Εισαγωγή
Αφορμή για την ονομασία του προβλήματος ήταν η λύση του από το μεγάλο
αυτοδίδακτο Ινδό Μαθηματικό Ramanujan¹ στις αρχές του 20ου αιώνα.
Περί τίνος όμως πρόκειται; Ποιο είναι το πρόβλημα και ποια η απάντηση που
αναζητούμε; Θα προσπαθήσουμε να το παρουσιάσουμε όσο πιο απλά μπορούμε και
ύστερα θα προσεγγίσουμε τη λύση του. Ακολούθως θα δούμε παραλλαγές του αρχικού
προβλήματος.
Θα αρχίσουμε με την έννοια του τριγωνομετρικού αριθμού της εφαπτομένης και
ακολούθως θα τη συνδέσουμε με το μέγεθος του τόξου που αντιστοιχεί σε αυτή.
Ακολούθως θα γράψουμε άπειρες σειρές τόξων εφαπτομένης, θα δείξουμε αν
συγκλίνουν και θα υπολογίσουμε το άπειρο άθροισμα τους.
Έστω λοιπόν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ
και Α η ορθή γωνία του τριγώνου. Μπορούμε να πούμε ότι Α = 90° ή Α= π/2 (πι δεύτερα ) ακτίνια². Η εφαπτομένη της οξείας γωνίας Β είναι
το πηλίκο ΑΓ/ ΑΒ, δηλαδή το αποτέλεσμα της διαίρεσης του μήκους της απέναντι
από τη γωνία κάθετης πλευράς δια της προσκείμενης κάθετης.
Ας φανταστούμε λοιπόν διαδοχικά ορθογώνια τρίγωνα τα οποία έχουν τη μία των
καθέτων πλευρών τους ίση με 2 και την άλλη ίση με το τετράγωνο των διαδοχικών
φυσικών αριθμών. Δηλαδή έχουμε ΑΓ= 2 , ΑΒ= ν² με
Α = π/2. Είναι φανερό ότι:
Εφ Β = 2/ ν² και τοξ εφ 2/ ν² = Β
Ας θεωρήσουμε άπειρο αριθμό ορθογωνίων τριγώνων με τη μια κάθετη πλευρά τους ίση με σταθερό μήκος
2 μονάδων και την δεύτερη κάθετη πλευρά ίση με μεταβλητό μήκος ν². Πόσο είναι
το άθροισμα των οξειών γωνιών που βρίσκονται απέναντι από τις πλευρές με
σταθερό μήκος 2; Όταν το ν τείνει στο άπειρο το προαναφερθέν άθροισμα αποκλίνει
ή συγκλίνει και πού;
Διατυπώνουμε το άθροισμα που περιγράψαμε προηγουμένως μαθηματικά ως εξής:
∞
τοξ εφ 2 + τοξ εφ 1/ 2 + τοξ εφ 2/9 +......... τοξ εφ 2/ ν² +.....= ∑ τοξ εφ 2/ ν²
ν=1
το οποίο θα πρέπει να υπολογίσουμε, υπό την προϋπόθεση βέβαια ότι η άπειρη
σειρά μας συγκλίνει.
Επεξεργασία του προβλήματος
Έστω ότι τοξ εφ 2/ ν² = Β και Β =
Θ – Φ, όπου Θ , Φ γωνίες μετρημένες σε ακτίνια.
¨Έχουμε ότι εφ Β = 2 /
ν² και άρα εφ ( Θ – Φ ) = 2 / ν²
Όμως 2/ ν² = [(ν+1) –
(ν-1)] / [ 1 + (ν+1) (ν-1) ] (1)
και εφ ( Θ – Φ )= (εφ Θ - εφ Φ) / ( 1 + εφ Θ εφ Φ
) (2)
Από τις σχέσεις (1) και (2) εύκολα προκύπτει ότι μπορούμε να θέσουμε:
εφ Θ = ν + 1 και εφ Φ =
ν – 1
και άρα τοξ εφ (ν +1) =
Θ και τοξ εφ (ν -1) = Φ
Εφόσον Β = Θ – Φ
→ τοξ εφ
2/ ν² = τοξ εφ (ν
+1) - τοξ εφ (ν - 1)
∞ ∞
→∑ τοξ εφ 2/ ν² = ∑ [ τοξ εφ (ν +1) - τοξ εφ (ν - 1) ]
ν=1 ν=1
∞
→∑ τοξεφ 2/ν² =(τοξεφ2 - τοξεφ 0) + (τοξ εφ3 - τοξ
εφ1)+( τοξ
εφ4 - τοξεφ2)
ν=1
+.......+ [ τοξ εφ (ν-1) - τοξ εφ (ν-3) ] + [ τοξ εφ ν - τοξ
εφ (ν-2) ] + [ τοξ εφ (ν+1) - τοξ εφ (ν-1) ] +....
∞
→∑ τοξ εφ 2/ ν² = lim ν → ∞ [ τοξ εφ
ν + τοξ εφ (ν +
1) ] - τοξ εφ 1
ν=1
∞
→∑ τοξ εφ 2/ ν² → π/2 + π/2 - π/4
ν=1
∞
→∑ τοξ εφ 2/ ν² → 3π/4
ν=1
Παραλλαγές
1. Να υπολογιστεί το άπειρο
άθροισμα της σειράς
∞
∑ τοξεφ 4/ (ν² + 3 )
ν=1
Έστω εφ θ = (ν+1)/2
και εφ φ = (ν-1)/2
→ εφ ( θ – φ ) = [ (ν+1)/2 – (ν-1)/2 ] / [ 1 + ¼ (ν+1) ( ν
– 1 ) ]
→ εφ ( θ – φ ) = 4/ (ν² + 3 )
→ τοξεφ ( θ – φ ) = τοξεφ (ν+1)/2 - τοξεφ (ν-1)/2
∞ ∞ ∞
→ ∑τοξεφ4/(ν² + 3 )=∑ τοξεφ½(ν+1) - ∑τοξεφ ½ (ν-1)
ν=1
ν =1 ν =1
∞
→ ∑ τοξεφ 4/ (ν² + 3 ) = ( τοξεφ 1 - τοξεφ 0 ) + ( τοξεφ
3/2 - τοξεφ ½ ) +
ν=1
( τοξεφ 2 - τοξεφ 1 ) +
... [ τοξεφ ½ ν - τοξεφ ½ (ν-2) ] + [ τοξεφ ½ (ν+1) - τοξεφ ½ (ν-1 ) ] + [ τοξεφ ½ (ν+2) - τοξεφ ½ ν ]
∞
→ ∑ τοξεφ 4/ (ν² + 3 ) = τοξεφ ½ (ν+1) + τοξεφ ½ (ν+2) - τοξεφ ½
- τοξεφ 0
ν=1
∞
→ ∑ τοξεφ 4/ (ν² + 3 ) = π - τοξεφ ½
ν=1
2. Να υπολογιστεί το άπειρο
άθροισμα της σειράς
∞
∑ τοξ εφ [ 2
α / (ν² + α ² - 1 ) ]
ν=1
Έστω εφ θ = (ν+1)/α
και εφ φ = (ν-1)/α , όπου α φυσικός αριθμός.
→ εφ ( θ – φ ) = [ (ν+1)/α – (ν-1)/α ] / [ 1 + (ν+1) ( ν – 1 )/α² ]
→ εφ ( θ – φ ) = 2 α / (ν² + α² - 1)
→ τοξεφ ( θ – φ ) = τοξεφ (ν+1)/α - τοξεφ (ν-1)/α
∞ ∞ ∞
→ ∑ τοξεφ 2 α / (ν² + α² - 1 ) = ∑ τοξεφ
(ν+1)/α
- ∑ τοξεφ (ν-1)/α
ν=1 ν =1 ν
=1
∞
→ ∑ τοξεφ 2 α / (ν² + α² - 1) = ( τοξεφ 2/α - τοξεφ 0
) + ( τοξεφ 3/α - τοξεφ1/α )
ν=1
+( τοξεφ 4/α - τοξεφ 2/α
) + ... [ τοξεφ ν/α - τοξεφ (ν-2)/α ] + [ τοξεφ (ν+1)/α - τοξεφ (ν-1 )/α ] + [ τοξεφ (ν+2)/α
- τοξεφ ν/α ]
∞
→ ∑ τοξεφ 2α / (ν²+ α² -1) = τοξεφ (ν+1)/α
+ τοξεφ (ν+2)/α - τοξεφ 1/α
ν=1
∞
→ ∑ τοξεφ 4/ (ν² + 3 ) = π - τοξεφ 1/α
ν=1
3. Να υπολογιστεί το άπειρο
άθροισμα της σειράς
∞
∑ τοξ εφ [ 4
α / (ν² + α ² - 4 )
]
ν=1
Έστω εφ θ = (ν+2)/α
και εφ φ = (ν-2)/α , όπου α φυσικός αριθμός.
→ εφ ( θ – φ ) = [ (ν+2)/α – (ν-2)/α ] / [ 1 + (ν+2) ( ν – 2 )/α² ]
→ εφ ( θ – φ ) = 4 α / (ν² + α² - 4)
→ τοξεφ ( θ – φ ) = τοξεφ (ν+2)/α - τοξεφ (ν-2)/α
∞
∞ ∞
→ ∑τοξεφ 4α/ (ν² + α² - 4) = ∑ τοξεφ
(ν+2)/α
- ∑ τοξεφ(ν-2)/α
ν=1 ν =1 ν =1
∞
→ ∑ τοξεφ 4 α / (ν² + α² - 4) = [ τοξεφ 3/α - τοξεφ (-1/α
)] + ( τοξεφ 4/α -
ν=1
τοξεφ0 ) + ( τοξεφ 5/α
- τοξεφ 1/α ) + ( τοξεφ 6/α - τοξεφ 2/α ) +( τοξεφ 7/α - τοξεφ 3/α ) + ... [
τοξεφ ν/α - τοξεφ (ν-4)/α ] + [ τοξεφ (ν+1)/α - τοξεφ (ν-3 )/α ] + [ τοξεφ (ν+2)/α
- τοξεφ (ν-2)/α ] + [ τοξεφ (ν+3)/α - τοξεφ (ν-1)/α] + [ τοξεφ (ν+4)/α
- τοξεφ ν/α ] +.....
∞
→ ∑ τοξεφ 4α / (ν²+ α² -4) = π - τοξεφ 2/α
ν=1
4. Να υπολογιστεί το άπειρο
άθροισμα της σειράς
∞
∑ τοξ εφ [ 6 α / (ν² + α ² - 9 ) ]
ν=1
Έστω εφ θ = (ν+3)/α
και εφ φ = (ν-3)/α , όπου α φυσικός αριθμός.
→ εφ ( θ – φ ) = [ (ν+3)/α – (ν-3)/α ] / [ 1 + (ν+3) ( ν – 3 )/α² ]
→ εφ ( θ – φ ) = 6 α / (ν² + α² - 9)
→ τοξεφ ( θ – φ ) = τοξεφ (ν+3)/α - τοξεφ (ν-3)/α
∞ ∞ ∞
→ ∑ τοξεφ 6 α / (ν² + α² - 9 ) = ∑ τοξεφ
(ν+3)/α
- ∑ τοξεφ (ν-3)/α
ν=1
ν =1 ν =1
∞
→ ∑ τοξεφ 6 α / (ν² + α² - 9) = [ τοξεφ 4/α - τοξεφ (-2/α
)] + ( τοξεφ 5/α -
ν=1
τοξεφ -1/α) + ( τοξεφ
6/α - τοξεφ 0 ) + ( τοξεφ 7/α - τοξεφ 1/α ) +( τοξεφ 8/α - τοξεφ 2/α ) + ( τοξεφ
9/α - τοξεφ 3/α ) + ( τοξεφ 10/α - τοξεφ
4/α ) + ... [ τοξεφ ν/α - τοξεφ (ν-6)/α
] + [ τοξεφ (ν+1)/α - τοξεφ (ν-5 )/α ] +
[ τοξεφ (ν+2)/α - τοξεφ (ν-4)/α ] + [ τοξεφ (ν+3)/α
- τοξεφ (ν-3)/α] + [ τοξεφ (ν+4)/α - τοξεφ (ν-2) /α ] +.[ τοξεφ (ν+5)/α
- τοξεφ (ν-1)/α] + [ τοξεφ (ν+6)/α - τοξεφ ν /α ] +....
∞
→ ∑ τοξεφ 6α / (ν²+ α² -9) = 3π - 2π - τοξεφ 3/α
ν=1
∞
→ ∑ τοξεφ 6α / (ν²+ α² -9) = π - τοξεφ 3/α
ν=1
5. Να υπολογιστεί το άπειρο
άθροισμα της σειράς
∞
∑ τοξ εφ [ 2
α β / (ν² + α ² - β² )
]
ν=1
Έστω εφ θ = (ν+β)/α
και εφ φ = (ν-β)/α , όπου α, β φυσικοί αριθμοί.
