7. Το
άθροισμα 24 τυχαίων διαδοχικών όρων είναι πάντα πολλαπλάσιο του 16
Από την προηγούμενη πρόταση έχουμε αποδείξει ότι:
Αν + Αν+1 + Αν+2 +Αν+3 +...Αν+10 +Αν+11 = 8 ( Αν+8 + Αν+6 )
Και
Αν+12 + Αν+13 + Αν+14 +...Αν+22 +Αν+23 = 8 ( Αν+20 + Αν+18
)
→
ν+23
∑ Αr = 8 (Αν+8 + Αν+6
+ Αν+20 + Αν+18 )
ν
Αρκεί λοιπόν να
αποδείξουμε ότι (Αν+8 + Αν+6 + Αν+20 + Αν+18
) = 2ξ
Αν+8 + Αν+6 + Αν+20 + Αν+18
= Αν+19 + Αν+18 + Αν+17 + Αν+16
+ Αν+8 + Αν+6
→ Αν+8 + Αν+6 Αν+20 + Αν+18
=2 Αν+19 + Αν+15 + Αν+14 + Αν+8 + Αν+6
→ Αν+8 + Αν+6 Αν+20 + Αν+18
=2 Αν+19 + 2Αν+14 + Αν+12 + Αν+11
+ Αν+8 + Αν+6
→ Αν+8 + Αν+6 Αν+20 + Αν+18
=2 Αν+19 + 2Αν+14 +
2Αν+11 + Αν+9 + Αν+8+ Αν+7+ Αν+6 + Αν+5 + Αν+4
→ Αν+8 + Αν+6 Αν+20 + Αν+18
=2 Αν+19 + 2Αν+14 +
2Αν+11 + 4Αν+8
→ Αν+8 + Αν+6 Αν+20 + Αν+18
=2 Αν+19 + 2Αν+13 +
2Αν+12 +2Αν+11
+ 4Αν+8
→ Αν+8 + Αν+6 Αν+20 + Αν+18
=2 Αν+19 + 4Αν+13 +
4Αν+8
→ Αν+8 + Αν+6 Αν+20 + Αν+18
=2 Αν+19 + 4 Αν+12 + 4
Αν+10 + 4 Αν+9+ 4Αν+8
→ Αν+8 + Αν+6 Αν+20 + Αν+18
=2 Αν+19 + 4 Αν+12 + 8
Αν+10
→ Αν+8 + Αν+6 Αν+20 + Αν+18
= 2 (Αν+19 + 2 Αν+12 + 4
Αν+10 )
→ Αν+8 + Αν+6 Αν+20 + Αν+18
=2ξ
ν+23
→∑ Αr = 16 (
Αν+19 + 2Αν+12 + 4Αν+10 )
ν
Η απόδειξη έχει
ολοκληρωθεί.
Παράδειγμα:
24
→∑ Αr = 16 (
Α20 + 2Α13 + 4 Α11 )
1
8. Άθροισμα 7 τυχαίων διαδοχικών όρων της
χρυσής ακολουθίας
Από την πρόταση 6,
προκύπτουν οι σχέσεις
ν+5 ν+6
ΣΑr = 4 Αν+4 και ΣΑr = 4 Αν+5
ν ν+1
Αθροίζοντας κατά
μέλη, και προσθέτοντας στα δύο μέλη τους όρους Αν+6 , και Αν έχουμε:
ν+6
2 ΣΑr = 4 (Αν+4 + Αν+5 ) + Αν+6 + Αν
ν
και άρα:
ν+6
ΣΑr =½ ( 5Αν+6 + Αν )
ν
9. Να
αποδειχθεί η σχέση:
ν+7
ΣΑr = 3 ( Αν+6 + Αν+4 )
ν
Απόδειξη δια της
μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής
Α. Έλεγχος της προς
απόδειξη πρότασης για ν=1
8
ΣΑr = 1+1+2+3+5+8+13+21= 54 και 3 ( 13+5) = 54 άρα προφανώς ισχύει για ν=1.
1
Β. Διατύπωση
επαγωγικής υπόθεσης: Έστω ότι η προς απόδειξη πρόταση ισχύει για ν=κ. Από την
υπόθεση προκύπτει ότι:
κ+7
ΣΑr = 3 ( Ακ+6 + Ακ+4 )
κ
Γ. Ελέγχουμε την
ισχύ της πρότασης για ν=κ+1
κ+8 κ+7
ΣΑr = ΣΑr + Ακ+8 - Ακ = 3 ( Ακ+6 + Ακ+4 ) + Ακ+8 - Ακ
κ +1
κ
κ+8 κ+7
ΣΑr = ΣΑr + Ακ+8 - Ακ = 3 ( Ακ+6 + Ακ+4 ) + Ακ+7 + Ακ+6 - Ακ
κ +1
κ
κ+8 κ+7
ΣΑr = ΣΑr + Ακ+8 - Ακ = 3 ( Ακ+6 + Ακ+4 ) + 2Ακ+6 + Ακ+5 - Ακ
κ +1
κ
κ+8 κ+7
ΣΑr = ΣΑr + Ακ+8 - Ακ = 3 ( Ακ+6 + Ακ+4 ) + 3Ακ+5 + 2Ακ+4 - Ακ
κ +1
κ
κ+8 κ+7
ΣΑr = ΣΑr + Ακ+8 - Ακ = 3 ( Ακ+6 + Ακ+4 ) + 3Ακ+5 + 2Ακ+3 + 2Ακ+1 + Ακ
κ +1
κ
κ+8 κ+7
ΣΑr = ΣΑr + Ακ+8 - Ακ = 3 ( Ακ+6 + Ακ+4 ) + 3Ακ+5 + 2Ακ+3 +( Ακ+1 + Ακ+2 )
κ +1
κ
κ+8 κ+7
ΣΑr = ΣΑr + Ακ+8 - Ακ = 3 ( Ακ+6 + Ακ+4 ) + 3Ακ+5 + 3Ακ+3
κ +1
κ
κ+8 κ+7
ΣΑr = ΣΑr + Ακ+8 - Ακ = 3 [ ( Ακ+6 + Ακ+5 ) + ( Ακ+4
+ Ακ+3 ) ]
κ +1
κ
κ+8 κ+7
ΣΑr = ΣΑr + Ακ+8 - Ακ = 3 ( Ακ+7 + Ακ+5 )
κ +1
κ
Έχουμε συμπληρώσει
την απόδειξη καταδεικνύοντας την ισχύ της πρότασης για ν=κ+1
10. Να αποδειχθεί η σχέση Α²ν – Α²ν-1 =Αν - 2 Αν
+1 (ν>2)
Απόδειξη με την
μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.
Έλεγχος για ν=3
Α²3 – Α² 2 =Α1 Α4
Ισχύει. ( 2² - 1 =
1.3 )
Υπόθεση: έστω ότι η
προς απόδειξη σχέση ισχύει για ν = κ. Διατυπώνουμε την προκύπτουσα από την
υπόθεση σχέση:
Α²κ – Α²κ -1 =Ακ -
2 Ακ +1
Προσπαθούμε να
αποδείξουμε τη ζητούμενη σχέση για ν=κ+1
Α²κ+1
– Α² κ = (Ακ+1 + Α κ
) (Ακ+1 - Α κ )
Α²κ+1
– Α² κ = Αk+2 . Ak-1
Έχουμε προφανώς
αποδείξει ότι η σχέση ισχύει για ν = κ+1. Θέτοντας κ=3, είναι προφανές ότι
ισχύει για ν=4. Επαγωγικά, θέτοντας κ=4 ισχύει και για κ=5 κ.ο.κ.
13. Να αποδειχθεί η σχέση Α²ν = 1+ ∑Αν - 2 Αν
+1 (ν>2)
3
Αθροίζουμε κατά
μέλη, τις σχέσεις που προκύπτουν από τη σχέση (10) που έχουμε μόλις αποδείξει:
Α²3 – Α² 2 =Α1 Α4
Α²4 – Α² 3 =Α2 Α5
Α²5 – Α² 4 =Α3 Α6 +
........................................
Α²ν-1 – Α² ν-2 =Αν-3 Αν
Α²ν – Α² ν--1 =Αν-2 Αν+1
ν
→ Α²ν
= Α1 + ∑ Αν-2 Αν+1
1
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου