Τριχοτόμηση γωνίας

Άλυτα προβλήματα της Αρχαιότητας:Η τριχοτόμηση γωνίας.

Εισαγωγή:        Ενώ η διχοτόμηση γωνίας είναι στοιχειώδες πρόβλημα της γεωμετρίας, που εύκολα λύεται με τη χρήση χάρακα και διαβήτη, το ίδιο δεν μπορεί να λεχθεί για την τριχοτόμηση γωνίας. Αυτή είναι αδύνατον να γίνει με γεωμετρικά όργανα, αλλά επιλύεται με άλλες μεθόδους που επινόησαν οι αρχαίοι Έλληνες Γεωμέτρες. Σκοπός της μελέτης είναι η παρουσίαση και ο σχολιασμός των λύσεων αυτών. Επίσης η δυνατότητα για εύρεση μερικών λύσεων, καθώς και η προσέγγιση του γράφοντος στο πρόβλημα θα δοθούν σε συντομία. Πριν γίνει όμως αυτό θα παρουσιασθούν οι απαρχές του προβλήματος και η δυναμική που οδήγησε στην εμφάνιση του. Μερισμός γωνιών και κατασκευή κανονικών πολυγώνων εγγεγραμμένων σε κύκλο.      Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ , εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο Ο. Προφανώς το κέντρο του κύκλου ταυτίζεται με το σημείο τομής των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ. Διχοτομούμε τις επίκεντρες γωνίες ΔΟΓ, ΓΟΒ, ΒΟΑ  και ΑΟΔ με χάρακα και διαβήτη. Ονομάζουμε  τα σημεία τομής των διχοτόμων με την περιφέρεια του κύκλου Ε, Ζ, Η, Θ και κατασκευάζουμε το κανονικό οκτάγωνο ΑΕΒΖΓΗΔΘ. Με περεταίρω διχοτομήσεις επικέντρων γωνιών θα μπορούσαμε να κατασκευάσουμε κανονικά 16γωνα , 32γωνα κ.ο.κ. Αν το αρχικό εγγεγραμμένο μας σχήμα ήταν το ισόπλευρο τρίγωνο, θα φτάναμε , με αλλεπάλληλες διχοτομήσεις επικέντρων γωνιών στην κατασκευή κανονικών εξαγώνων , 12γώνων και ούτω καθεξής. Γενικά αν έχω ένα εγγεγραμμένο κανονικό ν-γωνο, μπορώ με την μέθοδο της διχοτόμησης των επικέντρων γωνιών του να κατασκευάσω όλα τα εγγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα με 2ν, 4ν, 8ν.....πλευρές.       Οι αρχαίοι Έλληνες γεωμέτρες είδαν καθαρά ότι διχοτομώντας τις επίκεντρες γωνίες δεν μπορούσαν να κατασκευάσουν εκείνα τα κανονικά εγγεγραμμένα σχήματα που ο αριθμός των πλευρών τους δεν ήταν πολλαπλάσιο του 2. Δεν θα μπορούσαν για παράδειγμα να κατασκευάσουν ένα κανονικό 9γωνο, αφού δεν υπάρχει κανονικό σχήμα με 4,5 πλευρές. Θα μπορούσαν όμως να το κάνουν αν κατάφερναν να τριχοτομήσουν τις επίκεντρες γωνίες κανονικού εγγεγραμμένου ισοπλεύρου τριγώνου. Εδώ γεννιέται το πρόβλημα μας . Γιατί όμως δεν μπορούμε να τριχοτομήσουμε μια γωνία με χάρακα και διαβήτη; Χρησιμοποιώντας δεδομένα της σύγχρονης τριγωνομετρίας προκύπτει ότι ο προσδιορισμός του τρίτου μιας γωνίας, προκύπτει με την επίλυση μιας εξισώσεως 3ου βαθμού που δεν αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων. Έστω λοιπόν η γνωστή γωνία φ=3 α . Αν προσδιορίσουμε το ημ 3 α , σε συνάρτηση με το ημ α τότε έχουμε ημ 3 α = 3 ημα - ημ³ α. , Θέτοντας ημ α = Χ , και ημ 3 α = Α , όπου Α σταθερή , αφού η γωνία που θέλουμε να τριχοτομήσουμε είναι γνωστή, έχουμε την τριτοβάθμια εξίσωση Χ³-Χ+Α=0. Αυτή είναι αδύνατο να αναλύθει σε παράγοντες , και άρα μη επιλύσιμη με χάρακα και διαβήτη. Οι αρχαίοι Έλληνες δεν ήξεραν το αδύνατο της λύσης. Σπατάλησαν πολλή φαια ουσία. Πέτυχαν αξιοσημείωτες λύσεις, χωρίς όμως να τις κατορθώσουν με τα γνωστά γεωμετρικά όργανα. Τις αξιοσημείωτες αυτές προσπάθειες για την επίλυση του μαθηματικού αυτού γρίφου θα παρατεθούν πιο κάτω. Αρχιμήδης:      Ο μεγάλος αυτός επιστήμονας του 3ου π.Χ. αιώνα , είναι συγκαταλέγεται μεταξύ των 5 μεγαλύτερων μαθηματικών της αρχαιότητας. Όμως εκτός από Μαθηματικός ήταν και φυσικός, μηχανικός και συγγραφέας πολυγραφότατος.Έγραψε τουλάχιστον 40 συγγράμματα, από τα οποία όμως σώθηκαν μόνο 16. Σε ένα από αυτά , με τίτλο «Λήμματα»  κατέγραψε τις ακόλουθες λύσεις: Α λύση:        Σχηματίζουμε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Πάνω στην περιφέρεια του κύκλου παίρνουμε τυχαίο τόξο ΑΒ. Προεκτείνουμε την ΒΟ. Προσδιορίζουμε έτσι το σημείο Γ , τέτοιο ώστε να γράψουμε τη διάμετρο ΒΓ. Επεκτείνουμε την ΒΓ τόσο ώστε να προσδιορίσουμε σημείο Δ με τις ακόλουθες ιδιότητες: -          Το Δ να είναι επέκταση  χορδής ΑΕ του κύκλου. -          Το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ να έχει μήκος ίσο με την ακτίνα του κύκλου                              Η χορδή ΑΕ κατασκευάστηκε από τον Αρχιμήδη με μια διάταξη κινητής Γεωμετρίας , με την μέθοδο της δοκιμής και της πλάνης μέχρι να επιτευχθούν τα προαναφερθέντα μεγέθη. Ακολούθως γράφει την χορδή ΒΖ παράλληλη της ΑΕ. Από το γεγονός ότι ΑΕ // ΒΖ , συνεπάγεται ότι τόσο τα τόξα ΑΒ και ΕΖ , όσο και οι επίκεντρες γωνίες που αντιστοιχούν σε αυτές είναι ίσες. Περεταίρω έχουμε ότι οι γωνίες ΖΒΟ και ΓΔΕ είναι ίσες γιατί είναι εντός εναλλάξ γωνίες μεταξύ παραλλήλων γραμμών. Η ΖΒΟ είναι προφανώς ίση με την ΟΖΒ, αφού το τρίγωνο ΒΖΟ είναι ισοσκελές. Όμως ισοσκελές είναι και το τρίγωνο ΟΕΔ , αφού ΟΕ=ΕΔ=ρ , άρα η γωνία ΓΟΕ=ΕΔΓ. Προφανώς έχουμε 4 ίσες γωνίες , δηλαδή ΒΖΟ=ΖΒΟ=ΓΟΕ=ΕΔΓ=φ. Όμως η ΓΟΖ=2φ, είναι δηλαδή διπλάσια από τις 4 προαναφερθείσες γωνίες, αφού ως εξωτερική γωνία του τριγώνου ΒΟΖ , είναι ίση με το άθροισμα των 2 απέναντι εσωτερικών.  Έχουμε λοιπόν τις πιο κάτω σχέσεις μεταξύ γωνιών: ΕΟΖ=3 ΕΟΓ και ΓΟΖ=2 ΕΟΓ. Προφανώς η ΟΓ είναι η τριχοτόμος της επικέντρου γωνίας ΕΟΖ. Β λύση:      Ο Αρχιμήδης πέτυχε να τριχοτομήσει μια τυχαία γωνία με την βοήθεια μιας καμπύλης γραμμής την οποία ονόμασε έλικα. Για την κατασκευή της θεωρούμε σταθερό σημείο Ο, κυκλικά κινούμενη ημιευθεία ΟΧ που περιστρέφεται γύρω από το Ο με σταθερή ταχύτητα, και μεταβλητό σημείο πάνω στην ΟΧ , έστω Κ που η απόσταση του από το Ο είναι ανάλογο της γωνίας περιστροφής. Με την συμπλήρωση μιας πλήρους περιστροφής το σημείο απομακρύνεται από το Ο απόσταση ίση με ρ, μια ακτίνα δοθέντος κύκλου. Σχηματίζουμε οξύα γωνία ΧΟΖ και έστω Κ1 το σημείο τομής της ΟΖ και της έλικας. Ακολούθως παίρνουμε σημείο Κ2 πάνω στην ΟΖ τέτοιο ώστε ΟΚ1=3 ΟΚ2 . Με ακτίνα ΟΚ2 γράφουμε κυκλικό τόξο και έστω Κ3 το σημείο τομής του με την έλικα. Σχηματίζουμε την ΟΚ3. Η γωνία ΧΟΚ1 είναι τριπλάσια της ΧΟΚ3.  Είναι φανερό ότι, πολλούς αιώνες πριν την ανακάλυψη των πολικών συντεταγμένων, ο Αρχιμήδης έγραφε καμπύλες που περιγράφονται με αυτές. Η εξίσωση της έλικας με βάση τις συντεταγμένες αυτές είναι Α= ρ.θ/2π , όπου Α η απόσταση τυχόντος σημείου της καμπύλης από τον πόλο Ο , και θ η γωνία ΚνΟΧ, όπου Κν το σημείο της καμπύλης. Είναι σαφές ότι τριπλάσια απόσταση από τον πόλο Ο σημαίνει τριπλάσια γωνία, άρα αφού ΟΚ1=3ΟΚ3 τότε και η γωνία ΧΟΚ1 είναι τριπλάσια της  ΧΟΚ3 , με την ΟΚ3 να παίζει ρόλο τριχοτόμου. Ο Ιππίας από την Ηλιεία.      Έζησε τον 5ο π.Χ. αιώνα και ήταν γνωστός δάσκαλος και σοφιστής.Ασχολήθηκε σχεδόν με όλες τις επιστήμες και έγραψε διάφορα συγγράμματα που δεν σώθηκαν. Η πιο κάτω λύση του προβλήματος της τριχοτόμησης γωνίας αποδίδεται σ’αυτόν:       Σχεδιάζουμε σύστημα κάθετων αξόνων τους οποίους ονομάζουμε ΟΧ και ΟΨ. Πάνω στο σύστημα σχεδιάζουμε το τετράγωνο ΟΑΓΒ , με τις πλευρές ΟΑ και ΟΒ αντίστοιχα πάνω στους άξονες ΟΨ και ΟΧ. Η πλευρά του τετραγώνου ισούται με α. Θεωρούμε ότι η ΑΓ κινήται παράλληλα προς τον εαυτό της, με σταθερή ταχύτητα μέχρι να ταυτιστεί με την ΟΒ. Ομοίως η ΟΑ περιστρέφεται με σταθερή ταχύτητα γύρω από το Ο , διαγράφοντας τεταρτοκύκλιο μέχρι να συμπέσει και αυτή με την ΟΒ. Ο χρόνος κινήσεως των 2 ευθυγράμμων τμημάτων είναι ο ίδιος. Οι 2 γραμμές αρχίζουν τη κίνηση τους ταυτόχρονα. Γράφουμε τα σημεία τομής των γραμμών ΟΑ και ΑΓ καθώς αυτές εκτελούν τις κινήσεις τους . Το αποτέλεσμα είναι μια καμπύλη γραμμή. Σημειώνουμε τυχαίο σημείο Δ επί της καμπύλης γραμμής και έστω ΔΕ η τεταγμένη του. Επί της ΔΕ βρίσκουμε σημείο Ζ, πλησιέστερα προς το Ε ,τέτοιο ώστε ΕΖ=ΔΕ/3. Ακολούθως βρίσκουμε το σημείο της καμπύλης γραμμής με τεταγμένη ίση με ΕΖ, το οποίο ονομάζουμε Η. Η γωνία ΔΟΧ είναι τριπλάσια της ΗΟΧ και άρα η ΟΗ είναι η ζητούμενη τριχοτόμος της τυχαίας γωνίας ΔΟΧ.  Α) Η εξίσωση της ΑΓ , μετά την παρέλευση χρόνου τ από την έναρξη της κίνησης της, είναι  ψ= α – υτ ,(1) όπου υ η ταχύτητα του ΑΓ. Β) Η αντίστοιχη εξίσωση της ΟΑ , με την παρέλευση του ίδιου χρόνου τ είναι : ψ= εφ( π/2 – ωτ)χ . (2) Γ) Λύοντας το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2) βρίσκουμε ότι οι καρτεσιανές συντεταγμένες τυχόντος σημείου της καμπύλης του Ιππία είναι: {( α – υτ )/ εφ(π/2 – ωτ ) , ( α – υτ ) } Δ) Αν ονομάσουμε το τυχόν σημείο Δ , τότε η εφαπτομένη της γωνίας ΔΟΕ είναι ίση με εφ(π/2 – ωτ) . Η ΔΟΕ= τοξεφ (π/2 – ωτ ) Ε) Προφανώς το σημείο Η έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες :  { ( α – υτ ) /3 εφ(π/2-2αω/3υ-ωτ/3) , ( α – υτ )/3 }(3). Όμως Π/2= ωΤολ.  και α=υ Τολ. , άρα π/2 = αω/υ (4). Η εφΟΗΒ= εφ(π/2-2αω/3υ-ωτ/3)   Στ) Συνδυάζοντας την (3) και την (4) προκύπτει ότι  εφΗ= εφ(π/6-ωτ/3) , άρα ΟΗΒ = (ΔΟΒ)/3 , γεγονός που αποδεικνύει ότι πράγματι η ΟΗ είναι η τριχοτόμος της ΔΟΒ.        Προφανώς ο Ιππίας δεν χρησιμοποίησε Αναλυτική Γεωμετρία που ήταν άγνωστη στην εποχή του , γεγονός που κάνει ακόμα πιο αξιοσημείωτη και μεγαλοφυή τη λύση που βρήκε. Το γεγονός όμως ότι η καμπύλη που ανακάλυψε δεν ήταν μια συνεχής γραμμή , ικανή να σχηματιστεί με χάρακα και διαβήτη διατηρούσε το άλυτο του προβλήματος, τουλάχιστο με βάση τις απαιτήσεις της κλασσικής Γεωμετρίας. Η λύση του Νικομήδη      Στον Νικομήδη, τον οποίο έχουμε γνωρίσει όταν μελετούσαμε το Δήλιο Πρόβλημα , αποδίδει ο Πρόκλος ο Βυζάντιος τη πιο κάτω λύση του προβλήματος της τριχοτόμησης γωνίας. Πριν δούμε την λύση αυτή πρέπει να αναφέρουμε ότι ο Πρόκλος (410-485μ.Χ.) , ήταν από τους τελευταίους διευθυντές της Πλατωνικής Ακαδημίας της Αθήνας. Έγραψε πολύτιμα σχόλια πάνω στο έργο του Ευκλείδη και άλλων Ελλήνων γεωμετρών. Το έργο του ήταν αξιόλογο, αν και ένα μεγάλο μέρος του χάθηκε.      Ο Νικομήδης τριχοτομεί γωνίες με τη βοήθεια μιας καμπύλης την οποία ονόμασε κογχοειδή. Με την ίδια καμπύλη είχε λύσει και το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου. Για να κατασκευάσουμε την κογχοειδή : Α) Θεωρούμε σταθερή ευθεία  ως τον άξονα των Χ των καρτεσιανών συντεταγμένων. Β) Σημειώνουμε σταθερό σημείο πάνω στον αρνητικό ημιάξονα των Ψ το οποίο ονομάζουμε Α . Οι καρτεσιανές συντεταγμένες του είναι (ο ,– α) Γ) Από το Α φέρουμε ευθείες που τέμνουν τον άξονα των Χ . Από τα σημεία τομής των ευθειών με τον άξονα των Χ, παίρνουμε, εκατέρωθεν του άξονα, ευθύγραμμα τμήματα σταθερού μήκους β. ( β > 2α ). Η κογχοειδής μορφώνεται από τα άκρα των τμημάτων αυτών. Δ) Από το Α σχηματίζουμε τόξο κύκλου , ακτίνας β/2. Έστω δε το σημείο Β, το σημείο τομής του τόξου αυτού και του άξονα των Χ. Από το Β φέρομε την κάθετο στον άξονα των Χ , έστω δε το Γ σημείο τομής της καθέτου και του άνω τμήματος της κογχοειδούς. Ε)Σχηματίζουμε το τρίγωνο ΑΒΓ. Ονομάζουμε Δ το σημείο τομής της ΑΓ και του άξονα των Χ, Ε το μέσο της ΓΔ. Στ) Η ΑΓ είναι η τριχοτόμος της ΒΑΟ. ( ΒΑΔ=2 ΔΑΟ) Προφανώς ΓΕ=ΕΔ=ΒΑ=ΒΕ=β/2 και άρα τα τρίγωνα ΓΕΒ και ΕΒΔ είναι ισοσκελή. Από το δεδομένο αυτό προκύπτει ότι τα ακόλουθα ζεύγη γωνιών είναι ίσα: ΕΒΓ=ΒΓΕ=φ , ΔΕΒ=ΒΑΔ=2φ , εφόσον ΔΕΒ εξωτερική γωνία του τριγώνου ΓΕΒ. Όμως και η γωνία ΟΑΔ= ΒΓΕ= φ εφόσον η ΒΓ είναι παράλληλη της ΟΨ. Η ΑΔ λοιπόν είναι η τριχοτόμος της γωνίας ΟΑΒ. ( ΟΑΔ=ΟΑΒ/3.) Πάππος και τριχοτόμηση γωνίας.        Ο Πάππος έζησε στην Αλεξάνδρεια τον τρίτο αιώνα μ.Χ. Το Μαθηματικό έργο του περιέχεται στο σύγγραμμα «Μαθηματική συναγωγή» , αποτελούμενο από 8 βιβλία. Σ’αυτά παραθέτει όχι μόνο το έργο άλλων Μαθηματικών με επεξηγηματικά σχόλια, αλλά και δικά του θεωρήματα και γενικεύσεις γνωστών θεωρημάτων.         Ο Πάππος δίνει τις ακόλουθες λύσεις στο πρόβλημα της τριχοτόμησης γωνίας: Λύση 1η :     Έστω η  γωνία ΑΟΒ την οποία θέλουμε να τριχοτομήσουμε. Από το Ο γράφουμε κάθετη στην ΟΑ. Προσδιορίζουμε τυχαίο σημείο Γ επί της πλευράς ΟΒ της γωνίας. Από το Γ φέρουμε κάθετη πάνω στην ΟΑ που την τέμνει στο Δ. Από το Γ φέρουμε την παράλληλη της ΟΔ, που τέμνει την κάθετο στο Ο, στο σημείο Ε. Επεκτείνουμε την ΕΓ προς την πλευρά του σημείου Γ. Ακολούθως καλούμαστε να προσδιορίσουμε σημείο Ζ επί της ΓΔ τέτοιο ώστε η προέκταση της ΟΖ να τέμνει την προέκταση της ΕΓ σε σημείο Η. Από το Η φέρομε κάθετο επί της ΟΑ που την τέμνει στο Κ.  Αν η ΖΗ είναι διπλάσια από την ΟΓ, τότε η ΟΖ είναι η τριχοτόμος της γωνίας ΑΟΒ.        