→ εφ ( θ – φ ) = [ (ν + β)/α – (ν-β)/α ] / [ 1 + (ν +β) ( ν – β )/α² ]
→ εφ ( θ – φ ) = 2 α β / (ν² + α² - β²)
→ τοξεφ ( θ – φ ) = τοξ εφ ( ν +β)/α - τοξ εφ (ν-β)/α
∞ ∞ ∞
→ ∑ τοξεφ 6 α / (ν² + α² - β² ) = ∑ τοξ
εφ (ν+β)/α - ∑ τοξ εφ
(ν-β)/α
ν=1
ν =1 ν
=1
∞
→ ∑ τοξεφ 6 α / (ν² + α² - 9) = { τοξεφ [(1+β )/α - τοξεφ [(1-β)/α )} +
ν=1
+{ τοξεφ [(2+β )/α - τοξεφ [(2-β)/α )} +........ +{ τοξεφ ( 3β /α
) - τοξεφ (β /α )} +{ τοξεφ [( 3β + 1 )/α - τοξεφ [(β + 1)/α )} +......[ τοξ εφ ( ν +β)/α
- τοξ εφ (ν-β)/α]+ ..... [ τοξ εφ ( ν +3β)/α
- τοξ εφ (ν+β)/α]+
∞
→ ∑ τοξεφ [2 αβ
/ (ν²+
α² -β² ) = β π - (β -1)π - τοξεφ β/α
ν=1
∞
→ ∑ τοξεφ 6α / (ν²+ α² -β²) = π - τοξεφ β/α
ν=1
5. Να υπολογιστεί το άπειρο
άθροισμα της σειράς
∞
∑ τοξ εφ {1 / [ (ν+
α ) (ν+ α +1 )] }
ν=1
Έστω εφ φ = 1/ (ν +α
) και εφ φ = 1/ ( ν + α + 1 ) , όπου α φυσικός αριθμός.
εφ ( φ - θ ) =( εφ φ – εφ θ ) / ( 1 + εφ φ εφ
θ )
→ εφ ( φ - θ ) = 1/ [ 1 + (ν+
α ) (ν+ α +1 )]
→ ( φ - θ ) = τοξ
εφ { 1/ [ 1 + (ν+ α ) (ν+ α +1 )] }
→ τοξ εφ { 1/ [ 1 + (ν+
α ) (ν+ α +1 )] } = τοξ εφ 1/ (ν +α ) - τοξ εφ 1/ (ν +α +1)
∞ ∞
→ ∑ τοξεφ{ 1/ [ 1 + (ν+ α ) (ν+ α +1 )] } = ∑ [ τοξεφ1/(ν +α ) - τοξεφ1/(ν +α +1 )]
ν=1 ν =1
∞
→ ∑ τοξεφ{ 1/ [ 1 + (ν+ α ) (ν+ α +1 )] } = [ τοξεφ1/(1 +α ) – τοξεφ 1/ (α +2) ] +
ν=1
[ τοξεφ1/( α +2 ) – τοξ
εφ 1/ (α +3) ] + [ τοξεφ1/( α + 3 ) – τοξεφ 1/ (α + 4) ] + ...
[ τοξεφ1/(ν +α ) - τοξεφ1/(ν
+α +1 )] + ......
∞
→ ∑ τοξεφ{ 1/ [ 1 + (ν+ α ) (ν+ α +1 )] } =
τοξεφ1/(1 +α )
ν=1
Επίλογος
Έχουμε παρουσιάσει το πρόβλημα και παραλλαγές του. Η διατύπωση παρομοίων
προβλημάτων και η λύση τους είναι μια πρόκληση για όσους ενδιαφέρονται να
εμβαθύνουν στα Μαθηματικά.
Μιχάλης Α. Πόλης
Σημειώσεις
1. Ο Ramanujan ( 1887
-1920 ) είναι ο μεγαλύτερος μαθηματικός της σύγχρονης Ινδίας. Ήταν αυτοδίδακτος
και πέθανε στα 32 του χρόνια, αφήνοντας πίσω του 4000 θεωρήματα που ακόμα και
σήμερα αποτελούν αντικείμενο διερεύνησης.
2. Ένα ακτίνιο είναι η επίκεντρος γωνία που αντιστοιχεί σε μήκος τόξου ίσο
με την ακτίνα του κύκλου, του οποίου το κέντρο αποτελεί την κορυφή της γωνίας
μας.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου