.

5.       «ὃ μέλλεις πράττειν, μὴ πρόλεγε· ἀποτυχὼν γὰρ γελασθήσῃ.»

6.       Νέμεση: Κόρη της νύκτας, θεά που τιμωρεί την ύβρη.

7.       «εὐσέβειαν ἀσκεῖν. σωφροσύνην φιλεῖν. ἀλήθειαν ἔχειν, πίστιν, ἐμπειρίαν, ἐπιδεξιότητα, ἑταιρίαν, ἐπιμέλειαν»

8.       Η 42^η Ολυμπιάδα καλύπτει την περίοδο 612 – 909 π.Χ.

9.       Η Ιερή γη της Λέσβου που τον γέννησε, χύνει μαύρο δάκρυ για το ένδοξο τέκνο της

Πιττακός ο Μυτιληναίος μέρος Α

 Η καταγωγή του Πιττακού φτάνει από τη Θράκη, καθώς με βάση κάποιες πληροφορίες¹ ο πατέρας του Υρράδιος ήταν Θρακιώτης. Συνεργάστηκε με τον λυρικό ποιητή Αλκαίο και τα αδέλφια του και ανέτρεψαν τον τύραννο της Λέσβου Μέλαγχρο. Σε μάχη με τους Αθηναίους για την περιοχή του Σιγείου κοντά στον Ελλήσποντο, στρατηγός των Μυτιληναίων ήταν ο Πιττακός. Οι αντιμαχόμενοι συμφώνησαν όπως η μάχη κριθεί με μονομαχία των στρατηγών. Χρησιμοποιώντας δίκτυ, ο Πιττακός κατόρθωσε να σκοτώσει στην μονομαχία  τον στρατηγό των Αθηναίων Φρίτωνα, να κερδίσει την μάχη και τη διαφιλονικούμενη περιοχή³. 

Οι Λέσβιοι τίμησαν τον Πίττακο  και του έδωσαν την εξουσία στο νησί για δέκα χρόνια. Στην περίοδο αυτή βελτίωσε το πολίτευμα με βάση νόμους που θέσπισε. Ύστερα παραιτήθηκε και έζησε ακόμα δέκα χρόνια.  Οι συμπατριώτες του τον τίμησαν δίνοντας του

ένα κομμάτι γης όμως αυτός έδειξε ευσέβεια και  πρόσφερε το μισό στους πατρώους θεούς, λέγοντας αινιγματικά ότι το μισό είναι περισσότερο από το σωστό. Σε μια άλλη περίπτωση ο Κροίσος βασιλιάς της Λυδίας δοκίμασε να δωροδοκήσει τον Πιττακό. Αυτός αρνήθηκε λέγοντας του ότι είχε διπλάσια χρήματα από όσα χρειαζόταν.

Η Παμφίλη⁴ αναφέρει ότι ο Πιττακός διακρινόταν για την πραότητα του και συγχώρησε ακόμα και τον φονιά του γιού του.  Ο Ηράκλειτος ο Εφέσιος όμοια λέει ότι ο Πιττακός συγχώρησε και άφησε ελεύθερο τον Αλκαίο ενώ θα μπορούσε να του πάρει τη ζωή. Επειδή στη Λέσβο είχαν μεγάλη παραγωγή κρασιού και υπήρχε πρόβλημα αλκοολισμού όρισε διπλασιασμό των ποινών αν οι παραβάτες συλλαμβάνονταν να παρανομούν μεθυσμένοι.

Σημειώσεις

1.       Η πληροφορία προέρχεται από τον Περιπατητικό Δούρη, μαθητή του Θεόφραστου. (340 – 270 π. Χ)

2.       Η ανατροπή της τυραννίας στη Λέσβο πρέπει να έγινε το 612 π.Χ.

3.       Σε μια άλλη εκδοχή την οποία αναφέρει ο Απολλόδωρος στα Χρονικά του, οι Αθηναίοι κέρδισαν την διαφιλονικούμενη περιοχή δικαστικά, με δικαστή τον τύραννο της Κορίνθου Περίανδρο

4.       Έζησε τον 1^ο μ. Χ. αιώνα.  Έγραψε το έργο Σύμμικτα Υπομνήματα στο οποίο αποθησαύρισε σημαντικές πληροφορίες για σημαντικές προσωπικότητες της αρχαιότητας.  

