Τρίτη απόδειξη Πυθαγόρειου Θεωρήματος

 

Δεδομένα

1.       Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α. ( Α=90° )

2.       ΑΒ = γ , ΒΓ= α, ΑΓ=β  

3.       Γωνίες Β= φ , Γ= θ,   ( φ + θ = 90° )

Απόδειξη

1.       Εκ του σημείου Β γράφουμε κάθετη επί της ΒΓ η οποία τέμνει την προέκταση της ΑΓ από το Α σε σημείο Δ.

2.       Τα τρίγωνα ΑΓΒ και ΑΒΔ είναι όμοια αφού έχουν τις γωνίες τους μία προς μία ίσες ( ΓΑΒ=ΓΒΔ=90, ΑΓΒ= ΑΒΔ = θ, ΑΒΓ = ΑΔΒ =φ,  ⇨ΑΓΒ ≈ ΑΒΔ

3.       Αφού ΑΓΒ ≈ ΑΒΔ  συνεπάγεται ότι: ΑΓ/ΑΒ = ΓΒ/ΒΔ = ΑΒ/ΑΔ

4.       Άρα β/γ = α/ΒΔ = γ/ΑΔ. Άρα ΒΔ=α γ/β και ΑΔ= γ²/β

5.       Το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΒΔΓ ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων τριγώνων ΑΒΓ και ΑΔΒ   [  ( ΒΔΓ ) = (ΑΒΓ) + ( ΑΔΒ ) ]

6.       Εκ της ισότητας των εμβαδών της Π. 5 προκύπτει η σχέση: α²γ/2β = β γ/2 + γ³/2β

7.       α²γ/2β = β γ/2 + γ³/2β  ⇨ α²/β = β + γ²/β  ⇨ α² = β² + γ², όπερ έδει δείξε 

( Βλέπε σκαναρισμένη χειρόγραφη απόδειξη και σχέδιο )