Τα τμήματα ΟΓ, ΟΔ και ΔΓ θεωρούνται γνωστά εφόσον τα σημεία Ο , Γ και οι πλευρές της γωνίας αποτελούν δεδομένα του προβλήματος. Μένει λοιπόν να προσδιορίσουμε τα σημεία Ζ και Η της τριχοτόμου , προσδιορίζοντας το μήκος του ΔΖ συναρτήσει των ευθυγράμμων τμημάτων που είναι γνωστά.      Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Θαλή στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΗ , δεδομένου ότι η ΔΖ είναι παράλληλη της ΚΗ , έχουμε τη σχέση ΔΖ/ΚΗ=ΟΖ/ΖΗ(1). Όμως ΖΗ= 2ΟΓ , ΚΗ=ΔΓ και ΟΖ=√(ΟΔ² +  ΔΖ² ). Εφαρμόζοντας τις σχέσεις αυτές  στην (1) , προκύπτει ότι ΔΖ/ΔΓ=√(ΟΔ² +  ΔΖ² ) / 2 ΟΓ . Λύοντας ως προς ΔΖ, έχουμε ότι ΔΖ= ΔΓ.ΟΔ / √(4ΟΓ² - ΔΓ²). Ο προσδιορισμός του σημείου Ζ , σημαίνει προσδιορισμό και του σημείου Η , με επέκταση του ΟΖ κατά τμήμα ΖΗ= 2ΟΓ. Ακολούθως φέρουμε από το Η την κάθετη πάνω στην ΟΑ που την τέμνει στο Κ. Προσδιορίζουμε το μέσο της ΖΗ και το ονομάζουμε Θ. Σχηματίζουμε τη ΓΘ.         Προφανώς από την ισότητα των τμημάτων ΟΓ, ΓΘ, ΘΖ και ΘΗ έχουμε ότι τα τρίγωνα ΓΘΗ και ΓΘΟ είναι ισοσκελή. Οι ακόλουθες ισότητες μεταξύ γωνιών προκύπτουν : ΘΗΓ=ΗΓΘ ,   ΓΘΟ=ΓΟΘ= 2 ΓΗΘ , ( ΓΘΟ εξωτερική του τριγώνου ΓΗΘ ) και ΔΟΖ=ΓΗΘ ( εντός εναλλάξ ). Αυτό αποδεικνύει ότι η ΟΗ είναι η ζητούμενη τριχοτόμος. Λύση 2η:      Η 2η λύση που ανακάλυψε ο Πάππος, κάνει χρήση μιας ορθογώνιας υπερβολής και ενός κύκλου για να τριχοτομήσει τη γωνία. Αν ονομάσουμε και πάλι την γωνία μας ΑΟΒ, προσδιορίζοντας σημείο Γ επί της ΟΒ. Από το Γ γράφουμε την κάθετο επί της ΟΑ προσδιορίζοντας έτσι ως σημείο τομής τους το Δ. Πάλι από το Γ φέρουμε παράλληλη προς την ΟΑ, που τέμνει την κάθετο πάνω στην ΟΑ στο σημείο Ο, σε σημείο Ε. Από το Δ γράφουμε τόξο κύκλου με ακτίνα διπλάσια της ΟΓ. Θεωρούμε ότι το σημείο Δ ανήκει σε ορθογώνια υπερβολή με ασύμπτωτους τις κάθετες ημιευθείες ΕΓ και ΟΕ. Γράφουμε την υπερβολή και προσδιορίζουμε το σημείο τομής της με τον κύκλο το οποίο ονομάζουμε Ζ. Γράφουμε την ΔΖ και την επεκτείνουμε μέχρι να τέμνει τη προέκταση της ΟΕ. Ονομάζουμε το σημείο τομής Η. Γράφουμε την κάθετο από το Ζ στην ΟΑ , προσδιορίζοντας ως σημείο τομής τους ως Θ. Προεκτείνουμε την ΘΖ , προς την πλευρά του Ζ , κατά τμήμα ΖΚ=ΟΗ.Το σημείο τομής ΟΚ και ΓΔ ονομάζουμε Λ. Προσδιορίζουμε το μέσο της ΛΚ , το οποίο ονομάζουμε Μ , και γράφουμε τη ΜΓ. Η ΟΚ είναι η ζητούμενη τριχοτόμος της γωνίας ΑΟΒ.     Εφόσον οι ευθείες ΟΕ, ΓΔ και ΚΘ είναι κάθετες στην ΟΑ , είναι μεταξύ τους παράλληλες. Όμως ΖΚ= ΟΗ , άρα τα σχήματα ΟΗΔΛ  και ΔΛΚΖ είναι παραλληλόγραμμα. Είναι λοιπόν προφανές ότι ΛΚ=ΔΖ= 2ΟΓ. Αβίαστα προκύπτει ότι ΟΓ=ΓΜ=ΜΛ=ΜΚ. Τα τρίγωνα ΓΜΚ και ΟΓΜ είναι ισοσκελή. Αν θέσουμε ότι η γωνία ΓΚΜ=φ τότε ΚΓΜ=φ.Επίσης ΚΟΔ=φ ( αφού είναι εντός εναλλάξ με την ΓΚΜ ) . Ακόμα οι γωνίες ΓΟΜ και ΓΜΛ είναι ίσες με 2φ , αφού είναι ίσες γωνίες ισοσκελούς τριγώνου και η ΓΜΛ είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου ΓΜΚ. Η αρχική μας γωνία ΑΟΒ =3φ και το τμήμα ΟΚ την τριχοτομεί , αφού ΚΟΔ=φ. Τριχοτόμηση συγκεκριμμένων ομάδων γωνιών       Ενώ η γενική λύση του προβλήματος είναι αδύνατή , υπάρχουν συγκεκριμμένες τιμές για τις οποίες η τριχοτόμηση γωνίας με χάρακα και διαβήτη είναι δυνατή. Αν πάρουμε την ταυτότητα εφ3θ= {3εφθ - εφ³θ}/{1 - 3εφ²θ} και θέσουμε εφθ=χ και εφ3θ= α , όπου α σταθερή , τότε η τριγωνομετρική ταυτότητα μετασχηματίζεται στην τριτοβάθμια εξίσωση χ³ - 3αχ² -3χ + α=0 .Για α=1 , η εξίσωση μας γίνεται χ³ - 3χ² -3χ + 1=0 που μπορεί να παραγοντοποιηθεί και να πάρει τη μορφή (χ +1) (χ² -4χ + 1)=0 . Οι ρίζες της είναι αντίστοιχα Χ1= - 1 , Χ2 = (2 - √3 ) , Χ3 = (2 + √3) που αντιστοιχούν σε γωνίες 135 , 15 , και 75 μοιρών αντίστοιχα. Προφανώς , επειδή τριχοτομούμε οξείες γωνίες , η Χ2 = (2 - √3 ) αντιστοιχεί στην γωνία που ζητούμε εφόσον εφ 45 = 1 και εφ 15=  (2 - √3 ). Η τριχοτόμηση της γωνίας των 45 μοιρών μπορεί να γίνει ως εξής: Έστω τυχαία ημιευθεία ΟΧ. Σχηματίζουμε την κάθετη ημιευθεία ΟΨ. Γράφουμε ίσα τμήματα ΟΑ και ΟΒ επί των ημιευθειών και μορφοποιούμε το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΒ. Με πλευρά ΟΑ σχηματίζουμε ισόπλευρο τρίγωνο ΟΑΓ. Σχηματίζουμε τη διχοτόμο της γωνίας ΟΑΓ , που είναι και η ζητούμενη τριχοτόμος της γωνίας ΟΑΒ.  Οι γωνίες ΟΑΒ και ΟΒΑ , του ορθογώνιου και ισοσκελούς τριγώνου ΟΑΒ ισούνται με 45 μοίρες , ενώ οι αντίστοιχες γωνίες του ισοπλεύρου τριγώνου ΟΑΓ είναι ίσες με 60 μοίρες . Είναι λοιπόν προφανές ότι η ΑΔ, διχοτόμος της ΟΑΓ, είναι ταυτόχρονα και τριχοτόμος της γωνίας ΟΑΒ.  Τριχοτόμηση γωνιών κανονικών πολυγώνων:    Είναι γνωστό ότι ένα κανονικό πολύγωνο έχει ν ίσες πλευρές και ν ίσες γωνίες, είναι δε εγγράψιμο και περιγράψιμο σε κύκλο. Έστω κανονικό ν-γωνο , εγγράψιμο σε κύκλο  ακτίνας ρ. Μπορούμε να χωρίσουμε το ν-γωνο σε ν ίσα ισοσκελή τρίγωνα , με βάση την πλευρά του ν-γώνου και παρά τη βάση πλευρές ίσες με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Οι παρά τη βάση ίσες γωνίες των τριγώνων αυτών είναι ίσες με α= (90 – 180/ν ) μοίρες , όπου ν= 3, 4, 5 ........ . Από κάθε κορυφή του ν-γώνου μπορούν να γραφούν (ν-3) διαγώνιοι. Έστω κανονικό ν – γωνο , που ορίζεται από τις κορυφές του ΑΒΓΔΕ.... . Η διαγώνιος ΑΓ σχηματίζει μαζί με τη πλευρά ΑΒ, γωνία εγγεγραμμένη σε τόξο ίσο μ 360/ν μοίρες . Αν ονομάσουμε τη γωνία αυτή β1 ,τότε β1 =180/ν.Αντίστοιχα η διαγώνιος ΑΔ , σχηματίζει με την ίδια πλευρά εγγεγραμμένη γωνία β2 = 2. (180/ν) , η δε διαγώνιος με σειρά Κ , σχηματίζει αντίστοιχα εγγεγραμμένη γωνία βκ = κ ( 180/ν) , κ = 1,2, 3....(ν-3). Αν η εγγεγραμμένη γωνία μας ισούται με τα 2/3 της παρά τη βάση γωνίας του ισοσκελους τριγώνου , αν δηλαδή ισχύει η σχέση κ (180/ν ) = 60 – 120/ν , τότε η αντίστοιχη γωνία βκ  αποτελεί τη ζητούμενη τριχοτόμο. Για να λύσουμε την εξίσωση και να βρούμε τις τριχοτόμους , αρκεί να αναζητήσουμε τις θετικές και ακέραιες τιμές του ν και του κ που επαληθεύουν την εξίσωση μας . Μερικές από τις τιμές αυτές φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: κ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ν=3κ+2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 Από τον πίνακα προκύπτει ότι όλα τα κανονικά πολύγωνα με αριθμό πλευρών ν = 3κ +2 , έχουν τη διαγώνιο με αριθμό κ τριχοτόμο της εγγεγραμμένης γωνίας με πλευρές την ακτίνα και την αντίστοιχη πλευρά του πολυγώνου. Ο αριθμός των γωνιών που μπορούν να τριχοτομηθούν είναι άπειρος, παρ’ όλα αυτά οι γωνίες αυτές είναι ένα υποσύνολο του απειροσυνόλου των οξειών γωνιών.  