Χίλωνας Ο Λακεδαιμόνιος μέρος Β

 (Διογένης Λαέρτιος, Βίοι Φιλοσόφων, Α 71 – 73 )

Στο Χίλωνα αποδίδεται το ακόλουθο δημοφιλές τραγούδι που τραγουδούσαν στα συμπόσια. «Στο πέτρινο ακόνι μπορείς να ξεχωρίσεις το αληθινό χρυσάφι από το ψεύτικο μέταλλο που λάμπει χωρίς να είναι χρυσός. Όμοια στη δοκιμασία φανερώνεται ο χαρακτήρας των καλών ανθρώπων από τους κακούς»

Προς το τέλος της ζωής του πίστευε ότι συνειδητά είχε υπερασπιστεί τον νόμο και δεν τον είχε παραβιάσει σχεδόν ποτέ. Μόνο το ακόλουθο γεγονός είχε σε αμφιβολία. Κάποτε έπρεπε να δικάσει ένα φίλο του. Επειδή ούτε τον νόμο ήθελε να παραβεί ούτε όμως ήθελε να δικάσει το φίλο του τον παράπεμψε σε ένα άλλο δικαστή, ο οποίος τον αθώωσε. Έτσι ούτε το νόμο παραβίασε, ούτε το φίλο του καταδίκασε.

Ο Χίλωνας είχε προφητικά προβλέψει ότι πολλά κακά θα προέλθουν στη Λακωνία από το νησί των Κυθήρων. Είχε πει για το νησί. Μακάρι να μην υπήρχε ή να είχε την τύχη της Ατλαντίδας. Η πρόβλεψη του επαληθεύτηκε στους Περσικούς Πόλεμους όταν ο Δημάρατος¹ συμβούλεψε τον Ξέρξη να καταλάβει τα Κύθηρα αντί να δώσει τη μάχη στη Σαλαμίνα. Ευτυχώς για τους Έλληνες ο Ξέρξης δεν άκουσε τη συμβουλή του. Η στρατηγική θέση των Κυθήρων φάνηκε και στον Πελοποννησιακό πόλεμο, όταν ο Νικίας αντιλαμβανόμενος τη στρατηγική θέση του νησιού το κατέλαβε και προξένησε πολλά δεινά στους Σπαρτιάτες, όπως αφηγείται ο Θουκυδίδης,.

Ο Σπαρτιάτης σοφός, όπως και οι συμπατριώτες του λακώνιζε². Ο Αρισταγόρας ο Μιλήσιος³ ονόμαζε τον τρόπο ομιλίας του Χιλώνειο.  Λέγεται ότι η καταγωγή του έφτανε από την ιερατική οικογένεια του Βράγχου που ίδρυσε το Ιερό των Βραγχιδών⁴. Ο Χίλωνας πέθανε την εποχή της 52^ης Ολυμπιάδας⁵ όταν ο μυθοποιός Αίσωπος βρισκόταν στην ακμή του. Με βάση όσα αναφέρει ο Έρμιππος βρισκόταν στην πόλη της Ηλείας Πίσα, αναμένοντας τα αποτελέσματα των αγώνων. Όταν ήρθε ο γιος του και του είπε ότι ήταν Ολυμπιονίκης στο αγώνισμα της Πυγμαχίας τον αγκάλιασε και τον φίλησε. Από την υπερβολική συγκίνηση που ένιωσε πέθανε συνεργούσης και της μεγάλης ηλικίας του.

Ο Διογένης έγραψε το ακόλουθο επίγραμμα για το Χίλωνα.: Σ’ ευχαριστώ φωσφόρε Πολυδεύκη⁶ που ο γιος του Χείλωνα /νωπό κότινο αγριελιάς στην πυγμαχία κέρδισε/ και ο πατέρας του έσβησε όλο χαρά βλέποντας στεφανωμένο το παιδί του/ μακάρι και εγώ κάποτε να αξιωθώ τέτοιο χαρούμενο θάνατο/

Η Σπάρτη τίμησε το μεγάλο τέκνο της με άγαλμα στο οποίο γράφτηκε η ακόλουθη επιγραφή:Η Σπάρτη η δοξασμένη στους πολεμικούς αγώνες γέννησε το σοφό Χίλωνα/ που απ’ τους επτά σοφούς πρώτος στη γνώση ήταν.

Στον Χίλωνα αποδίδεται το ρητό ότι η « εγγύηση είναι το προοίμιο της συμφοράς». Επίσης σε επιστολή του στον Περίανδρο τον τύραννο της Κορίνθου τον αποτρέπει να ασχοληθεί με εκστρατεία στο εξωτερικό όταν η εξουσία του στην πατρίδα του ήταν τόσο επισφαλής. Καταλήγει λέγοντας « καὶ τῆνον τυράννων εὐδαιμονίζω ὅστις κα οἴκοι ἐξ αὐτὸς αὑτῶ κατθάνῃ.⁷

Σημειώσεις

1.       Εξόριστος Βασιλιάς της Σπάρτης (Βασίλευσε μεταξύ 510 π.Χ. και 492 π.Χ.). Εξορίστηκε με την κατηγορία του Μηδισμού. Κατέφυγε στην αυλή του βασιλιά των Περσών Ξέρξη τον οποίο ακολούθησε ως σύμβουλος στην εκστρατεία του εναντίον της Ελλάδας.

2.       Μιλούσε λίγο και με νόημα.

3.       Τύραννος της Μιλήτου την εποχή της Ιωνικής επανάστασης

4.       Αναφέρεται στο ναό του Απόλλωνα νοτίως της Μιλήτου.

5.       572 – 569 π.Χ.

6.       Ένας των Διοσκούρων, προστάτης των Πυγμάχων

7.       Καλότυχος ο τύραννος που θα πεθάνει από φυσικό θάνατο στο σπίτι του

 

 

Πυθαγόρειο Θεώρημα 4η απόδειξη

 Όταν ο Πυθαγόρας ανακάλυψε το ομώνυμο θεώρημα, τόση ήταν η χαρά του που θυσίασε ολόκληρη εκατόμβη στους Θεούς. Στο εξαιρετικό βιβλίο του με τίτλο ,Το Πυθαγόρειο Θεώρημα , εκδόσεις Κάτοπτρο ο Eli Maor παρουσιάζει την Ιστορία του εξαιρετικού αυτού κοσμήματος, που στολίζει το μαθηματικό θησαυροφυλάκιο. Από την εποχή του Πυθαγόρα ως τα σήμερα, έχουν ανακαλυφθεί εκατοντάδες αποδείξεις, πέραν της κλασσικής που αναφέρεται στα στοιχεία του Ευκλείδη. Μαθηματικοί  και όχι μόνο έχουν παρουσιάσει πρωτότυπες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Ανάμεσα τους και ο James Garfield 20^ος Πρόεδρος των Ηνωμένων Πολιτειών, ο οποίος, όπως αναφέρει ο Eli Maor διατύπωσε την απόδειξη κατά τη διάρκεια μιας συζήτησης με μέλη του Κογκρέσου.

Το πυθαγόρειο θεώρημα έχει εφαρμογές και επεκτάσεις σε κάθε κλάδο των μαθηματικών και όχι μόνο. Αυτά και άλλα πολλά υπάρχουν σε αυτό το εξαιρετικό βιβλίο!

Ενθουσιασμένος από την ανάγνωση του βιβλίου προσπάθησα να σκαρώσω μια απόδειξη Την παραθέτω πιο κάτω.  Δεν την αντέγραψα από κάποιο μαθηματικό βιβλίο. Από την άλλη δεν μπορώ να ισχυριστώ ότι 100% είναι πρωτότυπη αφού έχω υπόψη μου περίπου είκοσι από τις τετρακόσιες + αποδείξεις που υπάρχουν. Πρόκειται για στοιχειώδη απόδειξη που θα μπορούσε να την σκεφθεί και ένας καλός μαθητής μέσης εκπαίδευσης.

Δεδομένα

1.       Έστω ΑΒ διάμετρος ημικυκλίου (ΑΒ= γ)

2.       Επί του περιφέρειας του ημικυκλίου γράφουμε σημείο Γ τέτοιο ώστε ΑΓ>ΒΓ. Θέτουμε ΑΓ=β, και ΒΓ=α         (β > α )

3.       Γράφω το τετράγωνο ΑΒΕΔ  

Να αποδειχθεί ότι ΑΒ² =ΑΓ² + ΒΓ²       (γ² =β² + α²)

Απόδειξη

1.       ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο εφόσον ΑΒ διάμετρος και Γ σημείο της περιφέρειας.

2.       Επεκτείνω την ΑΓ από το Γ και έστω Ζ το σημείο τομής της  επέκτασης με τη ΒΖ.

3.       Από το Ζ φέρω την ΖΗ κάθετη επί της ΑΔ

4.       Τα τρίγωνα ΑΓΒ και ΒΓΖ είναι όμοια ( ∠ΒΑΓ = ∠ΓΒΖ = Θ, ∠ΑΒΓ =  ∠ΒΖΓ = φ, ⇨ ΑΓΒ ≈ ΒΓΖ)

5.       Εκ της ομοιότητας των τριγώνων ΑΓΒ, ΒΓΖ έχουμε: ΑΓ/ΒΓ=ΓΒ/ΓΖ=ΑΒ/ΒΖ

6.       β/α=α/ΓΖ=γ/ΒΖ ⇨ ΓΖ = α²/β,  ΒΖ = α γ/β, ΖΕ=ΗΔ = γ – (α γ/β)

7.       Το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΕΗ ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των ορθογώνιων τριγώνων ΑΒΓ, ΒΓΖ, ΑΗΖ και του ορθογωνίου ΖΗΔΕ

8.       Από την (7) έχουμε: (ΑΒΕΔ) = (ΑΒΓ) +(ΒΓΖ ) + (ΑΗΖ) + (ΖΕΔΗ )

9.       ⇨ γ²=α β/2 + α³/2β + αγ²/2β + γ ( γ – α γ/β)

10.   ⇨ αγ²/2β = α β/2 + α³/2β . Την εξίσωση πολλαπλασιάζω με 2β/α

11.   ⇨ γ² = β² + α²  όπερ έδει δείξαι 

 

Τρίτη απόδειξη Πυθαγόρειου Θεωρήματος

 

Δεδομένα

1.       Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α. ( Α=90° )

2.       ΑΒ = γ , ΒΓ= α, ΑΓ=β  

3.       Γωνίες Β= φ , Γ= θ,   ( φ + θ = 90° )

Απόδειξη

1.       Εκ του σημείου Β γράφουμε κάθετη επί της ΒΓ η οποία τέμνει την προέκταση της ΑΓ από το Α σε σημείο Δ.

2.       Τα τρίγωνα ΑΓΒ και ΑΒΔ είναι όμοια αφού έχουν τις γωνίες τους μία προς μία ίσες ( ΓΑΒ=ΓΒΔ=90, ΑΓΒ= ΑΒΔ = θ, ΑΒΓ = ΑΔΒ =φ,  ⇨ΑΓΒ ≈ ΑΒΔ

3.       Αφού ΑΓΒ ≈ ΑΒΔ  συνεπάγεται ότι: ΑΓ/ΑΒ = ΓΒ/ΒΔ = ΑΒ/ΑΔ

4.       Άρα β/γ = α/ΒΔ = γ/ΑΔ. Άρα ΒΔ=α γ/β και ΑΔ= γ²/β

5.       Το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΒΔΓ ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων τριγώνων ΑΒΓ και ΑΔΒ   [  ( ΒΔΓ ) = (ΑΒΓ) + ( ΑΔΒ ) ]

6.       Εκ της ισότητας των εμβαδών της Π. 5 προκύπτει η σχέση: α²γ/2β = β γ/2 + γ³/2β

7.       α²γ/2β = β γ/2 + γ³/2β  ⇨ α²/β = β + γ²/β  ⇨ α² = β² + γ², όπερ έδει δείξε 

( Βλέπε σκαναρισμένη χειρόγραφη απόδειξη και σχέδιο )

 

Χίλωνας o Λακεδαιμόνιος, μέρος Α

 Διογένης Λαέρτιος, Βίοι Φιλοσόφων, Α 68 – 70 )

