Πυθαγόρειο Θεώρημα 4η απόδειξη

 Όταν ο Πυθαγόρας ανακάλυψε το ομώνυμο θεώρημα, τόση ήταν η χαρά του που θυσίασε ολόκληρη εκατόμβη στους Θεούς. Στο εξαιρετικό βιβλίο του με τίτλο ,Το Πυθαγόρειο Θεώρημα , εκδόσεις Κάτοπτρο ο Eli Maor παρουσιάζει την Ιστορία του εξαιρετικού αυτού κοσμήματος, που στολίζει το μαθηματικό θησαυροφυλάκιο. Από την εποχή του Πυθαγόρα ως τα σήμερα, έχουν ανακαλυφθεί εκατοντάδες αποδείξεις, πέραν της κλασσικής που αναφέρεται στα στοιχεία του Ευκλείδη. Μαθηματικοί  και όχι μόνο έχουν παρουσιάσει πρωτότυπες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Ανάμεσα τους και ο James Garfield 20^ος Πρόεδρος των Ηνωμένων Πολιτειών, ο οποίος, όπως αναφέρει ο Eli Maor διατύπωσε την απόδειξη κατά τη διάρκεια μιας συζήτησης με μέλη του Κογκρέσου.

Το πυθαγόρειο θεώρημα έχει εφαρμογές και επεκτάσεις σε κάθε κλάδο των μαθηματικών και όχι μόνο. Αυτά και άλλα πολλά υπάρχουν σε αυτό το εξαιρετικό βιβλίο!

Ενθουσιασμένος από την ανάγνωση του βιβλίου προσπάθησα να σκαρώσω μια απόδειξη Την παραθέτω πιο κάτω.  Δεν την αντέγραψα από κάποιο μαθηματικό βιβλίο. Από την άλλη δεν μπορώ να ισχυριστώ ότι 100% είναι πρωτότυπη αφού έχω υπόψη μου περίπου είκοσι από τις τετρακόσιες + αποδείξεις που υπάρχουν. Πρόκειται για στοιχειώδη απόδειξη που θα μπορούσε να την σκεφθεί και ένας καλός μαθητής μέσης εκπαίδευσης.

Δεδομένα

1.       Έστω ΑΒ διάμετρος ημικυκλίου (ΑΒ= γ)

2.       Επί του περιφέρειας του ημικυκλίου γράφουμε σημείο Γ τέτοιο ώστε ΑΓ>ΒΓ. Θέτουμε ΑΓ=β, και ΒΓ=α         (β > α )

3.       Γράφω το τετράγωνο ΑΒΕΔ  

Να αποδειχθεί ότι ΑΒ² =ΑΓ² + ΒΓ²       (γ² =β² + α²)

Απόδειξη

1.       ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο εφόσον ΑΒ διάμετρος και Γ σημείο της περιφέρειας.

2.       Επεκτείνω την ΑΓ από το Γ και έστω Ζ το σημείο τομής της  επέκτασης με τη ΒΖ.

3.       Από το Ζ φέρω την ΖΗ κάθετη επί της ΑΔ

4.       Τα τρίγωνα ΑΓΒ και ΒΓΖ είναι όμοια ( ∠ΒΑΓ = ∠ΓΒΖ = Θ, ∠ΑΒΓ =  ∠ΒΖΓ = φ, ⇨ ΑΓΒ ≈ ΒΓΖ)

5.       Εκ της ομοιότητας των τριγώνων ΑΓΒ, ΒΓΖ έχουμε: ΑΓ/ΒΓ=ΓΒ/ΓΖ=ΑΒ/ΒΖ

6.       β/α=α/ΓΖ=γ/ΒΖ ⇨ ΓΖ = α²/β,  ΒΖ = α γ/β, ΖΕ=ΗΔ = γ – (α γ/β)

7.       Το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΕΗ ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των ορθογώνιων τριγώνων ΑΒΓ, ΒΓΖ, ΑΗΖ και του ορθογωνίου ΖΗΔΕ

8.       Από την (7) έχουμε: (ΑΒΕΔ) = (ΑΒΓ) +(ΒΓΖ ) + (ΑΗΖ) + (ΖΕΔΗ )

9.       ⇨ γ²=α β/2 + α³/2β + αγ²/2β + γ ( γ – α γ/β)

10.   ⇨ αγ²/2β = α β/2 + α³/2β . Την εξίσωση πολλαπλασιάζω με 2β/α

11.   ⇨ γ² = β² + α²  όπερ έδει δείξαι