Περί Απείρου, Λογικής και λογικών παραδόξων

Μιχάλης Α. Πόλης, εκπαιδευτικός

     Η Επιστήμη της Λογικής διατυπώνει τους κανόνες της ορθής και αυτοσυνεπούς σκέψεως. Είναι μια καθαρώς νοητική και όχι εμπειρική επιστήμη, η οποία προσπαθεί να κρίνει την αλήθεια ή το ψεύδος των υπό εξέταση προτάσεων με βάση ορθολογικούς κανόνες, αποδεικτικές μεθόδους και αρχές, τις οποίες αποδέχεται ως τέτοιες η ανθρώπινη διάνοια. Το αντικείμενο της είναι οι έννοιες, των οποίων το περιεχόμενο πρέπει να είναι σαφές, με βάση τις οποίες διατυπώνει συλλογισμούς και  κρίσεις.  Παρά τον μη εμπειρικό της χαρακτήρα, η Λογική αποτελεί θεμελιώδες όργανο, με βάση το οποίο διατυπώνεται η μεθοδολογία εργασίας των επιστημών, εκάστη των οποίων είναι σε μεγαλύτερο ή μικρότερο βαθμό εμπειρική. Πιο κοντά στη Λογική είναι τα Μαθηματικά, με τα οποία μοιράζονται τον αφηρημένο χαρακτήρα και την αυστηρή αποδεικτική διαδικασία. Δεν αφίσταται της αλήθειας ότι η λογική είναι η βάση των μαθηματικών και συνάμα βασικός κλάδος τους. Ακολουθούν οι λεγόμενες θετικές επιστήμες οι οποίες, αν και δεν έχουν την αυστηρή λογική δομή των Μαθηματικών, στηρίζονται στην λογική, αφού αυτή οργανώνει τα εμπειρικά δεδομένα για να διατυπωθούν υποθέσεις, να γίνουν πειράματα με ορθολογική διαδικασία, να εξαχθούν συμπεράσματα και γενικεύσεις. Η παρουσία της λογικής στις ανθρωπιστικές επιστήμες είναι επίσης αναγκαία ως μέθοδος, οργάνωση και δομή, πλην όμως λιγότερο προβαλλόμενη προς τα έξω. Γενικά η λογική είναι το θεμέλιο της ανθρώπινης νόησης χωρίς την οποία δεν μπορεί να υπάρχει επιστήμη. Με εξαίρεση ίσως την θρησκεία, η λογική αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο του ανθρώπινου πολιτισμού.

     Πατέρας της τυπικής Λογικής θεωρείται ο Αριστοτέλης, παρόλο που ασχολήθηκαν με αυτήν και άλλοι φιλόσοφοι όπως οι στωικοί. Ο μεγάλος πανεπιστήμονας διατύπωσε τις μεθόδους απόδειξης των λογικών προτάσεων που είναι η παραγωγική και η επαγωγική, εκ των οποίων η πρώτη είναι η κατ’ εξοχήν μέθοδος του διαπρεπούς μαθητή του Πλάτωνα. Πριν να αναφερθούμε σε αυτές με συντομία, πρέπει να διευκρινίσουμε την έννοια της απόδειξης. Ο Σταγειρίτης θεωρεί την απόδειξη ως την τελική μιας σειράς προτάσεων, που προκύπτει ως συμπέρασμα από τις προηγούμενες, που καλούνται προκείμενες. Μπορούμε από μια γενική αρχή να δείξουμε ένα ειδικό συμπέρασμα. Αυτή η μέθοδος απόδειξης είναι η παραγωγική. Ένας παραγωγικός συλλογισμός, ως παράδειγμα, είναι ο ακόλουθος:

Προκείμενη 1 : Οι Θεοί είναι αθάνατοι

Προκείμενη 2 : Ο Απόλλωνας είναι Θεός

Συμπέρασμα : Ο Απόλλωνας είναι αθάνατος.

Το πρώτο πρόβλημα της μεθόδου αυτής είναι η απόδειξη της γενικής αρχής, χωρίς την οποία η εξειδίκευση της σε επιμέρους νοήματα είναι επισφαλής. Πώς μπορεί να είμαι σίγουρος ότι πράγματι ισχύει, για να βγάλω από αυτήν μερικότερα συμπεράσματα; Ένα δεύτερο πρόβλημα είναι ότι αποκλείει περεταίρω γενικεύσεις πέρα από την αρχική, άρα δεν μπορεί να παράγει νέα γνώση από την ήδη υπάρχουσα. Από τα αδιέξοδα αυτά μας βγάζει η επαγωγική μέθοδος απόδειξης, η οποία αρχίζει την αποδεικτική διαδικασία από ειδικές προκείμενες τις οποίες προσπαθεί με συλλογισμούς να οδηγήσει στην απόδειξη  γενικεύσεων. Η επαγωγική μέθοδος έχει τους δικούς της κινδύνους γιατί πάντοτε υπάρχει η πιθανότητα η γενίκευση να είναι αυθαίρετη, και να καταρριφθεί στο μέλλον από ένα αντιπαράδειγμα που μας διαφεύγει. Εντούτοις φαίνεται ότι η φύση αγαπά τις κανονικότητες γι’ αυτό και οι φυσικοί νόμοι που εξάγονται με πειράματα δεν καταρρίπτονται τόσο συχνά. Οι δύο μέθοδοι αλληλοσυμπληρώνονται και ο συνδυασμός τους οδηγεί στη γνώση δια της επαλήθευσης των υποθέσεων.