Ο Χίλωνας, ο γιος του Δαμάγητου, έφορος στην Σπάρτη κατά την 55^η Ολυμπιάδα¹  έγραψε ένα ελεγειακό ποίημα 200 στοίχων που λέει ότι ο νοήμων άνθρωπος χαρακτηρίζεται από την αρετή της πρόγνωσης του μέλλοντος. Πιθανόν ο θεσμός των εφόρων να άρχισε με αυτόν. Την άποψη αυτή στηρίζει ο Σωσικράτης² που τον θέλει να βρίσκεται

στην θέση αυτή όταν άρχοντας της Αθήνας ήταν ο Ευθύδημος. Με βάση αυτή την πηγή ο Χίλωνας καθόρισε τα καθήκοντα Βασιλέων και Εφόρων στην Σπάρτη³. Στις διαμαρτυρίες του αδελφού του που εποφθαλμιούσε για τον εαυτό του τη θέση του Εφόρου ο Χίλωνας απάντησε: « Εγώ αντέχω να αδικούμαι (για το κοινό καλό ) εσύ όμως όχι.

Ο Ηρόδοτος στο πρώτο βιβλίο των Ιστοριών του αναφέρει ότι όταν ο πατέρας του Πεισίστρατου, ο Ιπποκράτης,  έκανε θυσία στην Ολυμπία τα καζάνια έβρασαν μόνα τους χωρίς να υπάρχει φωτιά. Μπροστά στο παράδοξο αυτό φαινόμενο ο Χίλωνας τον συμβούλεψε ή να μην παντρευτεί ή αν ήταν παντρεμένος να διώξει τη γυναίκα του και τα παιδιά του. Ο Ιπποκράτης δεν τον άκουσε⁴. Όταν ο Χίλωνας ρώτησε τον μυθογράφο Αίσωπο ποια είναι η δουλειά του Δία αυτός απάντησε: « Να ταπεινώνει τους υπερήφανους και να εξυψώνει τους ταπεινούς

Στον Χίλωνα αποδίδονται τα ακόλουθα ρητά :

1.       Σε τι διαφέρουν οι αμόρφωτοι από τους μορφωμένους;  Οι δεύτεροι δεν χάνουν τις ελπίδες τους

2.       Τι είναι δύσκολο; Η εχεμύθεια, η οργάνωση του ελεύθερου χρόνου και η μη ανταπόδοση της αδικίας.

3.       Να μιλάς λίγο ιδίως στα συμπόσια.

4.       Μην κακολογείς για να μην σε πληγώνουν και οι άλλοι

5.       Μην απειλείς.

6.       Σπεύδε μάλλον στις δυστυχίες των φίλων παρά τις ευτυχίες τους.

7.       Ο Γάμος σου να είναι λιτός

8.       Να σέβεσαι τους νεκρούς

9.       Να τιμάς τα γηρατειά

10.   Προφύλαγε τον εαυτό σου

11.   Προτίμα τη ζημιά παρά το παράνομο κέρδος

12.   Μην κοροϊδεύεις τον άνθρωπο που τον έπληξε η συμφορά.

13.   Όταν είσαι ισχυρός να είσαι πράος για να τυγχάνεις σεβασμού, όχι φόβου.

14.   Μάθε να κυβερνάς σωστά σπίτι και οικογένεια.

15.   Πρώτα σκέψου και μετά μίλα

16.   Να συγκρατείς το θυμό σου

17.   Να σέβεσαι τους λειτουργούς της θρησκείας

18.   Μην επιδιώκεις το αδύνατο

19.   Σπεύδε βραδέως

20.   Όταν ομιλείς να μην χειρονομείς

21.   Να πειθαρχείς στους νόμους

Σημειώσεις

1.       Η Παμφύλη, που έγραψε το έργο «Σύμμικτα Υπομνήματα» που τοποθετεί την εφορεία του Χίλωνα στην 56^η Ολυμπιάδα μεταξύ 556-553π.Χ.

2.       Σωσικράτης: Βιογράφος του 2^ου αιώνα π.Χ.  Ο Διογένης χρησιμοποιεί  το έργο του Διαδοχή ως πηγή.

3.       Σύμφωνα όμως με το βιογράφο του 2^ου αιώνα π.Χ. Σάτυρο αυτό ήταν έργο του Λυκούργου.

4.       Ο Διογένης κάνει τον υπαινιγμό ότι ο Πεισίστρατος προέκυψε εξαιτίας της ανυπακοής αυτής.