Κανονικά πολύγωνα με άρτιο αριθμό πλευρών  Οι κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου χωρίζουν τον περιγεγραμμένο κύκλο σε ίσα τόξα. Κάθε ένα από τα τόξα αυτά αντιστοιχεί σε ίσες επίκεντρες ή εγγεγραμμένες γωνίες. Την ιδιότητα αυτή μπορούμε να την εκμεταλευτούμε για να τριχοτομήσουμε συγκεκριμμένες γωνίες , ίσες με  αντίστοιχες εγγεγραμμένες γωνίες που αντιστοιχούν σε 3 , 6, 9,......3ν ίσα τόξα του κανονικού πολυγώνου.     Εγγράφοντας ένα ισόπλευρο τρίγωνο σε κύκλο και διχοτομώντας τα τόξα του κύκλου , μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα κανονικό εξάγωνο. Με επανάληψη της διαδικασίας μπορούμε να κατασκευάσουμε με χάρακα και διαβήτη κανονικό δωδεκάγωνο κ.ο.κ. Αρχίζοντας με ένα τετράγωνο και χρησιμοποιώντας αλλεπάλληλες διχοτομήσεις των ίσων τόξων του, κατασκευάζουμε κανονικό οκτάγωνο , δεκαεξάγωνο κλπ. Τα παραδείγματα που ακολουθούν θα μας δείξουν πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη διαδικασία αυτή στην τριχοτόμηση γωνιών. Α) Τριχοτόμηση γωνίας 90 μοιρών:       Η γωνία αυτή αντιστοιχεί σε εγγεγραμμένη γωνία σε τρία συνεχόμενα τόξα κανονικού εξαγώνου. Σχηματίζοντας εντός της τη γωνία που αντιστοιχεί σε 2 τόξα έχουμε τη ζητούμενη τριχοτόμο. Β)  Τριχοτόμηση γωνίας 67 ½  μοιρών:       Η γωνία αυτή αντιστοιχεί σε εγγεγραμμένη γωνία σε τρία συνεχόμενα τόξα κανονικού οκταγώνου. Σχηματίζοντας εντός της τη γωνία που αντιστοιχεί σε 2 τόξα έχουμε τη ζητούμενη τριχοτόμο. Γ)  Τριχοτόμηση γωνίας 33 ¾   μοιρών:       Η γωνία αυτή αντιστοιχεί σε εγγεγραμμένη γωνία σε τρία συνεχόμενα τόξα κανονικού δεκαεξαγώνου. Σχηματίζοντας εντός της τη γωνία που αντιστοιχεί σε 2 τόξα έχουμε τη ζητούμενη τριχοτόμο.       Γενικά , αν διαιρέσω ένα κύκλο σε άρτιο αριθμό ίσων τόξων και σχηματίσω εγγεγραμμένες γωνίες που αντιστοιχούν σε τόξα ο αριθμός των οποίων είναι πολλαπλάσιος του 3, μπορώ να τριχοτομήσω τις γωνίες αυτές γράφοντας εγγεγραμμένες γωνίες που έχουν την κορυφή και μια πλευρά ίδιες με τις προηγούμενες , αντιστοιχούν δε στο 1/3 ή 2/3 αντίστοιχα των τόξων των αρχικών γωνιών.  Προσεγγιστική μέθοδος τριχοτόμησης γωνίας δια συνεχών διχοτομήσεων της.     Η πιο κάτω προσεγγιστική μέθοδος , αποτελεί την προσωπική άποψη του γράφοντος για να προσεγγίσουμε όσο μπορούμε τη λύση του προβλήματος. Με συνεχείς διχοτομήσεις πλησιάζουμε συνεχώς το στόχο μας που είναι μια γωνία ίση με τα 2/3 της αρχικής.Βέβαια ο στόχος είναι άπιαστος όμως μετά από μερικές δεκάδες επαναλήψεων η διαφορά γίνεται απειροελάχιστη. Πρακτικό πρόβλημα της μεθόδου , που χρησιμοποιεί χάρακα και διαβήτη , είναι η διακριτική ικανότητα του διαβήτη , όταν οι γωνίες γίνουν πολύ μικρές. Θεωρητικά όμως δεν υπάρχει κώλυμα να συνεχίσουμε την διαδικασία επ’ άπειρο.      Έστω η ΧΟΨ η προς τριχοτόμηση γωνία . Τη διχοτομούμε με χάρακα και διαβήτη και γράφουμε τη διχοτόμο ΟΨ1. Η γωνία Χ ΟΨ1 , είναι μικρότερη από τα 2/3 της αρχικής ΧΟΨ. Γιαυτό διχοτομούμε τη γωνία  Ψ1 ΟΨ και γράφουμε τη διχοτόμο της Ο Ψ2 .  Η γωνία ΧΟΨ2 , αποτελεί τα ¾ της αρχικής γωνίας γιαυτό διχοτομούμε τη γωνία Ψ1 ΟΨ2  , και έστω ΟΨ3 η διχοτόμος της . Η γωνία Χ ΟΨ3  είναι ίση με τα 5/8 της αρχικής, αριθμός που αρχίζει να πλησιάζει, από μικρότερες τιμές τα ζητούμενα 2/3 της αρχικής γωνίας.Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία γράφουμε την Ο Ψ4  διχοτόμο της Ψ3 ΟΨ2 , ορίζοντας έτσι τη γωνία ΧΟΨ4 ίση με τα 11/16 της αρχικής. Ο αριθμός αυτός υπερβαίνει τα 2/3 και έτσι δια διχοτομήσεως γράφουμε τη γωνία που το μέγεθος της αποτελεί τον μέσο όρο της μεγαλύτερης γωνίας που είναι μικρότερη των 2/3 της αρχικής με την παρούσα, για να πετύχουμε καλύτερη προσέγγιση. Η πορεία των συνεχών διχοτομήσεων και οι τιμές των γωνιών που γράφουμε φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί:   Πίνακας: Διαδοχικές προσεγγίσεις τριχοτόμησης δοθείσης γωνίας με διαδοχικές διχοτομήσεις Α/Α Διχοτόμησης Διχοτομούμενη γωνία. Προκύπτουσα γωνία Λόγος  προκύπτουσας γωνίας ως προς την αρχική. Διαφορά από την τριχοτόμο   1 ΧΟΨ (αρχική γωνία) ΧΟΨ1 1/2 - 1/6   2 Ψ1ΟΨ ΧΟΨ2 3/4 +1/12   3 Ψ1ΟΨ2 ΧΟΨ3 5/8 - 1/24   4 Ψ3ΟΨ2 ΧΟΨ4 11/16 +1/48   5 Ψ3ΟΨ4 ΧΟΨ5 21/32 - 1/96   6 Ψ5ΟΨ4 ΧΟΨ6 43/64 +1/192   7 Ψ5ΟΨ6 ΧΟΨ7 85/128 - 1/384   8 Ψ7ΟΨ6 ΧΟΨ8 171/256 +1/768   9 Ψ7ΟΨ8 ΧΟΨ9 341/512 -1/1536 10 Ψ9ΟΨ8 ΧΟΨ10 683/1024 +1/3072 11 Ψ9ΟΨ10 ΧΟ Ψ11 1365/2048 -1/6144 12 Ψ11ΟΨ10 ΧΟ Ψ12 2731/4096 +1/12288   n Ψν-1ΟΨν-2 ΧΟ Ψν (2κ* +1)/ 2 ⁿ +1/3. 2 ⁿ   n Ψν-2ΟΨν-1 ΧΟ Ψν (2κ – 1)/ 2 ⁿ - 1/3. 2 ⁿ * κ = ο αριθμητής της προηγούμενης προσέγγισης.     Μέ 12 διαδοχικές διχοτομήσεις , έχουμε προσεγγίσει καθ’ υπερβολή την τριχοτόμηση γωνίας με λάθος μόνο 1/12288. Καθώς μπορούμε θεωρητικά να συνεχίσουμε την διαδικασία αυτή επ’ άπειρο, μπορούμε να πετυχαίνουμε συνεχώς καλύτερες προσεγγίσεις , καθώς η απόσταση από τα 2/3 , όριο που σηματοδοτεί την τριχοτόμηση γωνίας, θα τείνει προς το μηδέν.      Στο σημείο αυτό τελειώνει η παρουσίαση αυτού αρχαιοελληνικού γεωμετρικού προβλήματος. Εύχομαι με όσα έγραψα να έχω δώσει μια σαφή εικόνα του θέματος , που απετέλεσε ένα από τους πλέον διάσημους και γοητευτικούς γρίφους των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών. Βιβλιογραφία: 1) ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΣ: ΙΕΡΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ , εκδ. ΑΡΧΕΤΥΠΟ. 2) ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΙΠΟΥΡΑΚΗΣ: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΕΡΓΑΤΕΣ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ,εκδ. ALIEN. 3)ΔΙΑΜΑΝΤΗΣ ΚΟΥΤΟΥΛΑΣ :Η αρχαία Ελληνική θρησκεία και τα μαθηματικά,  ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΔΙΟΝ , ΒΙΒΛΙΑ ΨΑΡΑΣ. 4)ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ ΔΑΚΟΓΛΟΥ: Ο ΜΥΣΤΙΚΌΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΑ , ΤΟΜΟΙ 2,3 , εκδ. ΝΕΑ ΘΕΣΙΣ. 5) ΧΡ. Γ. ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ: ΕΥΚΛΕΙΔΙΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ εκδ. ΟΕΔΒ . ΜΙΧΑΛΗΣ Α. ΠΟΛΗΣ