     Η αριστοτελική λογική, που είναι γνωστή ως τυπική λογική, στηρίζεται στα ακόλουθα τέσσερα βασικά αξιώματα:

Το αξίωμα της ταυτότητας

Σύμφωνα με αυτό κάθε πράγμα ή έννοια ταυτίζεται μόνο με τον εαυτό του και διαφέρει από οποιαδήποτε άλλη έννοια ή ιδέα. Η έννοια της ταυτότητας δεν πρέπει να συγχίζεται με αυτή της ισότητας. Δύο ισοδύναμα σύνολα μολονότι έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων δεν ταυτίζονται, αφού τα στοιχεία τους είναι διαφορετικά. Η ισότητα είναι σχέση ποσοτική ενώ η ταυτότητα είναι σχέση ταυτόχρονα ποιοτική  ποσοτική και δείχνει τη συνέχεια του αντικειμένου. Στη συμβολική λογική την παριστούμε με τις σχέσεις

Α≡ Α   και  Α ≠ Β

Το αξίωμα της αντίφασης

      Δύο προτάσεις που αναφέρονται στο ίδιο αντικείμενο με τρόπο που να αναιρεί η μια την άλλη λέμε ότι αντιφάσκουν. Δύο αντιφατικές προτάσεις δεν μπορούν να είναι αμφότερες αληθείς. Αν η πρώτη είναι αληθής, αναγκαστικά η δεύτερη είναι ψευδής και αντίστροφα. Παράδειγμα αντιφατικών προτάσεων είναι το ακόλουθο:

Πρόταση Α: Το σύμπαν είναι άπειρο.

Πρόταση Β: Το σύμπαν είναι πεπερασμένο.

Αντιφατικός συνδυασμός Α και Β: Το σύμπαν είναι άπειρο και πεπερασμένο.

     Αν η πρόταση Α είναι αληθής τότε η Β είναι ψευδής, ενώ αν η Β αληθεύει η Α ψεύδεται. Η ταυτόχρονη επαλήθευση και των δύο απορρίπτεται ως λογική αντίφαση.

Το αξίωμα του αποκλειόμενου τρίτου

      Σύμφωνα με αυτό, αν διατυπώσουμε 2 αντιφατικές προτάσεις, υποχρεωτικά μία εκ των δύο θα είναι αληθής. Αποκλείεται η αλήθεια να ευρίσκεται σε μια τρίτη πρόταση πέραν των δύο αρχικών. Αν για παράδειγμα διατυπώσουμε τις ακόλουθες αντιφατικές προτάσεις:

Ο Θεός υπάρχει.

Ο Θεός είναι ανύπαρκτος

Τότε μία εκ των δύο είναι ορθή, ενώ τρίτη εκδοχή αποκλείεται.

Το αξίωμα του αποχρώντος λόγου

      Κάθε πρόταση για να είναι αληθής θα πρέπει να αποδειχθεί. Θα πρέπει να διερευνηθούν οι αιτίες της και να αποδειχθεί πέραν πάσης αμφιβολίας η ισχύς της. Τίποτε δεν μπορεί να γίνει αποδεκτό με ασαφή ή αμφίβολη επιχειρηματολογία ή με βάση αναπόδεικτους ισχυρισμούς ή εικασίες.

Η διαλεκτική λογική

     Η Αριστοτελική λογική δεν ήταν η μόνη που ανέπτυξε η ελληνική αρχαιότητα. Ο Ηράκλειτος πρώτος διατύπωσε την διαλεκτική λογική με την οποία αίρεται η αδυναμία συνύπαρξης αντιφατικών αντιθέσεων. Οι αντιθέσεις εντάσσονται σε μια μεγαλύτερη ενότητα που αίρει τις διαφορές τους. Γνωστές ρήσεις του Ηράκλειτου που δείχνουν την ενότητα των αντιθέτων είναι οι ακόλουθες:

Ο ανήφορος και ο κατήφορος είναι ο ίδιος δρόμος.

Η θάλασσα είναι νερό ωφέλιμο και βλαβερό ταυτόχρονα. Για τα ψάρια σωτήριο για τους ανθρώπους ολέθριο

Ο Θεός είναι (ταυτόχρονα) μέρα και νύκτα, χειμώνας καλοκαίρι, πόλεμος ειρήνη, χορτασμός πείνα...

Στα νεότερα χρόνια η διαλεκτική λογική επαναδιατυπώθηκε από τον Έγκελς, ο οποίος πιστεύει ότι η πάλη των αντιθέτων συνεχώς οικοδομεί την πραγματικότητα με βάση το σχήμα θέση, αντίθεση, σύνθεση.

Η σύγχρονη συμβολική μαθηματική λογική

    Ο εικοστός αιώνας σηματοδοτεί την πρώτη ουσιαστική αναβάθμιση της Λογικής η οποία γίνεται πλέον κλάδος των Μαθηματικών με τα δικά του σύμβολα και τελείως αφηρημένη δομή. Η συμβολική λογική περιλαμβάνει τα αξιώματα της τυπικής λογικής  με βάση τα οποία κρίνεται η αλήθεια ή το ψεύδος μεμονωμένων λογικών  προτάσεων, αλλά και λογικές πράξεις που συνδέουν επιμέρους προτάσεις σε σύνολα 2 ή περισσοτέρων πράξεων, των οποίων η αλήθεια ή το ψεύδος κρίνεται ανάλογα με τον κανόνα που ισχύει σε κάθε πράξη. Θεμελιωτές της συμβολικής λογικής είναι οι Ράσελ, Φρέγκε, Μπουλ κ.α. Οι κυριότερες των προαναφερθέντων πράξεων είναι οι ακόλουθες:

Άρνηση: Αν έχουμε μια πρόταση p, η άρνηση της συμβολίζεται με ~ p η οποία διαβάζεται όχι p. Αν p αληθής τότε ~ p είναι ψευδής.

Σύζευξη : Ονομάζεται η ταυτόχρονη ισχύς 2 ή περισσοτέρων προτάσεων. Αν έχουμε σύζευξη των προτάσεων p και q έχουμε τη σύζευξη p  ∧ q που καλείται p  και q και αληθεύει αν όλες οι προτάσεις της σύζευξης είναι αληθείς.

Εγκλειστική διάζευξη : Συμβολίζεται p  ∨ q και καλείται p  ή / και q. Είναι αληθής όταν τουλάχιστον μια από τις δύο προτάσεις που την αποτελούν αληθεύει

Αποκλειστική διάζευξη : Αν η μία εκ των δύο προτάσεων που συνδέονται με την πράξη αυτή είναι αληθής, τότε και μόνο τότε αυτή είναι αληθής. Γράφομε p  ⊻ q και διαβάζουμε p  ή q

Συνεπαγωγή: Ονομάζεται η πρόταση p Þ  q ( p συνεπάγεται  q ) Είναι ψευδής όταν και μόνο όταν η q είναι ψευδής.

Ισοδυναμία : Καταγράφεται p Û q και διαβάζεται p  αν και μόνο αν  q . Αληθεύει αν και οι δύο προτάσεις είναι ταυτόχρονα αληθείς ή ταυτόχρονα ψευδείς.

Κατηγορηματικός Λογισμός

        Πέραν των λογικών πράξεων, που διαπραγματεύονται ποιοτικά δεδομένα, η Λογική διαχειρίζεται προτάσεις που περιέχουν ποσοτικά δεδομένα, ιδιότητες των υποκειμένων και σχέσεις μεταξύ τους. Για παράδειγμα η πρόταση

Το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού, αυξανόμενο κατά ένα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός

Παριστάνεται από τη Λογική Μαθηματική πρόταση Χ² +1 > 0  ∀ Χ ∈ R

  

Η έννοια του λογικού παραδόξου

     Ένα λογικό παράδοξο προκύπτει όταν από μια σειρά λογικών συλλογισμών που αποτελούνται από αληθείς προτάσεις προκύπτει μια αντίφαση, ή μια φαινομενικά ψευδής πρόταση συμπέρασμα που είναι όμως αληθής ή το αντίστροφο. Για παράδειγμα η πρόταση

« Ένα γνήσιο υποσύνολο είναι ισοδύναμο με το σύνολο που το περιέχει»

αληθεύει σε μια σειρά απειροσυνόλων παρόλο που η κοινή λογική λέει ότι το όλο δεν μπορεί να ισούται με το μέρος. Αν κάποιος σας ζητήσει να συγκρίνεται το πλήθος των στοιχείων του απειροσυνόλου των φυσικών αριθμών με το πλήθος του συνολού των πρώτων αριθμών τι θα λέγατε; Αναμφίβολα οι πρώτοι μπορούν να συγκροτήσουν ένα γνήσιο υποσύνολο των φυσικών αριθμών και ταυτόχρονα να έχουμε μια μονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων των δύο συνόλων που δεικνύει την ισοδυναμία τους! Ένας πετυχημένος ορισμός του Λογικού παραδόξου δόθηκε από τον Mark Sainsbury και τον παραθέτω αυτούσιο γιατί με λίγες λέξεις επισημαίνει την ουσία τους:

«Λογικό παράδοξο είναι ένα εμφανώς μη αποδεκτό συμπέρασμα που προκύπτει μέσω ενός εμφανώς αποδεκτού συλλογισμού από εμφανώς αποδεκτές προκείμενες»

     Κατωτέρω θα παραθέσουμε μια σειρά λογικών παραδόξων που πραγματεύονται έννοιες όπως οι διαστάσεις του χώρου, τον όγκο, το εμβαδόν, το μηδέν και το άπειρο. Πριν από την αναφορά αυτή όμως θα δώσουμε κάποια στοιχεία για την έννοια του μαθηματικού απείρου πάνω στην οποία στηρίζονται τα παράδοξα μας.

Το άπειρο και το πεπερασμένο

      Όλοι είμαστε εξοικειωμένοι με το σύνολο των φυσικών αριθμών. Πράγματι όλοι απαγγέλλουμε, ασυνείδητα ή συνειδητά, το «ποίημα» 1, 2, 3, 4, ........... Τα δύσκολα αρχίζουν αν μας ρωτήσει κάποιος πόσοι είναι αυτοί οι αριθμοί. Κανένας πεπερασμένος αριθμός δεν μπορεί να είναι η απάντηση στο ερώτημα αυτό, για τη λύση του οποίου οι μαθηματικοί εφεύραν τον όρο υπέρ-πεπερασμένοι αριθμοί. Το σύνολο των φυσικών αριθμών το οποίο πραγματευόμαστε είναι ένα απειροσύνολο, του οποίου το πλήθος των στοιχείων είναι  υπέρ-πεπερασμένο, δηλαδή αριθμός απροσδιόριστος και σίγουρα μεγαλύτερος από οποιοδήποτε πεπερασμένο αριθμό θα μπορούσαμε ποτέ να διανοηθούμε.

        Τι είναι όμως οι αριθμοί και πώς θεμελιώνονται μαθηματικά; Ο Πεάνο προσδιόρισε τους φυσικούς αριθμούς με τη βοήθεια της θεωρίας συνόλων. Σύμφωνα με τους ορισμούς που έδωσε, το μηδέν προσδιορίζεται ως το κενό σύνολο. Η μονάδα ως το σύνολο που περιέχει το κενό σύνολο. Το 2 ως το σύνολο που περιέχει το κενό σύνολο και το σύνολο που περιέχει το κενό σύνολο, το τρία ως το σύνολο που περιέχει ως στοιχεία τα σύνολα που αναπαριστούν τους αριθμούς 0, 1, 2 κ.ο.κ. ως το άπειρο

Ø	{Ø}	{Ø,{Ø}}	{Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}}	Ø,{Ø},{Ø,{Ø}},{Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}}}
0	1	2	3	4

       

Το σύστημα του Πεάνο φαίνεται να παράγει τους φυσικούς αριθμούς από το μηδέν δια του κενού συνόλου και όχι δια της μονάδας, την οποία ο Πυθαγόρας θεωρούσε αρχή και μητέρα όλων των αριθμών. Αυτό ίσως να αποτελεί ένα πιθανό κλειδί στα παράδοξα που θα θέσομε σε επόμενη σελίδα της μελέτης. Το άπειρο φαίνεται να παράγεται από το μηδέν και το μηδέν είναι ένα ιδιόμορφο άπειρο, το απείρως μικρό θεμέλιο του κόσμου των αριθμών.

       Οι υπερπεπερασμένοι αριθμοί έχουν ιδιότητες διαφορετικές από αυτές των πεπερασμένων, όσον αφορά τις αριθμητικές πράξεις. Αν σε πεπερασμένο αριθμό προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε ή πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε άλλο πεπερασμένο η απάντηση είναι διαφορετική από τον αρχικό μας αριθμό. Αυτό σε μαθηματική γλώσσα συμβολίζεται ως:

Αν Α, Β,  ∈ R και Β ≠ 0 τότε Α + Β ≠ Α , Α – Β ≠ Α , Α . Β ≠ Α και Α : Β ≠  Α.

Τι γίνεται όμως αν κάνουμε τις ίδιες πράξεις, στη θέση όμως του Α έχουμε ένα υπερπεπερασμένο αριθμό; Θα παραστήσουμε τον αριθμό αυτό με א   (Άλεφ)  το πρώτο γράμμα του εβραϊκού αλφαβήτου, με το οποίο θα συμβολίσουμε τον υπερπεπερασμένο αριθμό του παραδείγματος μας. Έχουμε ότι:

Β∈ R και Β ≠ 0 τότε  א + Β = א , א – Β = א , א . Β = א και א : Β = א

Ακόμα οι πράξεις μεταξύ υπερπεπερασμένων αριθμών δεν αλλάζουν το αποτέλεσμα. Το άθροισμα 2 απειροσυνόλων, για παράδειγμα του συνόλου των περιττών και των αρτίων, είναι ένα απειροσύνολο ίσης δυναμικότητας με τα αρχικά. Ακόμα, παρόλο που διαισθητικά φαίνεται λανθασμένο, ένα απειροσύνολο είναι ίσο με ένα γνήσιο υποσύνολο του, που επίσης είναι απειροσύνολο, εφόσον μπορούμε να αντιστοιχήσουμε ένα προς ένα τα στοιχεία τους. Για παράδειγμα το σύνολο των φυσικών αριθμών ισούται με το υποσύνολο του των περιττών, ή με το υποσύνολο των αρτίων, ή των πρώτων. Η πιο κάτω ένα προς ένα  αντιστοιχία δείχνει ότι για κάθε ένα φυσικό αριθμό, έχουμε ένα άρτιο, όσο δε και να την προχωρήσουμε δεν θα έχουμε ποτέ έλλειψη στοιχείων στο ένα από τα δύο μας σύνολα....

1      2      3       4      5.....

↕      ↕      ↕       ↕      ↕     ↕

2      4      6       8     10  ....

     Παρόλο που η εξίσωση ενός γνησίου υποσυνόλου με το μητρικό του σύνολο είναι ένα αξιοσημείωτο παράδοξο το οποίο κοντράρει τη λογική μας, εντούτοις δεν είναι το μόνο, εφόσον μπορούμε να αποδείξουμε ότι υπάρχουν απειροσύνολα  «πιο άπειρα» από άλλα, δηλαδή με μεγαλύτερη δυναμικότητα από την δυναμικότητα του απειροσυνόλου των φυσικών αριθμών. Έτσι απειροσύνολα όπως αυτό των ρητών, των πρώτων, των περιττών, των αρτίων και γενικά όλων των συνόλων των οποίων τα στοιχεία μπορούν να τοποθετηθούν σε μία ένα προς ένα αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών καλούνται αριθμήσιμα άπειρα σύνολα. Αντιθέτως  απειροσύνολα όπως αυτό των αρρήτων, των υπερβατικών ή των πραγματικών αριθμών υπερβαίνουν τόσο σε δυναμικότητα τα προαναφερθέντα απειροσύνολα που δεν υπάρχει ένα προς ένα αντιστοιχία με αυτά. Τα απειροσύνολα αυτά λέγονται μη αριθμήσιμα άπειρα και η δυναμικότητα τους συμβολίζεται με το γράμμα C το οποίο συμβολίζει  την αριθμητική δύναμη του συνεχούς.

        Ο Μαθηματικός Κάντορ απέδειξε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αντιπροσωπεύει ένα άπειρο μεγαλύτερης δυναμικότητας από τα συνηθισμένα μετρήσιμα άπειρα, όπως αυτό των φυσικών αριθμών. Ας υποθέσουμε, σκέφτηκε ο μεγάλος μαθηματικός, ότι οι άπειροι αριθμοί που βρίσκονται μεταξύ του 0 και του 1, μπορούν να αντιστοιχηθούν ένας προς ένα με το σύνολο των φυσικών αριθμών. Η ακόλουθη διάταξη προκύπτει από την παραδοχή αυτή:

1 ↔ 0, Α1 Α2 Α3 Α4  ..................

2 ↔ 0, Α11 Α12 Α13 Α14 ..................

3 ↔ 0, Α21 Α22 Α23 Α24 ..................

4 ↔ 0, Α31 Α32 Α33 Α34 ..................

5 ↔ 0, Α41 Α42 Α43 Α44 ..................

........................................................................

Όπου Α1,  Α2,  Α3 ......τυχαία ψηφία του δεκαδικού αναπτύγματος των δεκαδικών αριθμών μας με άπειρα δεκαδικά ψηφία. Ακολούθως ο Κάντορ κινήθηκε διαγώνια, επιλέγοντας από κάθε δεκαδικό αριθμό το ψηφίο που συνέπιπτε με τη διαγώνια γραμμή. Αν αλλάξουμε τα επιλεγμένα ψηφία με κάποιο τρόπο, για παράδειγμα αν τα αντικαταστήσουμε με τα αμέσως επόμενα, προκύπτει ένας αριθμός που διαφέρει από όλους τους οριζόντιους κατά ένα τουλάχιστον ψηφίο και δεν περιλαμβάνεται έτσι στην οριζόντια ένα προς ένα αντιστοίχηση. Έχουμε άπειρες διαγώνιους άρα μπορούμε να σχηματίσουμε άπειρους αριθμούς που δεν περιλαμβάνονται στην οριζόντια, ούτως ή άλλως άπειρη  αντιστοιχία. Προκύπτει λοιπόν ότι το συνεχές των πραγματικών αριθμών αντιπροσωπεύει ένα άπειρο τόσο πυκνό και υπερπλήρες που μπροστά του ωχριά το μετρήσιμο άπειρο των φυσικών αριθμών που και αυτό είναι απροσμέτρητο. Υπάρχει τόση πυκνότητα στο συνεχές των πραγματικών αριθμών που δεν υπάρχει επόμενος αριθμός για κανένα αριθμό, εφόσον για οποιοδήποτε διάστημα, οσοδήποτε μικρό μπορούμε να σχηματίσουμε άπειρους ενδιάμεσους αριθμούς.

          Είναι όμως το συνεχές το τελικό σύνορο του απείρου; Η απάντηση είναι αρνητική. Το σύνολο των συνόλων είναι και δεν είναι το μεγαλύτερο σύνολο που υπάρχει μια διατύπωση που αγγίζει την ουσία του λογικού παραδόξου. Πώς καταδεικνύεται όμως αυτό;

      Ας υποθέσουμε ότι κατορθώνουμε με κάποιο τρόπο να αναπαραστήσουμε το σύνολο όλων των συνόλων που υπάρχουν στο σύμπαν. Είναι προφανές ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών θα ήταν ένα υποσύνολο του συνόλου των συνόλων το οποίο ας το ονομάσουμε χάρην ευκολίας υπερσύνολο. Είναι το υπερσύνολο μας το τελικό σύνορο του απείρου; Η απάντηση είναι όχι. Το υπερσύνολο μας δεν είναι το μέγιστο απειροσύνολο γιατί το δυναμοσύνολο του, το σύνολο δηλαδή των υποσυνόλων του, είναι ένα απείρως μεγαλύτερο άπειρο σύνολο. Γιατί συμβαίνει αυτό; Φανταστείτε ένα πεπερασμένο σύνολο με n στοιχεία. Ποιος είναι ο αριθμός των πιθανών υποσυνόλων του; Κάθε στοιχείο μπορεί να είναι ή να μην είναι στοιχείο ενός υποσυνόλου, άρα μπορώ να σχηματίσω 2ⁿ υποσύνολα. Για το σύνολο { 1,2,3 } μπορώ να σχηματίσω 2³ υποσύνολα, δηλαδή τα ακόλουθα 8 : {Ø} ,{1}, {2}, {3}, {1, 2},{1, 3},{2, 3}, { 1, 2, 3}. Για ένα σύνολο με 10 στοιχεία 1024 υποσύνολα και κατ’ επέκταση για ένα σύνολο με άπειρα στοιχεία 2 στην απειροστή δύναμη υποσύνολα.  Η εκθέτωση, δηλαδή η ύψωση πεπερασμένου αριθμού σε άπειρο εκθέτη αυξάνει την δυναμικότητα του απείρου σε άπειρο υψηλότερου βαθμού. Κατ’ αντιστοιχία, αν υποθέσουμε ότι η δυναμικότητα των στοιχείων του υπερσυνόλου μας είναι ℵα (άπειρον α τάξεως) τότε η δυναμικότης του δυναμοσυνόλου του είναι το άπειρο της αμέσως επόμενης τάξεως δηλαδή  ℵα+1 . Είναι προφανές ότι το άπειρο είναι μια χώρα χωρίς όρια, είναι ασύλληπτο και απροσμέτρητο πέραν πάσης περιγραφής και μόνο ως κάποιο σημείο μπορεί το μυαλό του ανθρώπου να το συλλάβει.

Παράδοξα

      Τα παράδοξα που θα αναφέρω πιο κάτω δεν έχουν αντιγραφεί από κάποιο βιβλίο. Προσφέρουν την ευκαιρία να παραθέσω έμμεσα κάποιους προβληματισμούς για το άπειρο και το μηδέν, την ύπαρξη και την ανυπαρξία. Ούτε λύσεις δίνονται. Ο καθένας μπορεί να προβληματιστεί και να βγάλει ή να μην βγάλει τα δικά του συμπεράσματα.

Έστω ευθεία ( Ε ) και ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ επ’ αυτής.

Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ εξ’ ορισμού αποτελείται από άπειρα αδιάστατα σημεία.

 

Παράδοξο 1

Ένα σημείο της (Ε) εξ’ ορισμού υπάρχει και δεν υπάρχει.

Υπάρχει γιατί αναφερόμαστε σε αυτό  και το σημειώνουμε με ένα γράμμα .

Δεν υπάρχει γιατί ως αδιάστατο έχει μηδενικές διαστάσεις  ( μηδέν ύψος, πλάτος,  μήκος ) και άρα είναι ανύπαρκτο εφόσον δεν έχει όγκο ή εμβαδόν ή μήκος.

Παράδοξο 2

Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι ταυτόχρονο άπειρο, πεπερασμένο και ανύπαρκτο.

Το ΑΒ ως απειροσύνολο αδιαστάτων σημείων είναι και αυτό αδιάστατο και χωρίς μήκος, αφού αποτελεί άθροισμα ανύπαρκτων, όπως προκύπτει από το παράδοξο 1, σημείων.

Ταυτόχρονα εξ’ ορισμού υπάρχει και έχει ορισμένο μήκος όπως το έχουμε εξ’ αρχής ορίσει.

Μπορούμε να χωρίσουμε το ΑΒ σε μικρότερα ίσα ευθύγραμμα τμήματα. Το μήκος αυτών των ευθυγράμμων τμημάτων μπορεί να γίνει οσοδήποτε μικρό θέλουμε και, αντίστοιχα, ο αριθμός τους οσοδήποτε μεγάλος και οπωσδήποτε μεγαλύτερος από οποιοδήποτε πεπερασμένο φυσικό αριθμό θέλουμε. Μπορούμε δηλαδή να θεωρήσουμε το ΑΒ ως το άθροισμα απείρων ευθυγράμμων τμημάτων μη μηδενικού μήκους. Το γινόμενο όμως του απείρου με οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό είναι άπειρο, άρα το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει άπειρο μήκος.

Παράδοξο 3

Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι μέρος ( υποσύνολο ) της ευθείας Ε και ταυτόχρονα είναι ίσο  με αυτήν.

Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ αποτελείται από ένα απειροσύνολο αδιάστατων σημείων. Η ποσότητα των σημείων αυτών είναι η αυτή με τη δυναμικότητα του συνεχούς των πραγματικών αριθμών. Το ίδιο ισχύει όμως και για την ευθεία Ε η οποία αποτελείται από άπειρα σημεία.

Ευθεία και ευθύγραμμο τμήμα αποτελούν μη απαριθμήσιμα απειροσύνολα  ίσης δυναμικότητας. Άρα κατά μία έννοια μπορούν να εκληφθούν ως ίσα.

Άρα το ΑΒ είναι ταυτόχρονα ίσο με την Ε αλλά και μέρος της. Τα σημεία του ΑΒ αποτελούν γνήσιο υποσύνολο των σημείων της Ε αλλά ταυτόχρονα το υποσύνολο είναι ίσο με το σύνολο που το περιέχει.

Παράδοξο 4

Η ευθεία Ε έχει ταυτόχρονα άπειρο αλλά και μηδενικό μήκος.

Η ευθεία Ε, όπως και κάθε άλλη ευθεία, εξ ορισμού έχει άπειρο μήκος.

Ταυτόχρονα αποτελείται από άπειρα σημεία μηδενικού μήκους. Μπορείτε να αθροίζετε μηδενικά για πάντα όμως πάντα θα βρίσκεστε στο μηδέν. Από που λοιπόν προκύπτει το άπειρο μήκος της ευθείας; Πώς μπορούν ανύπαρκτα, αδιάστατα σημεία (Βλέπε παράδοξο 1)  να δώσουν άπειρο μονοδιάστατο μήκος; Αν αυτό συμβαίνει τα σημεία δεν είναι αδιάστατα, αν δεν είναι αδιάστατα εξ ορισμού δεν είναι σημεία.

Παράδοξο 5

Τετράγωνο με πλευρά ίση με την ΑΒ έχει πεπερασμένο, μηδενικό και άπειρο εμβαδόν ταυτόχρονα.

Παραδοχή 1

Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ως ορθογώνιο με μια από τις δύο διαστάσεις του ίση με μηδέν. Εξ’ ορισμού λοιπόν το εμβαδόν του ισούται με ΑΒ.0 = 0.

Παραδοχή 2

Σχηματίζουμε τετράγωνο, του οποίου η μια πλευρά ταυτίζεται με την ΑΒ. Εξ’ ορισμού το εμβαδόν του είναι ΑΒ². Ας ονομάσουμε το τετράγωνο μας ΑΒΓΔ

Παραδοχή 3

Θεωρούμε το εμβαδόν του τετραγώνου ως το άθροισμα των εμβαδών ορθογωνίων ίσων με το ορθογώνιο της παραδοχής 1. Για τα ορθογώνια αυτά ισχύουν τα ακόλουθα:

1.    Η μεγάλη πλευρά όλων των ορθογωνίων  είναι παράλληλη και ίση με την ΑΒ και η μικρή ίση με μηδέν.

2.    Η μεγάλη πλευρά όλων των ορθογωνίων  άρχεται από την πλευρά ΑΓ του τετραγώνου και τελειώνει στην πλευρά ΒΔ αυτού και είναι κάθετη επί αυτών.

3.    Η απόσταση μεταξύ των διαδοχικών ορθογωνίων είναι ίση με μηδέν.

4.    Ο αριθμός των ορθογωνίων είναι μη απαριθμήσιμα άπειρος.

5.    Από την παραδοχή 3 προκύπτει ότι το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ ισούται με το άθροισμα απείρων ορθογωνίων με εμβαδόν εκάστου ίσον με 0.

Προφανώς λογικά το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ* ισούται με μηδέν, εφόσον προκύπτει από το άθροισμα ανύπαρκτων ορθογωνίων, το καθένα από τα οποία έχει εμβαδόν μηδέν. (Παραδοχή 1)

Παραδοχή 4

Το τετράγωνο ΑΒΓΔ είναι υπαρκτό, καλύπτει μέρους του επιπέδου επί του οποίου ευρίσκεται και άρα προφανώς το εμβαδόν του είναι διάφορο του μηδενός. Αν όμως η πρόσθεση μηδενικών ποσοτήτων, έστω απείρων τον αριθμό, δίνει άθροισμα διάφορο του μηδενός, τότε αυτό σημαίνει ότι  οι ποσότητες αυτές είναι διάφορες του μηδενός. Ας ονομάσουμε λοιπόν το εμβαδόν του ορθογωνίου AB ως απείρως μικρό ( → 0 ) κάτι που ελάχιστα διαφέρει του μηδενός και δεν αφίσταται ουσιαστικά της 1^ης  παραδοχής.

Όμως το άθροισμα απείρων  θετικών ποσοτήτων,  είναι το άπειρον. Προφανώς το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ είναι ταυτοχρόνος άπειρο ( παραδοχή 4) , πεπερασμένο (παραδοχή 2)  , αλλά και μηδέν (Παραδοχή 3). Πώς είναι δυνατόν να ισχύουν ταυτόχρονα όλα αυτά τα αντιφατικά αποτελέσματα;

Παράδοξο 6

Κύβος με ακμή ίση με την ΑΒ αποδεικνύεται ότι έχει πεπερασμένο, μηδενικό και άπειρο όγκο.

Παραδοχή 1

Θεωρούμε το τετράγωνο ΑΒΓΔ ως ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με μια από τις τρείς διαστάσεις του ίση με μηδέν και τις άλλες δύο ίσες με ΑΒ. Εξ’ ορισμού λοιπόν ο όγκος του ισούται με ΑΒ.ΑΒ.0 = 0.

Παραδοχή 2

Σχηματίζουμε κύβο, του οποίου η μια έδρα ταυτίζεται με την ΑΒΓΔ. Εξ’ ορισμού ο όγκος του είναι ΑΒ³. Ας ονομάσουμε τον κύβο μας ΑΒΓΔΕΖΗΘ

Παραδοχή 3

Θεωρούμε τον όγκο του κύβου ως το άθροισμα των εμβαδών ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων ίσων με το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο της παραδοχής 1. Για τα ορθογώνια αυτά ισχύουν τα ακόλουθα:

1.    Οι τετράγωνες βάσεις όλων των ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων  είναι παράλληλες με την έδρα ΑΒΓΔ του κύβου.

2.    Οι τέσσερεις κορυφές κάθε μίας εκ των βάσεων αυτών βρίσκονται, ανά μία, επί των ακμών ΑΕ , ΒΖ, ΓΗ, ΔΘ αντίστοιχα

3.    Η απόσταση μεταξύ οποιοδήποτε δύο διαδοχικών ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων είναι ίση με μηδέν.

4.    Ο αριθμός των ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων είναι μη  απαριθμήσιμα άπειρος.

Από την παραδοχή 3 προκύπτει ότι ο όγκος του κύβου ΑΒΓΔΕΖΗΘ ισούται με το άθροισμα απείρων ανύπαρκτων ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων με εμβαδόν εκάστου ίσον με 0.

Προφανώς λογικά ο όγκος του κύβου ΑΒΓΔΕΖΗΘ* ισούται με μηδέν παρόλο που η εμπειρία δείχνει το αντίθετο.

Παραδοχή 4

Ο κύβος ΑΒΓΔΕΖΗΘ είναι υπαρκτός, καλύπτει μέρους του τρισδιάστατου χώρου και άρα προφανώς ο όγκος  του είναι διάφορος του μηδενός. Αν όμως η πρόσθεση μηδενικών ποσοτήτων, έστω απείρων τον αριθμό, δίνει άθροισμα διάφορο του μηδενός, τότε αυτό σημαίνει ότι  οι ποσότητες αυτές είναι διάφορες του μηδενός. Ας ορίσουμε λοιπόν τον όγκο του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ABΓΔ ως απείρως μικρό ( → 0 ) κάτι που ελάχιστα διαφέρει του μηδενός και δεν αφίσταται ουσιαστικά της 1^ης  παραδοχής.

Όμως το άθροισμα απείρων  θετικών ποσοτήτων, οσονδήποτε μικρών  είναι το άπειρον. Προφανώς ο όγκος του κύβου ΑΒΓΔΕΖΗΘ είναι  άπειρος, όπως προκύπτει από την παραδοχή 4 , πεπερασμένος (παραδοχή 2)  , αλλά και μηδέν (Παραδοχή 3). Αυτό είναι λογικώς αδύνατο γιατί παραβαίνει την αρχή τις αντίφασης. Δύο αλληλοαναιρούμενες προτάσεις ( πόσο μάλλον τρεις ) δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα σωστές.

Παράδοξο 7

Η ακμή του κύβου του παραδόξου 6, θα μπορούσε να πάρει τέτοια τιμή ούτως ώστε ο όγκος του, όπως προκύπτει από την παραδοχή 2 του προηγούμενου παραδόξου, να υπερβαίνει τον όγκο του γνωστού σύμπαντος. Με βάση τις παραδοχές του προηγούμενου παραδόξου, θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε το γνωστό σύμπαν, ταυτόχρονα, άπειρο, πεπερασμένο αλλά και ..ανύπαρκτο.

Η παραδοχή αυτή θα εξακολουθούσε να ισχύει ακόμα και αν θεωρήσουμε ότι το σύμπαν έχει περισσότερες από 3 διαστάσεις, εφόσον θα μπορούσαμε να επεκτείνουμε τα συμπεράσματα μας σε τετραδιάστατα, πενταδιάστατα κλπ ανάλογα του κύβου. Πώς λύεται λοιπόν το παράδοξο της ταυτόχρονης ύπαρξης και ανυπαρξίας;

Βιβλιογραφία

ACZEL D AMIR: Τα Μαθηματικά, η Καββάλα και η έρευνα για το άπειρο

CLARK MICHAEL : Τα παράδοξα από το Α έως το Ω, εκδόσεις Ενάλιος

FEARN NICHOLAS: Ο Ζήνωνας και η χελώνα, πως να σκέφτεστε σαν φιλόσοφοι, εκδοτικός οίκος Α. Α. Λιβάνη.

GARDNER MARTIN: Η μαγεία των παραδόξων, εκδόσεις τροχαλία.

MAGEE BRYAN, Η περιπέτεια της φιλοσοφίας, εκδόσεις Σαββάλας

SPIEGEL MURRAY: Ανώτερα Μαθηματικά, SCHAUM’S OYTLINE SERIES.

Γκίκα Σωκράτη, Φιλοσοφικό Λεξικό, 7^η έκδοση, Αθήνα 1998.

Δελλής Ι. Γ. Εισαγωγή στη Φιλοσοφία, εκδόσεις Τυπωθήτω – Γεώργιος Δάρδανος